Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Саратовский государственный технический университет

Кафедра технической кибернетики и информатики

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине

«Теория автоматического управления»

на тему:

СИНТЕЗ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Выполнил:

студент группы УИТ 41

Потапенко О.А.

Проверил:

Барцева Л.А.

Саратов

2007

Реферат

Работа содержит 40 страниц, 10 рисунков, 12 графиков, приложение.

БЦВМ, Временные показатели качества, Годограф, динамический регулятор, Дискретный регулятор, Наблюдаемость, переходная функция, СистемА автоматического регулирования, статический регулятор, управляемость, Форма коши, Частотные характеристики

В работе рассматривается задача синтеза регулятора системы стабилизации управляемого снаряда по крену.

Составлена математическая модель системы автоматического управления, проведен анализ этой системы и синтез законов управления. Причем, исследования проведены как в непрерывной постановке, так и в случае, когда в качестве управляющего устройства (регулятора) используется БЦВМ.

Содержание

• Техническое задание на проектирование 4
• 1. Составление и анализ математической модели объекта управления и структурной схемы системы 8
• 1.1 Составление математической модели объекта управления 8
• 1.2 Исследование управляемости и наблюдаемости объекта управления 9
• 1.3 Составление структурной схемы системы 10
• 2. Исследование возможности решения задачи с помощью простейшего (статического) регулятора 12
• 2.1 Построение области устойчивости 12
• 2.2 Построение области требуемой точности 14
• 2.3 Построение области быстродействия 16
• 2.4 Вывод по построению статического регулятора 17
• 3. Синтез и реализация непрерывного закона управления, удовлетворяющего требованиям технического задания 19
• 4. Анализ замкнутой системы управления с непрерывным регулятором 22
• 5. Синтез и анализ системы управления с цифровым регулятором 26
• 5.1 Составление дискретной модели системы 26
• 5.2 Синтез регулятора для дискретной системы 27
• Заключение 34
• Используемые источники 35
• Приложение 36

Техническое задание на проектирование

математическая модель статический регулятор

Цель проектирования. В предложенной для проектирования системе управления заданны параметры неизменной части системы, состоящие из объекта управления и измерительных устройств. Целью проектирования является нахождение уравнений и параметров регулятора (изменяемой части) так, чтобы замкнутая система была асимптотически устойчивой, и удовлетворялись требования к качеству регулирования.

Показатели качества. Качество регулирования оценивается показателем статической точности (), быстродействием (),и частотным показателем качества R,выражающим запасы устойчивости системы. При этом заданные в исходных данных параметры определяют предельно допустимые значения соответствующего показателя, а значение определяет желаемое время регулирования (быстродействие).

Особые условия. Закон управления (регулятор) должен быть определен в двух видах - в аналоговой форме (непрерывный регулятор) и в виде алгоритма работы БЦВМ (цифровой регулятор), включенной в контур регулирования с помощью ЦАП и АЦП. В обоих случаях регулятор должен принадлежать к классу физически реализуемых и устойчивых динамических систем.

При нахождении дискретного регулятора следует считать, что ЦАП и АЦП работают синхронно с периодом дискретности h = 0.1сек. (для всех вариантов), и выдача рассчитанного после съема информации управления произойдет с запаздыванием на один такт.

Реализация регулятора. После определения модели непрерывного регулятора необходимо составить принципиальную схему для его реализации с использованием аналоговых средств микроэлектроники. При этом вопросы электрического согласования регулятора с измерительными и исполнительными устройствами системы управления предметом данного задания не являются.

Реализация дискретного закона управления на БЦВМ производится программными средствами, поэтому в рамках данного задания следует ограничиться представлением алгоритма работы БЦВМ с помощью разностных уравнений в форме Коши или вход - выход.

Система № 3. Система стабилизации управляемого снаряда по крену.

Система предназначена для стабилизации управляемого снаряда по крену. Схема снаряда с принятыми обозначениями изображена на рис.1.

