Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт - Энергетический институт

Направление- 140100 Теплоэнергетика

Кафедра - ТПТ

Отчет

по практическому занятию №1

«Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности»

Исполнитель:

Студент, гр. 5б14 Шустов А.М.

Руководитель:Барановский Н.В.

Томск -2013

Содержание

Цель практического занятия

Теоретические сведения

Метод конечных разностей (МКР)

Практическая часть

Результаты вычислений

Вывод

Список литературы

Цель практического занятия:

Написать программу и численно решить краевую задачу нестационарной теплопроводности методом конечных разностей.

Задание №2

Уравнение нестационарной теплопроводности

Начальные условия:

t=0; T=;

Граничные условия:

x=0; T=;

x=Lx; T=;

Параметры задачи: число узлов N = 21; время расчета con = 30 с; толщина пластины Lx = 0,2м; коэффициент теплопроводности 384 Вт/(м•К); плотность 8800 кг/; коэффициент теплоемкости c = 381 Дж/(кг•К); начальная температура = 373 К; температура на левой границе = 323 К; температура на правой границе = 673 К;

Теоретические сведения

Теплопроводностью называется молекулярный перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном распределении температур. В этом случае теплота передается за счет непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными электронами.

Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:

Это уравнение устанавливает связь между временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь - плотность, c - удельная теплоемкость, - коэффициент теплопроводности, x,y,z,t,T) - мощность внутренних источников тепловыделения. Чтобы выделить конкретный вариант развития процесса, необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия. Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики тела , , c. Временные (начальные условия) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Метод конечных разностей (МКР)

Идея МКР состоит в том, что вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, которую решают численными методами с помощью ЭВМ.

Для того чтобы дать полное математическое описание рассматриваемой задачи, необходимо задать начальные и граничные условия, а также физические условия однозначности.

Пластина разбивается на N-1 равных промежутков, т.е. строится конечно-разностная сетка.

Определяется значение температуры в i-ом узле в момент времени как ( - шаг интегрирования по временной координате, - номер шага по времени). Дифференциальные операторы в уравнении теплопроводности заменяются на их конечно-разностные аналоги.

В результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями, а также упрощения полученных систем линейных алгебраических уравнений, выводятся трехточечные разностные уравнения второго порядка.

(1)

Предполагая, что существуют такие наборы чисел при которых

(2)

получаем формулы для определения прогоночных коэффициентов :

; (3)

Затем по формуле (2) последовательно находятся , при условии, что найдено из правого граничного условия. Таким образом, решение уравнений описываемым способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трем формулам: нахождение прогоночных коэффициентов по формулам (1), и затем получение неизвестных по формуле (2).

Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы в процессе вычислений не возникло ситуаций с делением на нуль, а при больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.

Практическая часть

Ниже представлена блок-схема для решения поставленного уравнения нестационарной теплопроводности, методом конечных разностей.

Программа была реализована на языке программирования Pascal. Ниже представлен исходный код программы.

Uses crt;

const N=21;L=0.2;y=384;p=8800;xc=381;T0=273;T1=323;T2=673;con=30;

type

vector= array[1..21] of real;

Var

i:integer;

T, alfa, beta: vector;

A,B,C,F,tau,h,time: real;

g:text;

BEGIN

h :=L/(N-1);

tau:=con/100;

for i:=1 to N do

T[i]:=T0;

time:=0;

while time<con dobegin

time:=time+tau;

alfa[1]:=0;

beta[1]:=T1;

for i:=2 to N-1 dobegin

A:=y/sqr(h);

B:=2*y/sqr(h)+p*xc/tau;

C:=y/sqr(h);

F:=-p*xc*T[i]/tau;

alfa[i]:=A/(B-C*alfa[i-1]);

beta[i]:=(C*beta[i-1]-F)/(B-C*alfa[i-1]);

end;

T[N]:=T2;

for i:=N-1 downto 1 do

T[i]:= alfa[i]*T[i+1]+beta[i];

end;

Assign(g,'teplo.dat');

Rewrite(g);

for i:=1 to N do

writeln(g,'X= ', h*(i-1):8:3,' ',T[i]:10:5);

close(g);

readln;

END.

Результаты вычислений

Представим результаты вычислений в виде графической зависимости температуры от пространственной координаты. Построение выполнено в графическом редакторе OriginPro.

Рис. 4. Зависимость температуры пластины от пространственной координаты.

Вывод

В данной работе был реализован метод конечных разностей на примере уравнения нестационарной теплопроводности. Основываясь на результатах работы программы, а также заранее известных ответах, можно сделать вывод что, программа написана верно, выходные данные являются достоверными, и могут быть использованы на практике.

По результатам работы программы был построен график зависимости температуры от пространственной координаты. График нелинейный, и возрастает схоже с параболической зависимостью.

Список литературы

конечная разность программа теплопроводность

1. Кузнецов Г.В., Шермет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности. - Томск: ТПУ, 2007. - 172с.

2. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 2008. - 480 с.

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994. - 544с.

Размещено на Allbest.ru