Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Новгородский Государственный Университет

имени Ярослава Мудрого

Кафедра «Автомобильный транспорт»

Курсовая работа

по учебной дисциплине

«Вычислительная техника в инженерных расчетах»

«СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ»

Преподаватель

Гудилов С.В.

Студент гр. 6061 з

Санин Ф.А.

2011 г.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

статистический обработка эксперимент выборка

Вариант	Обозначение массива	Исходные данные
8	L(N) K(N)	80;82; 83; 77; 78 ;80; 79; 82; 85; 77; 79; 78; 81 78;82;80; 81; 80; 79; 83; 82; 81; 84; 81; 82; 83; 80

СОДЕРЖАНИЕ

• Введение
• 1. Предварительный анализ экспериментальных данных
• 1.1 Обнаружение грубых погрешностей
• 1.2 Проверка случайности и независимости результатов измерений в выборке
• 2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
• 2.1 Приближенная проверка гипотезы о нормальном распределении экспериментальных данных с использованием коэффициентов б и в
• 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
• 3.1 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
• 3.2 Проверка гипотезы о равенстве средних значений
• ВЫВОД
• СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
• ПРИЛОЖЕНИЕ I
• ПРИЛОЖЕНИЕ II
• Введение

Эксперимент - это система операций и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте исследования. Составной частью эксперимента является опыт - воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях при возможности регистрации и количественной оценки состояния или результатов функционирования исследуемого объекта. При этом механизм изучаемого процесса обычно известен лишь частично или совсем неизвестен. Известны лишь переменные величины, воздействующие на объект исследования, и величины, характеризующие его состояние или результаты функционирования. Первые называют входными величинами или факторами, а вторые выходными или откликом.

Основная цель обработки экспериментальных данных получение результата измерения и оценка его погрешности.

Выбор метода обработки зависит от числа экспериментальных данных (многократные и однократные измерения), вида распределения погрешностей измерения, вида измерений и требований к быстроте вычислений, их трудоемкости.

Для определения результата многократных измерений и оценки их погрешностей широкое распространение получили вероятностно-статистические методы. Выбор метода зависит от распределения исходных данных. Замечено, что в большинстве случаев распределение случайных погрешностей не противоречит нормальному распределению. Методы обработки данных при предположении нормальности распределения погрешностей тщательно обработаны. В качестве значения измеряемой величины при использовании этих методов принимают среднее арифметическое ряда экспериментальных данных, а в качестве характеристики ее погрешности - оценку параметра нормального распределения (среднее квадратичное отклонение). Если распределение погрешностей измерений не противоречит другим видам распределений (например, равномерному, экспоненциальному, показательному и т.д.), значение измеряемой величины и характеристика ее погрешностей отличаются от среднего арифметического и среднего квадратичного отклонения. Поэтому, чтобы правильно выбрать методы вычислений измеряемой величины и ее погрешностей, производят проверку гипотезы о виде распределения экспериментальных данных.

Внедрение ЭВМ позволяет повысить быстроту получения и эффективности оценки результатов измерений и их погрешностей, снизить трудоемкость вычислений. Однако следует отметить, что результаты вычислений, полученные на ЭВМ, должны подвергаться тщательному контролю. Неточности программиста, ошибочный ввод данных в ЭВМ и другие недостатки могут привести к неверным выводам. В подобной ситуации экспериментатор обязан проверить каждый этап ввода данных в ЭВМ, а также последовательность выполнения программы на контрольном примере.

Точность получаемых экспериментальных данных и последующих вычислений при обработке данных должна быть согласована с требуемой точностью результата измерения. Промежуточные вычисления при обработке экспериментальных данных на ЭВМ выполняют с таким числом цифр, чтобы погрешности вычислений не могли исказить последнюю значащую цифру результата. Для этого число цифр в результатах промежуточных расчетов обычно берут на единицу или две больше, чем в окончательном результате.

Целью курсовой работы является освоение методологии, стратегии и методов статистической обработки экспериментальных данных с использованием ЭВМ.

1. Предварительный анализ экспериментальных данных

1.1 Обнаружение грубых погрешностей

Если в полученной группе результатов измерений xmin и xmax резко отличаются от остальных, следует проверить, не являются ли они грубыми погрешностями, подлежащими исключению. При решении данной задачи предполагается, что результаты наблюдений подчиняются нормальному закону распределения. Для решения задачи имеющиеся результаты измерения располагают в вариационный ряд монотонно возрастающих значений xi (i = 1, 2 ... n).

