Управление сложными системами

109

Лекция №1. 11.02.2003

Раздел 1. Основные понятия теории сложности

1.1. Сложность

Сложность -- свойство современных систем управления.

Различают следующие понятия сложности:

1) Математическое

2) Информационное

3) Структурное

4) Обобщенное

5) Алгоритмическое

6) и др.

Математическое понятие относится к теории конечных автоматов. 50-е гг XX века. Основная характеристика сложности системы -- число элементарных блоков, образующих систему.

Информационное понятие введено Колмогоровым и относится к теории информации. Сложность здесь связана со случайностью. Основная характеристика сложности системы -- спектр частот. Вроде бы такого понятия достаточно для оценок свойств системы, но все же есть недостаток: не учитываются комбинации подсистем в системе.

В структурном понятии учитываются взаимосвязи между подсистемами в системе. Систему формируют таким образом, чтобы она обладала определенными статическими и динамическими характеристиками. Основная характеристика сложности системы -- статические (установившееся состояние системы) и динамические (переходные режимы системы) свойства системы.

При реализации системы стремятся использовать наиболее простые технические средства. Таким образом, косвенно учитываются требования надежности и стоимости. Учет надежности и экономичности на этапе проектирования делает эту задачу более корректной. Кроме того, любая задача должна быть математически корректной (математическая корректность -- сходимость алгоритмов управления). Неустойчивость алгоритмов обусловлена 1) неточностью исходных данных, 2) неточностью их реализации в компьютере на этапе проектирования или в ВК (вычислительном Комплексе) при работе с системой.

В обобщенном понятии основная характеристика сложности системы -- шкала сложности. Основные признаки построения шкалы сложности:

— порядок дифференциального оператора

— спектр частот

— основные характеристики ВК

— надёжность

— стоимость

— алгоритмическая сложность

— и др.

1.2 Иерархия

Когда проблемой является определение свойств системы по характеристикам отдельных подсистем, используется иерархический подход, позволяющий решить эту проблему.

Основные признаки иерархии:

1. Сложные иерархические структуры являются многоуровневыми, на определенных уровнях которых принимаются решения;

2. Общая (глобальная) и местная (локальная) цели функционирования должны координироваться;

3. Между уровнями системы происходит обмен информацией, при этом приоритетом обладает информация, поступающая с верхнего уровня. Для нижнего уровня она является командной и подлежит выполнению, если это возможно;

4. Процесс обмена информацией снизу вверх в структуре замедляется.

1.3 Типовая структура сложной системы

Обобщенную структуру сложной системы можно представить в виде треугольной структуры (смотри рисунок №1).

Уровни: О, 1, 2, 3, 4.

О -- объект управления, который тоже является сложным, например, состоящим из восьми подсистем О.1 - О.8.

На рисунке №1:

Х₁ - Х₈ -- регулируемые переменные.

r₁ - r₈ -- регулирующее воздействие.

И -- информация. У -- уставка, управления.

1 -- уровень локального регулирования.

Используются аналоговые или цифровые (например, микропроцессорные системы из следующего семестра) Системы Автоматического Регулирования (САР), которые осуществляют непосредственное регулирование объектами О.1 - О.8.

2 -- уровень локальной оптимизации.



Рисунок №2

Здесь оптимизаторы Системы Автоматического Управления (в них уставка вырабатывается ВК) или Автоматизированные Системы Управления (в них уставка определяется человеком совместно с ВК, который нужен для усиления интеллекта человека) осуществляют оптимальное управление локальными регуляторами первого уровня в соответствии с частными критериями.

3 -- уровень координации.

Здесь реализуется второй признак иерархии.

4 -- уровень оперативного управления

ЛПР -- лицо, принимающее решение.

Общая цель работы системы трансформируется в конкретные уставки нижним уровням, распределяются ресурсы, принимаются решения в нештатных ситуациях и др.

Основой для решения являются мощные ВК и «быстрые» математические модели.

1.4 Эквивалентная структура сложной системы (Даймонд-структура)

Структуру треугольного типа можно представить в виде структуры ромбовидного типа (смотри рисунок №2).

В данной структуре разделены информационная и управляющая (уровни принятия решения) функции.

1. Такое преобразование обеспечивает наглядность, так как разделены информационная и управляющая функции.

2. Возможность выполнять вертикальный разрез системы и проводить анализ и синтез динамических структур САУ или АСУ.

3. Выполнять горизонтальное сечение и решать задачи статического расчета на заданном уровне (информационном или управляющем).

4. Формализовать процессы информационные и управляющие, что облегчает работу математической модели системы.

На рисунке №2:

~ ~

1.1 - 1.8 -- датчики (измерительные устройства локальных регуляторов).

~ ~ ~ ~ ~

2.1 - 2.4; 3.1 - 3.2; 4.1 -- информационные системы соответствующих уровней.

/\ /\

1.1 - 1.8 -- собственно локальные регуляторы САР без датчиков.

/\ /\ /\ /\ /\

2.1 - 2.4; 3.1 - 3.2; 4.1 -- соответствующие подсистемы без информационных подсистем.

