Создание нейронной сети, выполняющей логическую функцию "И" и "ИЛИ"

X=

N строк и m+1 столбец

Здесь 0,1, … ,i, … , m - номера членов уравнения; I, … , U, … , N… - номера опытов. Матрица Х элементы x0U=1, U=1,…, N, то матрицу Х можно записать

Х= .

матрица столбец результатов опыта,

- матрица столбец коэффициента полинома.

Домножим левую и правую части этого равнения на одну и ту же матрицу Xt - транспонированную матрицу Х

Xt•X•B=Xt•Y.

Транспонированная матрица - это матрица, у которой по отношению к исходной матрице столбцы и строки поменяны местами.

Xt=

Рисунок 14. Алгоритм построения управляющей модели

m+1 строка и N столбцов.

C=Xt•X матрица, получившаяся в результате произведения траспонированной матрицы на исходную. Она является квадратной матрицей, содержащей m+1 строку и m+1 столбец.

C•B=Xt•Y.

Для того чтобы получить в общем виде матрицу-столбец коэффициентов В необходимо домножить обе части последнего матричного уравнения слева на матрицу С-1 - матрицу обратную матрице С.

C-1•C•B=C-1•Xt•Y.

Обратная матрица строится так (используется процедура обращения матрицы), что при умножении ее на исходную матрицу получается единичная матрица - Е, у которой на главной диагонали расположены 1, а вне ее - 0.

С-1•С=Е=

Окончательная в общем виде матрица-столбец коэффициентов полинома

B=C-1•Xt•Y.

Рассмотрим в качестве простого примера полином в виде

YU=b0x0+b1xU; x0=1; U=1,…, N;

формируемого по результатам N опытов

X= Y=B= Xt=

C=Xt•X=;

C•B=

Xt•Y=

C•B=Xt•Y;

или

Откуда решение системы относительно коэффициентов b0 и b1

Этот результат полностью совпадет с соотношениями для такого же полинома при использовании метода наименьших квадрантов, где используется численный показатель минимальности суммы квадрантов отклонений во всех N опытах. Следовательно, построенный таким образом полином будет проходить самым ближайшим образом к результатам эксперимента.

Существуют несколько видов планирования эксперимента:

- ортогональное планирование эксперимента;

- планы полного факторного эксперимента 2n (планы ПФЭ 2n );

- планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ);

- насыщенные планы первого порядка;

- планы второго порядка;

- ортогональный центрально-композиционный план второго порядка;

- рототабельные планы;

- рототабельный ортогональный центрально-композиционный план;

- планы второго порядка с единичной областью планирования;

- рототабельный план на основе правильного многоугольника n=2.

Разработка алгоритма нечеткого управления плавкой в ПВ

При построениях управляющей модели процессом безокислительной плавки медного концентрата цеха разделения файнштейна (ЦРФ) в качестве экспертов выступали квалифицированные операторы и технологи.

В результате их опроса были выявлены следующие переменные, используемые при управлении процессом:

Х1 - скорость загрузки концентрата;

Х2 - соотношение дутье-загрузка, нм3/т;

Х3 - обогащение дутья кислородом, %;

Х4 - влажность концентрата;

Х5 - разность температур воды на входе и выходе, 0С.

В качестве выходного параметра была выбрана уставка скорости загрузки Y, т/ч.

План опроса представлял собой набор продукционных правил типа «ситуация-действие». Была реализована матрица полного факторного эксперимента типа 25. Ситуация задавались в следующей форме: «если Х1 - низкая, Х2 - высокое, Х3 - низкое,Х4 - высокая, Х5 - высокая, то Y - ? »

Числовые значения Y представлены в виде унимодальных нечетких чисел (L-R). Лингвистическая переменная Y - скорость загрузки концентрата.

Математической обработкой результатов опроса по матрице планирования получена следующая зависимость:

Y=16,06+1,63Х1+4,5Х2+4Х5-1,81Х1 Х2+1 Х1Х3+2,06 Х2Х4-2 Х3 Х5+0,69 Х4 Х5 (1)

Таблица 13.4 Матрица полного факторного эксперимента типа 25

Здесь приведены только значимые коэффициенты полинома. ошибка при уровне значимости 0,05 составила s{bi}=0,06. Коэффициентами при квадратичных членах в указанном полиноме можно пренебречь, так как

b0 - Y0<s{bi}.