Проверке подлежит наименьший xmin и наибольший xmax член ряда. Сначала вычисляются числовые характеристики результатов наблюдений:

среднее арифметическое

; (1.1)

среднее квадратичное отклонение

(1.2)

Затем определяется наблюдаемое значение критерия Zн:

. (1.3)

Задавшись доверительной вероятностью Р = 0,95, определяем по табл. 4.1 [1] критическое значение критерия Zк, которое зависит также от числа измерений n. Если Zн Zк, то все наблюдения проводились в одинаковых условиях и значение xэкс составляет с остальными результатами однородную выборку. Если это неравенство нарушается, т.е. Zн > Zк, то результат xэкс следует исключить из дальнейшего рассмотрения.

В результате вычислений получили:

X1 = 80,07;

X2 = 81,42;

S1 = 2,43;

S2 = 1,65.

Zн1 min = 1,26;Zн1 max = 2,02;

Zн2 min = 1,896;Zн2 max = 1,723.

Согласно табл. 4.1 [1] Zк1 =2,424. Так как Zн1 < Zк, то x1max= 85 и x1min = 77 не являются грубой ошибкой.

Согласно табл. 4.1 [1] Zк2 =2,461. Так как Zн2 < Zк, то x2max= 84 и x2min = 78 не являются грубой ошибкой.

1.2 Проверка случайности и независимости результатов измерений в выборке

При статистической обработке результатов измерения отклика необходимо убедиться в том, что они являются стохастически независимыми. Альтернативной гипотезой может быть предположение о наличии монотонного или циклического смещения значения отклика, вызванного неконтролируемым фактором. Подобный случай может иметь место при анализе размеров деталей, обрабатываемых на настроенном станке, когда вследствие изнашивания инструмента или нагрева станка центр группирования размеров постепенно смещается при неизменной стандартной погрешности. Наиболее мощным критерием проверки нулевой гипотезы является критерий последовательных разностей ф.

Наблюдаемое значение критерия

; (1.4)

где ; (1.5)

n - объем выборки;

i - порядковый номер измерения отклика в выборке;

S2 - оценка дисперсии, вычисляемая по формуле (1.2).

Критическое значение фк определяется по табл. 4.2 [1]. Если фн < фк, то гипотеза о независимости и случайности измерений в выборке отвергается.

В результате вычислений получаем:

фн1 =1,008.

фн2 = 0,98.

По табл. 4.2 [1] для n = 13 получаем фк = 0,591. Так как фн1 > фк, гипотезу о случайности и независимости следует принять.

По табл. 4.2 [1] для n = 14 получаем фк = 0,578. Так как фн2 > фк, гипотезу о случайности и независимости следует принять.

2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

При числе данных 11 n 50 трудно судить о виде распределения. Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий [1]. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение экспериментальных данных отлично от нормального. Если при проверке гипотезы по одним и тем же данным для критерия I выбран уровень значимости q1, а для критерия II - уровень значимости q2, то уровень значимости составного критерия равен

q q1 + q2. (2.1)

Критерий 1.

Вычисляют значение d по формуле

, (2.2)

где .

Гипотеза о нормальности подтверждается, если

d100-1/2 < d < d1/2 , (2.3)

где d100-1/2 и d1/2 - процентные точки распределения значений d, которые находят по табл. 5.1 [1].

Критерий 2.

Гипотеза о нормальности распределения экспериментальных данных подтверждается, если не более m разностей ( xi - X ) превзошли значения S Zp/2 . S определяется по формуле (4.2), а Zp/2 - верхняя 100 Р/2 - процентная точка нормированной функции Лапласа. В противном случае гипотеза о нормальности должна быть отвергнута.

Для нахождения значения Р составлена табл. 5.2 с входами n и q2 для значений m = 1 и 2. При числе данных 11 n 20 принимают m = 1, при 20 n 50 - m = 2.

1 массив:

Q1=2%;

D1%=0,928, D99%=0,674;

D=0,8309, D1=0,6740, D2=0,9280

Критерий 1 выполняется.

Q2=5%;

P=0,97;

Zp/2=2,17;

M=0,000, M=1,000, M=S*Z=5,2755.