АСУ -- характерный пример сложной системы (СС). В частности АСУТП.

Раздел 2. АСУТП.

АСУТП -- человеко-машинная система, обеспечивающая сбор и обработку информации для оптимизации управления технологическим (техническим) процессом (объектом) в соответствии с принятым критерием.

Лекция №2. 12.02.2003

2.1Фнукции АСУТП

1) Информационные (обеспечивают сбор, обработку и представление информации персоналу);

2) Управляющие (на основе полученной информации выработка оптимальных управляющих воздействий и их реализация);

3) Вспомогательные (внутрисистемные задачи по функционированию технических и программных средств).

2.2 Структура АСУТП

Структуру системы образуют:

1. Оперативный персонал.

2. Техническое обеспечение.

3. Информационное обеспечение.

4. Организационное обеспечение.

5. Математическое обеспечение.

6. Программное обеспечение.

7. Лингвистическое обеспечение.

8. и др.

1) Оперативный персонал -- группа операторов (диспетчеров), которые осуществляют контроль и управление объектом (или процессом), а также эксплуатационный персонал, обеспечивающий работу программных и технических средств.

2) Техническое обеспечение -- комплекс технических средств АСУТП, в том числе и ВК.

3) Информационное обеспечение -- совокупность реализованных решений по объемам, размещению и формам организации информации, циркулирующей в системе. Оно определяет формы и способы представления информации по состоянию системы (в виде баз данных, файлов ВК, других документов и сигналов для представления персоналу).

4) Организационное обеспечение -- совокупность документов, регламентирующих деятельность персонала в АСУТП.

5) Математическое обеспечение -- совокупность математических методов, моделей и алгоритмов, используемых при проектировании и работе системы.

На этапе анализа информации и принятия решения необходимо формулировать задачи управления математически. Для этого необходимы:

— Математическая Модель (ММ);

— Критерий управления;

— Учет ограничений.

ММ -- совокупность математических отношений, описывающих поведение объекта и условия его работы.

Для составления ММ необходимо знать физическую природу явления, структуру и особенности объекта. Любая ММ неадекватна и трудоёмка.

Неадекватность (приближенность):

— неточность основных законов;

— определяется техническим средством -- ВК.

При “закладке” ММ в компьютер приходится прибегать к упрощениям. Разработка ММ может занимать до 60 - 80 % общего времени проектирования системы.

Алгоритм -- инструкция решения данной задачи, выраженная на языке математических формул и логических условий.

Алгоритм управления -- инструкция для получения целесообразных управляющих воздействий, в которой говорится о том, как надо обрабатывать информацию об объекте.

6) Программное обеспечение делится на общее (сопровождают данные ВК) и специальное (разрабатывается для конкретной системы и для реализации основных функций этой системы).

7) Лингвистическое обеспечение -- совокупность языковых средств формализации естественного языка обеспечения персонала ВК.

Основное требование: язык должен быть лаконичен, быстро и однозначно воспринимаем.

2.3 Типовая функциональная схема и примеры АСУТП

Множество АСУТП можно классифицировать по различным признакам, в том числе по роли человека-оператора и ВК. Распределение функций между ними осуществляется на этапе предварительного проектирования. Более совершенна та система, где максимум функций выполняет ВК.

1 -- Человек оператор

2 -- ВК

3 -- Объект управления

4 -- Система отображения информации

5 -- Пульт или пост управления

6 -- Устройство логического управления

7 -- Локальные регуляторы

8 -- Исполнительные устройства

9 -- Измерительные устройства

10 -- АСУТП более высокого уровня

11 -- Система сигнализации

12 -- Система аварийной защиты

13, 14 -- Функциональные связи



2.3.1 АСУТП с информационным типом функционирования

В данном случае нет связей 13 и 14.

ВК, получая информацию, обрабатывает её и с помощью СОИ (Систем Отображения Информации) представляет человеку-оператору. Оператор анализирует информацию и принимает решение, воздействует на объект при помощи технических средств №№ 5, 6, 7, 8.

ВК выполняет следующие функции:

1. Сбор информации для уточнения ММ.

2. Рассчитывание технических и технико-экономических показателей.

3. Контроль работы системы.

4. Связь с АСУТП более высокого уровня.

Следовательно, система существенно зависит от человека-оператора.

2.3.2 АСУТП с функционированием в режиме “советчика”

В данном случае нет связей 13 и 14.

ВК рассчитывает возможные варианты решения (уставки), которые предлагаются оператору. Оператор анализирует их и выбирает более рациональную уставку.

В такой системе влияние оказывает субъективный фактор человека-оператора.

2.3.3 АСУТП с супервизорным управлением

В данном случае используется функциональная связь 13, а 14 отсутствует.

ВК рассчитывает уставки локальным регулятором (7). Человек-оператор, находясь вне основного контура, контролирует работу системы и вмешивается в процесс по мере необходимости.

2.3.4 АСУТП с непосредственным цифровым управлением

В данном случае используется функциональная связь 14, а 13 отсутствует.

