Решение математических задач с помощью алгоритмического языка Turbo Pascal, Microsoft Excel, пакета MathCAD и разработка программ в среде Delphi

Табличный редактор Microsoft Excel представляет собой электронную таблицу разбитую на ячейки.

В ячейки одного из столбцов вводятся значения переменной В ячейки другого столбца, строка которого соответствует номеру первой ячейки столбца переменных, ставят "=" и вводят формулу. Затем нажимают Enter и табличный редактор выполняет поставленную задачу.

Решение уравнения с помощью MathCAD.

Данная задача в MathCAD будет выполнятся с использованием ранжированной переменной. В среде пакета MathCAD для выполнения итеративных вычислений предусмотрен аппарат ранжированных переменных.

Ранжированная переменная-это переменная, которой приписан диапазон изменения значений.

Пример ранжированной переменной:

x: =a,b. c,

где x - переменная, a,b,c - значения, которые принимает переменная, т.е. a-первое значение, b-второе значение, т.е. (b-a) - шаг изменения переменной, и c-последнее значение.

Функция представлена в виде ранжированного выражения, т.е. выражения в котором присутствуют p-переменные.

Решение уравнения в Turbo Pascal

Арифметические выражения строятся из констант, переменных, функций и операций над ними.

Для вычисления приближённого значения определённого интеграла отрезок [a, b] делят на n равных частей точками

a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b

так, что x_i+1-x_i= (b-a) /n (I=0,1,2,…,n-1). Тогда длина каждого частичного отрезка определяется как h= (b-a) /n, а точки разбиения x₀=a, x₁=x₀+h, x₂=x₁+h,…, x_n=x_n-1+h. Эти точки называются узлами, а h-шагом интегрирования. В узлах вычисляются ординаты y₀, y₁,…, y_n, т.е. y_i=f (x_i). На частичных отрезках [x_i; x_i+1] строятся прямоугольники, высота которых равна значению f (x) в какой-либо точке каждого частичного отрезка. Произведение f (x_i) *h определяет площадь частичного прямоугольника, а сумма таких произведений - площадь ступенчатой фигуры, представляющей собой приближённое значение интеграла.

Если f (x_i) вычисляется в левых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получается формула левых прямоугольников:

I_л= (y₀+y_1+…+y_n-1) = .

Если f (x_i) вычисляется в правых концах отрезков [x_i; x_i+1], то получится формула правых прямоугольников:

I_п= (y₁+y_2+…+y_n) = .

Если функция f вычисляется в точках x_i+h/2 [x_i;; x_i+1], то получается формула средних прямоугольников:

2. Метод трапеции

Метод трапеций аналогичен методу прямоугольников, с той лишь разницей, что на каждом частичном отрезке строится трапеция.

Приближенное значение интеграла равно сумме всех площадей частичных трапеций:

I=

3. Метод симпсона

В Mathcad:

При решении интеграла в символьном виде:

С помощью встроенных функций задаём интеграл;

Вызов в меню "Математика" подменю "Булен" и нажатие "" или Control+. приводит к вычислению интеграла в символьном виде.

В Mathcad:

В Turbo Pascal:

Текст программы вычисления

определенного интеграла методом

средних прямоугольников на TP

program Sredniipriamougolniki;

uses crt;

var a,b,h,s,y,x: real;

i,n: integer;

begin clrscr;

write ('Vvedite a,b,n=');

readln (a,b,n);

h: = (b-a) /n;

x: =a+h/2;

s: =0;

for i: =1 to n do

begin

s: =s+1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

x: =x+h;

end;

y: =h*s;

writeln ('n=',n,' y=',y: 10: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы:

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания №2.1

Вычисление определенного интеграла методом средних прямоугольников:

Текст программы вычисления

определенного интеграла методом

трапеции

program integral 2;

uses crt;

var a,b,h,S,S1,x,y: real;

i,n: integer;

function f (c: real): real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin clrscr;

write ('a,b,n=');

readln (a,b,n);

h: = (b-a) /n;

x: =a;

s: =0;

for i: =1 to n-1 do

begin

x: =x+h;

s: =s+f (x);

end;

S1: = f (a) +f (b);

y: = (h/2) * (S1+2*s);

writeln ('n=',n, ' y=',y: 8: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания № 2.2

Вычисление определенного интеграла методом трапеции:

Текст программы вычисления

определенного интеграла

методом Симпсона

program simpson;

uses crt;

var a,b,h,x,y,s,s1: real;

i,n,c,m: integer;

function f (x: real): real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin clrscr;

write ('a,b,n=');

readln (a,b,n);

h: = (b-a) / (2*n);

x: =a;

s: =0;

c: =1;

m: =2*n-1;

for i: =1 to m do

begin

x: =x+h;

s: =s+ (3+c) *f (x);

c: =-c;

end;

s1: =f (a) +f (b);

y: = (h/3) * (s1+s);

writeln ('y=',y: 10: 3,' n=',n);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 y=0.117

Блок-схема алгоритма решения задания №2.3

Вычисление определенного интеграла методом Симпсона:

Текст программы вычисления

определенного интеграла с

автоматическим выбором шага

program avtomaticheskiyshag;

uses crt;

var e,a,b,s,h,sn,sn1: real;

i,n: integer;

function f (x: real): real;

var y: real;

begin

f: =1/sqr (3*sin (x) +2*cos (x));

end;

begin

clrscr;

write ('a='); read (a);

write ('b='); read (b);

write ('e='); read (e);

sn: =0;

sn1: =0;

n: =100;

repeat

n: =n*2;

h: = (b-a) /n;

s: =0;

sn: =sn1;

s: =s+f (a) +f (b);

for i: =1 to (n-1) do

s: =s+2*f (a+i*h);

s: = (h/2) *s;

sn1: =s;

until abs (sn-s) <e;

writeln ('s=',s: 8: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=0 b=1 n=1000 s=0.117

Задание 3. Решение системы линейных уравнений

Решение уравнения с помощью MathCAD

x: =a,b. c,

где x - переменная, a,b,c - значения, которые принимает переменная, т.е. a-первое значение, b-второе значение, т.е. (b-a) - шаг изменения переменной, и c-последнее значение. .

