Численное решение уравнения теплопроводности
Разностная схема решения уравнения теплопроводности. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl и в пакете математических расчётов MathCAD. Расчёт методом прогонки. Изменение пространственной координаты.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.03.2014 |
| Размер файла | 248,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный Минерально-Сырьевой университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности
Автор: студент гр. НГ-10-1 /Еманакова А.А./
Проверил:
руководитель работы доцент /Быкова О.Г./
Санкт-Петербург
2012
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный Минерально-Сырьевой университет
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______ /___________/
(подпись) (Ф.И.О.)
“__” __________ 2012_ г.
Кафедра Информатики и компьютерных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
ЗАДАНИЕ
студенту группы НГ-10-1 Еманаковой А.А.
1. Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности
2. Исходные данные к работе: Найти приближенное решение уравнения теплопроводности для значений аргументов , при заданных начальном и граничных и условиях средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD. Принять , шаг изменения пространственной координаты равным 0.2, временной - 0.2.
Получить максимальное и минимальное значения температуры в рассмотренной области, построить графики изменения температуры в точки области x=1.2 и при значении времени t=0,6.
3. Содержание пояснительной записки: Аннотация, содержание, введение, решение поставленной задачи, выводы, использованная литература
4. Перечень графического материала: 19 рисунков
5. Срок сдачи законченной работы ____ ___________ 2012_ г.
Руководитель работы: доцент / Быкова О.Г. /
Дата выдачи задания: 5.09.2012
Аннотация
математический расчет mathcad eхсеl
В данном курсовом проекте рассмотрено решение уравнения теплопроводности. Для этого предлагается использовать численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. В специальной части проекта представлено решение уравнения разностным методом. Проект содержит пояснительную записку объемом 19 страниц, включая 19 рис.
Abstract
In diesem Kurs Projekt gilt als eine Lцsung der Wдrmeleitungsgleichung. Zu diesem Zweck werden die numerischen Methoden zur Lцsung von Differentialgleichungen in partiellen Ableitungen. Ein besonderer Teil des Projekts prдsentierte eine Lцsung der Differenz-Methode. Das Projekt enthдlt eine Begrьndung von 19 Seiten, davon 19 Abbildung.
Оглавление
- Введение
- 1. Разностная схема решения уравнения теплопроводности
- 2. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl
- 3. Численное решение уравнения теплопроводности в пакете математических расчётов MathCAD
- 4. Анализ результатов расчета
- Заключение
- Список литературы
Введение
Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если число очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в точке и т.д. Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных молей, процесса переноса в газах, квантовой механики и многие другие. Независимыми переменными в физических задачах задаются, как правило, время и координаты. Бывают и другие переменные, например, скорости частиц в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных. Полная постановка задачи содержит дифференциальное уравнение и дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение из семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия задаются, как правило, на границе рассматриваемой области. Если одной из независимых переменных является время, то решение ищут в некоторой пространственной области на отрезке времени . В этом случае дополнительные условия, заданные при называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе области - граничными или краевыми.
В курсах уравнений математической физики изложен ряд методов, позволяющих найти точное решение для некоторых классов задач. Точные методы позволяют получить явное выражение решения через начальные данные, что облегчает дальнейшие действия с решением. Точные методы полезны, но применимы для очень узкого класса задач. Численные методы являются основным способом решения дифференциальных уравнений в частных производных.