ВК рассчитывает не уставки, а необходимые управляющие воздействия на объект, которые реализуются исполнительными устройствами (8). При этом локальные регуляторы, выносящиеся за пределы контура, являются дополнительными.

2.35 Комбинированные АСУТП

Пример -- смотри ДЗ.

Раздел 3. Локальные оптимизаторы и регуляторы

3.1 Обобщенная структура локального оптимизатора САУ. Проблемы управления

1 -- управляемая система; 2 -- управляющая система.

Пусть известны:

1. Цель управления (Е) в виде показателя -- функционала. (1)

2. Математическая модель в виде системы дифференциальных уравнений (2)

3. Ограничения: (3)

Изменение векторов состояния , управления ограничено замкнутыми областями А и В, которые в свою очередь являются составляющими соответственно пространств состояний Х и управления Y.

Тогда: Проблема управления состоит в определении такого вектора управления , который обеспечивал бы экстремум функционала (1) при известных ММ (2) и ограничениях (3).

-- многомерные векторные функции соответствия

-- состояния; -- управления; -- наблюдения; -- возмущения.

То есть , -- переменные состояния.

-- наблюдаемые переменные, то есть переменные состояния, информация об изменении которых поступает в управляющую систему.

Лекция №3. 18.02.2003

-- управляющие воздействия (уставки).

-- возмущающие воздействия.

3.2 Обобщенная структура локального регулятора САР. Проблемы управления.

1 -- объект регулирования;

2 -- регулятор (контроллер);

3 -- устройство сравнения.

 -- вектор регулирования;

-- регулирующее воздействие.

-- вектор ошибки.

В данном случае:

1. -- известен.

2.

3. Показатель точности

Тогда: Проблема регулирования состоит в определении такого вектора регулирования (алгоритма), который обеспечивал бы минимум n частных показателей эффективности , каждый из которых зависит от одной из составляющих вектора ошибки, при изменяющихся связях (2) и ограничениях (3).

Задача регулирования -- это частный случай проблемы управления, а локальный регулятор является объектом локального оптимизатора (смотри Рисунки №№1, 2).

3.2.1 Типовая функциональная схема локального регулятора. Состав элементов

-- источники энергии.

1 -- преобразующее устройство;

2 -- последовательное корректирующее устройство (аналоговое или цифровое (микропроцессор)) (придаёт системе требуемые свойства);

3 -- усилительное устройство;

4 -- исполнительное устройство;

5 -- параллельное корректирующее устройство (включается встречно-параллельно и охватывает звенья подсистемы с наиболее неблагоприятными свойствами);

6 -- объект регулирования;

7 -- элемент (устройство) главной обратной связи;

8 -- местная обратная связь;

9 -- главная обратная связь.

Локальные регуляторы содержат в своей структуре измерительные, усилительные, исполнительные и корректирующие устройства. Пример системы: смотри ДЗ.

Следовательно, САР -- замкнутая динамическая система использования получающихся сигналов для управления источниками энергии, стремящаяся сохранить в допустимых пределах ошибки между требуемыми и действительными значениями регулируемых переменных путем их сравнения.

3.2.2 Основные типы локальных регуляторов

Множество локальных регуляторов можно упорядочить по различным признакам:

Во-первых, в зависимости от характера информации, используемой в регуляторе:

1.) С регулированием по разомкнутому циклу (по возмущениям).



Проблема состояла в определении регулирующего воздействия.

Здесь регулятор настраивается в зависимости от основного возмущения .

“+”: высокое быстродействие, так как регулятор настраивается сразу по возмущению, а не так, как в случае регулирования по замкнутому циклу.

“-”: трудность программирования регулятора на возможные возмущения, следовательно, невысокая точность.

2.) С регулированием по замкнутому циклу (по отклонениям).

“+”: в независимости от причин появления ошибки , система работает по принципу её (ошибки) компенсации.

“-”: быстродействие ниже, чем в случае с регулированием по разомкнутому циклу.

3.) С регулированием по комбинированию.

Объединение случаев регулирования по разомкнутому циклу и по замкнутому циклу.

Во-вторых, в зависимости от уставки :

1.) Системы стабилизации .

2.) Программные системы , причём -- известно.

3.) Следящие системы , причём -- заранее неизвестная функция.

В-третьих, в зависимости от размерности n вектора состояния :

1.) Одномерные n = 1.

2.) Двумерные n = 2.

3.) Многомерные n = 3.

В-четвёртых, в зависимости от количества контуров в системе:

1.) Одноконтурные (используется только главная обратная связь, нет местных связей).

2.) Двухконтурные (используются одна главная и одна местная обратные связи).

3.) Многоконтурные (используются одна главная и много местных обратных связей).

В-пятых, в зависимости от установившегося значения ошибки:

1.) Статические .

2.) Астатические .

Систему называют астатической по управляющему (или возмущающему) воздействию, если при подаче на вход постоянного управляющего (или возмущающего) воздействия ошибка в установившемся состоянии не зависит от величины этого воздействия и равна нулю.

