Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации

ГОУ ВПО

«СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА - ЮГРЫ»

РЕФЕРАТ

для сдачи кандидатского экзамена по специальности науки на тему:

Теоретические основы и методы системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации

Специальность 05.13.01

Системный анализ, управление и обработка информации

отрасль наук технические

Выполнил

аспирант (соискатель)

Чернобровкин Виталий Викторович

Сургут - 2010

Введение

Довольно часто в научной литературе используются такие понятия, как “системный подход”, “теория систем”, “системный анализ”, “принцип системности” и др. При этом их не всегда различают и часто применяют как синонимы. Наиболее общим понятием, которое обозначает все возможные проявления систем, является “ системность”. Причем в этом термине заключается два смысла. Первый составляет отождествление системности с объективным, независимым от человека свойством действительности. Такое понимание делает ее онтологическим, объективно-диалектическим свойством всего сущего. Другой под системностью подразумевает накопленные людьми представления о самом свойстве, т.е. она представляет собой гносеологическое явление, некоторые знания о системах различной природы. Гносеологическая системность - довольно сложное и многообразное явление, проявляющаяся в трех аспектах:

1. В системном подходе как принципе познавательной и практической деятельности людей. Термин “подход” означает совокупность приемов, способов воздействия на кого-нибудь, в изучении чего-нибудь, ведении дела и т.д. В этом смысле подход - скорее не детальный алгоритм действия человека, а множество некоторых обобщенных правил. Это лишь подступ к делу, но не модель самого дела. Поэтому системный подход можно рассматривать как принцип деятельности. Назначение системного подхода заключается в том, что он направляет человека на системное видение действительности. Он заставляет рассматривать мир с системных позиций, точнее - с позиций его системного устройства. Системный подход состоит в том, что любой более или менее сложный объект рассматривается в качестве относительно самостоятельной системы со своими особенностями функционирования и развития.

В теории систем, или научном знании о системах, которое характеризуется своими гносеологическими возможностями. Теория систем объясняет происхождение, устройство, функционирование и развитие систем различной природы. Это - не просто мировоззрение, а строгое научное знание о мире систем

2. В системном методе и его разрешающих способностях. Системный метод выступает как некоторая интегральная совокупность относительно простых методов и приемов познания, а также преобразования действительности.

1. Системы и задачи их анализа

1.1 Свойства систем

Теория систем изучает общие проблемы связи целого и его частей. В более узком понимании это вопросы, связанные с решением следующих проблем:

· определение содержания проблем;

· назначение и (или) определение целей при принятии решений;

· поиск путей решения проблем;

· проектирование и (или) построение систем для достижения целей и т.д.

Так что же понимается под термином «система»? Достаточно устоявшейся является мысль, что «система» («S») обладает минимум четырьмя свойствами:

1) Целостность и членимость

Целостность означает, что система воспринимается окружающей средой как единый элемент этой среды. Членимость означает, что в системе можно выделить некоторые элементы, совокупность которых вместе с их взаимодействием и образует систему. При этом совокупность элементов обладает качественно новыми свойствами, которые позволяют рассматривать их как элемент более сложной системы. Новое качество, эмерджентностъ - это то, что определяет «лицо» системы, идентифицирует ее целостность, и поэтому оно первично для системы.

2) Интегративные качества

Свойства, обеспечивающие целостность, которые есть у системы, но нет у элементов, составляющих систему, называются интегративным качеством (ИК), они определяют эмерджентностъ. Существенно, что ИК не может быть выявлено сколь угодно глубоким изучением свойств элементов. Например, команда (бригада) может выполнить задачи, которые члены команды (бригады) по отдельности выполнить не в состоянии3) Связи (отношения)

Система, как правило, взаимодействует с другими системами (F_i, i=1,2,…), которые для нее являются внешней средой, связь осуществляется между некоторыми (или всеми) элементами, принадлежащими данной системе, и элементами других систем (см. рис. 1.1). Другие системы - это внешняя среда для системы S. Если взаимодействие системы S с внешней средой не рассматривается (в теоретических исследованиях, например), тогда система называется закрытой или автономной. Множество переменных (координат), через которые система S взаимодействует с внешней средой, часто разделяют на подмножества входных X={x_i, i=1,2…} и выходных Y={y_j; j=1,2…} координат системы. В реальном мире один и тот же элемент может входить в разные системы. Взаимодействие систем носит разноплановый характер, поэтому существенным вопросом является определение границ системы и выделение переменных Х,Y. Причем значение имеют, только связи, определяющие интегративное качество, т.е. «имидж» системы.

Связь подсистем количественно задается множеством характеристик связей В={b_i, i=1,2,…}, к числу которых относится физическое наполнение (энергетическая, информационная, вещественная, механическая связь и т.д.), а также мощностью, направленностью и т.д.

Рис. 1.1 - Графическое представление системы и среды

Формально связь может быть представлена отображением :Х при условии, что метрики множеств Х и связаны функцией f(b):

.

Метрика (мера, расстояние)- это способ измерения расстояния между элементами множеств а,b,сХ.

Метрика должна удовлетворять некоторым определяющим свойствам:

а) ? 0 при любых а,b,c;

б) (a,b) = 0 тогда и только тогда, когда a = b (аксиома идентичности);

в) (a,b) = (b,a) (аксиома симметричности);

г) (a,b) (а,с) + (с,b) (аксиома треугольника).

Пара (Х,_Х) называется метрическим пространством.

Примеры метрик:

а) (а,b) = |a - b|;

б) ₂(a,b) = -

евклидова метрика в евклидовом пространстве Rⁿ,

в) (а,b) =- чебышевская метрика;

г) _К(a,b) = - метрика Гельдера, К - целое.

В общем случае - отношения бывают: унарные (самого с собой); бинарные (между двумя элементами); тернарные (между тремя элементами); вообще, - n-арные.

