Практика моделирования и оптимизации линейных систем в среде расширения MatLab Control System

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Северо-Казахстанский Государственный университет

имени Манаша Козыбаева

Факультет машиностроения и энергетики

Кафедра «Радиоэлектроники и телекоммуникации»

«Утверждаю» _____________________

И.о.зав. каф. РиТ, д.т.н., Ивель В.П.

«_______» __________________2007 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к дипломному проекту

на тему: «Практика моделирования и оптимизации линейных систем в среде расширения MatLab Control System»

М3РТ.466400.023 ПЗ

Консультанты:

по нормоконтролю Димитриади Н.А. «________» _________________

по организационно-экономической части Герасимова Ю.В. «________»

Дипломник

студент гр. МКТС-01-ЗО Шершнев П.В. «________»_________________

Петропавловск 2007

Аннотация

Дипломный проект посвящен вопросу практического моделирования и оптимизации линейных систем в среде MatLab.

Проводится анализ линейных звеньев с применением таких программных пакетов как Control System Toolbox и Simulink, в частотности рассматриваются методы построения переходных и частотных характеристики звеньев второго порядка.

В качестве наглядного примера практического моделирования в проекте представлена модель релейной системы регулирования и идентификации структуры отдельного характерного элемента ЭКС зубца Р в системе MatLab.

Как и любой программный продукт, разрабатываемая модель имеет свои преимущества и недостатки, поэтому необходимо определить, как долго модель может работать без сбоев и ошибок, т.е. дать анализ надежности полученного программного продукта. Такой анализ проводится в одном из разделов работы.

Стоимость рассчитывается в экономической части диплома.

В разделе "Охрана труда" рассмотрены вопросы, связанные с техникой безопасности при работе с компьютерами.

The summary

The Degree project is devoted to a question of practical modelling and optimization of linear systems in MatLab environment.

The analysis of linear parts with application of such software packages as Control System Toolbox and Simulink Is spent, in rate methods of construction transitive and frequency characteristics of parts of the second order are considered.

As a bright example of practical modelling in the project the model of relay system of regulation and identification of structure of separate characteristic element ECS tooth Р in system MatLab is presented.

As well as any software product, developed model has the advantages and lacks, therefore it is necessary to define, how long the model can work without failures and mistakes that is to give the analysis of reliability of the received software product. Such analysis is spent in one of sections of work.

Cost pays off in an economic part of the diploma.

In section "Labour safety" the questions connected with the safety precautions at work with computers are considered.

Содержание

1. Введение

2. Моделирование в среде MatLab и Simulink

2.1 Анализ линейных звеньев с применением Control System Toolbox

2.2 Моделирование в среде Simulink

2.3 Моделирование процесса свертки функций

2.4 Модель релейной системы регулирования

2.5 Моделирования элементов ЭКГ при патологии

3. Надежность программного обеспечения

3.1 Неконструктивность понятия правильной программы

3.2 Надежность программного средства

3.3 Количественное измерение надежности программы

3.4 Обеспечение надежности разработки программных средств

3.5 Методы борьбы со сложностью

3.6 Обеспечение точности перевода

3.7 Преодоление барьера между пользователем и разработчиком

3.8 Контроль принимаемых решений

3.9 Тестирование

4. Определение цены программного продукта

4.1 Расчет основной заработной платы

4.2 Расчет дополнительной заработной платы

4.3 Расчет затрат на материалы, покупные изделия, полуфабрикаты

4.4 Затраты на оплату машинного времени

4.5 Расчет накладных расходов

4.6 Расчет себестоимости программного продукта

5. Техника безопасности при работе с компьютерным оборудованием

5.1 Анализ опасных, вредных факторов и возможных чрезвычайных ситуаций, возникающих при работе компьютере

5.2 Разработка мер безопасности

Заключение

Список литературы

1. Введение

В теории проектирования систем автоматического управления важное место уделяется анализу и синтезу линейных систем с постоянными параметрами. Это объясняется следующими обстоятельствами:

* при описании динамики системы в отклонениях от положения равновесия или номинальной траектории движения получаем линейную (линеаризованную) систему;

* теория линейных систем с постоянными параметрами представляет наиболее развитой и законченный раздел теории автоматического управления;

* линейные системы после фиксации ("замораживания") параметров описываются линейными дифференциальными или разностными уравнениями с постоянными параметрами;

* при предварительных исследованиях систем автоматического управления на этапах эскизного проектирования при неполной информации об объекте управления обычно используют упрощенную линейную модель объекта с постоянными параметрами, которую уточняют на дальнейших этапах проектирования.

Истоки создания системы MatLab связаны с решением задач линейной алгебры и повышением эффективности использования математических пакетов LINPACK и EISPACK, предназначенных для работы с матрицами. Если вспомнить, что источником математических моделей в виде линейных систем с постоянными параметрами являются линейные дифференциальные или разностные уравнения с постоянными коэффициентами, то становится понятным, что теоретической основой исследования этих уравнений является линейная алгебра. Поэтому ядро системы MatLab составляет органическую основу тех операторов, которые входят в состав пакета прикладных программ (далее - ППП) Control System Toolbox.

При реализации этого пакета использованы принципы объектно-ориентированного программирования. Введен новый класс объектов: линейные системы с постоянными параметрами (linear time invariant objects, lti-объекты). Этот класс включает линейные непрерывные или дискретные, одномерные с одним входом и одним выходом (SISO-системы) и многомерные со многими входами и (или) многими выходами (МIМО-системы). Каждому объекту присваивается определенный идентификатор.

