Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом

Характерной особенностью различных разностных методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.

1. Заменить область непрерывного изменения аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множество точек называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества - узлами сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.

2. Заменить в узлах этой сетки производные искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного дифференцирования.

3. Проверить условие аппроксимации разностной схемы.

4. Доказать устойчивость построенной разностной схемы. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о теореме доказанной ниже.

В результате получилась система алгебраических уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных к алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной функцией.

Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями.

Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки, разностной схемы и сеточной функции.

Обозначим

- искомая функция, ,

- открытая область с границей ,

- сетка на , где h - вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на сетке.

- сеточная функция, совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачи во всех узлах сетки , называемая точным решением на сетке или точным сеточным решением.

Теперь рассмотрим примеры сеток.

Пример 1.

Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0, 1] на N равных частей. Расстояние между соседними узлами назовем шагом сетки. Точки деления - узлы сетки. Множество всех узлов

и составляет сетку (рис. 1), в данном случае введенную на отрезке.

В это множество можно включить граничные точки . Обозначим

На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного аргумента y будем рассматривать функцию дискретного аргумента . Значения этой функции вычисляются в узлах сетки ,а сама функция зависит от шага сетки h как от параметра.

Пример 2.

Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим отрезок . Вводя произвольные точки , разобьем его на N частей. Множество узлов образует неравномерную сетку . Расстояние между соседними узлами шаг сетки, равно и зависит уже от номера узла, т. е. является сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют условию нормировки

Затем рассмотрим пример замены в узлах сетки производные искомой функции разностными отношениями.

Для начала определим разностные отношения, которые будут использоваться в дальнейших примерах.

, (1.1.1)

, (1.1.2)

(1.1.3)

Аналогично получаются приближённые разностные аналоги для частной производной по переменной t:

, (1.1.4)

, (1.1.5)

(1.1.6)

Для приближенного вычисления частных производных второго порядка также можно использовать формулы численного дифференцирования, например,

(1.1.7)

Пример 3

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Требуется найти функцию , определённую, непрерывную и имеющую частные производные первого порядка в области удовлетворяющую дифференциальному уравнению

(1.1.8)

и начальному условию

, . (1.1.9)

Здесь Т - заданная постоянная, а и - заданные функции. Если эти функции являются непрерывными, то задача будет иметь единственное решение - функцию . Это решение задачи Коши мы будем называть точным.

Введём в области D сетку:

Рис. 1

Здесь h и - заданные шаги сетки, а квадратными скобками обозначена операция вычисления целой части вещественного числа.

Будем искать приближённое решение этой задачи на сетке D. Поскольку является точным решением нашей дифференциальной краевой задачи, в каждом узле сетки будет выполняться дифференциальное уравнение

и в каждом узле, лежащем на нижней границе области D (), будут выполняться начальные условия

.

Заменим частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, разностными отношениям (1.1.4) и (1.1.1) и получим в результате систему приближённых равенств, связывающих значения функции в узлах сетки:

(1.1.10)

, (1.1.11)

Для вычисления приближённого решения мы получили следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(1.1.12)

,

, (1.1.13)

Для решения системы (10.1.12) - (10.1.13) выразим из (1.1.12) и получим рекуррентную формулу:

, (1.1.14)

.

Зная , по этой рекуррентной формуле при последовательно находим , , …, . Таким образом, система (1.1.12) - (1.1.13), действительно, имеет единственное решение. Но получить его практически невозможно, поскольку сетка содержит бесчисленное множество узлов.

Операторная форма записи дифференциальных краевых задач

Введём общее обозначение для любой дифференциальной краевой задачи. Запишем её в виде операторного уравнения:

 (1.2.1)

где - искомая функция, , - открытая область с границей , f - заданная функция, L - заданный дифференциальный оператор, действующий на функцию . Будем считать, что задача (1.2.1) имеет единственное решение , которое мы в дальнейшем будем называть точным решением.

Пусть для решения дифференциальной краевой задачи составлена разностная краевая задача (разностная схема). Запишем её в виде операторного уравнения:

. (1.2.2)

Здесь - сеточное решение разностной краевой задачи, которое называется также приближённым сеточным решением дифференциальной краевой задачи .