1. Разностная схема решения уравнения теплопроводности
Рассмотрим численное решение уравнения теплопроводности, где
u- Температура
x- пространственная координата
t- Время
- коэффициент температуропроводности
(1.1)
Решение нужно получить для значений аргументов и . В начальный момент времени (t=0) известно распределение температуры
(1.2)
Задаются также значения функции на концах промежутка интегрирования пространственной координаты, т.е
; (1.3)
Произведем замену частных производных конечными соотношениями:
и (1.4) ,
где приращение аргументов по времени и по пространственной координате принимаются постоянными, равными и
Поставляя соотношения (1.4) в дифференциальное уравнение с частными производными (1.1), получаем разность уравнения для искомого решения на сетке значений аргумента по пространственной 0.4 и временной -0.2 переменным:
(1.5)
Разность первого порядка по времени заменяется разностями
(1.6)
Разность второго порядка по пространственной координате заменяется разностями
(1.7)
Аналогичные разностные соотношения делений применились при решении краевой задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Поставив соотношение (1.6) и (1.7) в уравнения (1.5) , приходим к системе алгебраических уравнений относительно значений температуры в узлах :
( 1.8)
Где i=1,2,… m-1 и j=1,2,…n. Здесь m и n число делений промежутка изменения пространственной и временной переменных.
Уравнения (1.8) позволяют вычислить решение во внутренних точках сетки области определения решения. Число уравнений системы (1.8) меньше числа неизвестных. Недостающие уравнения находятся из начального (1.2) и граничных (1.3) условий.
Начальное условие (2) при t=0 в точках xi имеют вид:
(1.9)
Для изменения на концах изменения пространственной переменной (1.3) имеем:
; (1.10)
Если у нас шаг по пространственной координате равным 0.2, шаг по временной координате - 0.2. Значит, координаты x, в которых определяется решение, равняются x=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1; 1.2; 1.4; 1.6.
Временная координата t принимает значения t=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.
(1.11)
Здесь введены обозначения
(1.12)
рассчитаем наши
и
граничные условия имеют вид:
из (1.2) и (1.3) :
( 1.13)
(1.14)
На каждом временном слое необходимо решить систему (1.11) из четырнадцати уравнений. Перепишем систему (1.13) в развернутом виде:
(1.15)
(1.16)
(1.17)
2. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl
При решении системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки в табличном процессоре Microsoft Excel исходную систему проводим к виду (1.16), когда коэффициент в первом уравнении перед неизвестной равняется единице. Для этого разделим первое уравнение системы на коэффициент при второй неизвестной . В столбцы таблицы Microsoft Excel записываем номера уравнений системы, значения свободных частей уравнений системы, значения свободных частей уравнений системы и коэффициенты перед элементами под главной диагональ, на главной диагонали и над главной диагональю матрицы коэффициентов системы. В следующих двух столбцах вычисляем значения вспомогательных коэффициентов . Последний в таблице столбец предназначается для вычисления решения системы .
Для численного решения уравнения теплопроводности потребуется многократное решение системы линейных алгебраических уравнений (1.16) методом прогонки. При этом ясно, что матрица коэффициентов перед неизвестными системы одинакова и ее элементы не зависят от значения пространственной и временной координат в узлах сетки. Из формул (1.17) следует, что и вспомогательные коэффициенты также будут одинаковыми при решении всех систем. Эти коэффициенты вычислим один раз и далее будем на них только ссылаться в формулах. Поэтому для решения уравнения теплопроводности расположим исходные данные несколько в другом порядке: те величины, которые не будут меняться при повторных расчетах, запишем в левых столбцах таблицы, а те, что при повторных расчётах меняются - в правых (рис 2.1). Так что порядок столбцов в решении примем следующий: в первой заносим значения пространственной координаты, в которых вычисляется решение; во втором - номер уравнения; третий, четвертый, пятый столбцы будут располагаться вычисленные значения коэффициентов ; в седьмом столбце будем вычислять значения температуры в узловых точках f(xi) в соответствии с начальными условиями задачи (1.9) (рис.2.1)
На этом завершается подготовительная работа поиска решения. Все следующие столбцы таблицы будут содержать меняющиеся решения системы. Поэтому в следующих трех столбцах будем производить вычисление тех величин, которые будут меняться при решении системы для следующего временного слоя: правая часть уравнений системы , вспомогательные коэффициенты и температура на следующем временном слое .
Производим вычисление в первых столбцах таблицы, чтобы обеспечить наличие всех исходных данных для расчета. (Рис.2.1,2.2) .
