2. Решение дифференциального уравнения N-го порядка

2.1 Решение дифференциальных уравнений N-го порядка методом интегрирования при помощи характеристического уравнения

2.1.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях

Дифференциальное уравнение 4-го порядка, описывающее динамические процессы электротехнической системы имеет вид:

Водим уравнение, пользуясь панелью «Исчисления» в Mathcad.

При заданных по условию значениях коэффициентов, уравнение примет вид:

Данное линейное дифференциальное уравнения 4-го порядка преобразуем

в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Обозначим:

Зададим вектор начальных значений:

СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2--3) задачу Коши различными численными методами.

· rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -- метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

· Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) -- метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

· Buistoer(y0, t0, t1, M, D) -- метод Булирша-Штера;

o у0 -- вектор начальных значений в точке to размера NXI;

o t0 -- начальная точка расчета,

o t1 -- конечная точка расчета,

o M -- число шагов, на которых численный метод находит решение;

o D -- векторная функция размера NXI двух аргументов -- скалярного t и векторного у При этом у -- искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Таким образом, воспользуемся функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции rkfixed выглядит так:

Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий ic и правую часть дифференциального уравнения y(t):

Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений, соответствующую заданному дифференциальному уравнению 4-го порядка.

Применим функцию:

-Интервал времени.

-Значение искомой координаты.

Рисунок1. Матрица решений системы уравнений.

По этой таблице можно определять расчётные значения исходного вектора на заданном шаге.

Результаты численного решения дифференциального уравнения можно вывести в виде таблицы с прокруткой времени и искомой неизвестной (см файл в Mathcad). Согласно выбранному М получили 1500 строк.

Рисунок2. Результаты пошагового решения дифференциального уравнения, представленные в виде таблицы.

Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат представлено на рисунке 3. График изображён так, что можно проверить значения строки 1500. При Т=150, Х=4,563*10^130

Рисунок 3. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

2.1.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

В этом случае необходимо изменить начальные условия и задать правую часть дифференциального уравнения.

Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

2.1.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х₀(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.

Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х₀(0) = 1

Зададим начальные условия для искомой переменной х₀(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).

Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х₀(0) =- 1.

2.1.4 При y(t) = cos(aМрМt) и нулевых начальных условиях.

a = 0.35

Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.

При y(t) = cos(aМрМt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._

При y(t) = cos(aМрМt) и ненулевых начальных условиях.

a = 0.35

Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aМрМt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).

2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом.

2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )

К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:

К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.

Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:

На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).

Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)

Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.

2.2.4 При y(t) = cos(aМрМt) и нулевых начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aМрМt) и нулевых начальных условиях;

3. Выводы по работе №3

В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.

Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на s в квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.

Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.