4) Организация

Введем в рассмотрение понятие «состояние» элемента или системы. Количество состояний (мощность множества состояний) может быть конечно, счетно (количество состояний измеряется дискретно, но их число бесконечно); мощности континуум (состояния изменяются непрерывно и число их бесконечно и несчетно).

Состояния можно описать через переменные состояния. Если переменные - дискретные, то количество состояний может быть либо конечным, либо счетным. Если переменные - аналоговые (непрерывные), тогда - мощности континуум.

Минимальное количество переменных, через которые может быть задано состояние, называется фазовым пространством. Изменение состояния системы отображается в фазовом пространстве фазовой траекторией.

Уравнение состояния системы:

Y = F(X, Z), (1.1)

где Z - переменные состояния (вектор аналоговых или дискретных величин),

Х - входные переменные, Y - выходные переменные системы.

Одной из наиболее часто используемых характеристик организации является энтропия (поворот, превращение - греч.).

Энтропия систем

Степень организации элементов в системе связывается с изменением (снижением) энтропии системы по сравнению с суммарной энтропией элементов. Понятие энтропии введено Больцманом для термодинамических систем:

(1.2)

где - вероятность j-го состояния (в теории информации - события); m - возможное число состояний (событий).

Например, два элемента А и В могут каждый принимать два равновероятных состояния: «0»и «1». Вероятность каждого состояния:

Р₁(А) = Р₂(А) = Р₁(В) = Р₂(В) = 0,5.

Для одного элемента энтропия составит

Н(А) = Н(В) = -0,5 log₂0,5 - 0,5log₂0,5 = 1.

Энтропия двух элементов:

Н(А) + Н(В) = 1 + 1 = 2.

Допустим, что система S элементов А и В может принимать три состояния: «-1», «0», «1» с вероятностями Р₁(S) = Р₃(S) = 0,2; Р₂ = 0,6.

Тогда

Н(S) = -2^.0,2^.log₂0,2 - 0,6^.log₂0,6 = -0,4(-2,32) - 0,6(-0,737) = 1,37.

Энтропия системы S меньше суммы энтропий элементов А и В на

Н = Н(А) + Н(В) - Н(S) = 2 - 1,37 = 0,63.

Для расчета изменения энтропии системы через вероятности состояний очень часто используется метод Колмогорова. Допустим, дана структурная схема (граф) состояний подсистемы S. Исходным состоянием системы с равной степенью вероятности может быть одно из четырех состояний, т.е. . Будем считать, что интенсивности переходов ₂₁, ₃₂, ₄₃, ₁₄, ₂₄ заданы. Тогда можно показать, что скорости изменения вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяются как

, (1.3)

где ; n - число узлов графа (количество состояний);

_j - интенсивности переходов по дугам, входящим в i-й узел;

r_i - число дуг, входящих в i-й узел;

_k - интенсивности переходов по дугам, исходящим из i-го узла;

m_i - число дуг, выходящих из i-го узла;

P_i и P_j - вероятности нахождения системы в i-м и j-м состояниях соответственно.

Заметим, что

.

Установившееся значение вероятности нахождения системы в i-м состоянии определяется из условия

.

Тогда для системы с n состояниями имеем систему из (n + 1) уравнений с n неизвестными:

;. (1.4)

Одно из уравнений (1.4) можно отбросить, так как оно может быть получено из (n - 1) оставшихся.

Пример. Примем ₂₁ = 0,1, ₃₂ = 0,2, ₄₃ = 0,3, ₁₄ = 0,4, ₂₄ = 0,5. Тогда получаем:

₁₄^.Р₄ - ₂₁^.Р₁ = 0

₂₁^.Р₁ + ₂₄^.Р₄ - ₃₂^.Р₂ = 0

₃₂^.Р₂ - ₄₃^.Р₃ = 0

₄₃^.Р₃ - (₁₄ + ₂₄)^.Р₄ = 0

Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ = 1.

Из системы отбросим второе уравнение и получим:

- 0,1^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0,2^.Р₂ - 0,3^.Р₃ + 0^.Р₄ = 0

0^.Р₁ + 0^.Р₂ + 0,3^.Р₃ - 0,9^.Р₄ = 0

1^.Р₁ + 1^.Р₂ + 1^.Р₃ + 1^.Р₄ = 1.

Решение полученной системы: Р₁ = 0,32, Р₂ = 0,36, Р₃ = 0,24, Р₄ = 0,08.

Расчет энтропий ведется по формуле

.

Для исходного состояния

Э₀ = -4 ^. 0,25 ^. log₂0,25 = 2,

Для конечного состояния

Э_к = - (0,32 ^. log₂0,32 + 0,36 ^. log₂0,36 + 0,24 ^. log₂0,24 + 0,08 ^. log₂0,08) = 1,835.

То есть, изменение энтропии составляет

Э = Э₀ - Э_к = 2 - 1,835 = 0,165.

Существуют два основных подхода к расчету энтропий систем и ценности информации.

Первый подход основан на декомпозиции исходной задачи на этапы вычисления вероятностей апостериорной и априорной вероятности элементарных событий.

Методика расчета включает:

· декомпозицию исходной задачи на последовательность таких элементарных событий, априорная вероятность которых известна, а апостериорная может быть легко рассчитана;

· расчет энтропий (или ценности информации) каждого элементарного события;

· вычисление изменения энтропии исходного состояния по отношению к конечному (или ценности информации) путем суммирования изменений энтропий элементарных этапов (переходов, событий).

Данный подход позволяет избежать вычисление вероятности сложных событий.

Второй подход основывается на использовании условных вероятностей событий. Последние иногда рассчитать довольно сложно.

Таким образом, энтропия выступает в качестве меры хаоса, беспорядка и ее снижение означает увеличение организации.