Модель lti -системы в теории автоматического управления может быть задана:

* четверкой матриц {А, В, С, D}, которая описывает дифференциальное (или разностное) векторное уравнение системы в пространстве состояний в явной форме Коши;

* двумя векторами, задающими коэффициенты многочленов числителя и знаменателя передаточной функции системы;

* двумя векторами и одним числом, задающими нули, полюсы и обобщенный коэффициент передачи передаточной функции системы.

В соответствии с этим lti -система в ППП Control System Toolbox может быть представлена тремя подклассами:

* четверкой матриц - подкласс ss в пространстве состояний;

* двумя векторами, составленными из коэффициентов числителя и знаменателя, - для одномерных систем, или двумя массивами ячеек, содержащих векторы коэффициентов, - для многомерных систем, что соответствует подклассу tf (передаточная функция в виде отношения многочленов либо матрица таких передаточных функций);

* двумя векторами, составленными из нулей и полюсов передаточной функции, и скаляром, равным обобщенному коэффициенту передачи - для одномерных систем, или двумя массивами ячеек, содержащих векторы, составленные из нулей и полюсов, и массивом чисел - для многомерных систем, что соответствует подклассу zpk (передаточная функция в виде нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи либо матрица таких передаточных функций).

Модель системы, заданная в одном из этих подклассов, может быть преобразована в любой другой подкласс.

Дополнительные параметры позволяют указать, является ли система непрерывной или дискретной, имеет ли запаздывания на входах системы; задать наименования входов, выходов или переменных состояния, а также другую вспомогательную информацию о системе.

В ППП Control System Toolbox введен ряд функций, позволяющих определять динамические параметры системы: нули и полюсы, собственные частоты и коэффициенты демпфирования и т. д. Имеются функции, позволяющие рассчитывать и строить переходные функции и частотные характеристики систем.

Наряду с задачами анализа ППП позволяет решать задачи синтеза регуляторов для линейных систем автоматического управления с постоянными параметрами. В пакет введен ряд функций для синтеза регулятора на основе желаемого расположения полюсов или обеспечения минимального значения квадратичного критерия качества (ЛК-регулятор), синтеза наблюдателя и фильтра Калмана для оценки переменных состояния системы по известным значениям векторов входа и выхода. Поддержан также синтез динамических регуляторов на основе синтеза ЛК-регулятора и фильтра Калмана (ЛКГ-регулятор).

2. Моделирование в среде MatLab и Simulink

2.1 Анализ линейных звеньев с применением Control System Toolbox

релейный система модель matlab

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим адекватное с оригиналом поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала, путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае, когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

Математическое моделирование - это область науки и техники, которая обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего нас мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются фундаментальные положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Таким образом, математическая модель системы или устройства это или иное математическое описание их, обеспечивающее имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к реальному поведению их, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Критерием корректности модели мы будем считать достаточно малую погрешность (чаще всего среднеквадратическую) результатов моделирования.

Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств - важнейшее средство познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Хрестоматийными стали примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и так далее.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования к его отладки. Тем не менее и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и их разработок, но и порой спасает жизни людей и устраняет экологические катастрофы. Здесь примером может служить отказ от испытания ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или моделирование аэрокосмических систем перед их реальными полетами.

Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например из области механики, электротехники, электроники и радиотехники (и многих других областей науки и техники) в настоящее время стало доступным многим пользователям современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например электроэнергетических систем или промышленных комплексов

Как известно, сложные электрические цепи постоянного тока легко описываются системами линейных уравнений, составленными на основе законов Кирхгофа, - например методами узловых потенциалов и контурных токов. Для цепей переменного тока придется составлять такие уравнения с комплексными элементами А для моделирования динамических систем и устройств придется составлять и решать системы дифференциальных уравнений, чаще всего нелинейных. Матричная система МАТLАВ - идеальное средство для реализации такого моделирования.

В данном описании под моделью подразумевается блочная (функциональная) диаграмма системы или устройства, содержащая ее компоненты в виде отдельных блоков и подсистем с соответствующим описанием их свойств. Это описание, как правило, носит внутренний характер и количественно может корректироваться изменением параметров в списке параметров каждого компонента. С помощью подсистем пользователь может составлять свои собственные сложные компоненты. Набор виртуальных регистрирующих устройств позволяет контролировать поведение созданной модели.

Следует различать аналитическое моделирование и численное моделирование. При аналитическом моделировании его результаты представляются в виде аналитических выражений - проще говоря, формул. Например, подключив RС-цепь к источнику постоянного напряжения Е (R, С и Е - компоненты данной модели), можно составить аналитическое выражение для временной зависимости напряжения и(t) на конденсаторе С. Результатом будет линейное дифференциальное уравнение, которое и является аналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическое решение, при так называемом начальном условии и(0) = 0, означающем разряженный перед моделированием конденсатор С, позволяет найти искомую зависимость - результат моделирования в виде формулы и = и(t).

Однако даже в этом простейшем примере потребуются умственные усилия для решения дифференциального уравнения или для применения СКМ с символьными вычислениями - систем компьютерной алгебры. Для этого вполне тривиального случая решение задачи моделирования линейной RC-цепи дает аналитическое выражение достаточно общего вида - оно пригодно для описания работы цепи при любых номиналах компонентов R, С и Е и описывает экспоненциальный заряд конденсатора С через резистор R от источника постоянно напряжения Е.

