Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету Femlab 3.3

Пакети і комплекси програм, які реалізують метод скінчених елементів. Femlab 3.3 - потужне інтерактивне середовище для моделювання і розв'язування наукових і технічних проблем. Вибір варіаційного принципу. Чисельна реалізація математичних моделей.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид дипломная работа
Язык украинский
Дата добавления 11.09.2014
Размер файла 1,8 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломна робота

Моделювання та розрахунок задачі пружності методом скінченних елементів за допомогою пакету FEMLAB 3.3

Зміст

  • Вступ
  • 1.Постановка крайової задачі
  • 1.1 Постановка проблеми
  • 1.2 Фізична постановка
  • 1.3 Математична постановка
  • 2. Варіаційне формулювання крайової задачі
  • 2.1 Вибір варіаційного принципу
  • 2.2 Варіаційна постановка задачі
  • 3. Метод скінченних елементів
  • 3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів
  • 3.2 Алгоритм чисельного розв'язування варіаційної задачі
  • 3.3 Тетраедні скінченні елементи з лінійними та квадратичними апроксимаціями
  • 4. Чисельна реалізація математичних моделей
  • 4.1 Огляд програмного комплексу Femlab 3.3
  • 4.2 Побудова та розв'язування моделей з використанням Femlab 3.3
  • 4.3 Аналіз результатів
  • Висновки
  • Список використаних джерел

Вступ

На сьогоднішній день стало звичним досліджувати математичні моделі, що описуються крайовими задачами, інтегральними рівняннями і т.д. за допомогою методу скінчених елементів. Теоретичні основи та практичне використання цього методу для рівнянь пружності відображені в працях Галлагера Р. [4], Образцова І.Ф. [8], Шинкаренка Г.А. [16], Савули Я.Г. [9], Зенкевич О. [12] та інших вчених.

Метод скінчених елементів базується на варіаційних постановках математичних задач, на використанні базисних функцій і приводить до необхідності розв'язування "великих" систем лінійних алгебраїчних рівнянь спеціальної структури. При цьому ефективним є використання комп'ютера.

Пакети і комплекси програм, які реалізують метод скінчених елементів для певних класів задач, посідають важливе місце серед програмного забезпечення сучасних ЕОМ.

З існуючого розмаїття програмних продуктів можна виділити пакет Femlab 3.3 (FEM - Finite Elements Method - метод скінченних елементів) - потужне інтерактивне середовище для моделювання і розв'язування наукових і технічних проблем, які базуються на диференціальних рівняннях часткових похідних (PDE) із застосуванням скінченноелементних методів (FEM).

В наш час математичне моделювання та метод скінченних елементів широко використовуються для визначення величини напружень, що виникають при протезування зубних рядів з використанням дентальних імплантатів.

На сучасному етапі великого значення набуває використання імплантатів при відновленні функції жування у випадках повної відсутності зубів на одній або обох щелепах у зв'язку з тим, що проблема надійної фіксації зубних протезів на щелепах дотепер не вирішена.

моделювання скінчений елемент математичний

Терміни "імплантат", "імплантація", запропоновані Знаменським Н.Н., і в даний час мають на увазі застосування предметів певної форми, виготовлених з небіологічного матеріалу, що вводять в організм для виконання яких-небудь функцій протягом тривалого часу.

Зубний імплантат - штучна опора, що вживлюється в кістку верхньої або нижньої щелепи, і служить основою для коронки чи протезної конструкції.

Дентальні імплантати бувають:

1) Циліндричні

2) Гвинтові

Зубний імплантат складається з двох основних частин - власне самого імплантату й абатмента. Абатмент - це сполучна ланка між імплантатом і зубним протезом.

[1] - коронка імплантата

[2] - абатмент

[3] - імплантат

Операція протезування за допомогою зубних імплантатів здійснюється в три етапи. На першому етапі гвинт-імплантат вставляється в щелепу хірургічним шляхом. Після періоду загоєння до гвинта-імплантату приєднується абатмент. Це другий етап операції. Потім відбувається процес, що називається "остеоінтеграція", при якому відбувається "зрощування" системи імплантату і кістки. Можна сказати, що імплантати стають частиною щелепи. На третьому етапі виготовляється і приєднується до системи зубний протез.

У світовій стоматологічній практиці одним з найбільш розповсюджених матеріалів, що застосовуються для виготовлення стоматологічних імплантатів (гвинта і абатмента), є титан і сплави на його основі. Титан характеризується високою міцністю, стійкістю проти корозії, але головне - він є нейтральним для організму і не викликає алергійних реакцій і реакцій відторгнення.

Незважаючи на те що дентальні імплантати вже довший час застосовуються для реабілітації пацієнтів з частковою чи повною відсутністю зубів, все ще зустрічається така проблема протезування, як злам компонентів імплантата. Причиною невдач найчастіше є те, що в процесі функціонування зубо-щелепної системи імплантат зазнає значних навантажень, які передаються на опорну кістку. Недосконалість фізико-механічних властивостей матеріалу, з якого виготовлено імплантат, а також нераціональне протезування призводить до виникнення ділянок надмірної концентрації напружень в кістці, які перевищують поріг ії фізіологічної міцності. Такі нефізіологічні навантаження призводять до резорбції (руйнації) кістки і, в кінцевому результаті, до втрати імплантату.

Отже, застосування внутрикісткової імплантації далеко не завжди приводить до стійкого і гарантованого успіху. При цьому відсоток незадовільних результатів її застосування за даними різних авторів коливається від 7% до 10% [11].

Моделювання процесів взаємодії дентальних імплантатів і кісткової тканини альвеолярних відростків щелепи та визначення пружного стану таких систем дає змогу провести раціональний вибір протезної конструкції на імплантатах у залежності від структури кісткової тканини щелепи хворого.

Проведені різними авторами дослідження показали можливість і перспективність використання математичного моделювання для вивчення розподілу напруження кісткової тканини в області імплантації [3, 15].

Матвеева та спів., [7], за допомогою математичного моделювання в пакеті Ansys, вивчали просторове моделювання напрямків встановлення імплантатів на верхній щелепі. Такий підхід, на думку авторів, дозволяє робити правильний вибір протезної конструкції та уникати ускладнень, викликаних особливостями розподілу функціонального навантаження на кісткову тканину, яка оточує імплантат, та підвищити ефективність ортопедичного лікування в цілому.