Сравнить рисунки 24 и 26 методических указаний.

В-шестых, в зависимости от характеров сигналов, циркулирующих в системе:

1.) Непрерывные.

2.) Импульсные.

3.) Релейные.

4.) Релейно-импульсные (кодово-импульсные).

5.) На переменном токе (с гармонической модуляцией).

1.) В непрерывных системах сигналы могут быть описаны непрерывными во времени функциями.

3.2.2.1 Импульсные системы

Эти системы содержат импульсные устройства (2), осуществляющие квантование сигналов по времени (АИМ).

Типовая структура импульсных систем:

1 -- непрерывная часть системы.

Импульсное устройство (ключ), замыкаясь в дискретные равноотстоящие моменты времени (t = i•T, i = 0, 1, 2, …, где i -- период повторения, а T -- период дискретности), преобразует непрерывный входной сигнал в дискретный .

Реальный ключ (2) удобно условно представить в следующем виде:

3 -- идеальный ключ; 4 -- формирователь.



Лекция №4. 19.02.2003

Идеальный ключ (3) преобразует непрерывный сигнал (рисунок а)) в последовательность идеальных импульсов типа д-функций (рисунок б)), далее эта последовательность поступает на формирователь (4).

Формирователь (4) преобразует эту последовательность в реальные импульсы определённой формы, длительности (гT, 0<г?1) и амплитуды (рисунок в)).

При запоминании на интервале дискретности T при г = 1 формирователь (4) называют Экстраполятором Нулевого Порядка (Э0П).

Математическая модель Э0П непрерывна и может быть отнесена к непрерывной части системы. В результате типовая структура импульсной системы примет вид:

Рисунок № !

5 -- приведенная непрерывная часть;

6 -- импульсный фильтр

3.2.2.2 Релейные системы

Релейные системы содержат в своей структуре устройства (реле), осуществляющие квантование сигнала по уровню. В результате, на выходе реле сигнал будет непрерывным, но ступенчатым

3.2.2.3 Релейно-импульсные системы

В них происходит квантование сигналов по времени и по уровню.

К этому типу относятся цифровые системы управления, в частности АСУТП с используемым ВК.

При большом количестве разрядов АЦП и ЦАП квантованием можно пренебречь, и отнести такие системы к импульсным.

3.2.2.4 Системы на переменном токе

В них содержится модулятор, осуществляющий один из видов гармонической модуляции (всего их три: АМ, ЧМ, ФМ).

В-седьмых, в зависимости от вида используемой энергии:

1.) Механические.

2.) Электрические.

3.) Пневматические.

4.) На горячем газе.

5.) Гидравлические.

6.) Комбинированные.

В-восьмых, в зависимости от степени идеализации математической модели:

Смотри Раздел №4.

В-девятых, и т.д.

3.3 Требования, предъявляемые к системам

Помимо подхода, рассмотренного выше, при проектировании систем управления можно использовать ряд требований, которые определяют допустимые условия работы, а именно:

1.) к устойчивости;

2.) к качеству регулирования;

3.) к динамической точности;

4.) к управляемости;

5.) к наблюдаемости;

6.) к условиям эксплуатации;

7.) к стоимости;

8.) к др.

3.3.1 Устойчивость

В системах управления часть энергии с выхода системы подаётся на вход (обратная связь), энергия не может изменяться мгновенно, кроме того существуют запаздывания, а системы по своей природе являются колебательными. Поэтому, при определённых условиях система вместо подавления колебаний может стать их генератором, то есть неустойчивой.

3.3.2 Качество регулирования

Устойчивость определяет свободное движение системы, когда внешнее воздействие отсутствует. Важно определить поведение системы при наличии таковых. Поэтому анализируют качество регулирования при наиболее неблагоприятных или типовых воздействиях:

3.3.2.1 Единичное ступенчатое воздействие

1.) Несмещенное , т.е. .

2.) Смещенное , т.е. .



Ступенчатое воздействие может быть и неединичным: ,

Переходная функция h(t) -- реакция системы на единичное ступенчатое воздействие.

3.3.2.2 д-функция. Импульсное воздействие

1.) Несмёщенная д-функция .

Свойства несмещённой д-функции:

1. . 2. .

3. Если непрерывная ограниченная функция, то .

4. .

2.) Смещённая д-функция .



Свойства смешённой д-функции:

1. . 2. .

3. Если непрерывная ограниченная функция, то .

4. Пусть непрерывное воздействие произвольного вида, например:

Следовательно, .

Импульсная переходная функция k(t) или функция веса (весомости) -- реакция системы на д-функцию.

3.3.2.3 Гармоническое воздействие

а) .

б) .

Такое воздействие позволяет:

1) При анализе вынужденного установившегося движения определить частотные характеристики системы.

2) Определив реакцию системы на гармоническое воздействие б) и разложив периодическое воздействие в ряд Фурье, с учётом принципа суперпозиций можно определить реакцию системы на это воздействие ().

3.3.2.4 Типовое воздействие “постоянная скорость”

, .