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическом моделировании оказывается исключительно ценным для выявления общих теоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств. Однако сложность его резко нарастает по мере усложнения воздействий на модель и увеличении порядка и числа уравнений, описывающих моделируемый объект.

Можно получить более или менее обозримые результаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но уже при большем порядке аналитических выражения становятся чрезмерно большими, сложными и трудно осмысляемыми. Между тем даже простой электронный усилитель нередко содержит десятки компонентов. Тем не менее, многие современные системы компьютерного моделирования (СКМ), например системы символьной математики Mathematica или Maple, способны в значительной мере автоматизировать решение сложных задач аналитического моделирования.

Численное моделирование заключается в получении необходимых количественных данных о поведении систем или устройств каким-либо подходящим численным методом. Например, для решения дифференциального уравнения или систем дифференциальных уравнений в более сложных случаях могут использоваться хорошо известные численные методы Эйлера или Рунге - Кутта. В этом случае решение в аналитическом виде не получается, но по данным численного моделирования можно получить достаточно полные данные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построить графики описывающих это поведение зависимостей.

Означает ли все это ущербность системы МАТLАВ в решении задач математического моделирования. Конечно же нет. Все обстоит совсем наоборот. Как уже отмечалось, трудности аналитического моделирования даже линейных объектов и систем стремительно нарастают по мере роста порядка моделей и числа ее компонентов. В реальных задачах, когда моделируемая система состоит из десятков или сотен компонентов модели, результаты аналитического моделирования становятся совершенно необозримыми, бесполезными и зачастую ошибочными. Составление исходной системы уравнений вручную, табличными методами или с помощью графов превращается в сложную задачу даже для самых опытных математиков. При этом ошибки становятся скорее правилом, чем исключением.

МАТLАВ, будучи мощной матричной системой, открывает обширные возможности в выполнении численного моделирования как линейных, так и нелинейных систем и устройств, описываемых большими системами уравнений. Такое моделирование предполагает решение системы уравнений состояния достаточно апробированными и хорошо известными численными методами - в том числе на основе рекуррентных и итерационных алгоритмов. Уравнения состояния реальных систем и устройств часто содержат множество нулевых коэффициентов, что порождает разреженные матрицы и массивы. Их аппарат прекрасно представлен в базовой системе МАТLАВ.

Как известно, нелинейные системы и устройства описываются алгебраическими или дифференциальными нелинейными уравнениями, которые принципиально не имеют аналитических решений. Поэтому на практике моделирование нелинейных систем и устройств на основе использования численных методов оказывается намного более полезным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейных цепей, систем или устройств. Это также выдвигает МАТLАВ на роль лидера среди средств моделирования.

В настоящее время известно множество программных средств моделирования частного характера. Например, для моделирования электронных схем применяются программы схемотехнического моделирования MicroСАР, Pspise, Electronic Workbenche и др. Они обычно содержат обширные библиотеки полупроводниковых и схемных компонентов и представляют результаты в привычном для пользователя виде - например в виде осциллограмм их виртуальных осциллографов или показаний виртуальных вольтметров и амперметров. Однако применение таких систем носит частный и потому довольно ограниченный характер, хотя в своей области многие такие программы являются подлинным шедевром изобретательности их создателей.

Разработчики системы МАТLАВ + Simulink отказались от конкуренции с разработчиками подобных программ узкого назначения. Они сосредоточили свое внимание на решении куда более важной и сложной задачи - моделирования блочных динамических систем и устройств произвольного назначения. Это физические и химические системы и устройства, электротехнические устройства (и даже целые энергетические системы), механические системы и устройства и т.д. и т. п. Для этого пришлось существенно расширить библиотеки компонентов таких систем и устройств, с одной стороны, а с другой стороны, применить укрупненные модели ряда компонентов. Именно благодаря этому возможно моделирование сложных систем и устройств.

Одной из самых сложных проблем в реализации математического моделирования в среде системы МАТLАВ стала подготовка модели моделируемой системы или устройства. Модель обычно представляется в форме графического, табличного или таблично-топологического описания. При этом необходимо предусмотреть организацию связей между компонентами и установку их, подчас многих, параметров. После этого надо запустить созданную модель на исполнение, т. е. решение автоматически составленной системы уравнений состояния и вывод результатов решения. Это также представляет собой достаточно сложную проблему.

Все эти проблемы блестяще решены введением в МАТLАВ второй важной части системы - расширения Simulink. Это расширение реализует по существу визуально-ориентированное программирование задач автоматического составления графической модели системы или устройства, составления и решения ее уравнений состояния и наглядного представления результатов моделирования.

Уже в силу своего названия Simulink выполняет как бы симуляции работы моделируемых систем и устройств или имитационное моделирование.

В тоже время новые версии Simulink интенсивно развиваются в направлении развития техники моделирования систем и устройств, структура которых может изменяться под воздействием ситуаций, которые характерны для работы устройств в те или иные моменты времени. Другими словами, развивается направление ситуационного моделирования. Специальное расширение StateFlow BlockSet обеспечивает расширенные возможности ситуационного моделирования - в частности, позволяет динамике отслеживать связи между блоками моделей и строить наглядные SF-диаграммы.

Однако все же наибольшими возможностями в области моделирования и оптимизации линейных систем обладает пакет Control System Toobox. Пакет Control System содержит средства для выбора параметров обратной связи. Реализованы различные методы анализа систем: анализ особых точек, определение коэффициента усиления и затухания, линейно-квадратичное регулирование и др. Пакет Control System включает большое количество алгоритмов для проектирования и анализа систем управления. Кроме того, он обладает настраиваемым окружением и позволяет создавать свои собственные m-файлы.