Рис. 2.1. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u0 и u1 (режим отображения чисел)
Рис. 2.2. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u0 и u1 (режим отображения формул)
Значение и вычисляются из краевых условий задачи (1.13) и (1.14), и заносятся в соответствующие ячейки таблицы. Значения температуры в узлах нулевого временного слоя решения вычисляются из начальных условий (1.9)
Далее вычисляются значения свободного столбца системы (1.16) и вспомогательных коэффициентов (Рис 2.1). Все ссылки на ячейки с не изменяющимися в ходе расчета данными являются абсолютными для обеспечения их неизменности при дальнейшем копировании расчетных формул. Прямой ход метода прогонки завершен.
Выполняя обратный ход метода прогонки, получим значение температуры на первом временном слое в столбце j таблицы. (Рис. 2.1).
Рис. 2.3. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u2, u3 (режим отображения чисел)
Рис. 2.4. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u2, u3 (режим отображения формул)
Получили значение температуры на первом временном слое, т.е. при j=1.Для получения решения во втором временном слое j=2 нужно решить систему (1.16), свободный столбец которой содержит температуру первого слоя в узлах, т.е. полученные в столбце j величины. Следует повторить вычисление столбца свободных членов, вспомогательных коэффициентов и обратным ходом получить значения температуры в узлах для второго временного слоя. Значит, можно скопировать диапазон с вычислениями в этих трех столбцах, т.е. H5:J11 и вставить в следующие столбцы, т.е. столбцы K, L, M таблицы. (Рис.2.3-2.6)
Рис. 2.5. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения чисел)
Рис. 2.6. Исходные данные расчёта методом прогонки, вычисление u4, u5 (режим отображения формул)
Полученные значения температуры сводим в единую таблицу (Рис.2.7).
Рис.2.7. Полученное решение (режим отображения чисел)
Рис.2.8. Полученное решение (режим отображения формул)
График изменения температуры в точке области x=1,2 и при значении времени t=0,6
Строим графическое представление полученного решения (Рис.2.9).
Рис.2.9. Графическое представление решение уравнения теплопроводности
3. Численное решение уравнения теплопроводности в пакете математических расчётов MathCAD
Начиная решение, введем исходные данные и вычислим значения температуры на нулевом временном слое по начальными условиями (1.9). Далее зададим матрицу коэффициентов системы - матрица А и столбец свободных членов (1.16). Находим решение системы, т.е. температура на первом временном слое u1, и показываем результат вычислений (рис 2.1).Определенна температура для внутренних узлов сетки. Для того, чтобы найти температуру на втором временном слое нужно решить систему с измененным столбцом свободных членов. Для получения решения на втором временном слое нужно пересчитать свободный столбец системы и снова ее решить. Особенность вычисления в пакете MathCAD является то, что индексы у векторов отсчитываются от нуля, поэтому появляется несоответствие в записи формул. Решение для второго слоя u2 приведено на рис.2.3.
Рис 3.1. Решение уравнения теплопроводности на первом временном слое
Рис 3.2. Решение уравнения теплопроводности на втором временном слое
Рис 3.3. Решение уравнения теплопроводности на третьем временном слое
Повторяя вычисление столбца свободных членов и решение системы еще 4 раза, получим u1, u2,u3, u4,u5 и u6 содержание значения температуры во внутренних точках сетки. Далее предстоит собрать в одну матрицу начальные значения, краевые и вычисленные во внутренних узлах.
Рис 3.4. Решение уравнения теплопроводности на четвертом временном слое
Рис 3.5. Решение уравнения теплопроводности на пятом временном слое
Рис. 3.6. Результат решения уравнения теплопроводности
Рис. 3.7 Графическое представление решения
4. Анализ результатов расчета
Решение, полученное средствами обоих пакетов, совпадает, что подтверждает правильность выполненных расчетов. Решение позволяет ответить на ряд вопросов о характере распределения температуры в области. Температура изменяется в области получения решения монотонно, без разрывов. Можно определить наименьшую и наибольшую температуру и их расположение в области, например как рис.4.1.Можно проследить распределение температуры в определёние температуры изменение в определенный момент времени (например, как на рис. 4.2), а также температуры в некоторой точке области за промежуток времени (например, как на рис 4.3).