3.3.2.5 Типовое воздействие “постоянное ускорение”

, .

3.3.3 Динамическая точность

Реальные системы работают в условиях, когда воздействия могут быть случайными; при этом отсутствует установившееся состояние в системе, и важно оценить поведение системы в переходном режиме.

Тогда в качестве основной характеристики рассматривают динамическую точность. Мерой динамической точности часто служит среднее значение квадрата ошибки (или дисперсия ошибки).

3.3.4 Управляемость систем

Понятие управляемости означает, можно ли, вообще, управлять системой. Иногда это можно установить по структуре системы:

Пример № 1.

Система неуправляема, так как управление не управляет второй подсистемой.

3.3.5 Наблюдаемость

С качественной точки зрения под наблюдаемостью системы понимают способность состояния системы создавать выходной сигнал.

Пример № 2.

Система не наблюдаема, так как измеряется , а не измеряется.

Пример № 3.

1 подсистема -- управляема и наблюдаема.

2 подсистема -- управляема и не наблюдаема.

3 подсистема -- не управляема и наблюдаема.

4 подсистема -- не управляема и не наблюдаема.

Лекция №5. 25.02.2003

Раздел 4. Математические модели систем управления

4.1. Основные виды математических моделей

Математические модели могут быть:

1.) Линейными;

2.) Нелинейными

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Непрерывной (система дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);

2.) Дискретной (система разностных уравнений);

3.) Дискретно-непрерывной (сочетание непрерывной и дискретной систем).

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Стационарной;

2.) Нестационарной.

Математическая модель нестационарна, если хотя бы один из параметров системы изменяется с течением времени.

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) С сосредоточенными параметрами;

2.) С сосредоточенными и распределёнными параметрами.

1.) Физические параметры системы (например, масса, скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать), коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. В результате, математическая модель будет, например, системой дифференциальных уравнений в полных производных ().

2.) Если система содержит одну из подсистем (например, канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, то математическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальных уравнений в частных производных ().

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Детерминированной;

2.) Стохастической или со случайными параметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайной функцией или величиной).

и др.

4.1.1 Математические модели в области вещественной переменной (временной области)

4.1.1.1 Дискретные математические модели

4.1.1.1.1 Решетчатые функции

Решетчатая функция (РФ) -- функция, существующая в дискретны равноотстоящие друг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этими значениями аргумента.

Пример такой функции:

смотри рисунок б) лекции №3.

-- РФ,

Функции f(t) соответствует функция , ()

Одной и той же РФ соответствует множество огибающих непрерывных функций (смотри рисунок выше):

-- огибающие функции.

Если ввести безразмерное время , то будет соответствовать РФ .

Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы

Разность может быть прямой () и обратной ().

.

Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являются её суммы:

1) Полная ;

2) Неполная.

4.1.1.1.2 Разностные уравнения.

Связь между решетчатой функцией и её разностями устанавливают разностные уравнения, например:

Линейное разностное уравнение

(Iґ)

Или через дискреты РФ:

(I)

Уравнение (I) -- это алгоритм решения разностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях y и f и дискретах искомой РФ x в предшествующие моменты времени.

Коэффициенты уравнения (I) однозначно вычисляются из уравнения (I').

4.1.1.2 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы может быть получена на основе математических моделей подсистем, образующих данную систему.

4.1.1.2.1 Математическая модель системы

Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарную одномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами

Всего три подсистемы: объект , регулятор и элемент сравнения .

Объект -- динамическая система, дифференциальные уравнения которой могут быть записаны следующим образом:

Х -- любая линейная или нелинейная функция.

Составим уравнение регулятора:

Регулятор -- также динамическая система, при этом с учётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:

Примечание. Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влияния на регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь

Составим уравнение элемента сравнения:

Система уравнений , , -- это математическая модель рассматриваемой системы.

В общем случае это система нелинейных дифференциальных уравнений.

4.1.1.2.2 Линеаризация математической модели

Если нелинейности системы несущественны, то ими пренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.

Линейные модели используют обычно на этапе предварительного проектирования, они удобны для исследования.

Применяя соответствующий метод линеаризации, можно перейти от линейной модели к линеаризованной.

Рассмотрим один из этих методов:

он опирается на гипотезу малости отклонений “Д”-вариаций переменных х(t), y(t), r(t), f(t), от их значений, от их заданных или фиксированных значений “0” х₀(t), y₀(t), r₀(t), f₀(t), , например, в установившемся состоянии.

Рассмотрим уравнение объекта :

Полагая и , решения уравнения можно найти в виде , а уравнения в виде , тогда:

Лекция №6. 26.02.2003

Если X непрерывная и однозначная функция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х₀ , r₀ , f₀ :

.

Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-за их малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии после переходного режима при , ) после преобразований в операторной форме это уравнение () можно записать в следующем виде:

Здесь , а D_O, M_O, N_O --полиномы от оператора р такие, что:

;

;

, где:

;

;

.