Система MATLAB, включая пакет Simulink, образуют мощное средство для проектирования систем автоматического управления (САУ). В теории проектирования САУ важное место уделяется моделированию, анализу и синтезу линейных систем с постоянными параметрами. Для этих целей в системе MATLAB используют пакет Control System Toolbox [1], кроме того, пакет Simulink содержит большой набор средств, который позволяет создавать и анализировать объекты и системы самого различного назначения.

При реализации пакета Control System Toolbox использованы принципы объектно-ориентированного программирования. Введен новый класс объектов: линейные системы с постоянными параметрами (linear time invariant objects, или lti-объекты). Этот класс включает линейные непрерывные или дискретные, одномерные с одним входом и одним выходом (SlSO-системы) и многомерные со многими входами и (или) многими выходами (MIMO-системы). Каждому объекту присваивается определенный идентификатор.

Функции пакета реализуют методы исследования динамических систем, основанные на использовании передаточных функций и моделей для переменных состояния. Частотные и временные характеристики, нули и полюсы систем легко вычисляются и отображаются в виде графиков и диаграмм.

В пакете реализованы:

- обширный набор средств для анализа одномерных и многомерных динамических систем (объектов);

- построение основных характеристик систем: импульсной, передаточной и переходной, реакция на произвольное воздействие;

- построение частотных характеристик: диаграмм Воде, Найквиста, Николса и др.;

- разработка замкнутых систем регулирования;

- проектирование регуляторов;

- определение характеристик моделей: управляемости, наблюдаемости, понижения порядка моделей;

- поддержка систем с запаздыванием.

Интерактивная среда для отображения временного и частотного откликов предоставляет пользователю графические управляющие элементы для одновременного отображения данных откликов и переключения между ними. Можно вычислять различные характеристики откликов, такие, как время регулирования.

Интерактивная среда для отображения временного и частотного откликов предоставляет пользователю графические управляющие элементы для одновременного отображения данных откликов и переключения между ними. Можно вычислять различные характеристики откликов, такие, как время регулирования.

Основными вычислительными объектами рассматриваемого пакета являются:

- родительский объект (класс) LTI (Linear Time-Invariant Systems - линейные, инвариантные во времени (стационарные) системы);

- дочерние объекты (подклассы класса LTI), соответствующие четырем видам моделей:

В так называемой tf-форме (в форме передаточной функции)

. (2.1)

В zpk-форме (путем задания нулей, полюсов и коэффициента усиления):

. (2.2)

В ss-форме (в виде системы дифференциальных уравнений для переменных состояния):

x'(t) = Ax(t) + Bu(t), (2.3)

y(t) = Cx(t) + Du(t).

(для дискретных объектов - системы разностных уравнений).

В frd-форме - в виде набора (вектора) частот щk и соответствующих значений комплексного коэффициента передачи W(jщk).

При описании дискретных объектов комплексная переменная р заменяется на z. В зависимости от выбора модели линейный объект (система) может быть задан либо парой многочленов (числитель и знаменатель передаточной функции), либо тройкой параметров (нули, полюса, обобщенный коэффициент передачи), либо четверкой параметров (А, В, С, D) для моделей в пространстве состояний. Для описания одномерных (SISO) систем используются одномерные и двумерные массивы, в случае многомерных объектов -- массивы ячеек.

Пакет Control System обеспечивает создание структуры данных для моделей любого из перечисленных видов в форме массива ячеек, не зависящего от конкретного представления модели. Это позволяет манипулировать линейной системой как единым объектом, а не набором данных в виде векторов или матриц.

В состав пакета Control System входит более ста различных функций. В данной работе рассматривается группа функций, обеспечивающая получение информации об отдельных характеристиках моделей различных звеньев САУ с помощью графического интерфейса.

Для вызова графического интерфейса GUI служат две функции - ltiview и rltool [2]. Функция rltool позволяет корректировать динамические свойства замкнутой одномерной системы управления. В данном случае эта функция интереса не представляет. Функция ltiview открывает специальное средство просмотра временных и частотных характеристик линейных стационарных систем - LTI-viewer (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - Меню окна LTI- viewer

Рассмотрим работу интерфейса GUI на примере звена второго порядка

, (2.4)

где значение постоянных времени T1 = 0,00000042 с, T2 = 0,002 с.

Выполним загрузку этой передаточной функции в рабочую среду системы MATLAB.

>> W = tf([1],[0.00000042 0.002 1])

Выберем команду Import в меню File. Откроется окно LTI Browser. В окне будет представлена одна модель с именем W (рисунок 2.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подтвердим выбор нажатием кнопки ОК. При этом окно загрузки закроется и откроется график переходной функции.

Можно получить информацию о координатах любой произвольной точке на графике, если подвести к ней указатель мыши и нажать на правую кнопку мыши. Чтобы получить другие временные и частотные характеристики выбранного звена выберем пункт меню Edit/Plot Configuration. В этом случае откроется окно диалога вида рисунок 2.4, которое позволит выбрать интересующую нас характеристику. Это может быть импульсная характеристика Impulse (реакция системы на единичный импульс), переходная характеристика Step Nyquist (реакция системы на единичное ступенчатое воздействие), частотные характеристики в виде диаграммы Bode (реакция системы на гармонический сигнал), годограф Найквиста в виде амплитудно-фазочастотной характеристики и др.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.2 Моделирование в среде Simulink

Временные и частотные характеристики уже реализованные с помощью пакета Control System Toolbox можно также построить в среде визуального моделирования Simulink.

