Линейное программирование

Задача 1 (16.88)

Минимизировать функцию f(x) на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием достижения требуемой точности считать выполнение неравенства .

Решение:

Найдем первую и вторую производные исходной функции:

Выберем начальное приближение . И осуществим вычисления по формуле

Результаты запишем в таблице

n
0	0	2	1
1	-0,2	1,91	-0,1649
2	-0,175697	1,908525	-0,0032
3	-0,17520305	1,908524	-0,0000013

n=1

n=2

n=3

n=4

Далее мы заканчиваем вычисления, потому что данная точность достигнута. В результате мы получаем: и .

Осуществим проверку при помощи встроенной функции Minimize:

,

Ответ:

и

Задача 2 (16.115)

Выписать матрицу Q квадратичной функции f(x), найти ее градиент в точке и убедиться в выпуклости f(x) в .

,

Решение:

Запишем исходную функцию в следующем виде:

,

где

Тогда матрица Q примет вид:

Найдем градиент в точке по формуле , где r - вектор-столбец и равен :

Подставляя в полученную матрицу , мы получаем следующее значение градиента в данной точке:

Теперь убедимся в выпуклости f(x) в . Для того, чтобы исходная функция была выпуклой в , достаточно, чтобы матрица Q была положительно определена. Для этого найдем угловые миноры матрицы Q и если они будут больше нуля, то функция f(x) будет выпуклой в .

,

Так как , ,то функция f(x) выпукла в .

Проверка в Mathcad:

Проверка на выпуклость и нахождение градиента в точке x0



Ответ: градиент равен и функция f(x) будет выпуклой в .

Задача 3 (16.136)

Минимизировать квадратичную функцию методом наискорейшего спуска, заканчивая вычисления при , .

Решение:



Тогда производные исходной функции будут иметь вид:

Выберем начальное приближение . Тогда

Для нахождения точки минимума функции найдем нули ее производной:

Зная , мы определим следующим образом:

И так далее по выше описанной цепочке.

Реализуем решение данной задачи в математическом пакете Mathcad.

Функция имеет вид:



Тогда коэффициенты будут равны

Возьмем следующие начальное приближение и :

Далее пишем программу



В результате получаем искомое решение и функцию :

Ответ:

и

Задача 4 (16.155)

Минимизировать функцию f(x) методом сопряженных направлений, заканчивая вычисления при , .

Решение:

Тогда частные производные исходной функции будут иметь вид:

Решение будем искать по следующему алгоритму:

Шаг 1.

Выбрав начальное приближение

,

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> , откуда

Шаг 2.

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> ,

откуда

Шаг 3.

Для нахождения точки минимума функции используем метод перебора:

=>> , откуда

Шаг 4.

следовательно требуемая точность достигнута и

Ответ:

Задача 5 (16.193)

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение:

Изобразим на плоскости наш многоугольник ABCDE (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение , BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует и EA соответствует

Направление убывания функции указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , находим ее крайнее положение. В этом положении прямая проходит через вершину многоугольника ABCDE. Поэтому целевая функция принимает минимальное значение в точке , причем



Ответ: и

Задача 6 (16.205)

Решить задачу линейного программирования в каноническом виде графическим методом.

Решение:

Матрица системы будет иметь следующий вид:

Ранг этой матрицы равен . Тогда число свободных переменных равно , поэтому для решения задачи можно использовать графический метод. Решив систему ограничений - равенств относительно базисных переменных , , получим:

Исключая с помощью полученной системы переменные , из выражения для целевой функции, получаем:

С учетом условия неотрицательности , , и последних равенств получаем следующую задачу:

Изобразим на плоскости наш многоугольник ABCDEJ (красного цвета) и одну из линий уровня (розового цвета).

Линии AB соответствует уравнение , BC соответствует , CD соответствует , DE соответствует , EJ соответствует и JA соответствует .

Направление убывания функции указывает вектор . Совершая параллельный перенос линии уровня вдоль направления , мы видим, что целевая функция содержит сторону AB многоугольника ABCDEJ. Таким образом, все точки отрезка AB являются точками минимума функции . Так как концы A и B имеют координаты и соответственно, то найдем отсюда координаты и :

Тогда любая точка минимума представима в виде

где . Минимальное значение целевой функции

Ответ: бесконечное множество решений

, где и .