Аналогично могут быть получены линеаризованные уравнения регулятора и устройства сравнения:

Исключая из системы уравнений , , переменные , и опуская индекс вариации Д, линеаризованная математическая модель системы примет вид:

(IIґ)

где:

;

;

,

где a₀ - a_n, b₀ - b_n, c₀ - c_n однозначно определяются коэффициентами б, в и г системы.

Тот же вид, но в развёрнутой форме:

(II)

4.1.2 Математические модели систем управления в комплексной области

4.1.2.1 Преобразование Фурье

Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f(t), т.е. функции, удовлетворяющие условию (1), можно представить в виде интеграла Фурье:

(2)

(3)

Это преобразование Фурье или комплексный спектр функции оригинала f(t).

Существуют функции, для которых не выполняется неравенство (1), например: [1(t)], e^-бt, e^бt, sinбt при б>0, tⁿ при n=1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа, являющееся обобщением преобразования Фурье.

4.1.2.2 Преобразование Лапласа непрерывных функций

Рассмотрим f₁(t)=f(t)e^-ct, c=const такая, что:

(4)

При этом для существования этого интеграла от функции f(t) пришлось потребовать выполнения условия f(t)=0 t<0.

c>c₀ (c₀ -- абсцисса абсолютной сходимости).

Для [1(t)] с₀=0

Для e^-бt с₀=б

Для e^бt с₀=-б

Для sinбt с₀=0

Тогда получим (5)

Это интеграл Лапласа или формула обращения в преобразовании Лапласа.

(6)

f(t)F(s)

4.1.2.3 Нули и полюсы изображения F(s)

F(s) -- дробно рациональная функция.

Корни полиномов R(s) и Q(s) определяют свойства изображения или свойства этой функции.

4.1.2.3.1 Нули изображения F(s)

Представим F(s) в следующем виде:

, а , значит F(s) имеет ноль кратности m в точке .

4.1.2.3.2 Полюса изображения F(s)

Полюса изображения F(s) -- это корни полинома знаменателя Q(s).

, где ,

а , т.е. изображение F(s) содержит полюс кратности n при .

На комплексной плоскости s нули обозначают “0”, а полюса “Х”.

4.1.2.4 Дискретное преобразование Лапласа

Данное преобразование применяется для решетчатых функций.

(7)

(7ґ)

4.1.2.5 Z-преобразование

Введём новую комплексную переменную z=e^st, тогда (7) можно представить в следующем виде:

? (8)!!!!

s=c+j?

Выбрав c>c₀ ряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будет соответствовать Z-преобразование. f[i]F(z).

Z-преобразование применяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f[i] прямая и обратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определения оригинала f[i] по его изображению не однозначна.

4.1.2.6 Основные свойства преобразования Лапласа и Z-преобразования

Свойства преобразования Лапласа	Свойства Z-преобразования
1. Свойство линейности:	1. Свойство линейности:
2. Теорема о конечном значении: Если функция s•F(s) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси, то	2. Теорема о конечном значении:
3. Теорема о начальном значении: Если , то	3. Теорема о начальном значении:
4. Теорема сдвига в области вещественной переменной: t-ф -- запаздывание (по оси вправо). t+ф -- упреждение (по оси влево).	4. Теорема сдвига в области вещественной переменной: , где k -- целое число, кратное периоду дискретности.
5. Свойство дифференцирования: Если начальные условия нулевые, то
6. Свойство интегрирования: при нулевых начальных условиях
	7. Теорема свёртки:

Лекция №7. 04.03.2003

8. Задача определения оригинала функции по её изображению:

а) Непрерывные функции

Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2.

б) Дискретные математические модели (для решетчатых функций)

Так как F(z) дробно рациональная функция, то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F(z) можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е.

Известно, что ?

f₀, f₁, f₂, … -- дискреты искомой решетчатой функции f[iT].

4.1.2.7 Математические модели в комплексной области

4.1.2.7.1 Дискретные математические модели

Применяя к уравнению (ў№) пункта № 4.1.1.1.2 Z-преобразование, с учётом свойств линейности и теоремы сдвига при нулевых начальных условиях получим:

(I^*)

4.1.2.7.2 Непрерывные математические модели

Применяя к уравнению (ўє) пункта № 4.1.1.2.2 преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, с учётом свойств линейности и дифференцирования получим:

(II^*)

4.1.3 Математические модели систем управления в пространстве состояний

МПС (Метод Пространств Состояний) применяется для исследования многомерных систем и ориентирован на использование компьютера.

В основу МПС положено понятие многомерного фазового пространства (или пространства состояний), по осям которого откладываются обобщённые фазовые координаты системы (или переменные состояния).

Состояние системы -- совокупность минимального количества параметров, полностью определяющих поведение динамической системы.

4.1.3.1 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы при этом приводится к стандартному виду (или форме Коши):

(1)

Система уравнений (1) -- это уравнение состояния в развёрнутой форме.

Соответствующая системе уравнений (1) структура системы:

В матричной форме систему уравнений (1) можно записать в следующем виде:

(2)

Здесь X, Y -- вектора соответственно состояния и управления (смотри выше):

A -- матрица системы; B -- матрица управления.