Программное средство Simulink - типичный представитель визуально-ориентированного языка программирования. На всех этапах работы, особенно при подготовке моделей систем, пользователь практически не имеет дела с обычным программированием. Программа автоматически генерируется в процессе ввода выбранных блоков компонентой, их соединений и задания параметров компонентов.

И хотя процесс моделирования в среде Simulink занимает больше времени, сама практика составления структурных схем способствует лучшему пониманию теоретических основ САУ и подготавливает пользователя к работе с более сложными моделями.

Исследование переходной характеристики колебательного звена реализуется с помощью модели, представленной на рисунке 2.7.

Единичная ступенчатая функция формируется с помощью источника одиночного перепада Step. Параметры источника:

- Step time = 0 - время появления перепада (скачка);

- Initial value = 0 - начальное значение воздействия;

- Final value = 1- конечное значение воздействия;

- Sample time = 0 - эталонное время (параметр используется для согласования источника и других компонентов модели).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Выход источника подключен к блоку передаточной функции Transfer Fcn, исходные данные которого следующие:

- Numerator (числитель) [1];

- Denominator (знаменатель) [0.00000042 0.002 1].

При внесении числовых значений передаточной функции необходимо соблюдать следующие правила: запись производится в квадратных скобках, целые и десятые доли десятичных дробей разделяются точкой, числа между собой разграничены пробелом.

Далее выбирается в меню Simulation/Configuration Parameters и устанавливаются следующие значения

Simulation time (интервал моделирования):

- Start time: 0.0 (начальное время);

- Stop time: 0.06 (конечное время).

Solver options (параметры решателя):

- Type (метод интегрирования);

Variable-step (переменный шаг) ode45(Dormand-Prince) (одношаговый метод)

Max step size (максимальный шаг интегрирования): auto

Min step size (минимальный шаг интегрирования): auto

Реакция звена на единичное ступенчатое воздействие регистрируется на виртуальном осциллографе Scope.

Теперь можем посмотреть результаты моделирования (рисунок 2.8), нажав кнопку «Start» панели инструментов рабочего окна и щелкнув два раза по осциллографу Scope.

Чтобы полученный график был более наглядным необходимо настроить параметры окна Scope, с помощью семи кнопок, находящихся в этом окне на панели инструментов:

- Zoom (масштаб) - изменение масштаба осей графика;

- Zoom X-axis (масштаб по оси Х) - изменение масштаба по оси абсцисс;

- Zoom Y-axis (масштаб по оси У) - изменение по оси ординат;

- Autoscale (автоматическое масштабирование) - автоматическая установка оптимального масштаба осей;

- Save current axes setting (сохранение текущих параметров масштаба) - сохранение установленного масштаба осей;

- Properties (свойства) - открытие окна настройки параметров (свойств) блока Scope;

- Print (печать) - печать содержимого окна Scope.

Первые три кнопки являются альтернативными, то есть в каждый момент времени может быть «нажата» только одна из них.

Некоторые настройки могут быть выполнены с помощью команд контекстного меню, которое вызывается на экран щелчком правой мыши (указатель мыши при этом должен находиться внутри координатной сетки). Контекстное меню содержит четыре команды: восстановление исходного масштабы осей (Zoom out), автоматическое восстановление (Autoscale), сохранение установленного масштаба осей (Save current axes settings), флажок floating scope позволяет не связывать напрямую блок Scope с другими блоками.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сравнивая рисунок 2.3 и рисунок 2.8, можно прийти к заключению о практически полной идентичности результатов, полученных двумя разными методами.

Моделирования весовой функции осуществляется с помощью той же модели (рисунок 2.7), но входной сигнал в этом случае представляет собой дельта-функцию.

В качестве достаточно точного приближения к дельта-функции можно использовать импульс с единичной площадью и длительностью порядка 10-6с и амплитудой 106ед. Таким образом, единичный импульс на рисунке формируется с помощью источника одиночного перепада Step. Нажав левой клавишей мыши на этот блок, мы сможем подставить необходимые значения:

- Step time = 0,000001 - время появления перепада (скачка);

- Initial value = 1000000- начальное значение воздействия;

- Final value = 0 - конечное значение воздействия;

- Sample time = 0 - эталонное время.

Значения параметров общего моделирования Simulation Parameters остаются без изменений, как и при построении переходной характеристики.

Значения параметров моделирования Simulation Parameters из раздела командной строки рабочего окна Simulation остаются без изменений.

Запустим процесс моделирования. Сравнив полученные результаты (рисунок 2.9) с уже имеющимися (рисунок 2.5) убедимся, что разница визуально не различима.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Несколько сложнее строится структура для получения частотных характеристик. Один из вариантов модели для получения логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) представлен на рисунке 2.10.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для построения структурной схемы (рисунок 2.10) используются блоки: Ramp, Fch и XY Graph. Блок Ramp имитирует линейно нарастающее изменение частоты входного сигнала вида F(u)=k*u. Окно настройки блока заполняется следующим образом:

- Slope = 1 или k=1 - угловой коэффициент временной зависимости F(u);

- Start time = 0 - начальное время;

- Initial value = 1 - начальное значение частоты.

Последний параметр выбран из соображений реализуемости модели, так как lg1 = 0.