Для информационных систем степень организации очень часто зависит от количества информации, которая может быть использована для управления.

1.2 Количество информации

В теории информации количество информации часто измеряют в битах (binary digital), где бит, определяется как ценность I информации об исходе двух равновероятных событий. Например, эта информация о том, что сейчас день, а не ночь.

Вероятность каждого из событий

Р(Д) = 0,5; Р(Н) = 0,5;

I = log₂, (1.5)

где Р₁(х) - апостериорная вероятность; Р₂(х) - априорная вероятность.

Для примера:

Кроме битов (термин ввел Тьюки) используются

«нат» и

«дит» .

1.3 Классификация систем

Существует достаточно большое число классификационных признаков (свойств) систем, в частности:

· открытость - замкнутость (отсутствие связи с внешней средой);

· детерминированность (определенность) - стохастичность (случайность);

· простота - сложность;

· наличие цели - отсутствие цели;

· субстанциональные признаки (по этим признакам выделяют: естественные, концептуальные, искусственные системы);

· наличие направленности связей и характер связей: не направленные, обратные, линейные, нелинейные;

· наличие или отсутствие иерархии элементов в системе;

· эволюционирующие - не эволюционирующие (жесткие, не адаптируемые) системы;

· непрерывные - дискретные;

· по физическому наполнению: вещественные, энергетические, информационные и т.д.;

· по мощности связей: коэффициенты связи, интенсивности, чувствительности, коэффициенты корреляции и т.д.;

· по роли связи: ограничивающая, координирующая, положительная, отрицательная.

Для характеристики свойств систем выделяют факторы:

· системосоздающие;

· системоразрущающие;

· системозначимые (свойства, характеризующие интегративное качество, в том числе вне системы);

· системоопределяющие (свойства определяют интегративное качество системы) и др.

По признаку «сложность» выделяются два типа систем (простые - сложные). Существует несколько аспектов, по которым система может классифицироваться как простая или сложная. Достаточно общее с практической точки зрения определение сложной системы: это такая система, анализ и прогноз изменения состояния которой невозможен с заданной точностью и заданным временем.

Для искусственных систем, к которым относится подавляющее большинство систем, создаваемых человеком, выделяют три основных уровня формулирования цели:

1) цель не очень ясна (целенаправленные системы);

2) цель ясна и намечены пути ее достижения (целеустремленные системы);

3) цель определена и формализована на уровне математической постановки, есть алгоритм достижения цели (алгоритмические системы).

Реальные постановки проблем могут представлять собой промежуточные варианты перечисленных случаев.

1.3.1 Классификация систем по сложности

Определение большой системы

Существует ряд подходов к разделению систем по сложности. В частности, Г.Н. Поваров в зависимости от числа элементов, входящих в систему, выделяет четыре класса систем:

· малые системы (10...10³ элементов);

· сложные системы (10⁴...10⁷ элементов);

· ультрасложные системы (10⁷. ..10³⁰ элементов);

· суперсистемы (10³⁰.. .10²⁰⁰ элементов).

Так как понятие элемента возникает относительно задачи и цели исследования системы, то и данное определение сложности является относительным, а не абсолютным.

Английский кибернетик С. Бир классифицирует все кибернетические системы на простые и сложные в зависимости от способа описания: детерминированного или теоретико-вероятностного. А. И. Берг определяет сложную систему как систему, которую можно описать не менее чем на двух различных математических языках (например, с помощью теории дифференциальных уравнений и алгебры Буля).

Очень часто сложными системами называют системы, которые нельзя корректно описать математически, либо потому, что в системе имеется очень большое число элементов, неизвестным образом связанных друг с другом, либо неизвестна природа явлений, протекающих в системе.

Четкое определение и критерии сложных систем (СС) в настоящее время отсутствуют. Однако есть признаки, такие как, многомерность, многосвязность, многоконтурность, а так же многоуровневый, составной и многоцелевой характер построения, по которым можно отнести модель к классу СС. Данный термин использовался в работах научной школы А.А. Вавилова.

При разработке сложных систем возникают проблемы, относящиеся не только к свойствам их составляющих элементов и подсистем, но также к закономерностям функционирования системы в целом. При этом появляется широкий круг специфических задач, таких, как:

· определение общей структуры системы;

· организация взаимодействия между элементами и подсистемами;

· учет влияния внешней среды;

· выбор оптимальных режимов функционирования системы;

· оптимальное управление системой и др.

Чем сложнее система, тем большее внимание уделяется этим вопросам. Математической базой исследования сложных систем является теория систем. А при современном информационно-технологическом обеспечении внешней среды любой системы, исследование такой системы берут свои начала как из теории систем, так и из теории чисел, теории информации и других теорий. В теории систем большой системой (сложной, системой большого масштаба, Lage Scale Systems) называют систему, если она состоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов и способна выполнять сложную функцию.

Четкой границы, отделяющей простые системы от больших, нет. Деление это условное и возникло из-за появления систем, имеющих в своем составе совокупность подсистем с наличием функциональной избыточности. Большая система при отказе отдельных элементов и даже целых подсистем не всегда теряет работоспособность, зачастую только снижаются характеристики ее эффективности. Это свойство больших систем обусловлено их функциональной избыточностью и, в свою очередь, затрудняет формулировку понятия «отказ» системы.

Под большой системой понимается совокупность материальных ресурсов, средств сбора, передачи и обработки информации, людей-операторов, занятых на обслуживании этих средств, и людей-руководителей, облеченных надлежащими правами и ответственностью для принятия решений. Материальные ресурсы - это сырье, материалы, полуфабрикаты, денежные средства, различные виды энергии, станки, оборудование, люди, занятые на выпуске продукции, и т. д. Все указанные элементы ресурсов объединены с помощью некоторой системы связей, которые по заданным правилам определяют процесс взаимодействия между элементами для достижения общей цели или группы целей.