Пример 4

Построение разностной схемы для смешанной краевой задачи для уравнения параболического типа.

Требуется найти функцию , определённую, непрерывную и имеющую частные производные второго порядка в области , удовлетворяющую дифференциальному уравнению

, (1.2.3)

начальному условию

, (1.2.4)

и граничным условиям

, , (1.2.5)

, , (1.2.6)

.

Здесь Т - заданная постоянная, а , , , , - заданные функции. Дифференциальное уравнение (1.2.3) описывает процесс распространения тепла в прямолинейном стержне. Поэтому его называют уравнением теплопроводности. Будем считать, что выполнены все условия, при которых сформулированная краевая задача имеет единственное решение - функцию .

Введём в области D сетку (рис. 3):

Рис. 2

Значения целой постоянной М и шага считаются заданными. Будем искать приближённое решение этой задачи на сетке. Поскольку является точным решением нашей дифференциальной краевой задачи, в каждом узле сетки будет выполняться дифференциальное уравнение

,

в каждом узле, лежащем на нижней границе области D (), будет выполняться начальное условие

,

в каждом узле, лежащем на левой границе области D (), будет выполняться граничное условие

,

в каждом узле, лежащем на правой границе области D (), будет выполняться начальное условие

.

Заменим частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, разностными отношениями (1.1.4) и (1.1.7) и получим в результате систему приближённых равенств, связывающих значения функции в узлах сетки:

 (1.2.7)

, (1.2.8)

, , (1.2.9)

, . (1.2.10)

Поскольку равенства (1.2.7) являются приближёнными, решив систему (1.2.7) - (1.2.10), мы получим, не точные значения , а приближённые. Обозначим их через (). В результате для определения получим разностную схему:

(1.2.11)

, (1.2.12)

, , (1.2.13)

, . (1.2.14)

Выразим из (1.2.11). В результате получается рекуррентная формула

(1.2.15)

применяя которую последовательно при , можно, зная , и , в явном виде определить , , …, . По этой причине построенная разностная схема получила название явной разностной схемы для уравнения теплопроводности. И другие разностные схемы, обладающие этим свойством, получили название явных схем.

Если вместо формулы (1.1.4) для аппроксимации частной производной использовать аналогичную формулу (1.1.5),то в результате вместо системы уравнений (10.1.23) получится система:

(1.2.16)

Разностная схема (1.2.16), (1.2.12)-(1.2.14) получила название неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности, так как для её решения не удалось получить явной рекуррентной формулы, типа (1.2.15).

Погрешность замены частных производных разностными отношениями стремится к нулю при h и . Поэтому можно ожидать, что и погрешность приближённого решения также будет стремиться к нулю при h и , и за счёт уменьшения шагов сетки h и можно получать приближённые решения с любой заданной точностью.

Требуется записать её в виде операторного уравнения (1.2.2) и выяснить, что представляют собой основные объекты (, , и ) операторной записи. Сетка

Густоту сетки регулируют два параметра: М (или hрh) и . Один из них можно сделать основным, например, h, а второй параметр сделать зависимым от него, введя функцию , такую, что при . Тогда густота сетки будет определяться только параметром h.

Приближённое решение удобно представить в виде вектора с компонентами: . Точное сеточное решение представляется аналогичным вектором:

и также представим в виде векторов:

Количество компонент этих векторов равно .

Введём целую постоянную и заметим, что величины , , и принадлежат векторному пространству . Рассмотренный пример показал, что практически любую дифференциальную краевую задачу можно представить в виде (1.2.1). При этом Lu и f будут представлять собой вектор-функции.

Нормы. Погрешность приближённого решения. Сходимость. Порядок сходимости

Обозначим через нормированное векторное пространство, которому принадлежат точное и приближённое сеточные решения, а через - нормированное векторное пространство, которому принадлежат величины и . Нормы элементов v, введенные в этих пространствах, будем обозначать и соответственно. Нормы в векторном пространстве можно вводить разные, и от их выбора будут зависеть свойства разностной схемы, описываемые ниже. Везде далее норма в пространстве будет выбираться по формулам или .Норму в пространстве мы будем указывать особо для каждой рассматриваемой задачи.

Погрешностью приближённого сеточного решения называется величина .