Рис 4.1. Анализ решения на максимальное и минимальное значения
Рис.4.2. График изменения температуры в момент времени t=0.6
Рис.4.3. График изменения температуры в точке x=1.2
Заключение
Полученное решение, выполненное в пакетах Microsoft Excel и MathCad, совпадает, что подтверждает правильность выполненных расчетов. Решение позволяет ответить на вопросы о характере распределения температуры в области. Температура изменяется в области получения решения монотонно, без разрывов. Можно определить наименьшую и наибольшую температуру и их расположение в данной области (рис.4.1). Можно проследить распределение температуры в определенный момент времени (Рис. 4.2), а также температуры в некоторой точке области за промежуток времени (Рис. 4.3).
Список литературы
1. Быкова О.Г. Информатика. Математические методы в процессах добычи нефти и газа: методические указания по выполнению курсовой работы. Спб,2010. 39 с.
2. Быкова О.Г. Информатика. Работа в пакете MATHCAD: методические указания к выполнению лабораторных работ. СПб, 2005.46 с.
3. Быкова О.Г. Информатика. Решение нелинейных и дифференциальных уравнений: методические указания к выполнению практических и лабораторных работ. СПб, 2009.70с.
4. Быкова О.Г. Информатика. Вычисления в Microsoft Excel: методические указания к самостоятельной работе. СПб, 2008.58с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Дифференциальные уравнения как уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Решение операторным методом, с помощью рядов, методом Эйлера.
курсовая работа [301,4 K], добавлен 27.03.2011Разработка программы на языке С++ для решения дифференциального уравнения Лапласа в прямоугольной области методом сеток. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, построение сетки и итерационного процесса. Листинг и результат программы.
курсовая работа [307,5 K], добавлен 30.04.2012Составление программы и численное решение краевой задачи нестационарной теплопроводности методом конечных разностей. Определение начальных и граничных условий, физические условия однозначности. Реализация программы на языке программирования Pascal.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 08.07.2013Математическое описание алгоритмов схемы и операций для уравнения Лапласа. Изучение разностной схемы "крест" для нахождения численного решения эллиптического уравнения, задача Дирихле. Использование указателей в среде Matlab для решений методом Гаусса.
дипломная работа [859,3 K], добавлен 23.10.2014Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Решение дифференциального уравнения N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения, методом интегрирования и операторным методом для значений аргументов при заданных начальных условиях и нулевых уравнения 4–го порядка.
практическая работа [806,9 K], добавлен 05.12.2009Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого и второго порядка методом Эйлера и Рунге-Кутты и краевой задачи для ОДУ второго порядка с применением пакета MathCad, электронной таблицы Excel и программы Visual Basic.
курсовая работа [476,2 K], добавлен 14.02.2016Решение циклических программ и программ вычисления функции с условием. Уравнение в табличном редакторе Microsoft Excel и в Turbo Pascal. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников, трапеции, Симпсона. Линейные и нелинейные уравнения.
курсовая работа [233,6 K], добавлен 27.12.2009Этапы численного решения нелинейных уравнений заданного вида: отделение (изоляция, локализация) корней уравнения аналитическим или графическим способами, уточнение конкретного выделенного корня методом касательных (Ньютона). Решение в системе MathCad.
курсовая работа [271,6 K], добавлен 22.08.2012Тестирование модуля отыскания корня уравнения методом половинного деления. Схема алгоритма тестирующей программы. Численное интегрирование по методу Симпсона с оценкой погрешности по правилу Рунге. Проверка условий сходимости методов с помощью MathCAD.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.02.2011