Примеры больших систем: информационная система; пассажирский транспорт крупного города; производственный процесс; система управления полетом крупного аэродрома; энергетическая система и др.

Характерные особенности больших систем. К ним относятся:

· большое число элементов в системе (сложность системы);

· взаимосвязь и взаимодействие между элементами;

· иерархичность структуры управления;

· обязательное наличие человека в контуре управления, на которого возлагается часть наиболее ответственных функций управления.

Сложность системы

Пусть имеется совокупность из n элементов. Если они изолированы, не связаны между собой, то эти n элементов еще не являются системой. Для изучения этой совокупности достаточно провести не более чем n исследований. В общем случае в системе связь элемента А с элементом Б не эквивалентна связи элемента Б с элементом А, и поэтому необходимо рассматривать n(n-1) связей. Если характеризовать состояние каждой связи наличием или отсутствием в данный момент, то общее число состояний (для такого самого простого поведения) системы будет равно 2^n. Даже при небольших n это фантастическое число. Например, пусть n== 10. Число связей n(n-1) = 90.

Поэтому изучение БС путем непосредственного обследования ее состояний оказывается весьма громоздким. Следовательно, необходимо использовать ЭВМ и разрабатывать методы, позволяющие сократить число обследуемых состояний БС. Сокращение числа состояний БС - первый шаг в формальном описании систем. В свою очередь серийные ЭВМ то же имеют пусть большие но всё же ограниченные ресурсы. Отсюда вытекает вопрос, если система является гипербольшой и продолжающей динамически развиваться, то какими методами пользоваться при её изучении. По определению А. И. Берга такую систему можно описать с помощью математических языков (теории дифференциальных уравнений и алгебры Буля). Т.е. основы вытекают из дискретной математики и теории чисел. Но, если гиперсистемы очень больших размеров, с числом своих элементов превосходящим диапазон серийных ЭВМ, а именно такие нас ожидают в недалёком будущем, то их исследование с помощью теории дифференциальных уравнений и алгеброй Буля будет недостаточно. Поиски методов в исследовании таких систем лежат в истоках методов модулярной алгоритмики предложенной профессором кафедры информатики Сургутского Государственного Университета д.т.н. Инютиным С.А..

2. Методы системного анализа

2.1 Основные понятия

На сегодняшний день основным является так называемый системный подход (СсП) к научному познанию и исследованиям. Как расширение этого подхода можно рассматривать также синергетический (СгП) и информационный подходы (ИфП).

Системный подход базируется на целостном видении исследуемых объектов с точки зрения целей исследования. В отличие от «бытового» подхода (от простого к сложному, от элемента к системе), при решении задач он исходит из того, что исследование (или решение задачи) начинается с целей исследования, которые на основе анализа объекта исследования редуцируются до задач анализа и формирования моделей элементов (до решения подзадач) с учетом взаимосвязи элементов. При этом организуются два взаимодействующих по принципу обратной связи процесса:

декомпозиция исследования (задачи) на этапы (подзадачи);

разработка, выполнение этапов (решение подзадач) и интегрирование результатов, полученных на этапах, для достижения цели исследования (решения задачи).

Синергетический подход - метод учета и использования случайного фактора (хаоса) для организации систем и управления ими. Хаос выступает при этом не как дезорганизующий фактор, а как необходимое условие появления более сложной и организованной системы. Развитие и построение сложных самоорганизующихся систем, в том числе систем с искусственным интеллектом, связывается с синергетикой.

В качестве примитивного примера СгП может служить решение задачи укладки множества гвоздей разного размера в банку. Обычный, детерминированный, подход сводится к тому, что гвозди надо отсортировать, рассчитать оптимальный способ укладки и произвести укладку. Синергетический подход - надо потрясти банку (внести фактор случайности) и они улягутся (самоорганизуются).

Информационный подход - развитие СсП на информационные системные процессы, характерной особенностью которых является отсутствие закона сохранения энергии.

Применение СсП к разрешению проблемы гармонии и дисгармонии приводит к принципам функционирования гомеостатических систем. Изучается управление, обеспечивающее существование систем в условиях антагонизма двух и более подсистем.

Введем еще несколько, используемых в теории систем терминов.

Концепция - совокупность основных понятий с их связями (система понятий), выражающая суть некоторой идеи. В число основных понятий входят, как правило:

1) цель и средства ее достижения,

2) критерии эффективности путей (альтернатив) достижения целей,

3) модель, описывающая зависимости между альтернативами,

5) модель принятия решений.

Системная парадигма - основные элементы той или иной концепции, модель постановки проблем и их решения.

Катастрофа - скачкообразное изменение состояния при малых изменениях входных и фазовых координат системы.

Зона бифуркации - кризисное состояние с непредсказуемым исходом; район, ситуация, область значений переменных, где возможна катастрофа.

Одним из важнейших принципов при организации сложных систем является принцип компенсации энтропии: энтропия системы может быть уменьшена только за счет увеличения энтропии другой системы. В целенаправленных системах это осуществляется за счет увеличения энтропии внешней среды.

Когнитивная структуризация - метод формирования гипотезы (топологической модели) о функционировании объектов на основе опыта и представлений человека.

Когнитивная карта - это знаковый (взвешенный) орграф, отражающий причинно-следственные связи между элементами системы, как их понимает человек.

2.2 Методология системного анализа

Это конкретизация системного подхода в отношении проблем управления и проектирования систем путем использования математических и эвристических процедур.

СсП - это методология, которая указывает направление поиска и разработки методов анализа для решения проблем. СсП характеризуется принципами:

1) элемент объекта описывается в той мере, в которой он важен для понимания объекта; могут рассматриваться структурные и функциональные аспекты и методы;

2) неотделимость свойств системы от условий ее существования, т.е. учет эффектов взаимодействия со средой;

3) связи и взаимообусловленность свойств целого и элементов (в том числе интегративное качество, эмержентность);

4) источник преобразования системы и ее функций лежит обычно в самой системе; поэтому основное направление преобразований - самоорганизация, базирующаяся на широко понимаемом принципе обратной связи.