Рассмотрим решение системы линейных уравнений матричным методом:

a₁₁X₁+a₁₂X₂+a₁₃X₃=b_1,a₂₁X₁+a₂₂X₂+a₂₃X₃=b_2,a₃₁X₁+a₃₂X₂+a₃₃X₃=b₃.

Решение этим методом заключается в решении матричного уравнения вида:

R=M^-1*V.

Для этого необходимо:

сформировать матрицу коэффициентов системы линейных уравнений

сформировать вектор-столбец коэффициентов свободных членов системы линейных уравнений V:

b₁

V: = b₂

b₃

найти искомые параметры с помощью матричного уравнения: R=M^-1*V.

получим:

X₁

R = X₂

X₃

Рассмотрим решение системы линейных уравнений с помощью решающего блока Given - Find.

Для решения системы уравнений этим способом используется специальная конструкция, называемая решающим блоком. Блок состоит из заголовка (Given), его тела (определённой системы уравнений) конца блока (Find). Find включает в себя перечень переменных блока, относительно которых должна быть решена система уравнений.

Для решения этим методом введём начальные приближённые значения искомых значений:

X1: =0X2: =0X3: =0

опишем блок решения:

Given

x₁₁X₁+x₁₂X₂+x₁₃X₃=b_1,x₂₁X₁+x₂₂X₂+x₂₃X₃=b_2,x₃₁X₁+x₃₂X₂+x₃₃X₃=b₃.

опишем ведущие переменные:

r: =find (X1, X2, X3)

найдём искомые параметры:

X₁

r = X₂

X₃

Пример вычисления:

1) решение системы линейных уравнений матричным методом:

2) решение системы линейных уравнений с помощью решающего блока Given - Find.

, ,

Задание 4. Решение нелинейного уравнения

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F (x) =0 встречается в различных областях научных исследований. Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными.

По условию задачи уравнение cosx-x+4=0 является трансцендентным. Поэтому для нахождения корней будем использовать приближённые методы вычисления (метод касательных и метод половинного деления).

Существуют различные итерационные методы решения трансцендентных уравнений. Наиболее известные: метод касательных, метод половинного деления, метод хорд, комбинированный метод хорд и касательных, метод итераций и т.д.

Метод половинного деления отрезка пополам является одним из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Метод довольно медленный, однако он всегда сходится, т.е. при использовании решение получается всегда, причём с заданной точностью. Требуемое обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если каждое значение функции несложно.

Метод касательных или метод Ньютона. В этом методе каждой итерации объём вычислений больший, чем в ранее рассмотренном методе половинного деления, поскольку приходится находить не только значение функции F (x), но и значения её производных. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в предыдущем методе.

Решение нелинейного уравнения в среде пакета MathCAD

По условию задачи данное нелинейное уравнение является трансцендентным. Для нахождения корней этого уравнения воспользуемся функцией root.

Решение трансцендентных уравнений методом касательных

program kasatelnie;

uses crt;

label 20;

var a,b,E,U,D,x: real;

function f (x: real): real;

begin

f: =u*u*u-7*u-7;

end;

function f1 (x: real): real;

begin

f1: =3*x*x-10;

end;

function f2 (x: real): real;

begin

f2: =6*x;

end;

begin

writeln ('a,b,E=');

read (a,b,E);

if f (a) *f2 (a) >0 then

u: =a else u: =b;

20: D: =f (u) /f1 (u);

u: =u-d;

if ABS (d) >E then goto 20;

writeln ('u=',u: 7: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=2 b=4 e=0.01 x=3.000

Блок-схема алгоритма решения задания №4.2

Метод касательных:

Решение трансцендентных уравнений методом деления отрезка пополам

Program polovinoedelenie;

uses crt;

label 20,30,40;

var a,b,E,V,W,X,Z: real;

function f (x: real): real;

begin

f: =x*x*x-7*x-7;

end;

begin

writeln ('a,b,E=');

read (a,b,E);

V: =f (a);

W: =f (b);

20: x: = (a+b) /2;

z: =f (x);

if z=0 then goto 30;

if V*Z>=0 then

begin

a: =x;

v: =z;

end;

begin

b: =x;

W: =z;

end;

40: if (b-a) >E then goto 20;

x: = (a+b) /2;

30: writeln ('x=',x: 6: 3);

readkey;

end.

Результаты работы программы

a=2 b=4 e=0.01 u=3.049

Блок-схема алгоритма решения задания №4.1

Метод деления отрезка пополам:

Задание 5. Организация нахождения минимума и максимума элемента в массиве случайных чисел в среде пакета MathCAD

В Mathcad:

Необходимое нахождение значений в среде MathCAD можно провести с помощью встроенных функций.

Для решения этой задачи нужно: задать промежуток, в котором будут генерироваться случайные числа; воспользоваться функцией rnd; после того, как будут выбраны случайные числа, воспользуемся функцией нахождения минимального и максимального значений: min (x) и max (x).

Задание 6

Определить среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение рядов N_i и K_i, дисперсию и коэффициент корреляции. Ввод N_i и K_i -в виде векторов из 10 элементов, каждый из внешних файлов данных, подготовленных вручную или с помощью любой программы, позволяющей создавать файлы в формате ASCIT. Вычисление - с помощью встроенных функций: mean (N), mean (K), var (N), var (K),stdev (K), stdev (K), corr (N,K).