Критерий 2 выполняется. Числа 1-го массива подчиняются НЗР с уровнем значимости Q=Q1+Q2=7%.

2 массив:

Q1=2%;

D1%=0,922, D99%=0,676;

D=0,8178; D1=0,6760, D2=0,9220

Критерий 1 выполняется.

Q2=5%;

P=0,97;

Zp/2=2,17;

M=0,000, M=1,000, M=S*Z=3,5967.

Критерий 2 выполняется. Числа 1-го массива подчиняются НЗР с уровнем значимости Q=Q1+Q2=7%.

3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

3.1 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

При обработке экспериментальных данных часто требуется выяснить вопрос об однородности выборочных дисперсий, т.е их равенстве.

Пусть для двух независимых выборок из нормальной генеральной совокупности с объемами n1 и n2 определены оценки S12 и S22.

Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий.

Проверка проводится при помощи критерий Фишера F.

Наблюдаемое значение критерия:

Fн = S12/S22(S12 S22 ) (3.1)

Fн сравнивается с критическим Fк , которое определяется из табл. 6.1[1] для выбранной доверительной вероятности и n1 и n2.

Если Fн Fк , то выборочные данные не противоречат нулевой гипотезе.

В результате вычислений при помощи критерия Фишера получаем:

Fн = 2,151

По табл. 6.1 [1] для n1= 13 и n2=14 получаем Fк = 2,644.

Так как Fн < Fк выборочные данные не противореча нулевой гипотезе.

3.2 Проверка гипотезы о равенстве средних значений

Пусть выборки наблюдений объемом n1 и n2 берутся из двух генеральных совокупностей с нормальным распределением» причем дисперсии генеральных совокупностей равны. Необходимо проверить гипотезу о равенстве средних (математических ожиданий). По данным выборок определяются оценки математических ожиданий и дисперсий: Х1, X2 , S12 и S22. Объединенная оценка дисперсии генеральных совокупностей:

S2 = [S12(n1-1) + S22(n2-1)] / (n1 + n2 - 1). (3.2)

Для проверки нулевой гипотезы вычисляется наблюдаемое значение критерия Стъюдента:

(3.3)

Критическое значение критерия определяется для данной доверительной вероятности Р и n = n1 + n2 по табл. 6.3[1].

При tн tк гипотеза принимается, при tн > tк она отвергается.

В результате вычислений получаем:

tн = 1,366 S 2 =4,101

По табл. 6.3 [1] для n = 27 получаем tк = 2,0564.

Так как tн < tк гипотезу о равенстве средних значений следует принимать.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫВОД

В ходе работы освоили методологии, стратегии и методы статической обработки экспериментальных данных с использованием ЭВМ.

Курсовая работа позволила решить следующие основные задачи:

закрепить и углубить теоретические знания, полученные при изучении соответствующего курса;

усвоить методику предварительного анализа экспериментальных данных, статической проверки гипотез о виде распределения экспериментальных данных, о равенстве средних значений и дисперсий, методику дисперсионного анализа;

развить навыки составления и отладки программ на ЭВМ.

подготовить студентов к выполнению дипломного проектирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гудилов С.В. Методы статистической обработки результатов эксперимента с использованием ЭВМ: Метод. указания / Авт. - сост. С.В. Гудилов; НовГУ им. Ярослава Мудрого. - Новгород, 1995. - 24 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Программа

Program Kursovaja_rabota;

var N: integer;

Sum1, Xcp1, Xcp2, Q1, S1, S2, Sx1, Sx2, W, Xmax, Xmin, Z, Znmin, Sv2, Znmax, Zk, Tk, d, d1, d2, h, C2, Tn, Tkp, p, Zp, t, Fkp, Fn, Tsn: real;

l: array [1..13] of integer;

k: array [1..14] of integer;

begin

writeln (' Predvaritelniy analiz dannix ');

writeln (' Obnaruzhenie grubih pogreshnostey');

l[1]:=80;

l[2]:=82;

l[3]:=83;

l[4]:=77;

l[5]:=78;

l[6]:=80;

l[7]:=79;

l[8]:=82;

l[9]:=85;

l[10]:=77;

l[11]:=79;

l[12]:=78;

l[13]:=81;

for N:=1 to 13 do writeln ('L[' ,N, ']=' , l[N], '; ');

k[1]:=78;

k[2]:=82;

k[3]:=80;

k[4]:=81;

k[5]:=80;

k[6]:=79;

k[7]:=83;

k[8]:=82;

k[9]:=81;

k[10]:=84;

k[11]:=81;

k[12]:=82;

k[13]:=83;

k[14]:=80;