Если рассматривать вращение снаряда, как твердого тела вокруг продольной оси х, то уравнение движения можно записать в виде:

,

где - момент инерции снаряда относительно продольной оси; - угловая скорость вращения вокруг оси x; - момент внешних сил, прикладываемых к снаряду относительно оси x; - аэродинамический момент, обусловленный поворотом элеронов на угол . При этом момент зависит как от угла поворота элеронов, так и от угловой скорости вращения снаряда, т.е.

,

где С и - коэффициенты пропорциональности, причем - называется эффективностью элеронов, а отношение представляет собой постоянную времени снаряда при движении по крену.



Система работает следующим образом. При действии на снаряд внешнего возмущающего момента относительно продольной оси начинает изменяться угол крена . С датчика угла, в качестве которого используется гировертикаль, появляется электрический сигнал рассогласования между текущим значением угла крена и некоторым заданным. Этот сигнал поступает на регулятор, который вырабатывает управляющее воздействие на привод для элеронов. Элероны, поворачиваясь на некоторый угол , создают аэродинамический момент , направленный противоположно внешнему возмущающему моменту, так что снаряд приобретает крен, близкий к заданному.

Кроме основного сигнала с гировертикали на регулятор могут подаваться также сигналы с датчика угловой скорости вращения относительно оси x и с датчика положения элеронов.

Исходные данные для проектирования приведены в таблице 1.

Номер варианта - 4.

Таблица 1

Показатели качества	Параметры объекта	Коэффициенты передачи измерителей	Внешний возмущающий момент
Ошибка регулирования	Время регулирования	Радиус устойчивости	Эффективность элеронов	Постоянная времени	Коэфф-ициент передачи привода	Постоянная времени привода	Момент инерции снаряда	По углу крена	По углу элерона
0.5	3.0	0.82	8.0	1.0	0.07	0.09	2.81	6.3	7.3	4.5

Примечания

1. В качестве объекта управления в этой системе принять управляемый снаряд и привод для элеронов, который представляется апериодическим звеном с постоянной времени и коэффициентом передачи .

2. При анализе системы считать, что внешний возмущающий момент носит ступенчатый характер.

1. Составление и анализ математической модели объекта управления и структурной схемы системы

1.1 Составление математической модели объекта управления

Запишем математическую модель системы в форме Коши:

В векторно-матричной форме математическая модель будет иметь вид:

где: - вектор состояний системы,

M_x - внешнее возмущение,

u - управляющее воздействие,

-вектор измеряемых переменных.

A,B,C,G - числовые матрицы соответствующих размерностей:



1.2 Исследование управляемости и наблюдаемости объекта управления

Анализ необходим для ответа на принципиальный вопрос о возможности или невозможности синтеза закона управления, обеспечивающего устойчивость замкнутой системы.

Критерий управляемости имеет вид:

n=3

По определению ранга квадратных матриц имеем :

Для квадратной матрицы M_{n x n} rank(M) = n тогда и только тогда, когда матрица M невырожденная (det M 0).

Значит, система полностью управляема.

Критерий наблюдаемости имеет вид:

, где n = 3

,

Значит, система полностью наблюдаема.

Значит, возможен синтез закона управления.

1.3 Составление структурной схемы системы

Для построения структурной схемы найдём изображения по Лапласу величин _х(t), (t), (t). Уравнения примут вид:



Рис 2. Структурная схема системы с учетом регулятора

2. Исследование возможности решения задачи с помощью простейшего (статического) регулятора

На данном этапе курсовой работы за основу примем статический регулятор, как наиболее простой с точки зрения реализации. Уравнения такого регулятора имеют вид:

,

где

k₁, k₂- искомые коэффициенты передачи

y₁, y₂ -измеряемые переменные.