Уравнению состояния (2) соответствует следующая структура системы:

Система уравнений (1) и уравнение (2) соответствуют случаю, когда в качестве выходных переменных рассматриваются все переменные состояния.

В общем же случае количество выходных переменных зависит от рассматриваемой задачи и определяется линейной комбинацией переменных состояний и входных переменных (управляющих воздействий) .

Поэтому уравнение состояния системы в развёрнутой форме примет следующий вид:

(3)

Количество выходных переменных зависит от решаемой задачи.

Системе уравнений (3) будет соответствовать следующая структура системы:

В матричной форме уравнение состояния системы выглядит так:

(4)

Уравнению состояния (4) соответствует следующая структура системы:

Z(t) -- вектор выхода

С -- матрица системы; D -- матрица управления.

Пример 1.

Записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах, составить схему (структуру) системы в переменных состояния непрерывной системы, математическая модель которой следующая:

.

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

, , …, .

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

4. Составляем структуру системы в переменных состояния:



Пример 2.

Смотри условие примера 1, но .

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

, .

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутой форме Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

4. Составляем структуру системы в переменных состояния:

Пример 3.

По структуре системы в переменных состояния записать уравнения состояния в развёрнутой и матричной формах.

1.)

2.)

3.)

4.)

Лекция №14. 01.04.2003

Передаточная функция:

АФХ:

щ	0	+?
A(щ)	1	0
ц(щ)	0	-

ЛЧХ: а)

б)

	T -- постоянная времени. ж -- коэффициент относительного демпфирования. з -- угловая частота колебаний.

6.4. Интегрирующее звено

ММ:

Переходная функция:

 Передаточная функция:

АФХ:

щ	0	+?
A(щ)	?	0
ц(щ)	-	-

ЛЧХ: а) б)

	Если подсистема состоит из н последовательно соединённых интегрирующих звеньев, то есть , то наклон характеристики будет равен , а характеристика

будет проходить на уровне рад.

6.5 Дифференцирующее звено первого порядка

ММ: .

Переходная функция:

Передаточная функция:

АФХ:

щ	0	+?
A(щ)	1	?
ц(щ)	0	+

ЛЧХ: а) б)

	ЛЧХ этого звена является зеркальным отражением соответствующих ЛЧХ апериодического звена относительно оси частот.

6.6 Дифференцирующее звено второго порядка

ММ:

Переходная функция:

Передаточная функция:

АФХ: .

щ	0	+?
A(щ)	1	?
ц(щ)	0	+р

ЛЧХ: а)

б)

	ЛЧХ этого звена является зеркальным отражением соответствующих ЛЧХ колебательного звена относительно оси частот.

6.7 Идеальное дифференцирующее звено

ММ:

Переходная функция:

Передаточная функция:

АФХ:

щ	0	+?
A(щ)	0	?
ц(щ)	+	+

АФХ этого звена является зеркальным отражением относительно вещественной оси АФХ интегрирующего звена.

ЛЧХ: а) б)

	ЛЧХ этого звена является зеркальным отражением соответствующих ЛЧХ интегрирующего звена относительно оси частот.

Задание: реализовать такую типовую структуру в дискретной или аналоговой форме.

Во втором случае с помощью следующего простейшего четырёхполюсника:

	При R=0 математическая модель:

Получили структуру, состоящую из ТРЁХ типовых элементарных звеньев:

1) Усилительное звено с коэффициентом передачи T.

2) Идеальное дифференцирующее звено.

3) Апериодическое звено.

Следовательно, операция дифференцирования будет определяться в диапазоне частот, определяемом постоянной времени T.

Неминимально-фазовые типовые звенья.

6.8 Неустойчивое периодическое звено

ММ:

Переходная функция:

	Примечание: получить экспериментально характеристики неминимально-фазовых звеньев не удаётся, это можно сделать только теоретически (формально).

Передаточная функция:

АФХ:

Таким образом, A(щ) неминимально-фазовых и минимально-фазовых звеньев совпадают, а ц(щ) -- отличаются.

щ	0	+?
A(щ)	1	?
ц(щ)	- р	-

АФХ этого звена является зеркальным отражением относительно мнимой оси АФХ устойчивого апериодического звена.

ЛЧХ: а)

б)

Лекция №15. 02.04.2003

6.9 Неустойчивое колебательное звено

ММ: или .

Переходная функция:

Передаточная функция:

АФХ:

щ	0	+?
A(щ)	1	0
ц(щ)	0	+ р

АФХ этого звена является зеркальным отражением относительно вещественной оси АФХ устойчивого колебательного звена.

ЛЧХ: а)

б)

6.10 Неминимально-фазовое дифференцирующее звено первого порядка

ММ: .

Передаточная функция:

АФХ: .

щ	0	+?
A(щ)	1	?
ц(щ)	р	+

АФХ этого звена является зеркальным отражением относительно мнимой оси АФХ минимально-фазового дифференцирующего звена первого порядка.