Подібні дослідження, з використанням методу скінченних елементів, про розподіл навантажень кісткової тканини в зоні одиночного гвинтового чи циліндричного імплантату проводились і іншими авторами [7].

У роботах [18, 19] представлені результати дослідження за допомогою скінченноелементної моделі розподілу напружень в кістковій тканині навколо блокованої системи з чотирьох та шести імплантатів з використанням пакету "Nisa” та трьох імплантатів з використанням програмного забезпечення "PATRAN”.

Проте вищезгадані приклади математичного моделювання не враховували ні кількість імплантатів, ні місць їх розташування. Адже для чисельного аналізу виділялася локальна частина щелепи, що містить інтегрований в неї імплантат чи декілька імплантатів.

Отже, проблема визначення потрібної кількості та довжини імплантатів на кінцях щелепи і посередині для нормального функціонування протезної конструкції при повній відсутності зубів, є актуальною в наш час та потребує досліджень, а саме з використанням математичного моделювання.

1.Постановка крайової задачі

1.1 Постановка проблеми

Метою даної магістерської роботи є вивчення впливу геометричних характеристик та пружних властивостей тіл на напружено-деформований стан конструкції. А саме, визначення оптимальної кількості імплантатів, в залежності від їх типу: гвинтового чи циліндричного, та їх розмірів для кращого функціонування незнімної ортопедичної конструкції при заміщенні повних дефектів зубних рядів незнімною конструкцією з опорою на імплантати.

Для цього формулюємо постановку нашої задачі:

Дано кісткову тканину, в яку вживлені імплантати навантажені протезною конструкцією. Знайти мінімальну кількість імплантатів у бічній ділянці щелепи, для того, щоб кісткова тканина мала найменші руйнування.

На протезну конструкцію діють рівномірно розподілені навантаження.

Необхідно дослідити напружено-деформований стан у всіх точках системи, як кісткової тканини так і протезної конструкції, при варіюванні геометричних характеристик окремих компонент.

1.2 Фізична постановка

Вважається, що система "імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина" є деформівним твердим тілом, яке складається з частин, де - кількість імплантатів (рис.1.1)

1) протезної конструкції

2) навантажених нею імплантатів гвинто-вого чи циліндричного типу

3) двох шарів кісткової тканини щелепи людини

? кортикальної

? губчастої.

Рис. 1.1 Система "імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина”

Всі елементи тіла перебувають в ідеальному контакті.

Розглядається випадок коли, на протезну конструкцію діє навантаження заданої інтенсивності. Для моделювання умов закріплення частини "кісткова тканина - імплантат”, вважається, що зовнішня границя фрагмента - жорстко защемлена.

Матеріали імплантату та кістки вважаються ізотропними, тобто такими, що володіють по всіх напрямках однаковими пружними властивостями.

1.3 Математична постановка

Система "імплантат - кісткова тканина - протезна конструкція" моделюється, як кусково-однорідне ізотропне тіло. Будемо вважати, що напружено-деформований стан пружного тіла (системи "імплантат - кісткова тканина - протезна конструкція”) описується співвідношеннями лінійної теорії пружності.

Розглядаємо в декартовій системі координат просторове тіло, яке займає обмежену область з неперервною за Ліпшицем границею . - кусково-однорідне ізотропне тіло, тобто , де - кількість імплантатів (рис 1.2).

Рис 1.2 Схематичне зображення конструкції

- імплантати, - губчаста кісткова тканина, - кортикальна кісткова тканина, - протезна конструкція.

Матеріали областей є ізотропними і відрізняються своїми фізико-механічними властивостями: модулем Юнга та коефіцієнтом Пуасона .

В математичній моделі, що описує поставлену задачу, не враховується дія об'ємних (масових) сил.

Напружено-деформований стан тіла визначається з рівнянь рівноваги

, , (1.1)

де ;

Вектор визначає напруження тіла ;

Оскільки, тензор деформації

(1.2)

може бути представлений як вектор, враховуючи те, що він є симетричним, і відповідно має лише шість різних між собою складових.

- компоненти напруження в площині, перпендикулярній осі , - в площині, перпендикулярній осі , - в площині, перпендикулярній осі . Перший індекс в цих позначеннях характеризує орієнтацію площини, а другий - напрямок дії відповідної складової напруження. Нормальні напруження вважаються додатними, якщо вони напрямлені по зовнішній нормалі до площини. Додатні напрямки дотичних напружень на границі приймаються як ті, що співпадають з додатними напрямками відповідної осі. Якщо ж зовнішня нормаль напрямлена протилежно до відповідної осі, то і додатні дотичні напруження в цій границі діють у від'ємних напрямках до двох інших осей. Як відомо, має місце наступна властивість парності дотикаючих напружень

(1.3)

Крім того, на частині зовнішньої поверхні вектор переміщень задовольняє кінематичні (головні) крайові умови, тобто на частині задані переміщення. Оскільки наша конструкція закріплена на частині , то вектор переміщень рівний нулю

, , , (), (1.4?)

на частині - статичні (природні) крайові умови, тобто заданий зв'язок між поверхневими силами та напруженнями біля поверхні тіла

, , , (), (1.4?)

де - вектор заданих поверхневих зусиль;

- компоненти одиничного вектора нормалі до поверхні тіла, ;

, .

Вважаємо, що контакт між областями ідеальний. Це означає, що на поверхні спряження областей та виконуються умови ідеального механічного контакту

, (1.5?)

, (1.5?)

де , - компоненти вектора поверхневих зусиль, що діють на частині поверхні контакту областей та .

В областях мають місце геометричні співвідношення Коші, що встановлюють зв'язок між компонентами деформації і компонентами переміщення. Якщо деформація і переміщення малі, то між ними існує лінійна залежність, що виражається рівняннями

, , (1.6)

де вектор визначає деформації тіла .

Оскільки, тензор деформації

(1.7)

може бути представлений як вектор.