Задача 7 (16.216)

Решить задачу линейного программирования симплекс - методом, находя начальную угловую точку методом искусственного базиса.

Решение:

Матрица системы имеет вид

.

Ее ранг равен 3. Введем дополнительные переменные и запишем условие вспомогательной задачи линейного программирования для рассматриваемого случая:



Считая дополнительные переменные базисными, запишем симплекс таблицу этой задачи, соответствующую угловой точке :

	3	-2	3	2	9
	1	2	-1	1	0
	-1	-1	2	1	6
	-3	1	-4	-4	-15

Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом:

1) смотрим на нижнюю строку - выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец );

2) далее смотрим на последний и выбранный столбцы - сравниваем отношения элементов последнего и выбранного столбцов (в выбранном столбце берем только положительные числа), и выбираем тот элемент выбранного столбца, где отношение элементов будет наименьшим (в нашем случае 9/3 и 0/1, так как второе отношение наименьшее, следовательно, опорным элементом будет 1);

3) меняем местами переменные и , остальные переменные оставляем на своих местах;

4) на место опорного элемента ставим отношение 1/(опорный элемент);

5) на остальных местах разрешающей строки записываем соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;

6) на свободные места разрешающего столбца ставим со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент;

7) оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице заполняем построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитаем произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы.

Производя преобразования симплекс-метода, получим такую последовательность симплекс-таблиц:

	-3	-8	6	-1	9
	1	2	-1	1	0
	1	1	1	2	6
	3	7	-7	-1	-15

	-2	-6	5	1	9
	1	2	-1	1	0
	-1	-3	3	-2	6
	4	9	-8	1	-15

	-2/5	-6/5	1/5	1/5	9/5
	3/5	4/5	1/5	6/5	9/5
	1/5	3/5	-3/5	-13/5	3/5
	4/5	-3/5	8/5	13/5	-3/5

	0	2	-1	-5	3
	1/3	-4/3	1	14/3	1
	1/3	5/3	-1	-13/3	1
	1	1	1	0	0

В нижней строке последней симплекс-таблицы нет отрицательных элементов, следовательно, минимум вспомогательной целевой функции достигнут и есть угловая точка допустимого множества исходной задачи линейного программирования, тогда

Ответ: и .

Задача 8 (16.237)

Решить полностью целочисленную задачу линейного программирования методом Гомори.

Решение:

Введем дополнительные переменные и запишем условие вспомогательной задачи линейного программирования для рассматриваемого случая:

Считая дополнительные переменные базисными, запишем симплекс таблицу этой задачи, соответствующую угловой точке :

	1	0	2	1	8
	1	1	0	-1	4
	-1	2	1	3	6
	-1	-3	-3	-3	-18

Произведем преобразования исходной симплекс-таблицы симплекс-методом следующим образом: смотрим на нижнюю строку - выбираем тот столбец, в котором нижний элемент отрицательный, если таких столбцов несколько, то выбираем любой (в нашем случае выбираем первый столбец ); далее смотрим на последний и выбранный столбцы - сравниваем отношения элементов последнего и выбранного столбцов (в выбранном столбце берем только положительные числа), и выбираем тот элемент выбранного столбца, где отношение элементов будет наименьшим (в нашем случае 9/3 и 0/1, так как второе отношение наименьшее, следовательно, опорным элементом будет 1); меняем местами переменные и , остальные переменные оставляем на своих местах; на место опорного элемента ставим отношение 1/(опорный элемент); а остальных местах разрешающей строки записываем соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент; на свободные места разрешающего столбца ставим со знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный элемент; оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице заполняем построчно следующим образом: из строки элементов исходной таблицы вычитаем произведение ее элемента из разрешающего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой таблицы. Производя преобразования симплекс-метода, получим такую последовательность симплекс-таблиц:

	4/3	-2/3	5/3	-1/3	6
	2/3	5/3	1/3	1/3	6
	-1/3	2/3	1/3	1/3	2
	-2	-1	-2	1	-12

	1	1	2	0	8
	3/2	-5/2	-1/2	-1/2	1
	-1/2	3/2	1/2	1/2	3
	-5/2	3/2	-3/2	3/2	-9

	1/2	1/2	1/2	0	4
	7/4	-9/4	1/4	-1/2	3
	-3/4	5/4	-1/4	1/2	1
	-7/4	9/4	3/4	3/2	-3



	-2/7	8/7	3/7	1/7	22/7
	4/7	-9/7	1/7	-2/7	12/7
	3/7	2/7	-1/7	2/7	16/7
	1	0	1	1	0

Как видим, в последней строке таблицы все элементы положительны, то есть получаем решение и . Но это решение не удовлетворяет условию целочисленности, поэтому дополняем последнюю симплекс-таблицу строкой, используя следующие правила: среди нецелых элементов выбирается произвольный элемент , по r-ой строке симплекс-таблицы составляется дополнительное ограничение вида (здесь мы полагаем, что свободные переменные имеют номера m+1,…,n). С помощью вспомогательной переменной это ограничение представляется в виде равенства и вводится в симплекс-таблицу дополнительной строкой

Где

,

где фигурные скобки означают дробную часть.

Таким образом, мы получаем следующую таблицу:

	-2/7	8/7	3/7	1/7	22/7
	4/7	-9/7	1/7	-2/7	12/7
	3/7	2/7	-1/7	2/7	16/7
	2/7	-1/7	-3/7	-1/7	-1/7
	1	0	1	1	0

Так как , то после дополнения строкой симплекс-таблица перестает соответствовать допустимому базисному решению задачи линейного программирования, которую она описывает.

Для перехода к допустимому базисному решению производятся следующие операции:

а) строка с отрицательным свободным членом считается разрешающей;

б) если все коэффициенты , то задача не имеет решения, в противном случае номер l разрешающего столбца находится из условия:

в) совершается преобразование симплекс-таблицы с опорным элементом

Если в новой таблице по-прежнему есть хотя бы один отрицательный свободный член, то описанная процедура повторяется, начиная с операции а), необходимое число раз.

Применяя данные правила к нашей симплекс-таблице, мы получаем следующие преобразования:

	-2/7	8/7	3/7	1/7	22/7
	4/7	-9/7	1/7	-2/7	12/7
	3/7	2/7	-1/7	2/7	16/7
	2/7	-1/7	-3/7	-1/7	-1/7
	1	0	1	1	0

	2	8	-3	-1	2
	-2	-9	4	1	3
	1	2	-1	0	2
	-2	-7	3	1	1
	1	0	1	1	0

Полученная симплекс-таблица не только соответствует допустимому базисному решению, но и дает решение рассматриваемой задачи:

и

Ответ: и

Задача 9 (16.258)

Решить задачу дробно - линейного программирования.



Знаменатель целевой функции положителен при всех x из допустимого множества U, так как .

Вводим новые переменные

, ,

и получаем следующую задачу линейного программирования:

Неизвестные параметры мы можем уже из этих выражений найти:

,

Ответ: ,

Задача 10 (16.268)

Решить задачу квадратичного программирования.

,

Решение:

Матрица нашей квадратичной функции положительно определена. Наша исходная задача имеет вид:

(1)

, , (2)

, . (3)

На основании теоремы Куна-Таккера точка минимума целевой функции из (1) на допустимом множестве (2) и (3) может быть найдена как решение следующей системы уравнений с дополнительными переменными ; :

, ,

, ,

, ,

, ,

удовлетворяющее условию неотрицательности:

, , ,

, .

Применяя выше описанные условия, мы преобразуем исходную задачу в следующий вид:

Будем искать угловую точку множества, определяемого этой системой, методом искусственного базиса. Введем дополнительные переменные и в 3-е и 4-ое уравнения выше написанной системы, считая базисными переменными начальной угловой точки , , и .

Вспомогательную целевую функцию выразим через свободные переменные , , , , и с помощью двух первых уравнений выше написанной системы.

Последовательность симплекс-таблиц, приводящих к решению задачи, приведена ниже. Рамками обведены опорные элементы, а те свободные переменные, которые на данном шаге нельзя переносить в базисные из-за условий , обведены кружками.



Как видим, в последней строчке нет отрицательных чисел, следовательно, мы нашли решение и оно имеет вид и .

Ответ: и