Для того чтобы можно было получить приближённое решение с заданной точностью, необходимо, чтобы погрешность приближённого решения стремилась к нулю при . Это свойство получило название сходимости. Дадим его развёрнутое определение.

Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Если

, (1.3.1)

то говорят, что решение разностной краевой задачи сходится к решению дифференциальной краевой задачи при .

Если существуют положительные постоянные C и p, такие, что выполняется неравенство

, (1.3.2)

то говорят, что приближённое решение сходится к точному при с p-м порядком относительно h. Из условия (1.3.1), очевидно, следует равенство (1.3.2).

Разность

(1.3.3)

называется невязкой разностной схемы на точном решении дифференциальной краевой задачи. Напомним, что и принадлежат к нормированному векторному пространству . Величины и , очевидно, также будут принадлежать .

Величиной невязки называется её норма в этом пространстве:

. (1.3.4)

Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Если

, (1.3.5)

то говорят, что разностная схема аппроксимирует задачу на её точном сеточном решении . Если, сверх того, найдутся вещественное положительное число и положительное число p, такие, что будет выполнено неравенство

, (1.3.6)

то говорят, что разностная схема аппроксимирует задачу на её точном сеточном решении с порядком p относительно h (или с порядком ).

Устойчивость

Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Эта разностная схема называется устойчивой на паре пространств , если существуют положительные постоянные и , такие, что и , удовлетворяющего условию , разностная краевая задача

 (1.4.1)

имеет единственное решение , причём

(1.4.2)

Устойчивость разностной схемы означает, что малому возмущению правой части разностной схемы отвечает малое возмущение решения разностной краевой задачи. Это внутреннее свойство разностных схем, не имеющее никакого отношения к исходной дифференциальной краевой задаче. Поэтому исследовать устойчивость несколько легче, чем исследовать сходимость. Если оператор является линейным (), то определение устойчивости можно переформулировать.

Дадим определение устойчивости для линейных разностных схем.

Разностная схема с линейным оператором называется устойчивой на паре пространств , если существует положительная постоянная , такая, что и разностная краевая задача

(1.4.3)

имеет единственное решение , причём

. (1.4.4)

Понятия аппроксимации и устойчивости связаны с понятием сходимости и позволяют облегчить её исследование. Эта связь устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1

Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу с порядком и является устойчивой на паре пространств , то приближённое решение сходится к точному сеточному решению с порядком p относительно h.

Доказательство:

Из того, что разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу, следует, что .По определению этого предела для положительного числа (из определения устойчивости) найдётся положительное число H, такое, что будет выполнено неравенство . Здесь учтено, что h положительно, а норма неотрицательна. Зададим любое h из и положим . Тогда и, согласно(1.4.2), разностная краевая задача

будет иметь единственное решение . Заметим, что правая часть этого уравнения и, следовательно, выполняется равенство . Это означает, что является решением этой же разностной краевой задачи, а поскольку решение этой задачи единственно, . Тогда из(1.4.18) получим:

.

производная аппроксимация краевой задача

Из того, что разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу с порядком , следует, что . Отсюда . Что и требовалось доказать.

Доказанная теорема позволяет проводить исследование сходимости приближённого решения к точному в 2 этапа. Вначале находится порядок аппроксимации разностной схемы, а затем доказывается её устойчивость. Как показывает пример 4, определение порядка аппроксимации разностных схем особого труда не составляет. Более того, обычно решается более сложная задача - это задача построения разностной схемы с заданным порядком аппроксимации. Один из методов её решения мы и рассмотрим в следующем параграфе.

Глава 2. Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом

Рассмотрим общую постановку смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения.

В области D={0<y<Y, б<x<в} найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию , которая в этой области удовлетворяла бы уравнению:

( 2.1.1)

-точное решение уравнения.

А на границе Г области D при y=0 - начальным условиям:

(2.1.2)

И при - одному из трех граничных условий:

а) условия первого рода

; (2.1.3)

б) условия второго рода

(2.1.4)

в) условия третьего рода (2.1.5)

Где - известные функции.

Коэффициенты подчинены естественным условиям

Условия (2.1.3) и (2.1.4) являются частным случаем условий (2.1.5)

2.2 Смешанная краевая задача с граничными условиями третьего рода