Системный анализ (СА) конкретизирует СсП путем разработки моделей систем (Мс) и моделей требований (Мт), то есть является инструментом СсП. Методы СА различаются уровнем определенности Мс и Мт.

Случай, когда эти модели формализованы (выражены в виде математических соотношений), относится обычно к области науки, называемой исследованием операций. Если же в Мс и Мт в качестве элемента содержится субъективный фактор (человек), то этот случай относится к СА.

2.3 Аналитические методы системного анализа

Это, в основном, формализованные методы, использующие математизированного вида модели систем и модели принятия решений при ограничениях, наложенных различного рода допущениями при моделировании.

Формализовано описываются такие этапы, как:

а) процедура генерирования альтернатив (например, перебором);

б) оценка альтернатив по системе показателей на основе моделей системы;

в) выбор решения (модель компромисса).

По виду моделей Мс и Мт различают такие, например, задачи:

· анализ свойств (характеристик);

· синтез систем (синтез топологии, структуры, параметров) при детерминированных условиях среды и системы;

· то же при случайных характеристиках среды и системы (задачи массового обслуживания);

· проектирование систем и ряд других.

Перечисленные задачи идут в порядке возрастания сложности и, как правило, нижележащие задачи включают как этап решения вышележащих.

Заметим, что требование полного детерминизма не накладывается. Модель системы может быть описана как:

· детерминированная (дифференциальные уравнения, передаточные функции, структурные схемы, сети и т.д.);

· стохастическая - топология, структура, параметры могут содержать неопределенности, вызванные случайными факторами, характеристики которых известны (мат. ожидание, дисперсия, вид закона распределения случайной величины др.);

· нечеткая (топология, структура, параметры могут содержать неопределенности, вызванные незнанием).

Модель принятия решений может включать такие процедуры как:

· вычисление показателей на основе моделей,

· способ получения единственного решения на основе оптимизации по критерию или выбора по прецеденту или ситуации.

В свою очередь, могут использоваться различные схемы оптимизации:

· линейное программирование (модель является системой линейных уравнений и ограничений),

· нелинейное программирование,

· динамическое программирование,

· вариационные методы и т.д.

2.4 Математические методы

Рассмотрим некоторые методы системного анализа в качестве типичных примеров методов этой группы.

2.4.1 Метод логического ранжирования

Метод используется для задач составления расписаний. Назначение метода: упорядочивание этапов выполнения некоторых работ.

Предположим, что имеется набор работ (этапов выполнения работ), причем некоторые виды работ не могут быть начаты до того, как будут окончены другие работы. Например, определены причинно - следственные отношения между отдельными работами (см. рис. 2.1.): работа Р₀ является завершающей, ей должны предшествовать работы Р₁, Р₂ и Р₃, работе Р₁ должны предшествовать работы Р₄, Р₅ и Р₉ и т.д. Продолжительность каждой работы примем за единицу.

Для принятия решений нужно выработать критерий, по которому будет происходить оптимизация. В качестве критерия возьмем вес работы. Он чем больше, тем раньше работу необходимо выполнить. Для решения задачи составляется матрица весов (см. табл. 2.1).

В последней колонке таблицы отмечены веса каждой работы, равные сумме чисел в соответствующей строке. Отсюда можно определить последовательность выполнения работ:

Р₁₁, Р₁₄ Р₁₂, Р₁₃ Р₇, Р₁₀ Р₅, Р₆, Р₈ Р₄, Р₉ Р₁, Р₂, Р₃.

То есть, сначала выполняются работы Р₁₁ и Р₁₄, после них Р₁₂ и Р₁₃ и т.д. Может быть учтена неравнозначность видов работ, выполняющихся одновременно.

Рисунок 2.1 - Причинно-следственные отношения

Таблица 2.1 - Матрица весов

	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6	Р7	Р8	Р9	Р10	Р11	Р12	Р13	Р14	У
Р0	0															0
Р1	1															1
Р2	1															1
Р3	1															1
Р4	1	1														2
Р5	1	1	1													3
Р6	1		1	1												3
Р7	1		1	1			1									4
Р8	1	1			1											3
Р9	1	1														2
Р10	1	1			1				1							4
Р11	1	1	1	1		1	1	1								7
Р12	1	1			1				1		1					6
Р13	1	1		1	1				1		1					6
Р14	1	1	1	1		1	1	1								7

2.4.2 Метод анализа иерархий

Это один из достаточно формализованных и классических методов СА, используемый для разрешения проблемы принятия решений в условиях многокритериальности.

Назначение и идея метода: проводится иерархическая декомпозиция проблемы на задачи таким образом, чтобы облегчить человеку принятие решений для отдельных задач на основе парных, а не многокритериальных сравнений. После этого синтез приоритетов проводится математическими методами.

Название метода связано с тем, что сначала для проблемы строится иерархия задач, а затем эти задачи решаются, начиная с нижнего уровня, при этом результат решения задач нижнего уровня используется при решении задач более высоких уровней.

Этап 1. Декомпозиция проблемы и заполнение матриц суждений

Используются три принципа:

Принцип 1. Декомпозиция, при которой производится как структурная, так и функциональная дифференциация.

Пример: Имеется цель купить дом. Есть варианты покупки, различающиеся по эффективности в смысле некоторых плохо структурированных критериев. Проблема представляется иерархически:

· Первый уровень (верхний) - основная цель;

· Второй уровень - критерии:

1 - размеры,

2 - удобство транспорта,

3 - место расположения дома, окружающая среда,

4 - стоимость,

5 - возраст дома, состояние,

6 - наличие гаража и приусадебного участка и т.д.;

· Третий уровень - претенденты (альтернативы) на покупку.

