Моделирование в пакете Model Vision Studium колебаний материальной точки в поле кольца Тора

Размещено на http://www.allbest.ru/

13

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Моделирование в пакете Model Vision Studium колебаний материальной точки в поле кольца Тора

Содержание

Реферат

Введение

1. Исследование устойчивости бистабильных систем

1.1 Условие задачи №1

1.2 Результаты выполнения

2. Моделирование системы в пакете Model Vision Studium

2.1 Условие задачи №2

2.2 Результаты выполнения

Заключение

Список использованных источников и литературы

Реферат

БИСТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ, ДОМЕН, MVS, MAPLE, КАРТА ПОВЕДЕНИЯ, ЭКЗЕМПЛЯР КЛАССА, ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ.

Целью курсовой работы является более подробное, углубленное и в, некоторой степени исследовательское изучение наиболее важных разделов курса с помощью программного обеспечения персональных ЭВМ (математические инструментальные среды MathCAD, Maple V, пакет моделирования систем Model Vision Studium).

Основной задачей выполнения курсовой работы являются изучение и создание математической модели бистабильной системы «нагреватель - охлаждающая жидкость» и компьютерной модели динамики материальной точки в поле кольца Тора, а именно изучение поведения стационарных решений уравнения теплопроводности в характерных точках внутри диапазона бистабильности, построение фазового портрета, изучение компьютерного построения модели системы, а также представление системы в виде 3D-анимации.

Введение

В последнее время вычислительная техника приобретает всё большее значения в самых разных областях человеческой деятельности, начиная с повседневной жизни и заканчивая сложнейшими работами инженеров и учёных.

Вычислительная техника, и в частности компьютеры, облегчает задачи исследователей, связанных с математическими расчётами. Построение математической и компьютерной модели системы, работать в этой области стало проще, поскольку математические расчёты и выкладки без применения ЭВМ занимают много времени.

теплопроводность компьютерный бистабильность анимация

1. Исследование устойчивости бистабильных систем

Слова "бистабильная система" говорят сами за себя - это система с двумя положениями устойчивого равновесия. Простой механический пример - это движение материальной точки в потенциале с двумя минимумами (см. рисунок 1а). Если на частицу действует еще и сила трения, то ясно, что какие бы мы ни выбрали начальные условия, колебания, в конце концов, затухнут, частица "свалится" в одну из потенциальных ям и будет находиться там неограниченно долго.

Рисунок 1 - Бистабильная система и перескок под действием внешней силы

Для того, чтобы частица все-таки попала в другую потенциальную яму, надо приложить внешнюю силу. Если эта сила достаточно велика, то она "вытащит" частицу из первой ямы и перекинет ее во вторую. Легко понять, насколько велика должна быть эта сила. На языке потенциала "приложить внешнюю силу" означает добавить линейно растущий потенциал, как это показано на рисунке 1б. Если V(x) - бистабильный потенциал, то внешняя сила должна превосходить величину F₀ = |V'(x)|, взятой в точке перегиба, т.е. там, где возвращающая сила, создаваемая потенциалом, самая большая. Тогда суммарный потенциал модифицируется так, как показано на рисунке, и частица скатится во вторую яму.

Если теперь внешняя сила будет периодична по времени, то в результате наша частица будет "скакать" из одной ямы в другую и обратно. Итак, что мы получили: наша бистабильная система откликается на сильное внешнее воздействие. При этом частота, с которой система перескакивает из одного устойчивого состояния в другое, совпадает с частотой внешнего воздействия. Пока здесь нет ничего удивительного. Если внешнее воздействие очень сильное, то система будет послушно повторять все изменения и колебания этой силы.

Посмотрим, что будет, если внешнее воздействие окажется не столь сильным, т.е. F < F₀. Тогда частица не сможет покинуть яму и так и останется в ней, несмотря на внешнее воздействие. В результате мы получили, что наша система обладает неким порогом чувствительности: при внешней силе F > F₀ система начинает перескакивать из одного состояния в другое с частотой внешней силы, а при F < F₀ система не чувствует внешнее воздействие вовсе. (В принципе можно возразить, что в этом случае частица будет колебаться под действием внешней силы внутри одной ямы. Однако чаще всего, наблюдая реальную бистабильную систему, мы можем сказать только одно - в каком из двух состояний она находится. В этом случае, при F < F₀ мы будем просто видеть, что система "застыла" в одном из своих положений и все. Именно такой случай мы имеем в виду.)