Xmax:=0;

for N:=1 to 13 do

begin

Sum1:=L[N]+Sum1;

if L[N]>Xmax then Xmax:=L[N];

end;

Xmin:=Xmax;

Xcp1:=Sum1/13;

for N:=1 to 13 do

begin

if L[N]<Xmin then Xmin:=L[N];

Q1:=sqr(L[N]-Xcp1)+Q1;

end;

S1:=sqrt(Q1/(13-1));

Sx1:=sqrt(Q1/13);

Znmin:=abs(Xcp1-Xmin)/S1;

Znmax:=abs(Xcp1-Xmax)/S1;

write ('wwedite dlja 1-go massiwa Zk(P,n)=');

readln (Zk);

if Zk>=Znmax then writeln ('Grubih pogreshnostey w 1-m massiwe net');

writeln ('Znmax=' ,Znmax:3:4, ' Znmin=' ,Znmin:3:4);

writeln ('Xmax=' ,Xmax:4:4, ' Xmin=' ,Xmin:4:4, ' Xcp=' ,Xcp1:4:4);

writeln ('Srednee kwadraticheskoe otklonenie S=' ,S1:2:4, ' S*=' ,Sx1:4:4);

if Zk<=Znmax then writeln ('Sleduet isklychit ' ,Xmax, ' iz viborki');

if Zk<=Znmin then writeln ('Sleduet iskluchit ' ,Xmin, ' iz viborki');

for N:=1 to 14 do writeln ('K[' ,N, ']=' , k[N], '; ');

Xmax:=0;

Sum1:=0;

Q1:=0;

for N:=1 to 14 do

begin

Sum1:=K[N]+Sum1;

if K[N]>Xmax then Xmax:=K[N];

end;

Xmin:=Xmax;

Xcp2:=Sum1/14;

for N:=1 to 14 do

begin

if K[N]<Xmin then Xmin:=K[N];

Q1:=sqr(K[N]-Xcp2)+Q1;

end;

S2:=sqrt(Q1/(14-1));

Sx2:=sqrt(Q1/14);

Znmin:=abs(Xcp2-Xmin)/S2;

Znmax:=abs(Xcp2-Xmax)/S2;

write ('wwedite dlja 2-go massiwa Zk(P,n)=');

readln (Zk);

if Zk>=Znmax then writeln ('Grubih pogreshnostey wo 2-m massiwe net');

writeln ('Znmax=' ,Znmax:3:4, ' Znmin=' ,Znmin:3:4);

writeln ('Xmax=' ,Xmax:4:4, ' Xmin=' ,Xmin:4:4, ' Xcp=' ,Xcp2:4:4);

writeln ('Srednee kwadraticheskoe otklonenie S=' ,S2:2:4, ' S*=' ,Sx2:4:4);

if Zk<=Znmax then writeln ('Sleduet isklychit ' ,Xmax, ' iz viborki');

if Zk<=Znmin then writeln ('Sleduet iskluchit ' ,Xmin, ' iz viborki');

writeln ('************************************************************************************');

Writeln ('Proverka sluchaynosti i nezavisimosti rezultatov izmereniy w viborke ');

for N:=1 to 12 do Z:=sqr(L[N+1]-L[N])+z;

C2:=Z/(2*12);

Tn:=C2/sqr(S1);

write ('Wwedite dlja 1-go massiwa Tk(P,n)=');

readln (Tk);

writeln ('Tn=' ,Tn:3:3);

if Tn<=Tk then writeln ('Dlya viborki-1 Gipoteza o sluchaynosti i nezawisimisti ne prinemaetsja ')

else writeln ('Dlya viborki-1 Gipoteza o sluchaynosti i nezawisimisti prinemaetsja');

Z:=0;

for N:=1 to 13 do Z:=sqr(K[N+1]-K[N])+z;

C2:=Z/(2*13);