Принцип 2. Элементы нижнего (i-го) уровня должны быть попарно сравнимы по отношению к элементам более высокого ((i-1) -о) уровня.

Принцип 3. Сопоставление вариантов производится на основе принципа дискриминации суждений, то есть элементы сравниваются попарно с точки зрения их воздействия на результат (на элемент более высокого уровня иерархии) и представляются в виде квадратной матрицы (для второго уровня в примере размер матрицы равен 6х6). Каждый элемент имеет свой вес, определяемый, например, экспертом.

Заполнение матрицы идет в произвольном порядке по правилу: если элемент строки важнее элемента столбца, то в соответствующую ячейку ставится число r [1; 9] (значение определяет степень важности одного элемента относительно другого), в противном случае ставится число r^-1.

Для каждого критерия строится аналогичная матрица сравнительной оценки вариантов, например, домов А, В, С и D.

Таблица 2.2 - Цели

Цель	Кр1	Кр2	Кр3	Кр4	Кр5	Кр6
Кр1	1	Ѕ	1/3	ј	4	3
Кр2	2	1	Ѕ	1/3	1/4	ј
Кр3	3	2	1	1/3	1	Ѕ
Кр4	4	3	3	1	1	Ѕ
Кр5	ј	4	1	1	1	1
Кр6	1/3	4	2	2	1	1

Таблица 2.3 - Связи для каждого критерия

Кр1	А	В	С	D	…	Kp6	A	B	C	D
A	1	Ѕ	1/3	2	…	A	1	2	1/3	ј
B	2	1	Ѕ	1	…	B	Ѕ	1	2	1/3
C	3	2	1	1	…	C	3	Ѕ	1	Ѕ
D	1	1	1	1	…	D	4	3	2	1

Приблизительная связь приоритета (веса) и лингвистической оценки:

1/1 - равный вес;

3/1 -слабое предпочтение;

5/1 - довольно сильное предпочтение;

7/1 - сильное предпочтение;

9/1 - очень сильное предпочтение.

Сравнение критериев ведется обычно по трем критериям:

· что важнее (обычно для критериев),

· что более вероятно (для сценариев),

· что более предпочтительно (для альтернатив).

Этап 2. Синтез приоритетов

Это один из способов решения проблемы многокритериальности. Синтез приоритетов (СП) - это вычисление собственных векторов, которые после нормализации и являются векторами приоритетов. Собственные векторы искать сравнительно трудоемко, поэтому достаточно близкие оценки можно получить с помощью геометрического среднего, для чего элементы каждой строки перемножаются, и из результата извлекается корень n-й степени.

Например, для Кр1 в матрице целей:

Кр1:1*1/2*1/3*1/4*4*3 = Ѕ ,

Кр2: 2*1*1/2*1/3*1/4*1/4 = 0,0417 ,

Кр3: 3*2*1*1/3*1*1/2 = 1 ,

Кр4: 4*3*3*1*1*1/2 = 18 ,

Кр5: ј*4*1*1*1*1 = 1 ,

Кр6:1/3*4*2*2*1*1 = 16/3 .

Далее оценки нормируются путем деления на сумму ;

б₁ = 0,917 / 6,193 = 0,148;б₄ = 1,435 / 6,193 = 0,23;

б₂ = 0,616 / 6,193 = 0,1;б₅ = 1 / 6,193 = 0,16;

б₃ = 1 / 6,193 = 0,16;б₆ = 1,23 / 6,193 = 0,198.

Полученные оценки - это матрица - строка приоритетов критериев б_(1х6) .

Далее для каждого из домов (альтернатив) рассчитываются приоритеты в смысле каждого из критериев:

Для критерия Кр1 получим:

для А:,

для В:,

для С: ,

для D:.

Сумма равна 0,76 + 1 + 1,56 + 1 = 4,32, поэтому нормированные значения приоритетов:

.

Аналогично для остальных критериев получим

в²₁,… ,в²₄; в³,… ,в³₄; в⁴₁,… ,в⁴₄; в⁵₁,… ,в⁵₄; в⁶₁,… ,в⁶₄.

Данные приоритеты образуют матрицу В(6х4).

Приоритеты альтернатив с учетом двух уровней, т.е. матриц б и В, получаются путем перемножения

Ц = б х В,

где Ц - матрица - строка глобальных приоритетов, т.е. оценки с точки зрения цели.

Этап 3. Оценка согласованности приоритетов

Оценивается согласованность локальных приоритетов, т.е. правильности заполнения матриц парных сравнений. Заметим, что данный этап может выполняться сразу после заполнения матриц. В качестве оценки используются индекс согласованности (ИС) и отношение согласованности (ОС):

,

где n - число сравниваемых элементов, _max - максимальное собственное значение матрицы суждений (Ц, Кр1, Кр2…), _max n:

.

ОС = ИС / СС,

где СС - случайная согласованность, определяемая по табл. 2.4

Должно быть ОС 0,1…0,2, иначе следует пересмотреть матрицу суждений.

Таблица 2.4 - Случайная согласованность

n	3	4	5	6	7	8	9	10
СС	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,41	1,49

Рис. 2.2 - Матрица суждений

2.4.3 Группа математических методов решения сложных экспертиз

Как было видно в методе анализа иерархий (АИ), синтез приоритетов более высокого уровня в отношении вариантов самого низкого уровня проводится по соотношению

Ц_(1m) = _(1n) х В_(nm),

где В - матрица приоритетов нижнего уровня по отношению к приоритетам верхнего уровня;

- приоритеты высшего уровня (критериев);

m - число вариантов нижнего уровня;

n - количество критериев.

Эта идея реализуется в методе решающих матриц (РМ).