Для определения области параметров k₁ и k₂ используем метод построения областей в плоскости этих параметров, в которых удовлетворяются требования асимптотической устойчивости ,требования к быстродействию, точности (критерии времени регулирования, ошибки регулирования).

Рис.3 Структурная схема системы со статическим регулятором

2.1 Построение области устойчивости

Для устойчивости замкнутой системы в целом должно выполняться условие устойчивости внутреннего контура.

Передаточная функция внутреннего контура:

Применяя критерий Гурвица для определения области устойчивости системы, запишем неравенство:

Для определения области устойчивости всей системы запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

ХПЗС:

Для определения параметров k₁ и k₂ составим матрицу Гурвица и найдём главные миноры. Учтем также, что k₁ >0 и k₂>0 по условию отрицательной обратной связи.

2.2 Построение области требуемой точности

При определении условий требуемой точности в задачах стабилизации при ступенчатом внешнем возмущении целесообразно воспользоваться теоремой о предельных значениях, выражающей одно из свойств преобразования Лапласа (для непрерывной системы):

.

Для исследуемой системы определена передаточная функция

, тогда .

Откуда получаем выражение для установившейся ошибки

Рис.4 Структурная схема системы со статическим регулятором



Рис.5 Преобразованная схема

Тогда, окончательно, получим , где .

Преобразуем исходную схему для определения требований точности:

Получим искомую передаточную функцию:

Таким образом, получаем ограничение на точность.

2.3 Построение области быстродействия

Для определения условий и построения области требуемого быстродействия можно воспользоваться понятием степени устойчивости . Этот параметр определяется абсолютной величиной вещественной части ближайшего к мнимой оси корня характеристического полинома устойчивой замкнутой системы и связан со временем регулирования приближенным соотношением . Если определить таким образом желаемое значение * и формально записать условия устойчивости для характеристического полинома , где новая комплексная переменная, то полученная область в плоскости параметров k₁, k₂ будет являться искомой областью требуемого быстродействия. При этом значения k₁, k₂ на границе области будут соответствовать желаемому быстродействию, а значения этих параметров внутри области определят более быстрый переходной процесс.

По критерию Гурвица получим условия



Получаем ограничение на быстродействие.

2.4 Вывод по построению статического регулятора

Выбор статического регулятора невозможен, из-за противоречивости требований к быстродействию. Необходимо выбирать регулятор в классе динамических регуляторов, с помощью которых динамика разомкнутой системы может быть изменена таким образом, чтобы замкнутая система обладала требуемыми показателями.



Рис.6 Области устойчивости и точности регулирования

3. Синтез и реализация непрерывного закона управления, удовлетворяющего требованиям технического задания

3.1 Синтез непрерывного закона управления

Для непрерывных систем наиболее простой метод решения задачи синтеза управления основан на использовании логарифмических амплитудно-частотных характеристик (метод ЛАЧХ).

Передаточная функция системы с учетом статического регулятора имеет вид

Выбираем коэффициенты регулятора из области точности и устойчивости системы. Пусть .

Тогда передаточная функция разомкнутой системы равна

.

Граф.1 Переходной процесс для регулируемой переменной со статическим регулятором.



Граф.2. Частотные характеристики системы со статическим регулятором

Строим желаемую ЛАЧХ. При этом учитываем, что для выдерживания времени перерегулирования необходимо определять .

Для нашего случая примем .

Для границ

Граф.3. Истинная и желаемая ЛАЧХ

Для приведения ЛАЧХ системы к желаемому виду необходимо применить корректирующие устройства, которые могут включаться в контур последовательно и параллельно. Известно, что исходя из простоты реализации корректирующих устройств, часто применяют смешанную коррекцию.

Рис.7 Структурная схема системы с учетом устройств коррекции

Смешанная коррекция предполагает применения, как параллельного корректирующего устройства ( ), так и последовательных устройств ().

При этом использование определяется условием

.

Если условие выполняется -, иначе .Проверка условия применения W_п2 проводилась с использованием MATLAB.