- відносні зміни довжин нескінчено малих відрізків, першопочатково (до деформації) паралельних осям , , відповідно; вони вважаються додатними, якщо відбуваються видовження відрізків, і від'ємними - у випадку їх скорочення. - суть деформації зсуву, які являють собою зміни кутів між елементарними відрізками, первинно паралельними тим координатним осям, які вказані в нижніх індексах. Деформації зсуву вважаються додатними, якщо кути між відрізками, орієнтованими в додатних напрямках координатних осей, стають гострими.

В матричній формі співвідношення Коші мають вигляд:

, (1.8)

де - матриця диференціальних операторів

(1.9)

Складові вектора деформації не є взаємонезалежними, а повинні задовольняти умові компабільності Сен-Венана.

Якщо з умови (1.8) виключити переміщення , то між компонентами деформації отримуємо шість диференціальних співвідношень, що називаються умовами сумісності (чи нерозривності) деформації Сен-Венана:

(1.10)

Вважаємо також, що в областях виконуються фізичні співвідношення узагальненого закону Гука, що встановлюють зв'язок між напруженнями і деформаціями. Згідно цього закону компоненти деформації є лінійними функціями компонент напруження. Для ізотропного тіла закон Гука в матричній формі має вигляд:

(1.11)

де - матриця пружних констант закону Гука, яка у випадках ізотропного однорідного матеріалу може бути представлена з допомогою коефіцієнтів Ламе і :

(1.12)

або відповідно коефіцієнтів Юнга - і Пуассона -

(1.13)

при відомих зв'язках між цими елементами:

, ; (1.14)

та відповідно:

, (1.15)

Матрична рівність закону Гука може бути представлена співвідношеннями:

;

; (1.16)

;

; ; .

де - модуль зсуву,

. (1.17)

Розв'язавши рівняння (1.16) відносно напружень, можна представити закон Гука у формі Ляме

, ,

, , (1.18)

, ,

де , .

Рівняння (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) повністю визначають крайову задачу статичної взаємодії однорідного кусково-ізотропного тіла за умов ідеального контакту.

Розв'язок цієї системи можна шукати або в переміщеннях, або в напруженнях, розглядаючи відповідну систему диференціальних рівнянь. Цим двом підходам відповідають і різні варіаційні принципи (принцип мінімуму потенціальної енергії Лагранжа та принцип мінімуму додаткової роботи Кастильяно відповідно). Можна також шукати розв'язок змішаної системи (відповідно існують мішані варіаційні принципи, а також гібридні та узагальнені варіаційні методи)

Для розв'язку задач теорії пружності в переміщеннях необхідно рівняння рівноваги для точок тіла () представити в переміщеннях. З цією метою виражаємо напруження через деформації в формі Ляме (1.18), а деформації представимо через переміщення за співвідношеннями Коші (1.16).

Отримуємо

(1.19)

Це - рівняння Нав'є, лінійні диференціальні рівняння відносно компонент векторів переміщень . З допомогою пружних сталих Ляме вони приймають вигляд

(1.20)

і в такій формі називаються рівняннями Ляме.

До цих рівнянь необхідно долучити граничні умови. Якщо на поверхні тіла задані переміщення, то граничні умови зводяться до вимоги, щоб в точках поверхні шукані функції прийняли задані значення. Однак в нашому випадку геометричні умови задаються лише на частині поверхні , а на частині задаються поверхневі навантаження і задовольняються статичні граничні умови (1.14?). Їх потрібно також записати через переміщення, в результаті чого вони приймуть вигляд:

де .

2. Варіаційне формулювання крайової задачі

2.1 Вибір варіаційного принципу

Варіаційні принципи теорії пружності дозволяють звести проблему визначення напружено-деформованого стану тіла до задачі знаходження мінімуму того чи іншого функціоналу.

На цьому базуються різноманітні прикладні методи розрахунку, за допомогою яких вдається отримати наближений розв'язок задачі, не інтегруючи систему диференціальних рівнянь теорії пружності. Варіаційні принципи є теоретичним фундаментом і методу скінченних елементів.

Як вже згадувалося, для розв'язання задачі теорії пружності в переміщеннях використовується принцип мінімуму варіаційної енергії Лагранжа.

В основі цього варіаційного принципу лежить принцип віртуальної роботи.

Принцип віртуальної роботи (принцип можливих переміщень) стверджує, що робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях () рівна варіації потенціальної енергії деформації ().

, (2.1)

Це в свою чергу означає, що сума потенціалу зовнішніх сил і потенціальної енергії деформації при можливих переміщеннях (та відповідно) рівна нулю, оскільки формально варіація потенціалу зовнішніх сил відрівняється від варіації роботи лише знаком. Таким чином

(2.2)

Величина

(2.3)

називається повною потенціальною енергією системи, а рівність

(2.4)

називається варіаційним рівнянням Лагранжа.

Рівняння Лагранжа стверджує, що в стані рівноваги повна енергія системи має стаціонарне значення.

Варіаційний принцип Лагранжа полягає в тому, що із всіх переміщень, що приймають задані значення на поверхні тіла, насправді мають місце ті, при яких повна енергія системи мінімальна.

Дійсно, якщо тіло, яке знаходиться в стані стійкої рівноваги, під дією якось зовнішньої сили дещо змінить свою форму, то після ліквідації цієї дії воно знову займе первинне положення. При поверненні у вихідне положення буде вчинена робота, тобто вивільниться деяка кількість потенціальної енергії. Значить, в сусідньому положенні тіло володіє більшою потенціальною енергією, ніж в положенні стійкої рівноваги.

2.2 Варіаційна постановка задачі

Функціонал потенціальної енергії деформації складеного тривимірного тіла можна записати у вигляді

, (2.5)

де

, (2.6)

Відомо, що крайова задача (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) еквівалентна задачі мінімізації функціонала (2.6) на множині геометрично допустимих векторів , що задовольняють головні граничні умови (1.4?) та умови ідеального контакту (1.5).

Подамо задачу мінімізації функціонала (2.5) в дещо іншому записі. З цією метою введемо множину

(2.7)

і визначимо, що кожен вектор із задовольняє умови неперервності (1.5?) на межах контакту та головні крайові умови (1.4?).

З огляду на вирази (2.6), рівняння (1.1) та співвідношення (1.8) та (1.11) тепер можна сформулювати відповідну (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) задачу мінімізації у вигляді:

(2.8)

Де

. (2.9)

3. Метод скінченних елементів

3.1 Теоретичні основи методу скінченних елементів

Метод скінченних елементів є потужним сучасним засобом наближеного розв'язування різноманітних задач математичної фізики, що є орієнтованим на ефективне використання комп'ютерів.