Блок Fcn1 - моделирует ЛАЧХ апериодического звена второго порядка

. (2.5)

Для моделирования использовались уже известные исходные данные:

- k = 1;

- T1 = 0,00000042;

- T2 = 0,002;

- щ = u.

Во второй блок Fcn2 записывается функция lgu для достижения логарифмического масштаба частоты.

Окно задания параметров графопостроителя в системе полярных координат XY Graf заполняется следующим образом: xmin = 0, xmax = 5, ymin = 0; ymax = 50, Samp time = 0. В качестве координаты X здесь используется частота u в логарифмическом масштабе, а для задания координаты Y используется L(u), т.е. ЛАЧХ.

Теперь можно установить параметры моделирования. Для этого выполняется команда Simulation Parameters в меню Simulation и заполняется открывшееся окно.

Simulation Parameters (интервал моделирования):

Start time: 0.0 (начальное время)

Stop time: 100000 (конечное время)

Solver options (параметры решателя):

Type (метод интегрирования):

Fixed-step (фиксированный шаг) ode45(Dormand-Prince) (одношаговый метод Дормана-Принсе)

Fixed step size: 1 Mode (режим расчета): Single Tasking (однозадачный).

После выполнения перечисленных всех пунктов производится запуск процесса моделирования, нажав при этом кнопку (Start/Pause Simulation) на панели инструментов Simulink.

Результаты моделирования представлены на рисунке 2.11.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Для получения логарифмических фазо-частотных характеристик (ЛФЧХ) необходимо использовать более сложную модель (рисунок 2.12). Для пояснения предложенной структуры рассмотрим выражение для фазо-частотной характеристики [3]

. (2.6)

Простой анализ этого выражения показывает, что при переходе частоты через значение к выходному сигналу блока Fcn1 необходимо прибавить постоянную равную значению р (3,1415926), что достигается с помощью релейной функции Relay1, которая обеспечивает скачкообразное изменение ц(щ) при переходе частоты через значение =1543.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результаты моделирования ЛФЧХ представлены на рисунке 2.13.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.3 Моделирование процесса свертки функций

Представляет интерес моделирования структуры, поясняющий основополагающий принцип линейных систем - принцип суперпозиции. Основа этого принципа заключается в том, реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию системы на любое произвольное воздействие через реакцию системы на элементарное типовое воздействие, например, в виде дельта-функции (рисунок 2.14). Для этого достаточно представить данное входное воздействие в виде совокупности выбранных типовых воздействий.

Математическую формализацию этого принципа можно представить выражением теоремы для свертки функций в вещественной области.

(2.7)

здесь x(t) - входное воздействие; y(t) - выходное воздействие; интеграл в правой части называется интегралом Дюамеля.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реакция системы на единичный импульс в виде дельта-функции, приложенной к системе в момент времени t = , известна - эта импульсная переходная функция w(t - ). Очевидно, что реакция системы на импульс величиной x()d, приложенный к системе в тот же момент времени t=, есть w(t-) x()d. Реакция системы на всю совокупность импульсов, т. е. на управляющее воздействие x(t), определяется приведенным равенством, т. е. состоит из суммы реакций на каждый импульс в отдельности. Пусть t является моментом наблюдения за реакцией системы x(t), разность - интервалом времени (б) между моментом приложения к системе импульса x()d и рассматриваемым (текущим) моментом времени t>. Функция w(t-) будет определять, таким образом, степень участия импульсов, приложенных к системе до рассматриваемого момента времени в образовании значения y(t) реакции системы в текущий момент времени t. Влияние импульсов, предшествующих моменту времени t, на значение величины y(t) зависит от характера импульсной переходной функции w(t-). Из рисунка 2.14, б, например, видно, что импульс x()d проявляет себя в момент времени t более существенно, если импульсная переходная функция имеет вид w2(t-). Если же эта функция имеет вид w1(t-), то влияние импульса будет проявляться слабее. Следовательно, импульсная переходная функция как бы "взвешивает" роль каждого импульса, приложенного к системе в момент времени t=, в образовании реакции системы в рассматриваемый момент времени. По этой причине часто импульсную переходную функцию называют также весовой функцией.

В дискретной форме выражение (2.7) можно представить в следующем виде

(2.8)

Рассмотрим конкретный пример с использованием в качестве входного воздействия положительной полуволны синусоиды с единичной амплитудой и частотой 314,16 рад/сек. В качестве объекта управления используем апериодическое звено второго порядка с известными параметрами (рисунок 2.15).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Величина ?t принимается равной 0,0005 с. Таким образом, каждый последующий импульс с выхода сумматора S смещен относительно предыдущего на величину 0,0005 с, что достигается настройкой параметров двух блоков Step. В системе Simulink структура, имитирующая элемент w(t - k?ф)x(k?ф), представлена на рисунок 2.15.

На следующем рисунке (рисунок 2.16) представлена модель всего процесса свертки функций. Весь процесс моделирования занимает время tМ = 0,01 с и количество отсчетов можно рассчитать по формуле

n = tM /?t = 20 (2.9)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Подсистема Subsystem на рисунке 2.16 включает в себя двадцать элементов, представленных на рисунке 2.15. Выходы этих элементов складываются в сумматоре ?, затем умножаются на период дискретности ?t, после чего поступают на осциллограф Scope. На этот же осциллограф записывается также непосредственная реакция звена на входной сигнал и сам входной сигнал типа полуволны. Графики этих сигналов представлены соответственно на рисунке 2.17 а, б и в. Анализируя полученные осциллограммы, можно отметить, что график суммарной реакций на отдельные импульсы (рисунок 2.17, а) представляет собой волнистую кривую, которая при уменьшении периода дискретности ?t (или при увеличении количества отсчетов) должна теоретически стремиться к кривой рис. 2.17, б).