Граф. 3.5. Объяснение применения W_п2 для коррекции ЛАЧХ внутреннего контура.

Рассчитаем передаточные функции корректирующих устройств:



С учетом устройств коррекции строим систему с непрерывным динамическим регулятором.

Рис.8. Структурная схема системы с динамическим непрерывным регулятором

3.2 Анализ замкнутой системы управления с непрерывным регулятором

Проведем анализ синтезированного регулятора.

1. Временные показатели качества регулирования.



Граф.4. Переходной процесс для регулируемой переменной

Временные показатели качества регулирования определяются по переходному процессу по измеряемой переменной.

Статическая ошибка регулирования при t=3 c меньше заданной 0.005 рад, что видно из переходных характеристик по регулируемой переменной.

2. Частотные характеристики системы и показатели качества

Определим передаточную функцию разомкнутой системы

Определим по ЛЧХ устойчивость системы. Система устойчива, если ЛАЧХ пересекает ось частот раньше, чем ЛФЧХ достигает 180^о

Граф.5 Частотные характеристики системы с динамическим регулятором

На граф. 5. видно, что система устойчива.

Также для определения устойчивости системы можно использовать годограф АФЧХ разомкнутой системы. Так как разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф не охватывал критическую точку с координатами

( - 1 ; j 0 ).

Граф.5 Годограф АФЧХ

Определим частотные показатели качества регулирования.

R(радиус устойчивости)=0,82, как требовалось по условию технического задания.

Система отвечает требованиям точности, быстродействия, устойчивости, поставленным в техническом задании.

3.3 Реализация регулятора

После определения модели непрерывного регулятора составим принципиальную схему для его реализации с использованием аналоговых средств микроэлектроники. При этом вопросы электрического согласования регулятора с измерительными и исполнительными устройствами системы управления предметом данного задания не являются.

Для возможности схемной реализации преобразуем выражения для непрерывного закона управления:

Рис.9 Принципиальная электрическая схема динамического регулятора.

Для звеньев в схеме, запишем уравнения элемента:

Сумматор:

Апериодическое звено:

Усилитель:

5. Синтез и анализ системы управления с цифровым регулятором

5.1 Составление дискретной модели системы

Для удобства синтеза цифрового регулятора приведем систему к новым переменным состояния, при которых .

Матрица приведения равна

Получим

Дискретная модель системы в форме Коши

Матрицы Ф, R, и А, В связаны соотношением:

Т. к. матрица А особая т. е. detA=0 то:

Получили:



Построим дискретную математическую модель в форме Коши с учетом запаздывания:

Тогда

Запаздывание системы отражает действительное запаздывание между получением информации о состоянии системы и формированием управляющего сигнала.

5.2 Синтез цифрового регулятора

Рассмотрим метод синтеза цифрового регулятора по измеряемому выходу с использованием наблюдателя Люэнбергера минимальной размерности.

Сформулируем задачу:

Для объекта

где ,

построить динамический регулятор по измеряемому выходу

,

чтобы система была устойчива по управлению. Необходимо разработать программу БЦВМ.

1. Построим наблюдатель Люенбергера.

где матрицы наблюдателя находим из уравнений

,

где матрицы имеют блочную структуру:



Для определения L применяем метод линейно-квадратичной оптимизации.

То есть, определяем такую матрицу L, которая обеспечивает устойчивость наблюдателя и минимум функционала .

При нахождении L используем стандартные функции MATLAB. Для этого выбираем .

Получаем

Находим матрицы наблюдателя:

2. Найдем регулятор по полному состоянию в форме ,решая задачу АКОР.

Для получения параметров регулятора необходимо задать неотрицательно определенную матрицу Q, положительно определенную матрицу R.