Основна концепція МСЕ полягає в розбитті області розрахунковою сіткою на скінченні елементи, побудові матриці жорсткості, приведенні навантаження до вузлового для кожного скінченого елемента.

Під скінченним елементом потрібно розуміти не лише деяку малу область тіла, а область тіла в сукупності із заданими в ній апроксимаційними функціями.

Кожен елемент описується характерними точками, що називаються вузлами. Вузли звичайно знаходяться в кутових або крайніх точках елемента, але можуть бути також розташовані між кутовими вузлами та в середині елемента. Дане розходження зв'язане з порядком апроксимації, що забезпечує даний скінченний елемент. Елементи, що мають тільки кутові вузли, називаються лінійними і забезпечують лінійну інтерполяцію. Елементи, що мають додаткові вузли на своїх границях між кутовими крапками, можуть забезпечувати квадратичну або навіть кубічну інтерполяцію. У першому випадку такі елементи називаються квадратичними. Відзначимо також, що існують елементи, що мають внутрішні вузли. Теоретично такі елементи забезпечують більш точний опис геометрії тіла і шуканих функцій, однак широкого поширення даний тип елементів не одержав. При наявності сучасних автоматичних генераторів сітки часто буває простіше та зручніше розбити конструкцію на більше число лінійних елементів простої форми, аніж використання елементів високого порядку. Елементи, що не мають внутрішніх вузлів, відносяться до серендипового типу.

Кожен елемент характеризується також кількістю ступенів вільності. Завдяки спільним ступеням вільності відбувається збір моделі і формування глобальної матриці жорсткості. Як ступені вільності можуть фігурувати вузлові значення невідомої функції або її похідні по просторових координатах у вузлах. У першому випадку елементи відносяться до типу лагранжевих елементів; у другому випадку - до типу ермітових елементів.

В просторових задачах найбільш поширені такі форми скінченних елементів, як тетраедри, призми та гексаедри.

3.2 Алгоритм чисельного розв'язування варіаційної задачі

Метод скінчених елементів є методом знаходження мінімуму функціоналу.

Визначимо - скінченновимірний підпростір із розмірності . Виберемо у базисні функції , .

Це можуть бути білінійні або квадратичні функції МСЕ. Функції ще називаються апроксимуючими. Тоді шукані переміщення можна записати у такому вигляді:

. (3.1)

де ? загальне число степенів вільності, яке в загальному випадку не рівне числу вузлів, так як в кожен вузол може бути введено різна кількість степенів вільності.

? cтупені вільності, які в МСЕ, як правило, забезпечуються фізичним змістом і являють собою шукані значення переміщень чи їх похідних у вузлах розрахункової сітки.

Підставивши (3.1) в (2.9), одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(3.2)

де - вектор вузлових значень переміщень,

- вектор зовнішніх навантажень,

- матриця жорсткості кусково-однорідного тіла , що утворюється із матриць жорсткості усіх елементів областей , .

Розбиття системи на скінчені елементи дає можливість представити потенціальну енергію деформації і роботу зовнішніх сил у вигляді сум по окремим елементам:

(3.3)

де - номер скінченного елемента

Це дозволяє складати елементи матриці і вектора із окремих компонент. Так, ? елемент матриці і ? елемент вектора визначаються по формулам:

(3.4)

де ? сумування по всіх елементах, що містять і степені вільності: ? компоненти матриці жорсткості і вектора зовнішніх навантажень для скінченного елемента, тобто:

(3.5)

(3.6)

де ? область скінченого елемента.

Таким чином, МСЕ дає можливість будувати розв'язувану систему рівнянь (3.2) на основі розгляду кожного окремого скінченного елемента, що є дуже зручно в реалізації і є важливою перевагою методу.

Отже, нам потрібно дискретизувати області , ,., , та на кожному скінченному елементі цих областей будувати матриці жорсткості, виходячи з пружних властивостей окремих матеріалів.

Отже, розрахунок напружено-деформованого стану конструкції в рамках лінійної теорії пружності при дії на неї статичних навантажень зводиться до розв'язку системи лінійно-алгебраїчних рівнянь. Зазвичай для цього використовують метод Гауса, метод квадратного кореня (метод Холецького), метод Зейделя та інші прямі та ітераційні методи. В результаті визначаються значення ступенів вільності. По найденому вектору ступенів вільності і апроксимаційних функціях визначається функція переміщень по всій області системи, а по ній - напруження і деформації.

3.3 Тетраедні скінченні елементи з лінійними та квадратичними апроксимаціями

Лагранжевий квадратичний скінчений елемент.

Тетраедний скінчений елемент для просторової задачі являється аналогом трикутного скінченого елемента для плоскої задачі теорії пружності.

Скінчений елемент у формі тетраедра

Введемо передумову, що переміщення вздовж осей x, y, z розподіляються по лінійному закону, тобто

Чотирьом коефіцієнтам апроксимуючого полінома ставиться у відповідність чотири степені вільності - переміщення по напрямку осі в кожному вузлі. Тоді апроксимація переміщень в явному виді буде виглядати так:

(3.7)

Де

Апроксимація виглядає аналогічно, що обумовлює в кожному вузлі три степені вільності.

Матриці жорсткості та навантаження.

Вираз для матриці жорсткості, який визначається загальним співвідношенням (3.2), можна точно проінтегрувати, так як компоненти деформації і напруження постійні всередині елемента. [10,12]

Матриця жорсткості для скінченого елемента, побудована на основі (3.5), (3.6), (3.7) буде мати вигляд (табл.3.1):

В якій прийнято:

Аналогічно, будуємо і матрицю навантажень.

4. Чисельна реалізація математичних моделей

4.1 Огляд програмного комплексу Femlab 3.3

FEMLAB - могутнє інтерактивне середовище, яке дає можливість розв'язувати всі види наукових і технічних задач, що базуються на диференційних рівняннях часткових похідних (PDE). Використовуючи вбудовані фізичні прикладні режими, можна формувати моделі, задаючи необхідні параметри матеріальних властивостей, навантажень, обмежень, джерел, і потоків не визначаючи явно базові рівняння. FEMLAB в цих режимах внутрішніми засобами формує систему PDE, які представляють повну модель.