Tn:=C2/sqr(S2);

write ('Wwedite dlja 1-go massiwa Tk(P,n)=');

readln (Tk);

writeln ('Tn=' ,Tn:3:3);

if Tn<=Tk then writeln ('Dlya viborki-2 Gipoteza o sluchaynosti i nezawisimisti ne prinemaetsja ')

else writeln ('Dlya viborki-2 Gipoteza o sluchaynosti i nezawisimisti prinemaetsja');

writeln ('************************************************************************************');

writeln ('******Prowerka gipotezi o wide raspredelenija dannih po Sostavnomu kriteriyu******');

for N:=1 to 13 do W:=abs(L[N]-Xcp1)+W;

d:=W/(13*Sx1);

writeln ('uroven znachimosti kriterija 1-Q1=2%');

writeln ('Wwedite prozentnie tochki raspredelenija, D1 i D2');

write ('D 1.00%=');

readln (D1);

write ('D 99.00%=');

readln (D2);

if (D2<=D) and (D<=D1) then writeln ('***Kriteriy-1 vipolnyaetsya, D=' ,d:4:4, '***')

else writeln ('***Kriteriy-1 NE vipolnyaetsya, D=' ,d:4:4, '***');

writeln('uroven znachimosti kriterija 2-Q2=5%');

writeln ('znachenie doveritelnoy verojatnosti P=0.97');

write ('znachenie procentnoy tochki normalnoy funkcii Laplassa Zp/2=');

readln (Zp);

t:=S1*Zp;

for N:=1 to 13 do

begin

H:=abs(L[N]-Xcp1);

if H>t then p:=1+p;

end;

if p>1 then writeln ('***Kriteriy-2 NE vipolnyaetsya***')

else writeln ('Kriteriy-2 vipolnyaetsya, chisla 1-go massiva podchinjajutsja NZR s urovnem znachimosti Q=Q1+Q2=7%');

w:=0;

for N:=1 to 14 do W:=abs(K[N]-Xcp2)+W;

d:=W/(14*Sx2);

writeln ('uroven znachimosti kriterija 1-Q1=2%');

writeln ('Wwedite prozentnie tochki raspredelenija, D1 i D2');

write ('D 1.00%=');

readln (D1);

write ('D 99.00%=');

readln (D2);

if (D2<=D) and (D<=D1) then writeln ('***Kriteriy-1 vipolnyaetsya, D=' ,d:4:4, '***')

else writeln ('***Kriteriy-1 NE vipolnyaetsya, D=' ,d:4:4, '***');

writeln('uroven znachimosti kriterija 2-Q2=5%');

writeln ('znachenie doveritelnoy verojatnosti P=0.97');

write ('znachenie procentnoy tochki normalnoy funkcii Laplassa Zp/2=');

readln (Zp);

p:=0;

t:=S2*Zp;

for N:=1 to 14 do

begin

H:=abs(K[N]-Xcp2);

if H>t then p:=1+p;

end;

if p>1 then writeln ('***Kriteriy-2 NE vipolnyaetsya!***')

else writeln ('Kriteriy-2 vipolnyaetsya, chisla 2-go massiva podchinjajutsja NZR s urovnem znachimosti Q=Q1+Q2=7%');

Writeln ('************************************************************************************');

writeln ('****Staticheskaja prowerka gipotez****');

writeln ('***Prowerka gipotezi o ravenstve dispersij***');

write ('Kriticheskoe znachenie kriterija Fishera pri N1=13 i N2=14 Fkp=');

readln (Fkp);

Fn:=sqr(S2)/sqr(S1);

if Fn<Fkp then writeln ('Fn=' ,Fn:4:4, ' Gipoteza o rawenstwe dispersii podtwerzhdaetsja!')

else writeln ('Fn=' ,Fn:4:4, ' Gipoteza o rawenstwe dispersii NE podtwerzhdaetsja!');

writeln ('***Prowerka gipotezi o ravenstwe srednix znachenij***');

write ('kriticheskoe znachenie kriterija Stjudenta pri N=N1+N2=27 Tkp=');

readln (Tkp);

Sv2:=(sqr(S1)*12+sqr(S2)*13)/25;

Tsn:=abs(Xcp1-Xcp2)*sqrt(13*14/27)/sqrt(Sv2);

if Tsn<=Tkp then writeln ('Tn=' ,Tsn:4:4, ' Gipoteza o ravenstwe srednix znachenij prinemaetsja!')

else writeln ('Tn=' ,Tsn:4:4, ' Gipoteza o ravenstwe srednix znachenij NE prinemaetsja!');

readln;

end.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Результаты

Размещено на Allbest.ru