Результаты конструирования

3. Применим теорему разделения корней

4. Искомый динамический регулятор по измеряемому выходу находим как объединение регулятора по полному состоянию и наблюдателя

,

где

Передаточные функции регулятора:



Рис.10 Структурная схема дискретного динамического регулятора

5.3 Анализ системы управления с цифровым регулятором

Для полученного регулятора определим показатели качества

1. Определим временные показатели качества

Граф.10 Переходные характеристики

По переходному процессу для регулируемой переменной определяем время регулирования равное 0.7 с.

Перерегулирование .

Статическая ошибка регулирования =0,184 в 36.8 раз превышает заданную.

2. Определим частотные характеристики системы и показатели качества.

Запишем выражение для передаточной функции дискретной системы:

Граф.12. Годограф АФЧХ цифрового регулятора

Для определения устойчивости системы можно использовать годограф АФЧХ разомкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не огибал критическую точку в положительном направлении.

Система устойчива.

Запасы устойчивости оценим с помощью радиуса запаса устойчивости. Радиус запаса устойчивости равен 0.73, то есть не отвечает требованиям технического задания.

Таким образом, полученный цифровой динамический регулятор отвечает требованиям быстродействия, но не отвечает требованиям точности, запаса устойчивости. Это происходит по причине большого шага дискретизации. В [3] указывается, что существует понятие предельной точности для непрерывных систем. Точность системы увеличивается при увеличении коэффициента Q[1,1] до некоторого предельного значения, после чего с ростом Q[1,1] уменьшается устойчивость системы.

Экспериментально найдено (в среде MATLAB) предельное значение Q[1,1]=100. Также был рассмотрен синтез регулятора при h=0.01 c. Получили регулятор, удовлетворяющий требуемой точности. Но для поставленной задачи(h=0.1) точность регулирования не выдерживается.

Заключение

В работе рассматривается синтез управления системы стабилизации снаряда по крену.

В ходе исследования составлена математическая модель системы автоматического управления, проведен анализ этой системы и синтез законов управления. Причем, исследования проведены как в непрерывной постановке, так и в случае, когда в качестве управляющего устройства (регулятора) используется БЦВМ.

Синтезированные законы управления отвечают требованиям устойчивости, быстродействия (непрерывный и цифровой динамические регуляторы), точности (непрерывный динамический регулятор) системы. Качество регулирования оценивается показателем статической точности (), быстродействием (),и радиусом устойчивости (R).

После определения модели непрерывного регулятора была составлена принципиальная схема для его реализации с использованием аналоговых средств микроэлектроники.

Результатами работы являются реализованный непрерывный динамический регулятор и алгоритм для цифрового регулятора (БЦВМ).

Список используемых источников

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

2. Садомцев Ю.В. Модели систем автоматического управления. Непрерывные системы: Учебное пособие. Саратов. Изд-во СГТУ, 1990.

3. Садомцев Ю.В. Основы анализа дискретных систем автоматического управления: Учебное пособие. Саратов: СГТУ, 1998. 94с.

4. Садомцев Ю.В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости: Учебное пособие. Саратов: СГТУ, 2003. 208с.

Приложение

Листинг 1. Программа, написанная в среде MATLAB, для нахождения цифрового регулятора

% Синтез динамического регулятора по измеряемому выходу

% с использованием наблюдателя Люэнбергера

clc

clear

% ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ

% DX = Ao*X+Bo*u

% y=Co*x

Ao=[0 1 0;0 -1 8;0 0 -11.1111];

Bo=[0;0;0.7778];

Co=[6.3 0 0;0 0 7.3];

CN=[0 1 0];

P=[Co;CN];

A=P*Ao*inv(P);

B=P*Bo ;

C=Co*inv(P);

[n,n]=size(A);

[n,m]=size(B);

[r,n]=size(C);

ma=ss(A,B,C,zeros(r,m));

% Дискретная модель системы

tau=0.1; % время дискретизации

md=c2d(ma,tau); % дискретная модель объекта

Ad=md.a;

Bd=md.b;

Cd=md.c;