Анализ проведения графиков расхода концентрата, расчетных по уравнению (1) и фактических, показывает высокую степень адекватности модели процессу управления им оператором, наблюдающиеся различия в загрузках не противоречат практике ведения процесса, что было подтверждено экспертами-технологами. Таким образом, прогностические возможности полученного полинома весьма высоки и данная модель может быть рекомендована к внедрению в виде советчика оператору.

Важно отметить следующие особенности предлагаемого метода. Полученная модель несет дополнительную и эвристическую информацию, позволяющую судить о логике оператора-технолога при управлении процессом. Известно, что эксперт способен оперировать с небольшим количеством входных переменных, но, как видно из уравнения (1), количество линеаризованных (нелинейных) значимых коэффициентов существенно превышает указанный верхний предел. Следовательно, эксперт не в состоянии их формализовать при описании своей понятийной модели, используемой при выборе управляющего воздействия. Другими словами, только предлагаемым расчетным путем удается оценить влияние неформализованных переменных, интуитивно учитываемых экспертом, и выявить их смысл. Например, переменная Х3 (содержание кислорода в кислородно-воздушной смеси (КВС)) в линейном виде оказывает незначимое воздействие на изменение загрузки, но ее влияние происходит через парные взаимодействия с разностью температур охлаждающего контура (Х3 Х5 ) и загрузкой концентрата ЦРФ (Х1 Х3).

Значимость взаимодействия такого типа, по видимому, следует отнести к процессам, происходящим в подсознании эксперта на уровне интуиции. Таким образом, можно полагать, что разработанный метод позволяет количественно оценить кроме входных еще и «интуитивную составляющую», существенно влияющую на выбор управляющего воздействия. По методу построения управляющих моделей металлургических процессов на основе оценки качественной информации, полученной от оператора-технолога, построена управляющая модель процесса плавки концентрата ЦРФ в ПВ.

АСУТП, использующая эту модель как базу знаний, в принципе способна вести процесс на уровне оператора-технолога.

Опыт технолога-эксперта, зафиксированный в виде полиномиальной модели, может быть тиражирован для управления аналогичными агрегатами либо в качестве базы знаний на тренажере для обучения операторов.

Контрольные вопросы:

1. Расскажите алгоритм построения управляющей модели

2. Какова цель планирования эксперимента

3. Какой анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии

4. Сколько входных и выходных показателей и как они влияют друг на друга

Лабораторная работа №14.

Лабораторная работа №15

Исследование генетического алгоритма поиска экстремума целевой функции

Генетический алгоритм - это простая модель эволюции в природе, реализованная в виде компьютерной программы. В нем используются как аналог механизма генетического наследования, так и аналог естественного отбора. При этом сохраняется биологическая терминология в упрощенном виде

Моделирование генетического наследования Таблица15.1

Чтобы смоделировать эволюционный процесс, сгенерируем вначале случайную популяцию - несколько индивидуумов со случайным набором хромосом (числовых векторов). Генетический алгоритм имитирует эволюцию этой популяции как циклический процесс скрещивания индивидуумов и смены поколений (см. рисунок 15.1).

Рисунок 15.1. Принцип построения генетического алгоритма

Жизненный цикл популяции - это несколько случайных скрещиваний (посредством кроссовера) и мутаций, в результате которых к популяции добавляется какое-то количество новых индивидуумов. Отбор в генетическом алгоритме - это процесс формирования новой популяции из старой, после чего старая популяция погибает. После отбора к новой популяции опять применяются операции кроссовера и мутации, затем опять происходит отбор, и так далее.

Связь отбора в генетическом алгоритме и в природе Таблица15.2

Генетические Алгоритмы (ГА) - адаптивные методы поиска, которые в последнее время часто используются для решения задач функциональной оптимизации. Они основаны на генетических процессах биологических организмов: биологические популяции развиваются в течение нескольких поколений, подчиняясь законам естественного отбора и по принципу "выживает наиболее приспособленный" (survival of the fittest), открытому Чарльзом Дарвином. Подражая этому процессу, генетические алгоритмы способны "развивать" решения реальных задач, если те соответствующим образом закодированы. Например, ГА могут использоваться, чтобы проектировать структуры моста, для поиска максимального отношения прочности/веса, или определять наименее расточительное размещение для нарезки форм из ткани. Они могут также использоваться для интерактивного управления процессом, например на химическом заводе, или балансировании загрузки на многопроцессорном компьютере.