Итак, вывод: у бистабильной системы существует некий порог чувствительности к внешним воздействиям. Слишком слабые, т.е. подпороговые воздействия остаются для системы незамеченными.

Рассмотрим вновь нашу бистабильную систему в отсутствии внешних сил. Система замерла в одном из положений равновесия. Пусть теперь на частицу действует случайная сила, то есть давайте наложим на систему случайное внешнее воздействие, попросту говоря, шум. Под действием этой силы частица будет случайно колебаться. При этом может оказаться и так, что частица, блуждая по одной потенциальной яме, вдруг перескочит и во вторую. Среднее время между такими перескоками равно: ? = exp(?V / D). Здесь ?V - высота барьера, разделяющего две потенциальные ямы, а D - интенсивность шума. Видно, что чем сильнее шум, тем меньше это время, т.е. тем чаще частица перескакивает из одной ямы в другую. Если изобразить зависимость координаты частицы от времени, то получится приблизительно такая картина, как на рисунке 2.

Рисунок 2 - Отклик системы на случайную внешнюю силу

Квантовый стохастический резонанс. Совсем недавно, во второй половине 90-х годов, возник вопрос о возможности существования стохастического резонанса на квантовом уровне. Ожидается, что квантовое "дрожание частиц", которое существует всегда, даже при абсолютном нуле температуры, и которое играет здесь роль шума, будет способствовать детектированию квантового сигнала, распространению информации и т.д.

Стохастический резонанс в иных системах. До этого речь шла исключительно о бистабильных системах. Однако недавно было осознано, что это явление - совершенно общего плана, и оно может возникать и в системах, отличных от бистабильных. Главное требование - это наличие какого-либо порога. Примером такой системы может служить потенциал, изображенный на рисунке 3. В этом случае перескоки происходят не между двумя устойчивыми положениями равновесия, а между "основным" и "возбужденным" состояниями системы.

Рисунок 3

1.1 Условие задачи №1

Имеется система «нагреватель - охлаждающая жидкость». Дано дифференциальное уравнение температурного поля этой системы:

,

где W - тепловая нагрузка;

u, s - периметр и площадь сечения нагревателя;

c, , - теплоемкость, плотность, теплопроводность нагревателя;

Q(T) - плотность теплового потока в охладитель;

,

T1 - номер варианта по списку группы;

T2 - номер варианта + номер группы (03);

Т3 - номер варианта + 4 * номер группы.

а).Найти соответствующие температуру и размер домена: Tmax, ?L и построить профиль «горячего» домена.

б).Построить фазовый портрет стационарных решений уравнения.

в).Для случая W не const, а прямой, имеющей уравнение W=(T-T₀), (система «сверхпроводник- жидкий гелий») найти значение коэффициента теплоотдачи .

Данные по варианту: a = 1, ? = 1, c = 1, ? = 1.

Номер моего варианта - 9, следовательно:

T1 =9, T2=12, Т3 =21

1.2 Результаты выполнения

Для того, чтобы выполнить эту задачу, во-первых, нужно решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка - дифференциального уравнения температурного поля этой системы:

с начальными условиями: T(0)= T_max , dT(0)/dx=0.

Все параметры дифференциального уравнения примем равными 1.

Во-вторых, изменяя начальные условия (изменять будем значение T_max в пределах от 9 до 21) необходимо наблюдать за графиком решения, отслеживая качественное изменение его фазового портрета.

Решение, описанное выше, в математическом пакете MatCad:

Тепловой поток в центре домена нулевой:

Окончательный график выглядит следующим образом (рисунок 4):

Рисунок 4 Окончательный график

Из графика видно, что домен имеет размер ?L=0.8, а температуру в центре Tmax=15.25.

Теперь построим фазовый портрет (рисунок 5):

Рисунок 5 Фазовый портрет

2. Компьютерное моделирование системы в пакете Model Vision Studium

Компьютерное моделирование используют для исследования системы до того, как она спроектирована, с целью определения чувствительности ее характеристик к изменениям структуры и параметров объекта моделирования и внешней среды. На этом этапе проектирования системы компьютерное моделирование используют для анализа и синтеза различных вариантов и выбора максимально эффективного при принятых ограничениях. Также компьютерное моделирование можно применять после проектирования и внедрения системы, то есть при ее эксплуатации для дополнения натуральных испытаний и получения прогноза эволюции системы во времени.