% формирование блоков матриц

A12=Ad(1:r,r+1:n);

A22=Ad(r+1:n,r+1:n);

% Расширенная система, учитывающая запаздывание управления на такт

Ad_raz=[Ad Bd;0 0 0 0];

Bd_raz=[0;0;0;eye(m)];

Cd_raz=[eye(r) zeros(r,r);0 0 0 eye(m)];

% ПОСТРОЕНИЕ НАБЛЮДАТЕЛЯ

% Матрицы квадратичного функционала

Q1=[1000];

Qest=diag(Q1); % неотрицательно определенная матрица Qest

R1=[1;1];

Rest=diag(R1); % неотрицательно определенная матрица Rest

[L1,E,EE]=dlqr(A22',A12',Qest,Rest);

L=-L1'; % матрица L наблюдателя

Un=[eye(r);-L];

Vn=[zeros(r,n-r);eye(n-r)];

T=[L eye(n-r)];

K=T*Ad*Un;

Wn=T*Ad*Vn;

Gn=T*Bd;

% ПОСТРОЕНИЕ РЕГУЛЯТОРА ПО ПОЛНОМУ УПРАВЛЕНИЮ

% Матрицы квадратичного функционала

Q1=[1002;0.01;0;0];

Q=diag(Q1); % неотрицательно определенная матрица Q

R1=[1];

R=diag(R1); % положительно определенная матрица R

[F1,P,EP]=dlqr(Ad_raz,Bd_raz,Q,R);

F2=-F1; % матрица F регулятора по полному состоянию

F=F2(m:n);

Ft=F2(m,n+1);

% Определение матриц динамического дискретного регулятора

% Pci[i+1]=Ar*Pci[i]+Br*Y[i]

% u[i]=F1*Pci[i]+F2*Y[i]

Ar=[Wn Gn;F*Vn Ft];

Br=[K;F*Un];

F1=[F*Vn Ft];

F2=[F*Un];

% Представление дискретного регулятора в форме Коши

dreg=ss(Ar,Br,F1,F2,tau);

% Передаточные функции регулятора

wd=tf(dreg)

Листинг 2. Программа, написанная в среде MATLAB, для нахождения цифрового регулятора

%----------------------------

% Определние передаточной функции разомкнутой системы с %цифровым динамическим регулятором

% Построение частотных логарифмических характеристик

% определение передаточных функций

Wd=zpk(dreg);

d_tf=zpk(md);

w1 = feedback(1,-d_tf(2)*Wd(2));

wraz=-w1*d_tf(1)*wd(1)

% построение частотных характеристик системы

nyquist(wraz,'g');

axis([-2,0,-1,1])

axis equal

title('Godograf')

xlabel('Re( W_d )')

ylabel('Im( W_d )')

grid on

figure(2);bode(wraz,'r--')

Листинг 3. Синтез непрерывного регулятора. Проверка применимости W_п2.

% Синтез непрерывного закона управления

% Проверка условия применимости смешанного управления

sys=tf([0.07*90*7.3],[0.09 1])

sys_g=tf([90*17*0.12*7.3*0.07*0.05732 90*17*0.12*2*7.3*0.07],[0.052938 0.6782 1])

bode(sys, sys_g)

Листинг 4. Синтез непрерывного регулятора. Передаточная функция разомкнутого контура.

sys1=tf([0.07*15.8],[0.09 1]); %

sys2=tf([90*7.3*0.0573 90*0.12*7.3],[0.5793 1])%

s1=zpk(sys1),s2=zpk(sys2)

Wvk=feedback(sys1,sys2)

Wvk=zpk(Wvk)

sys3=tf([8],[1 1 0])

sys4=tf([5000*6.3 5000*6.3],[66.7 1])

Wraz=Wvk*sys3*sys4

figure(2);bode(Wraz)

figure(3);nyquist(Wraz)

axis([-2,1,-1,1])

axis equal

Размещено на Allbest.ru