Размещено на http://www.allbest.ru/

2.4 Модель релейной системы регулирования

При качественном рассмотрении процессов в нелинейных автоматических системах удобно использовать геометрическое представление, основанное на понятии фазового пространства. Фазовое пространство - это пространство в прямоугольной системе координат Хi которыми являются величины, определяющие состояние системы. В общем случае у системы п-го порядка таких координат будет п. Ими могут быть, например, выходная величина системы и ее (n-1) производных, п выходных величин отдельных звеньев системы или других связанных с ними переменных, которые в совокупности полностью определяют состояние системы. Для системы второго порядка фазовое пространство двухмерное, т. е. представляет собой фазовую плоскость, а для систем третьего порядка фазовое пространство представляет собой трехмерное геометрическое пространство. При более высоком порядке п это соответственно n-мерное пространство.

Состоянию системы в каждый момент времени, определяемому значениями ее п координат, соответствует определенная точка фазового пространства. Эта точка называется изображающей точкой. При изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Фазовая траектория дает полное представление о характере процесса в системе, кроме его временной оценки, поскольку время здесь из рассмотрения исключено.

Если в качестве координат взять отклонения xi = Xi - Xiуст величин Xi от их значений Xiуст, соответствующих некоторому установившемуся режиму системы, то этому режиму будет соответствовать равенство нулю всех xi, т.е. начало координат фазового пространства. В этом случае для оценки устойчивости системы надо знать, как при t > ? перемещается изображающая точка относительно начала координат. Для линейных систем в случае устойчивой системы все фазовые траектории асимптотически стягиваются в начало координат, а в случае неустойчивой - уходят в бесконечность.

Ниже рассматривается релейная система с обратной отрицательной связью. Simulink-модель такой системы представлена на рисунке 2.18.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Данная система включает в себя инерционное звено первого порядка с коэффициентом усиления k = 10 и постоянной времени T = 0,2 и последовательно соединенное с ним интегрирующее звено. На входе инерционного звена установлен релейный элемент с зоной нечувствительности 2b. Статическая характеристика релейного элемента (рисунок 2.19) формируется блоками Relay1 и Relay2. На вход системы поступает единичные ступенчатое воздействие. Реакцией инерционного звена на это воздействие является переходная характеристика dy/dt, которая отображается на экране виртуального осциллографа Scope 1. Одновременно на экране осциллографа записывается сигнал y с выхода интегратора (Integrator). Очевидно, что сигнал на входе интегратора является производной по времени от производной от сигнала y на его входе. Зависимость производной от первообразной функции или фазовая траектория, что одно и тоже, записывается на экране виртуального графопостроителя XY Graph. Эта фазовая траектория является графическим представлением уравнения состояния рассматриваемой модели.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Результаты моделирования представлены на рисунках 2.20 и 2.21.

Исходные данные: k = 10, T = 0,2, 2b = 0,02.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ полученных графиков показывает, что система устойчива. Переходный процесс имеет сходящийся характер и стремится к линии y =0,9.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изменим исходные данные: k = 100, T = 0,02, 2b = 0,2. Результаты нового моделирования представлены на рисунках 2.22 и 2.23.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ результатов моделирования (рисунки 2.22 и 2.23) системы при увеличении коэффициента усиления инерционного звена до 100 секунд одновременным уменьшением зоны нечувствительности до 0,02 показывает, что в этом случае в системе возникают устойчивые колебательные процессы. Предельный цикл имеет параметры: амплитуда выходной величины yA = 0,16, амплитуда производной dy/dt = 18.

Оценивая рисунки 2.21 и 2.22, можно сделать заключение, что фазовый портрет, как геометрическая интерпретация уравнения состояния, дает полное представление о динамике нелинейной системы порядка не выше второго при детерминированных воздействиях, включая точность, устойчивость и качество переходного процесса.

2.5 Моделирования элементов ЭКГ при патологии

Имитационное моделирование ЭКГ-сигналов относится к одному из направлений анализа электрокардиологической информации, которое занимается созданием автоматизированных адаптивных ЭКГ-комплексов.

Наиболее приемлемым, в этом случае, является метод с подстраиваемой моделью, который основывается на том, что параметры моделируемых зубцов электрокардиологического сигнала подстраиваются под признаки реального ЭКС, при этом в качестве таких моделей используются линейные звенья с переменной структурой. Затем на основе параметров линейных звеньев (постоянные времени и коэффициенты усиления) составляется база признаков патологий, которая является основой при составлении диагностического заключения.

В качестве примера рассматривается моделирование отдельного элемента ЭКГ - зубца Р (рисунок 2.24).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зубец Р является достаточно информативным характерным элементом ЭКГ, т.к. отражает распространение электрического импульса по обоим предсердиям. Активность правого предсердия показывает начальная стадия зубца, а конечная его часть представляет электрический потенциал, генерируемый левым предсердием. Модель зубца Р, выполненная с помощью пакета расширения Simmulink системы MatLab, представлена на рисунке 2.25 в виде переменной структуры.