Графічний інтерфейс користувача (GUI) FEMLAB містить набір геометричних інструментальних засобів (CAD) для одновимірного, двохвимірного і трьохвимірного моделювання. У цьому інтерфейсі є засіб автоматичної генерації скінчено-елементної сітки для будь-якої геометрії. В FEMLAB 3.0 підтримуються Лагранжеві елементи с поліномними функціями форми від першого до п'ятого порядку. По замовчуванню генеруються Лагранжеві елементи другого порядку. Це меню доступне, якщо вибраний конкретний прикладний режим. Крім Лагранжевих підтримуються також Ермітові елементи до п'ятого порядку. В деяких прикладних режимах підтримуються скінченні елементи спеціальних типів.

Трикутна або тетраедна неструктурована сітка автоматично створюється генератором сітки. Адаптивні алгоритми генерації і перевизначення сітки мінімізують чисельну погрішність. Є також можливість керувати параметрами генератора скінченноелементної сітки.

Коли користувач дає команду розрахувати систему, FEMLAB 3.2 спершу вибирає оптимальний алгоритм із набору сучасних вбудованих алгоритмів. Ця опція за замовчуванням як правило краща, однак користувачі можуть здійснити більш тонке настроювання алгоритмів для спеціальних випадків.

Необмежене мультифізичне комбінування

FEMLAB дає Вам можливість об'єднати будь-яке число явищ, включених у вашу систему. Ви можете або здійснювати збірку вашої моделі, поєднуючи (комбінуючи) вже готові до використання програми, або визначати ваші власні рівняння. В обох цих випадках FEMLAB дає Вам можливість установити на кількісному рівні всі можливі залежності між змодельованими явищами.

Мультифізичні можливості FEMLAB не обмежені єдиною геометрією або системою координат. У техніці й науці Ви часто зіштовхуєтеся із симетричними системами, які можуть бути описані в одномірній або двовимірній моделі, пов'язаними із системами, які описуються тривимірними моделями. У поточній версії FEMLAB Ви маєте можливість поєднувати субмоделі з різним числом вимірів в одну модель. Таке об'єднання являється важливим частковим випадком мультигеометричного моделювання.

FEMLAB у комбінації з MATLAB і його пакетами розширення пропонує Вам закінчений пакет моделювання для наукових досліджень, технічних розробок, проектування й утворення.

Отже, моделювання в системі FEMLAB включає наступні кроки:

1. Створення чи імпорт геометрії

2. Генерація сітки скінченних елементів

3. Задання параметрів матеріальних властивостей в межах області, в якій проводиться пошук розв'язку і на границях

4. Розв'язування моделі

5. Пост процесорна обробка

6. Параметричний аналіз моделі

Перерахованим крокам моделювання відповідають операційні режими FEMLAB.

4.2 Побудова та розв'язування моделей з використанням Femlab 3.3

1) Створення геометрії

Для моделювання просторових задач теорії пружності Femlab 3.0 містить вбудований прикладний режим "Structural Mechanics Module / 3D”

В побудованих моделях як кісткові тканини, так і протезна конструкція моделювалися як однорідні дугоподібні балки, заокруглені на кінцях, з вирізами відповідної форми в місцях розміщення імплантатів. Імплантати моделювалися як однорідне циліндричне тіло з сфероподібним кінцем, тобто з одного кінця циліндр плавно переростає в половинку сфери.

При побудові моделі приймались наступні геометричні характеристики: ширина щелепи людини - 8 см, протезної конструкції - 7,6 см, довжина 9,4 та 7,6 см відповідно (рис.4.1). Висота кортикального шару кісткової тканини - 2 мм, губчастої - 18 мм, протезної конструкції - 8 мм, проміжок між кістковою тканиною і протезною конструкцією - 1мм.

Необхідна кількість імплантатів у бічних ділянках вивчалася в діапазоні від 1 до 3. В передній ділянці за норму приймалося три імплантати, проте в певних моделях їх кількість збільшувалася до 4-ох. При цьому вивчалася різниця у довжинах імплантатів від 5,0 мм до 15,0 мм. Діаметр імплантатів приймався рівним 4,5мм 4 мм 3,75 мм. Задавали гвинтовий тип імплантату з симетричною різьбою (зовнішній діаметр - 4,5мм 4 мм 3,75, внутрішній - 3,7мм 3,2 мм 2,9 мм). В кортикальному шарі без врахування різьби діаметр імплантату складав 4,5мм 4 мм 3,75 мм.

Рис. 4.1 Розміри моделей.

Приклад графічно побудованих моделей систем "імплантат - кісткова тканини щелепи людини - протезна конструкція" показаний на рис. 4.2, 4.3.

Рис. 4.2 Моделі тіл з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та з трьома імплантатами у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7,0 мм та 13,0 мм відповідно (Продемонстровано моделі тіл з циліндричними та гвинтовими відповідно).

Рис. 4.3 Модель тіла з двома імплантатами на кожному кінці щелепи та з чотирма імплантатами у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7,0 мм та 13,0 мм відповідно

(Продемонстровано моделі тіл з циліндричними та гвинтовими відповідно).

2) Задання параметрів моделі

При проведенні розрахунків для матеріалів вибиралися пружні характеристики, що подані у таблиці 4.1 [6,7].

Таблиця 4.1 - Значення пружних характеристик матеріалів.

Матеріал

Модуль пружності

(Па)

Коефіцієнт Пуасона

Імплантат

=1.05

0.33

Протезна конструкція

=1.6

0.3

Кортикальна кісткова тканина

=1.7

0.3

Губчаста кісткова тканина

=4

0.3

Для задання характеристик матеріалів можемо вибрати матеріали з списку перечислених (із "Material Library”) або визначити новий. Для імплантата обрано Titanium beta-21S. Також було визначено три нових матеріали - kortukalna кistka, gubchasta кistka, protez із відповідними характеристиками.

Напружено-деформований стан досліджувався під дією рівномірно розподіленого тиску на протезну конструкцію (наприклад, пережовування їжі).