В природе особи в популяции конкурируют друг с другом за различные ресурсы, такие, например, как пища или вода. Кроме того, члены популяции одного вида часто конкурируют за привлечение брачного партнера. Те особи, которые наиболее приспособлены к окружающим условиям, будут иметь относительно больше шансов воспроизвести потомков. Слабо приспособленные особи либо совсем не произведут потомства, либо их потомство будет очень немногочисленным. Это означает, что гены от высоко адаптированных или приспособленных особей будут распространятся в увеличивающемся количестве потомков на каждом последующем поколении. Комбинация хороших характеристик от различных родителей иногда может приводить к появлению "суперприспособленного" потомка, чья приспособленность больше, чем приспособленность любого из его родителя. Таким образом, вид развивается, лучше и лучше приспосабливаясь к среде обитания.

ГА используют прямую аналогию с таким механизмом. Они работают с совокупностью "особей" - популяцией, каждая из которых представляет возможное решение данной проблемы. Каждая особь оценивается мерой ее "приспособленности" согласно тому, насколько "хорошо" соответствующее ей решение задачи. Например, мерой приспособленности могло бы быть отношение силы/веса для данного проекта моста. (В природе это эквивалентно оценке того, насколько эффективен организм при конкуренции за ресурсы.) Наиболее приспособленные особи получают возможность "воспроизводить" потомство с помощью "перекрестного скрещивания" с другими особями популяции. Это приводит к появлению новых особей, которые сочетают в себе некоторые характеристики, наследуемые ими от родителей. Наименее приспособленные особи с меньшей вероятностью смогут воспроизвести потомков, так что те свойства, которыми они обладали, будут постепенно исчезать из популяции в процессе эволюции.

Так и воспроизводится вся новая популяция допустимых решений, выбирая лучших представителей предыдущего поколения, скрещивая их и получая множество новых особей. Это новое поколение содержит более высокое соотношение характеристик, которыми обладают хорошие члены предыдущего поколения. Таким образом, из поколения в поколение, хорошие характеристики распространяются по всей популяции. Скрещивание наиболее приспособленных особей приводит к тому, что исследуются наиболее перспективные участки пространства поиска. В конечном итоге, популяция будет сходиться к оптимальному решению задачи.

Цель: Используя программу генетического алгоритма, исследуйте скорость его сходимости и точность поиска для различных функций

Алгоритм нахождения экстремума целевой функции с помощью генетического алгоритма

Вводятся исходные данные, x(i) количество входных переменных x(i) -k, величина шага-h, заданной точности поиска-е, значения величины изменения аргумента при нахождения частных производных-dx, счетчик шагов в начальный момент должен быть равен единице (n=1), так как до начала итерационных процедур требуется один раз рассчитать функцию цели-Fц0=GZnкр,

Для удобства исследования генетического алгоритма необходимо написать программу, в которой можно было бы менять функции не создавая заново саму программу. Эта программа является в некотором роде универсальной, поэтому для ее создания взят более простой пример и на его основе проведен сравнительный анализ с другой программой нахождения экстремума, а также исследование генетического алгоритма на решение других задач, более сложных для классических методов нахождения экстремума. В описанной ниже программе взята некоторая область, описанная уравнением окружности, в этой области взяли начальную популяцию из пяти точек из них определили три наиболее близкие к точке экстремума, определили потомка этих точек (середину треугольника), затем провели мутацию этой точки, мутация - нескольких видов, так как основополагающем фактором в нахождении точки экстремума и является мутирование потомка (т.е. выброс точки за треугольник). Виды мутации:

умножение координат потомка на 2;

замена координат потомка оси абцисc на оси ординат;

умножение координат потомка на отрицательные числа;

умножение координат потомка на числа полученных от генератора случайных чисел.

В данный алгоритм разработан для пяти точек координаты, которых равны следующим значениям (7;8); (2,5;7); (-3; -5); (-2;-1); (3,5;-1,5). Значение даны в виде матрицы

Задание:

· Изменить целевую функцию на функцию Оврага Розенброка

· Поменять значения координат для 5 точек, а также значения коэффициентов;

· Повысить или понизить число итерации;

Контрольные вопросы:

1. Как производится естественный отбор в природе?

2. Что такое генетический алгоритм?

3. Как используется процедура мутации в генетическом алгоритме?

4. Какова скорость сходимости Вашего алгоритма?

5. Какова точность поиска Вашего алгоритма?

Размещено на Allbest.ur