Если начать с задания матрицы ⁿ предпочтений для альтернатив (нижний), (n-й уровень) по отношению к элементам (n-1)-о уровня, матрица А^n-1, то получим матрицу - строку A^n-2, учитывающую приоритеты двух нижних уровней. Продолжая процедуру формирования матриц приоритетов более высоких уровней

A^n-2 = ⁿ A^n-1

и умножения их на матрицы нижних уровней, получим для матрицы цели

Ц⁰ =^.n А^h-1.А^n-2…^.А¹.

В отличие от метода анализа иерархий назначение приоритетов на каждом уровне проводится многокритериальным, а не парным сравнением, что требует большей информированности эксперта.

2.4.4 Метод дерева целей

Еще менее формализован и ограничен, чем предыдущий. Существует несколько типовых схем координации целей подсистем по уровням для сложных систем принятия решений.

Методы АИ и РМ по виду взаимодействия элементов соседних уровней относятся к так называемым ромбовидным иерархическим структурам. Для ромбовидной структуры характерно наличие зависимостей целей (i + 1) уровня от одних и тех же элементов i-го уровня (см. рис. 2.3).



Рисунок 2.3 - Зависимость целей

Метод дерева целей, как следует из его названия, не может использоваться для задач подобного вида, что является большим ограничением метода. В то же время очень большая выразительность и простота метода, являющегося методом когнитивной структуризации для большого круга практических задач, сделали его достаточно употребительным (рис. 2.4).

Рисунок 2.4 - Древовидность целей

Идея расчета глобальных приоритетов в методе дерева целей реализуется в несколько этапов:

1) строится граф (когнитивная карта), отражающий взаимодействие целевых функций между элементами различных уровней.

2) для каждой связи назначаются и нормируются веса элементов нижнего уровня для целей верхнего уровня.

3) вес (приоритет) альтернатив рассчитывается как произведение весов от альтернативы к вершине.

2.4.5 Семиотические методы

Семиотические методы базируются на моделях семиотического типа и относятся к области интересов Теории и методов искусственного интеллекта.

Помимо перечисленных моделей семиотического типа, используются такие виды моделей, как нейронные сети, фреймы, предикатные системы и т.д.

2.4.6 Группа экспертных методов

Отличие экспертных методов от всех предыдущих заключается в том, что помимо формирования процедуры принятия решений при известных предпочтениях эксперта ставится задача формирования и оценки правильности экспертных весов. Известны следующие экспертные методы:

· метод анкетирования,

· метод дискуссии,

· метод интервьюирования, в частности, метод Дельфы (наиболее формализованный),

· метод сценариев,

· метод «мозгового штурма» и т.д.

Метод дискуссии заключается в обмене мнениями, но решение принимает ЛПР.

Метод «мозгового штурма»: собирается группа лиц из разных областей и каждый предлагает варианты решения данной проблемы, при этом критика запрещена. Может оказаться, что какое-нибудь «абсурдное» мнение окажется правильным.

Синетика - генерирование решений (альтернатив) на основе ассоциативного мышления. Метод аналогичен «мозговому штурму», но подбираются специалисты с ассоциативным характером мышления и обладающие психологической совместимостью. Обсуждение ведется в режиме свободной дискуссии.

2.4.7 Метод сценариев

Заключается в составлении некоторых деревьев, отражающих причинно-следственные связи между посылами и результатами. Обычно составляются три сценария: пессимистический (для наихудших условий), оптимистический и наиболее вероятный.

Анкетирование и интервьюирование относятся к наиболее субъективным методам принятия решений.

Рассмотрим идею метода Дельфы. В основу метода Дельфы положены следующие положения:

1) ставящиеся вопросы допускают возможность численного оценивания вариантов;

2) ответ на вопрос обосновывается экспертом;

3) ответы должны базироваться на достаточном объеме информации, которая может быть слабо формализованной.

Обработка анкет состоит в том, что оценки экспертов разбиваются на квартили, т.е. на интервалы ответов, примерно равные четверти мнений от числа экспертов.

Квартиль - одна из числовых характеристик распределения вероятностей. Если взять некоторую случайную величину Х, мнения экспертов от 0 до 1 с функцией распределения F(Х) - вероятность соответствующего Х, то квартилью порядка Р называется число К такое, что F(К_р) < Р, F(К_р + ) Р,   0. То есть квартиль - это диапазон изменения переменной, соответствующий мнению каждой четверти экспертов. Медиана характеризует «среднее» мнение экспертов, крайние квартили - разброс мнений.

Например, мнение каждого эксперта Х [0, 1], тогда выделяется примерно четверть экспертов, которые утверждают, что величина Х  [Х₁, Х₁⁺]. В результате опроса формируется плотность распределения мнений в виде ступенчатого графика или в идеале, при большом числе экспертов, непрерывной кривой.

1 этап. Формирование группы координаторов (штаба).

2 этап. Выбор группы экспертов, т.е. лиц, принимающих решения (ЛПР).

Выбор проводится на основе анкет для экспертов: вопросы анкеты формируются, исходя из целей координаторов. Например: 1) практический опыт решения аналогичных задач, 2) уровень образования, 3) возраст и т.д.

3 этап. Составляется вопросник (анкеты) по существу проблемы с указанием числовых критериев ответов. Это начало первого тура.

4 этап. Обработка ответов. Каждый эксперт отвечает на вопросы и обосновывает свое решение. Работа ведется анонимно. Мнения экспертов упорядочиваются по оси Х, и эксперты разбиваются на четыре группы. Мнения крайних групп экспертов озвучиваются (доводятся до всех экспертов) с обоснованиями.

5 этап. Выделение группы решений-претендентов на выход в следующий тур. Составление (коррекция) вопросников 2-го тура.