При проведенні досліджень напружено-деформованого стану системи "імплантат - кісткова тканини щелепи людини - протезна конструкція" для визначення оптимальної кількості імплантатів використовувалися моделі з різними геометричними характеристиками (таблиця 4.2).

Таблиця 4.2 - Побудовані моделі.

назва моделі

кількість імплантатів

висота імплантатів

фронт.

бічна

загальна

фронт. (мм)

бічна (мм)

Гвинт

(мм)

1

Chel_3-13-4_1-7-4

3

2

5

13

7

--

2

Chel_3-13-4_1-10-4

3

2

5

13

10

--

3

Chel_3-13-4_2-7-4

3

4

7

13

7

--

4

Chel_3-13-4_2-10-4

3

4

7

13

10

--

5

Chel_3-13-4_3-5-4

3

6

9

13

5

--

6

Chel_3-13-4_3-7-4

3

6

9

13

7

--

7

Chel_3-13-4_3-10-4

3

6

9

13

10

--

8

Chel_4-13-4_1-10-4

4

4

8

13

10

--

9

Chel_3-13-4_1-7-4gv

3

2

5

13

7

0,8

10

Chel_3-13-4_1-10-4 gv

3

2

5

13

10

0,8

11

Chel_3-13-4_2-7-4 gv

3

4

7

13

7

0,8

12

Chel_3-13-4_2-10-4 gv

3

4

7

13

10

0,8

13

Chel_3-13-4_3-5-4 gv

3

6

9

13

5

0,8

14

Chel_3-13-4_3-7-4 gv

3

6

9

13

7

0,8

15

Chel_3-13-4_3-10-4 gv

3

6

9

13

10

0,8

16

Chel_4-13-4_1-10-4 gv

4

4

8

13

10

0,8

3) Генерація сітки скінченних елементів

Для розв'язування задач використовувалися лінійні та квадратичні апроксимації методу скінченних елементів.

Оскільки використання в теорії пружності більш рідкої сітки призводить до значних похибок, то дослідження проводились на сітках різної густоти, при зміні параметрів генератора скінченно-елементної сітки.

Параметри сітки взяті із вбудованих режимів побудови сітки, і подані у таблиці 4.3.

Таблиця 4.3 - Параметри сітки різної густоти

Параметри

Сітка

Рідка

Густа

Найгістіша

Maxіmum element sіze scalіng factor

5

1.9

1

Element growth rate

2

1.7

1.5

Mesh curvature factor

1

0.8

0.6

Mesh curvature cut off

0.07

0.05

0.03

Приклад розбиття моделі тіла (з двома імплантатами (10 мм) на кожному кінці щелепи та з трьома імплантатами (13 мм) у фронтальній ділянці) на скінченні Лагранжеві квадратичні елементи для циліндричних та гвинтових моделей показано на рис.4.4, 4.5 де також наведена статистика розбиття.

Аналогічно формувалось розбиття на скінченні елементи для моделей з використанням іншої кількості імплантатів. В моделях з більшою кількістю імплантатів кількість скінченних елементів найгустішої сітки досягала 40 тис.

Рис 4.4 Розбиття на скінченні елементи з допомогою сітки. Статистика розбиття.

Рис 4.5 Розбиття тіла на скінченні елементи з допомогою сітки. Статистика розбиття.

1) Розв'язування моделей

Розв'язок задачі теорії пружності в пакеті Femlab 3.3 шукається в переміщеннях. Результати роботи у середовищі Femlab зображені на рис.4.6 - 4.10. Справа від малюнку області знаходиться шкала кольору, за якою можна визначити фактичні значення розв'язку.

Рис. 4.6 Розв'язок моделі тіла з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.7 Розв'язок моделі тіла з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.8 Розв'язок цієї ж моделі в напруженнях.

Рис. 4.9 Розв'язок моделі тіла з двома імплантатами на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм в переміщеннях (густа сітка).

Рис. 4.10. Розв'язок моделі з трьома імплантатами на кінцях щелепи та у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 13,0мм та 10,0мм в переміщеннях (гвинтових та циліндричних відповідно).

По переміщеннях визначаються напруження. Для представлення розв'язку в напруженнях вибрано інший вид візуалізації, а саме перетин заданою кількістю площин, в даному випадку п'ятьма (рис.4.11.).

Рис. 4.11. Розв'язок цієї ж моделі в напруженнях.

7) Графічне представлення результатів

Максимальні напруження губчастої кісткової тканини виникають в зоні під імплантатом. Тому для даних моделей було побудовано графіки розподілу напружень в цій зоні для розв'язків із застосуванням Лагранжевих квадратичних скінченних елементів та найгустішої сітки, з метою визначити максимальні напруження цього шару кісткової тканини для моделей з різною кількістю та довжиною імплантатів.

Графік розподілу напружень будується по прямій, що перетинає потрібну область і задається в просторі двома точками. На рис.4.12 наведений графік розподілу напружень під кінцевим імплантатом моделі з одним імплантатами на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці з довжиною імплантатів 7 мм та 13 мм відповідно. Прямолінійний перетин заданий точками (0, 3.5, 1.28) та (2, 3.5, 1.28).

Рис. 4.12. Фігура Femlab з графіком розподілу напруження.

Методом побудови графіків розподілу напружень в кістковій тканині для кожної моделі були визначені максимальні напруження у ділянках під імплантатами. Для ясності імплантати були пронумеровані, і нумерація для різних моделей наведена на рис.4.13 - 4.16. Дані про максимальні навантаження, що виникають в губчастій кістковій тканині подані в таблицях 4.4 - 4.7 для моделей з різною кількістю та довжиною імплантатів.

Таблиця 4.4 - Максимальні напруження у кістковій тканині моделі з одним імплантатом на кожному кінці щелепи та трьома у фронтальній ділянці.

Довжина

Імплантатів (мм)

Тип

імплантатів

Напруження під

імплантатом № (MПa)

фронт.

бічна

1

3

5

13

7

цил.

20,3

27,2

55,8

13

7

гвинт.

18,2

21,9

48,6

13

10

цил.

10,7

14,6

24,3

13

10

гвинт.

9,9

13,4

25,3

Рис. 4.12. Нумерація імплантатів

Таблиця 4.5 - Максимальні напруження моделі тіла з трьома імплантатами на кожному кінці щелепи та у фронтальній ділянці.