Модель способна отражать небольшие отклонения зубца Р от нормы. Принцип работы системы заключается в следующем: на вход инерционного звена второго порядка (Transfer Fcn) подается единичный импульс (Step 1). В результате на выходе звена с помощью осциллографа (Scope) фиксируется переходная характеристика в виде затухающего колебательного процесса.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зубец Р по своим морфологическим признакам во многом схож с первым полупериодом, полученной переходной характеристики. Для ограничения переходного процесса только первым полупериодом в систему необходимо ввести жесткую обратную связь с высоким коэффициентом усиления (Gain), которая должна подключаться в момент окончания первой полуволны и тем самым устранять колебательность переходного процесса, приводя к нулю. Обоснование выбора коэффициента усиления (Gain) рассматривается в [4].

Передаточная функция полученной системы W(s) соответствует инерционному звену Wи.з., охваченного отрицательной обратной связью Wо.с.

. (2.10)

Выражение для передаточной функции инерционного звена следующее

.

. (2.11)

В примере на рисунке 2.25 коэффициент усиления k равен 10, постоянные времени Т1 =2000, Т2=10, s - оператор Лапласа.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При патологии возможны различные формы зубца: расщепление, высокая амплитуда, заострение зубца, изменение полярности и т.д. На рисунке 2.25 показана S-модель нормального P-зубца, для получения патологического зубца Р одной полярности с расщеплением необходимо составить схему, состоящую из двух одинаковых подсистем, имеющих структуру аналогичную S-модели нормального P-зубца и подключенных определенным образом. На рисунке 2.26 представлена такая комбинированная система. Две подсистемы Subsystem 1 и Subsystem 2 одинаковые по структуре, но различные по параметрам инерционного звена. Вторая подсистема является источником формирования второй полуволны расщепленного зубца Р и подключена к формирователю единичного импульса через блок фиксированной задержки Transport Delay.

На рисунке 2.27 представлены графики, полученные на осциллографах Scope1 и Scope2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2.27, б представляет первую полуволну расщепленного зубца Р, а рисунок 2.27, а вторую полуволну. На рисунке 2.27, в показан график, полученный на осциллографе Scope1 и представляющий суммарный расщепленный зубец Р.

Передаточная функция WР (p) для системы на рисунке 2.26 находится из следующего выражения

. (2.12)

где W1(s), W2(s) - передаточные функции первой и второй подсистемы соответствуют выражению (2.11), W3(s) - передаточная функция блока фиксированной задержки.

В теории автоматического управления блок фиксированной задержки носит также название звена с постоянным запаздыванием с передаточной функцией

, (2.13)

где k - коэффициент усиления, ф - время запаздывания.

Для графиков на рисунке 2.20 справедливо следующее выражение

. (2.14)

Выражение для передаточной функции системы синтеза зубца Р с расщеплением (2.13) получено из (2.10), (2.12) и (2.13) подстановкой значений Т2=0, Т1=2000, k=10 (для первой подсистемы); Т2=0, Т1=200, k=10 (для второй подсистемы); kЗ=1 и ф=90 и показывает, что в данном случае W1(s) и W2(s) отличаются друг от друга значением постоянных времени Т1.

Метод подстраиваемой модели универсален, так как позволяет использовать одну систему в качестве базовой. В данном случае такая система изображена на рисунке 2.18. Включение в систему новых блоков дает возможность изменять исследуемый элемент, в рассматриваемом примере - это зубец Р. Кроме того, блоки, входящие в систему, имеют переменную структуру, т.е. возможно устанавливать различные значения параметров этих блоков, регулируя таким образом амплитуду и длительность моделируемого сигнала.

3. Надежность программного обеспечения

3.1 Неконструктивность понятия правильной программы

Под «программой» часто понимают правильную программу, т.е. программу, не содержащую ошибок. Однако понятие ошибки в программе трактуется в среде программистов неоднозначно. Согласно Майерсу [14] в программе имеется ошибка, если она не выполняет того, что разумно ожидать от нее пользователю. «Разумное ожидание» пользователя формируется на основании документации по применению этой программы. Следовательно, понятие ошибки в программе является существенно не формальным. В программных средствах (ПС) программы и документация взаимно увязаны, образуют некоторую целостность. Поэтому правильнее говорить об ошибке не в программе, а в ПС в целом: считается, что в ПС имеется ошибка, если оно не выполняет того, что разумно ожидать от него пользователю. В частности, разновидностью ошибки в ПС является несогласованность между программами ПС и документацией по их применению. Выделяется в отдельное понятие частный случай ошибки в ПС, когда программа не соответствует своей функциональной спецификации (описанию, разрабатываемому на этапе, предшествующему непосредственному программированию). Такая ошибка называется дефектом программы.

Так как задание на ПС обычно формулируется не формально, а также из-за того, что понятия ошибки в ПС не формализовано, то нельзя доказать формальными методами (математически) правильность ПС. Поэтому понятие правильной ПС неконструктивно в том смысле, что после окончания работы над созданием ПС мы не сможем убедиться, что достигли цели.

3.2 Надежность программного средства

Альтернативой правильного программного средства является надежное ПС. Надежность ПС это его способность безотказно выполнять определенные функции при заданных условиях в течение заданного периода времени с достаточно большой вероятностью. При этом под отказом в ПС понимают проявление в нем ошибки. Таким образом, надежное ПС не исключает наличия в нем ошибок важно лишь, чтобы эти ошибки при практическом применении этого ПС в заданных условиях проявлялись достаточно редко. Убедиться, что ПС обладает таким свойством можно при его испытании путем тестирования, а также при практическом применении. Таким образом, фактически возможно разрабатывать лишь надежные, а не правильные ПС.