Синтез оптимального программного управления электроприводом методом вариационного исчисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

ГВУЗ «Криворожский национальный университет»

Кафедра автоматизированных электромеханических систем в

промышленности и транспорте

Лабораторная работа №2

по предмету «Оптимальные системы управления электроприводом промышленных установок»

Синтез оптимального программного управления электроприводом методом вариационного исчисления

Выполнил:

ст.гр.ЭПА-10-1с

Лэйн К.В

Кривой Рог - 2014

Лабораторная работа №2

Синтез оптимального программного управления электроприводом методом вариационного исчисления

Цель работы: изучить теоретические основы вариационного исчисления и область применения метода, приобрести практические навыки решения задач оптимизации методом вариационного исчисления.

Ход работы

Задача №1

J = min;

При граничных условиях: x(0) = 0; x(1) = 1,

показать, что решение уравнения Эйлера существует, единственно, доставляет абсолютный минимум, но не является функцией класса C¹.

Решение:

Находим экстремум функционала:

Найдем частные производные F_x и F_x` :

Вычислим полную производную по t от

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:

C помощью мат. ресурса Matcabi.net, общее решение имеет вид:

Для нахождения произвольных постоянных и подставим решение в граничные условия:

Тогда уравнение экстремали имеет вид:

.

Решение уравнения Эйлера доставляет абсолютный минимум (сильный минимум) и существует только в пространстве С, а пространство С¹ относится к слабому минимуму, то есть данное уравнение не является функцией этого пространства.

График экстремали:

Задача №2

Показать, что в задаче

вариационный оптимизация исчисление экстремум

J = min; x(0) = 0; x(1) = 1,

не существует ни одного решения уравнения Эйлера.

Решение:

Находим экстремум функционала:

Найдем частные производные F_x и F_x` :

Вычислим полную производную по t от

Дифференциальное уравнение Эйлера:

C помощью мат. ресурса Matcabi.net, общее решение имеет вид:

Так, как ln (0) не существует, то екстремум найти невозможно. Данная вариационная задача не имеет решения.

Задача №3 (в)

Определить экстремаль, удовлетворяющую краевым условиям и проверить, доставляет ли она слабый минимум:

в). J =; x(0) = 0; x(1) = 1;

Решение:

Находим экстремум функционала:

Найдем частные производные F_x и F_x` :

Вычислим полную производную по t от

Дифференциальное уравнение Эйлера:

C помощью мат. ресурса Matcabi.net, общее решение имеет вид:

Для нахождения произвольных постоянных и подставим решение в граничные условия:

Тогда уравнение экстремали имеет вид линии:

Листинг программы для рисования экстремали:

clear all % очистили память

syms x % описали символическую переменную

C2=-2:2; % несколько констант

y=x; % функции

Dy=diff(y,x); % производные

F=(1+x)*Dy.^2; % подынтегральные функции

J=int(F,x,0,1); % функционалы

xpl=linspace(0,1); % абсциссы для графика

figure % новая фигура

hold on % для рисования нескольких графиков

for k=1:length(J), % заполняем ординаты и рисуем

ypl=subs(y(k),x,xpl); % ординаты

plot(xpl,ypl) % рисуем

end

hold off

set(get(gcf,'CurrentAxes'),...

'FontName','Times New Roman Cyr','FontSize',12)

xlim([0 1]) % установили пределы по оси OX

da=daspect;

da(1:2)=min(da(1:2));

daspect(da); % одинаковый масштаб

title ('\bfГлава 2 - пример 2.2')

xlabel ('\itx\rm') % метка оси OX

ylabel ('\ity\rm(\itx\rm)') % метка оси OY

График экстремали:

Вывод: в данной лабораторной работе мы изучили теоретические основы вариационного исчисления и область применения метода, приобрели практические навыки решения задач оптимизации методом вариационного исчисления.

Размещено на Allbest.ru