Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера

Размещено на http://www.allbest.ru

Федеральное агентство по образованию

ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»

Курсовая работа

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера

и усовершенствованным методом Эйлера

по дисциплине «Численные методы»

Студент Д.Р. Мусакалимов

Руководитель работы Э.Р. Ахматсафина

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Метод Эйлера

1.2 Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

2.2 Решение задачи методом Эйлера

2.3 Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера

3. Программная реализация

3.1 Блок-схемы

3.2 Тексты программ

3.3 Тестовый пример

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Заключение

Список используемой литературы

Введение

дифференциальное уравнение эйлер алгоритм

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. В виду не высокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Усовершенствованный (модифицированный) метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутта (предиктор-корректор).

Цель курсовой: рассмотреть два метода нахождения приближенного корня дифференциального уравнения и применить их на практике:

- метод Эйлера

- усовершенствованный метод Эйлера.

Курсовая работа состоит из трех частей (теоретическая, практическая и программная). В каждой части описываются определенная информация о методах, так в теоретической описывается как решать тем или иным методом, в практической идет само решение определенного уравнения, а в программной оба метода реализованы на языке ЭВМ.

1. Теоретическая часть

1.1 Метод Эйлера

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где yi+1 это искомое значение функции в точке xi+1.

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить yi+1 , если известно yi в точке хi:

  (1)

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (1) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок 1). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения )следует, что значение  есть значение производной функции y(x) в точке x=xi -  , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=xi.

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера

 Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

,

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=xi. Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования. Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x0 и y0 можно вычислить

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x0, xN]. Ошибка в определении значения y(xi) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок [xi, xi+1] слишком велик, то каждый участок [xi, xi+1] разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

1.2 Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования - формулой трапеций.

(1)

Данная формула оказывается неявной относительно yi+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно yi+1, решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначе и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы Эйлера:

,

которое затем использовать при вычислении по (1).

Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

2. Постановка и решение задачи

2.1 Формулировка задачи

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера (на примере уравнения ).

2.2 Решение задачи методом Эйлера.

Уравнение:

На отрезке [1;5]

Количество шагов N=4

H= (a-b)/n= 1

X0=1

Y0=3

Xi=xi-1+h;

X1=2

X2=3

X3=4

X4=5

Yi=yi-1+(f(xi-1;yi-1))*h

Y1=3+((1*1-3+2)/(3*1+3*1))*1=3

Y2=3+((2*2-3+2)/(3*2+3*3))*1=3,25

Y3=3,25+((3*3-3,25+2)/( 3,25*4+3*3))*1=3,663

Y4=3,663+((4*4-3,663+2)/( 3,663*4+3*4))*1=4,201

Y5=4,201+((5*5-4,201+2)/( 4,201*5+3*5))*1=4,834

Рисунок 2. График функции по найденным точкам.

2.3 Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера

Уравнение:

На отрезке [1;5]

Количество шагов N=4

H= (a-b)/n= 1

X0=1

Y0=3

Xi=x0+h;

X1=1

X2=2

X3=3

X4=4

Yi=yi-1+h/2*(f(xi-1;yi-1))+*f(xi-1;(yi-1+h*f(xi-1;yi-1))))

Y1=3+1/2*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))+3+1*((1*1-3+2)/(3*1+3*1))= 4,5

Y2=4,5+1/2*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))+ 4,5+1*((2*2-4,5+2)/( 4,5*2+3*2))= 6,91

Y3=6,91+1/2*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))+ 6,91+1*((3*3-6,91+2)/( 6,91*3+3*3))= 10,6173

Y4=10,6173+1/2*((4*4-10,6173+2)/( 10,6173*4+3*4))+ 10,6173+1*((4*4-10,6173+2)/

(10,6173*4+3*4))= 16,2332

Y5=16,2332+1/2*((5*5-16,2332+2)/( 16,2332*5+3*5))+ 16,2332+1*((5*5-16,2332+2)/

(16,2332*5+3*5))= 24,6888

Рисунок 4. График функции по полученным точкам.

3. Программная реализация

3.1 Блок-схемы

Для метода Эйлера

Для усовершенствованного метода Эйлера

3.2 Тексты программ

Для метода Эйлера

program p1;

uses crt;

var i,n:integer; b,h,x,y,y0:real;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=(x*x-y+2)/(y*x+3*x);

end;

begin

clrscr;

write ('Vvedi otrezok: ');

read (x,b);

write ('Skolko shagov: ');

readln (n);

h:=(b-x)/n;

write ('Y(0): ');

read(y0);

y:=y0;

writeln ('X':6,'Y':6);

for i:=1 to n+1 do begin

y:=y+h*f(x,y);

writeln (x:6:2,y:8:4);

x:=x+h;

end; readln;

readln;

end.

Для усовершенствованного метода Эйлера.

program p1;

uses crt;

var i,n:integer; b,h,x,y,y0:real;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=(x*x-y+2)/(y*x+3*x);

end;

begin

clrscr;

write ('Vvedi otrezok: ');

read (x,b);

write ('Skolko shagov: ');

readln (n);

h:=(b-x)/n;

write ('Y(0): ');

read(y0);

y:=y0;

writeln ('X':6,'Y':6);

for i:=1 to n+1 do begin

y:=y+h/2*(f(x,y)+f(x,(y+h*(f(x,y)))));

writeln (x:6:2,y:8:4);

x:=x+h;

end; readln;

readln;

end.

3.3 Тестовый пример

В качестве тестового примера возьмем уравнение y'=2x

На отрезке [1;4]

Начальное значение M0(0;1)

Метод Эйлера

Рисунок 5. Метод Эйлера.

Усовершенствованный метод Эйлера

Рисунок 6. Усовершенствованный метод Эйлера.

3.4 Решение задачи с помощью ЭВМ

Метод Эйлера

Рисунок 7. Решение на ЭВМ методом Эйлера.

Усовершенствованный метод Эйлера

Рисунок 8. Решение на ЭВМ усовершенствованным методом Эйлера.

Заключение

Метод Эйлера считается самым простым методом, но это не значит что он самый точный. Усовершенствованный метод немного сложнее в исполнении, но зато за то же количество шагов позволяет построить график значительно точнее.

В заключение лучшим методом стал усовершенствованный метод Эйлера, т.к. он является более точным.

Список литературы

Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение (пер. с англ.). М.: Мир, 2001, 575 c.

Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. -- М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. -- 432 с.

Размещено на www.allbest.ru