Довжина

Імплантатів (мм)

Тип

імплантатів

Напруження під

імплантатом № (MПa)

фронт.

бічна

1

3

5

7

13

7

цил.

12,5

11,5

17,2

18

13

7

гвинт.

11,2

10,9

15,6

17

13

10

цил.

12,6

10,5

13

13,3

13

10

гвинт.

11,1

9,7

12,3

13,0

Рис. 4.13. Нумерація імплантатів.

Таблиця 4.6 - Максимальні напруження моделі тіла з трьома імплантатами на кожному кінці щелепи та у фронтальній ділянці.

Довжина

Імплантатів (мм)

Тип

імплантатів

Напруження під

імплантатом № (MПa)

фронт.

бічна

1

3

5

7

9

13

7

цил.

13

8,6

11,8

12,9

13,4

13

7

гвинт.

12,2

7,9

10,6

11

12,9

13

10

цил.

10

8,2

10,3

11,2

11,6

13

10

гвинт.

9,1

7,8

9,7

10,8

10,7

Рис. 4.14. Нумерація імплантатів.

Таблиця 4.7 - Максимальні напруження моделі тіла з чотирма імплантатами на кожному кінці щелепи та одним у фронтальній ділянці.

Довжина

Імплантатів (мм)

Тип

імплантатів

Напруження під

імплантатом № (MПa)

фронт.

бічна

1

3

5

13

7

цил.

6

14,3

23,6

13

7

гвинт.

5,7

13,1

16,2

13

10

цил.

5,9

14,0

21,0

13

10

гвинт.

5,7

12,9

16

Рис. 4.15. Нумерація імплантатів.

Для обраної кісткової тканини допустимі напруження губчастого шару - 15 МПа [7]. В кортикальній кістці допустима норма напружень - 45 МПа та в побудованих моделях вона не перевищується.

Напружений стан рахувався як результат дії максимального навантаження, тому подібна постановка задачі моделює найбільш критичну ситуацію під час функціонування системи "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини”.

4.3 Аналіз результатів

Було встановлено, що при повній відсутності зубів на нижній щелепі мінімальна кількість імплантатів у дистальних відділах щелепи, де з'являються найбільші напруження, повинна бути як мінімум по два імплантати довжиною 10,0 мм або три імплантати довжиною 7,0 мм. Збільшення довжин бічних імплантатів призводить до зниження рівня напружень в кістковій тканині, отже якщо є можливість, варто використовувати довші імплантати.

Якщо розглядати модель з двома імплантатами в бічній ділянці, то при зменшенні довжини імплантатів, наприклад до 7,0 мм математична модель показує руйнацію кісткової тканини. При використанні трьох імплантатів довжиною по 5,0 мм теж спостерігається руйнація кісткової тканини.

Використання 1-го імплантату у бічних відділах щелепи викликає напруження кісткової тканини, що перевищують допустимі норми і є дуже велика ймовірність руйнації, навіть при збільшенні кількості імплантатів у фронтальній частині від 3-ох до 4-ох. При переході з 1-го до 2-ох імплантатів на кожному кінці щелепи відбувається суттєве покращення результатів і відсутня руйнація кісткової тканини чи імплантатів.

Якщо напруження у бічних відділах щелепи з 1-м імплантатом суттєво більші від напружень у бічних відділах щелепи з 2-ма чи 3-ма імплантатами, то напруження у бічних відділах щелепи з 2-ма імплантатами не суттєво відрізняється від напружень у бічних відділах щелепи з 3-ма імплантатами.

Мусимо зазначити, що різниця у напруженнях при використанні циліндричних та гвинтових імплантатів є незначною, бо хоча при використанні гвинтових імплантатів і досягається зменшення напружень в губчастій кістці та під імплантатом в порівнянні з циліндричним, але при цьому в кортикальній кістковій тканині і в зоні контакту гвинта напруження є більшими.

Проведені дослідження дозволяють стверджувати, що для нормального функціонування протезної конструкції необхідно хоча б два імплантати довжиною 10 мм в бічному відділі щелепи. В такому випадку напруження кісткової тканини не перевищують допустиму норму. Проте при збільшенні кількості та довжини імплантатів ми отримаємо покращення в напруженнях.

Прерогатива вибору циліндричних та гвинтових імплантатів залишається за стоматологом.

Висновки

Дипломна робота присвячена вивченню напружено-деформованого стану конструкцій з використанням пакету Femlab 3.3 А саме, моделюванню та розрахунку пружних систем типу "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини”.

Основні результати роботи полягають в наступному:

1. Розглянуто питання математичного опису процесу взаємодії протезної конструкції з опорою на імплантати та кісткової тканини щелепи людини, як просторової задачі теорії пружності.

2. Для задачі було сформульовано варіаційну постановку і побудовано відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

3. Проведено аналіз сучасного математичного пакету Femlab 3.3для розв'язування крайових задач просторової теорії пружності.

4. Розглянуто числові приклади відшукання напружень в зоні кісткової тканини під імплантатом при конкретних значеннях параметрів задачі. Для цього побудовано ряд моделей системи "Імплантат - протезна конструкція - кісткова тканина щелепи людини” в пакеті Femlab.

5. Проведено аналіз отриманих результатів, та визначено кількості та довжини імплантатів для нормального функціонування протезної конструкції.

6. Проведено порівняльний аналіз пунктів 4 та 5 при моделюванні поставлених проблем за допомогою циліндричних та гвинтових імплантатів.

Список використаних джерел

1. Бавда Г.І. Моделювання та розрахунок пружних просторових систем типу "Імплантат - кісткова тканина щелепи людини. ”: Магістерська робота - Львів ЛНУ. - 2011.

2. Божидарник В. В.; Сулим Г.Т. Елементи теорії пружності. - Львів: Світ, 1994. - 560 с.

3. Безруков В.М., Матвеева А.И., Кулаков А.А. Результаты и перспективы исследования проблем дентальной имплантологии в России // Стоматология. - 2008. - Том 81, №1. - C.52-55.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

5. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений/ А.С. Городецкий, В.И. Зоворицкий, А.И. Лантух-Лященко, А.О. Рассказов. - М.: Транспорт, 2011. - 143 с.