6 этап. Проводится 2-й тур аналогично первому. Далее 3-й тур и т.д. Обычно необходимы 3-4 тура. Критерий окончания процедуры - отсутствие изменений в мнениях экспертов. Существует два варианта:

найдено общее мнение, решение принято;

эксперты к единому мнению не пришли, требуются дополнительные исследования.

Близким к методу Дельфы является Дельфийское совещание. Отличие данного метода: обработка анкет не проводится анонимно, а мнение экспертов просто озвучивается.

3. Управление

3.1 Сущность автоматизации управления в сложных системах

Под управлением в самом общем виде будем понимать процесс формирования целенаправленного поведения системы посредством информационных воздействий, вырабатываемых человеком (группой людей) или устройством.

К задачам управления относятся целеполагание, стабилизация, выполнение программы, слежение и оптимизация.

Задача целеполагания - определение требуемого состояния или поведения системы.

Задача стабилизации - удержание системы в существующем состоянии в условиях возмущающих воздействий.

Задача выполнения программы - перевод системы в требуемое состояние в условиях, когда значения управляемых величин изменяются по известным детерминированным законам.

Задача слежения - удержание системы на заданной траектории (обеспечение требуемого поведения) в условиях, когда законы изменения управляемых величин неизвестны или изменяются.

Задача оптимизации - удержание или перевод системы в состояние с экстремальными значениями характеристик при заданных условиях и ограничениях.

3.2 Структура системы с управлением

Система с управлением включает три подсистемы (рис. 3.1): управляющую систему (УС), объект управления (ОУ) В и систему связи (СС).

Системы с управлением, или целенаправленные, называются кибернетическими. К ним относятся технические, биологические, организационные, социальные, экономические системы.

Управляющая система совместно с системой связи образует систему управления (СУ) А. Основным элементом организационно - технических СУ является лицо, принимающее решение (ЛПР) - индивидуум или группа индивидуумов, имеющих право принимать окончательные решения по выбору одного из нескольких управляющих воздействий. Система связи включает канал прямой связи, по которому передается входная информация - множество {х}, включающее командную информацию {и} Ј {х}, и канал обратной связи, по которому передается информация о состоянии ОУ - множество выходной информации {у}.

Множества переменных {п} и {w} обозначают соответственно воздействие окружающей среды (различного рода помехи) и показатели, характеризующие качество и эффективность функционирования подсистемы В.

Показатели качества и эффективности являются подмножеством информации о состоянии ОУ, {w} с {у}- Более того, в процессе анализа систем каждая характеристика yj должна рассматриваться как потенциальная кандидатура на роль показателя.

Рисунок 3.1 - Система с управлением

Основными группами функций системы управления являются:

* функции принятия решений - функции преобразования содержания информации {/р};

* рутинные функции обработки информации {/ };

* функции обмена информацией {/j,}.

Функции принятия решений {/^} выражаются в создании новой информации в ходе анализа, планирования (прогнозирования) и оперативного управления (регулирования, координации действий).

Функции {/} охватывают учет, контроль, хранение, поиск, отображение, тиражирование, преобразование формы информации и т.д. Эта группа функций преобразования информации не изменяет ее смысл, т.е. это рутинные функции, не связанные с содержательной обработкой информации.

Группа функций {f} связана с доведением выработанных воздействий до ОУ и обменом информацией между ЛПР (ограничение доступа, получение (сбор), передача информации по управлению в текстовой, графической, табличной и иных формах по телефону, системам передачи данных и т.д.).

Совокупность функций управления, выполняемых в системе при изменении среды, принято называть циклом управления. Выполняя цикл за циклом, система приближается к сформулированной цели. Одно из представлений цикла управления показано на рис. 3.2. При этом от объектов управления в СУ поступает информация о текущем состоянии дел. ЛПР контролируют ее истинность, учитывают и анализируют в целях выявления отклонений от требуемого состояния и определения необходимости изменения текущего состояния.



Рисунок 3.2 - Обобщенный цикл управления

3.3 Пути совершенствования систем с управлением

Совершенствование систем с управлением сводится к сокращению длительности цикла управления и повышению качества управляющих воздействий (решений). Эти требования носят противоречивый характер. При заданной производительности СУ сокращение длительности цикла управления приводит к необходимости уменьшения количества перерабатываемой информации, а следовательно, к снижению качества решений. Одновременное удовлетворение требований возможно лишь при условии, что будет повышена производительность УС и СС по передаче и переработке информации, причем повышение производительности обоих элементов должно быть согласованным. Это исходное положение для решения вопросов по совершенствованию управления.

Основными путями совершенствования систем с управлением являются:

1. Оптимизация численности управленческого персонала.

2. Использование новых способов организации работы СУ.

3. Применение новых методов решения управленческих задач.

4. Изменение структуры СУ.

5. Перераспределение функций и задач в УС.

6. Механизация управленческого труда.

7. Автоматизация.

Рассмотрим каждый из путей.

1. Управляющая система - это, прежде всего люди. Самый естественный путь, позволяющий поднять производительность - увеличить число людей. Так и поступали длительное время. В результате численность управленческого персонала возрастала.

Количество информации, которую надо перерабатывать каждому человеку во многих современных системах, настолько воз­ росло, что далеко выходит за пределы человеческих возможностей. Поэтому дальнейшее увеличение численности людей, занятых в управлении, уже не может привести к повышению его эффективности. С ростом числа должностных лиц в УС неизбежно дробление функций управления. До некоторых пор координация работы управленческого персонала был возможна путем прямых связей между исполнителями. Затем появляется необходимость в специальном аппарате, осуществляющем эту координацию. Возникают потоки информации внутри самой УС. На их обслуживание требуются новые люди. Эффективность управления не повышается, а даже падает. Безусловно, так обстоит дело в целом. В отдельных системах возможности этого пути совершенствования управления могут быть и не исчерпаны.