ЛЧХ: а) б)

6.11 Неминимально-фазовое дифференцирующее звено второго порядка

ММ:

Передаточная функция:

АФХ: .

щ	0	+?
A(щ)	1	?
ц(щ)	0	-р

АФХ этого звена является зеркальным отражением относительно вещественной оси АФХ минимально-фазового дифференцирующего звена первого порядка.

ЛЧХ: а)

б)

6.12 Звено чистого запаздывания

Свойства звена чистого запаздывания (ЗЧЗ):

	Примеры: 1) Рецептор зрительного анализатора человека. 2) Любой канал связи. 3) Давление в трубопроводе.

ММ:

Передаточная функция:

АФХ:

ЛЧХ: а) б)

6.13 Звено чистого запаздывания

ММ:

Передаточная функция:

АФХ:

Раздел 7. Анализ устойчивости систем

В замкнутой динамической системе выходной сигнал не может появиться на входе мгновенно для противодействия входному сигналу. Это обусловлено тем, что энергия в подсистемах не может изменяться мгновенно, то есть существует запаздывание. Энергия колеблется относительно некоторого уровня и при определённых условиях система из источника подавления колебаний становится их генератором, то есть оказывается неустойчивой.

7.1 Понятие устойчивости по А. М. Ляпунову

(1892 год.)

Рассмотрим непрерывную многомерную систему в свободном движении, математическая модель которой следующая:

… (1)

Здесь X_i -- любая линейная или нелинейная функция, а x_i -- обобщённая фазовая координата или переменная состояния системы n-мерного порядка (фазовые координаты).

В n-мерном фазовом пространстве (пространстве состояний) в фиксированный момент времени x_i определяют состояние системы в виде точки с соответствующими координатами, например, при n=3:

	M(x) -- изображающая точка. В переходном режиме изображающая точка описывает некоторую траекторию, которую назовём фазовой.

Проекции вектора скорости изображающей точки на оси -- левые части уравнений (1), следовательно, о поведении системы в переходном режиме можно судить по правым частям уравнений (1).

Так, например, если n=2, имеем фазовую плоскость:

Исключая из этой системы время t, получим:

Интегрируя это уравнение, получим семейство фазовых траекторий (фазовый портрет) системы, каждая из которых соответствует определённому значению постоянной интегрирования.

Фазовый портрет полностью определяет основные свойства свободного движения системы.

	Пусть в начальный момент времени изображающая точка M(xi0) при t=0 начала двигаться по некоторой невозмущённой фазовой траектории и пусть в тот же самый начальный момент времени на неё подействовал мгновенный кратковременный импульс, который сместил эту точку в положение . В результате точка M будет двигаться по возмущённой траектории .

Таким образом, движение системы устойчиво, если при сдвиге начального положения изображающей точки на величину не более малой положительной величины (*) возмущённое движение в последующие моменты времени будет отличаться от невозмущённого на величину не более сколь угодно малой величины (**).

В противном случае движение системы не устойчиво.

Если при этом выполняется условие (***), то движение асимптотически устойчиво. Следовательно, по Ляпунову оценивается устойчивость системы при достаточно малых начальных отклонениях. Линейная стационарная система, устойчивая “в малом”, будет устойчива и “в большом”.

7.2 Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем

Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:

(1)

или разностного уравнения

(1ґ)

и пусть x -- это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие (2)

или (2ґ)

При каких условиях выполняется равенство (2)?

Уравнениям (1) и (1ґ) соответствуют характеристические уравнения:

… (3)

… (3ґ)

Если корни s_i уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом .

В общем случае корни являются комплексными s_i=б_i+jв_i.

1) Если б_k>0 A>? система не устойчива.

2) Если б_k<0 A>0 система устойчива.

3) Если б_k=0 A=c_k=const система нейтрально устойчива.

Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S.

Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3ґ) z_i были: |z_i|<1 … (!!)

Лекция №8. 05.03.2003

4.1.3.1.1 Решение уравнения состояния

(5)

Пусть при t=t₀ X(t₀)=X₀ (начальные условия). Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение уравнения (5) при известных начальных условиях может быть получено в следующем виде:

(6)

где M(t) -- фундаментальная или переходная матрица.

Решение уравнения (5) можно записать и в виде ряда Тейлора:

(7)

Производные в формуле (7) можно определить из уравнения (5):

т.е. (8)

Здесь (9)

е^At -- МАТРИЦИАНТ.

Можно сказать, что решение неоднородного уравнения состояния имеет вид:

(10)

4.1.3.2 Дискретные математические модели многомерной системы

Рассмотрим многомерный импульсный фильтр:

1 -- непрерывная часть системы;

4 -- формирователи.

В случае экстраполятора нулевого порядка (Э0П) управляющие сигналы y_p(t), действующие на непрерывную часть системы, будут кусочно-постоянными, т.е. y_p(t)= y_p[iT], iT ? t ? (i+1)T в скалярной форме или Y(t)=Y[iT] при iT ? t ? (i+1)T в векторной.