6. Карл М., Вінтер В., Греф Ф., Віхманн М.Г., Угрин М.М., Хекманн З.М. Оцінка кінцевого елемента для визначення навантаження на кістку, зумовленого фіксацією мостоподібних протезів з опорою на імплантати/ Пер. з нім. Яремко О. // Новини стоматології, 2005. - №1 (42). - Львів. - С.6-11

7. Матвеева А.И., Гаврюшин С.С., Борисов А.Г., Амирханян А.Н. Использование математического моделирования при планировании ортопедического лечения больных с дефектами зубного ряда верхней челюсти с применением имплантантов // Панорама ортопедической стоматологии. - 2007. - №2. - С. 20-25.

8. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных елементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

9. Савула Я.Г. Метод скінченних елементів. - Київ: НМК ВО, 1993. - 96 с.

10. Секулович М. Метод конечных елементов / Пер. с серб. Ю.Н. Зуева; Под ред. В.Ш. Барбакадзе. - М.: Стройиздат, 2008. - 664 с.

11. Сєнніков О.М. Клініко-математичне обґрунтування конструювання субперіостальних імплантатів: Автореф. дис. на здобуття наукового ступеня канд. мед. Наук. Київ, 2009.

12. Зенкевич О. Метод конечных елементов в технике/ Перевод с английского. Под редакцией Победри Б.Е. / Москва.: МИР, 1975. - 542 с.

13. Теребушко О.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Наука. Главная редакция физ. - мат. литературы, 1984. - 320с.

14. Хан Х. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения: Пер. с нем. - М.: Мир, 1988. - 344 с.

15. Чуйко А.Н., Громов О.В. Некоторые практические вопросы биомеханики мостовидных протезов // Стоматолог, 2003. - №1. - Харьков. - С.48-53.

16. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв'язування початково-крайових задач. - Київ: УМК ВО, 2011. - 88 с.

17. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Модели та методы решения задач с условиями сопряжения. - К: Наукова думка, 1998. - 614 с.

18. Jingade R. R. K., Rudraprasad I. V., Sangur R. Biomechanics of dental implants: A FEM study // The Journal of Indian Prosthodontic Society, vol.5, no.1., 2005. - Davangere, India. - P.18-22

19. Murat Sutpideler, Steven E. Eckert, Mark Zobitz, Kai-Nan An Finite Element Analysis of Effect of Prosthesis Height, Angle of Force Application, and Implant Offset on Supporting Bone // The Internation Journal of Oral & Maxillofacial Implants, vol. 19, no.6, 2004. - P.819-825.

20. Чуйко А.Н., Вовк В.Е. Некоторые сосбенности биомеханики цилиндрических и винтовых имплантатов // Стоматолог. - 2007. - № 10. - С. - 35 - 38.

21. Shinichiro Tada, Roxana Stegaroiu, Eriko Kitamura, Osamu Miyakawa, Haruka Kusakari Influence of Implant Design and Bone Quality on Stress/Strain Distribution in Bone Around Implants: A 3-dimensional Finite Element Analysis. - The International Journal of Oral & Maxillofacial Implants. - 2009. - Volume 18. - Number 3. - P.357 - 369.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Задача лінійного програмування. Розв’язання задачі геометричним методом. Приведення системи рівнянь до канонічного вигляду. Розв’язання симплекс-методом. Розв’язок двоїстої задачі. Задача цілочислового програмування і дробово-лінійного програм.

    контрольная работа [385,2 K], добавлен 04.06.2009

  • Розповсюдження об'єкно-орієнтованих мов програмування. Моделювання предметної області. Постановка задачі. Інформаційне забезпечення. Алгоритм розв'вязання задачі. Пограмне забезпечення. Основні задачі при моделюванні предметної області. Стан сутностей.

    курсовая работа [772,8 K], добавлен 03.10.2008

  • Порядок обробки матриць. Обчислювання, надрукування елементів матриці С, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В. Знаходження середнього значення серед усіх елементів масиву С. Розрахунок значень функцій на заданому інтервалі.

    контрольная работа [215,4 K], добавлен 12.09.2010

  • Огляд переваг та недоліків мови Пролог, історія її створення. Числення предикатів як математична основа її функціонування. Порівняльна характеристика середовищ програмування Prolog. Алгоритми розв’язування математичних задач за допомогою цієї мови.

    курсовая работа [504,5 K], добавлен 23.12.2014

  • Методичні, математичні та інформаційні аспекти застосування методу кінцевих елементів і пакету прикладних програм FlexPDE, моделювання тепло-гідравлічних процесів. Сценарій руху течії у трубі та визначення впливу в’язкості і густини на його швидкість.

    дипломная работа [3,6 M], добавлен 22.06.2013

  • Розрахунок формуючого фільтра, ітераційна коригування його параметрів. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ2),), якщо базовим генератором є блок Band Limited White Noise, Random Number. Моделювання та аналіз частотних характеристик ФФ1 і ФФ2.

    курсовая работа [461,9 K], добавлен 08.04.2013

  • Характеристика основних методів сучасного викладання фізики. Моделювання як процес дослідження об’єктів пізнання за допомогою їх моделей. Розгляд особливостей використання табличного процесора EXCEL для обробки результатів лабораторних робіт з фізики.

    лабораторная работа [1,6 M], добавлен 22.12.2012

  • Висвітлення та розкриття поняття 3д-моделювання, його видів та особливостей. Аналіз основних видів моделювання, їхнє практичне використання, переваги та недоліки кожного виду. Розгляд найпоширеніших програм для створення 3-д зображень та їх функції.

    статья [801,7 K], добавлен 18.08.2017

  • Аналіз предметної галузі задачі моделювання пострілу балісти через стіну по мішені. Структури даних та діаграми класів для розв'язання задачі. Схеми взаємодії об’єктів та алгоритми виконання їх методів. Опис розробленої програми, інструкція користувача.

    курсовая работа [1,0 M], добавлен 18.05.2014

  • Етапи розробки системи моделювання позаштатних ситуацій у виробничому процесі, яка реалізована за допомогою технологій National Instruments з використанням пакету графічної мови програмування Labview. Обладнання для вирощування монокристалічного кремнію.

    дипломная работа [2,4 M], добавлен 25.10.2012

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.