Программный комплекс Model Vision Studium (MVS) как и ближайшая к нему по функциональным возможностям подсистема Simulink пакета Matlab, предназначен для моделирования сложных динамических систем. Но, в отличие от Simulink, MVS является представителем подхода к решению проблемы моделирования сложных динамических систем, основанного на использовании схемы гибридного автомата. Этот подход основан на использовании нового типа объекта - активного динамического объекта и специальной формы наглядного представления гибридного поведения - карты поведения.

Использование карты поведения при описании переключений состояний, а также непосредственное описание непрерывных поведений системы системами алгебро-дифференциальных уравнений предоставляет большие возможности в описании гибридного поведения со сложной логикой переключений.

2.1 Условие задачи №2

Создать в пакете MVS модель следующей системы:

Материальная точка массы m = 1 кг находится в поле тяготения тонкого кольца массы M = 1020кг и радиуса R = 1км. В начальный момент времени точка помещается в точку Q₁, расположенную на оси кольца на расстоянии x₀ < R от плоскости кольца и начинает совершать колебательные движения (рис. 6):

Рисунок 6 Модель колебания мат. точки в поле кольца Тора

Если x₀ < 0,1R, то колебания x описываются следующим уравнением:

(1)

Если x₀ 0,1R или в результате колебаний выполняется условие x 0,1R, то колебания описываются следующим уравнением:

(2)

где G - гравитационная постоянная. Пусть x₀ = 1м.

Каждые 15 секунд радиус кольца поочередно мгновенно расширяется и сжимается в 10 раз. Если точка отклоняется от кольца на расстояние, превышающее в 10 раз его первоначальный радиус, система разрушается.

Построить модель данной системы, а также модель системы, состоящей из двух систем "материальная точка - кольцо", несвязанных друг с другом. Вторая система "материальная точка - кольцо" идентична первой, за исключением того, что в ней радиус кольца изменяется в 5 раз каждые 20 секунд.

2.2 Результаты выполнения

Начальные значения объявим в разделе Параметры. А все константы, использующиеся в уравнениях задачи в разделе Константы. Все переменные, которые используются в процессе вычислений, описаны в разделе Внутренние переменные.

После описания всех переменных и констант проект Кольца_Тора2 выглядит следующим образом (рисунок 7):

Рисунок 7 - Проект Кольца Тора2

Алгоритм поведения системы я отобразил на Карте поведения (рисунок 8). Система имеет 2 состояния:

Состояние, в котором вычисляется дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле кольца Тора, при том, что точка отстоит от кольца на расстояние превышающее 0.1 от радиуса кольца (Колебание_2)

Состояние, в котором вычисляется дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле кольца Тора, при том, что точка отстоит от кольца на расстояние менее 0.1 от радиуса кольца (Колебание_1)

Рисунок 8 - Карта поведения системы

Переход в состояние 1 или 2 зависит от расстояния точки до кольца тора. Каждые пять секунд происходит изменение радиуса кольца Тора . Для каждого состояния описана своя система уравнений, по которым происходит изменение переменных системы (рисунок 9).

Рисунок 9 - Системы уравнений состояний класса Кольца_Тора2

Графически эту модель можно представить в виде 3D-анимации (рисунок 10), которая будет включать кольцо и материальную точку расположенную на оси кольца.

Рисунок 10 - 3D-анимация системы Кольца_Тора2

Заключение

В результате выполнения курсовой работы были созданы математическая модель бистабильной системы «нагреватель - охлаждающая жидкость» и компьютерная модель колебания материальной точки в поле кольца Тора.

В первой задаче изучено поведение стационарных решений уравнения теплопроводности в характерных точках внутри диапазона бистабильности, построены фазовые портреты, найден коэффициент ? в уравнении тепловой нагрузки.

Во второй задаче изучено компьютерное построение модели системы, представление системы в виде 3D-анимации.

Список использованных источников и литературы

1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (учебник). - М.: Высш.шк., 2007. - 343с.

2. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование сложных динамических систем. - СПб.: БХВ, 2001. - 441с.

3. Методические указания по выполнению курсовых и дипломных работ для студ. спец. 220400 - Программное обеспечение ВТ и АС / Сост. И.Д. Никитенко, С.В. Усатиков, А.Б. Боровский - Краснодар, изд. ИМСИТ, 2004. - 56с.

4. Прохоров Г.В. Пакет символьных вычислений Maple V - М.: Изд.МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.

5. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272с.

Размещено на Allbest.ru