Метод квадратного корня

Составление процедуры для матрицы, разложения матрицы на множители, решения системы линейных уравнений, нахождения определителя матрицы и матрицы с транспонированием. Суть метода квадратного корня. Разложение матрицы на множители. Листинг программы.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 18.09.2012
Размер файла 39,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа

по курсу

«Численные методы»

Метод квадратного корня

Задание

Для матрицы А составить процедуры:

– разложения матрицы на множители;

– решения СЛАУ ах=b;

– нахождения определителя матрицы А;

– нахождения обратной матрицы.

методом квадратного корня.

Вывести в файл:

– все входные данные задачи;

– разложенную на множители матрицу А;

– обратную к А матрицу;

– определитель матрицы А;

– решение системы Х;

– следующие проверки:

правильность разложения (невязку),

невязку нахождения решения,

невязку обращенной матрицы.

Входные данные задачи вводятся из файла, содержащего размерность задачи, матрицу А, вектор В.

1. Описание используемого метода

Суть метода квадратного корня состоит в следующем. Пусть дана линейная система, где А=(aij) - симметричная квадратная матрица порядка nxn, т.е. АT=(aji)=A; b=(b1,…, bn) - вектор правых частей системы, x=(x1,…, xn) - вектор-столбец неизвестных.

Расчетные формулы.

a) разложения матрицы на множители.

Рассмотрим матрицу A в виде

A = SТDS, (1)

где

s11

s12

s13

s1n

0

s22

s23

s2n

S =

0

0

s33

.

s3n

0

0

0

snn

Sii > 0, i = 2…n

S - верхнетреугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали.

D = diag (d11, …, dnn); dii = ±1, i = 1..n - диагональная матрица с элементами на главной диагонали ±1.

SТ - транспонированная к S матрица (нижнетреугольная).

Тогда, производя перемножение матриц SТ, D и S, получим уравнения для определения элементов aij матрицы A и, преобразовав их, получим следующие уравнения:

(2)

(3)

(4)

квадратный корень матрица программа

Если sii?0, то det(A) = det(SТ) det(D) det(S) ? 0, и система имеет единственное решение.

Если матрица A является положительно определенной, то матрица D будет единичной.

б) решения СЛАУ Ax=b.

Если разложение получено, то, применив формулу (1), получим:

SТDSx=b

Положив DSx=y, сводим решение системы к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: STy=b и DSx=y.

Из первой найдем yi:

(5)

Затем, зная yi, из второй системы находим xi:

(6)

в) нахождения определителя матрицы А.

Как уже отмечалось выше, det(A) = det(SТ) det(D) det(S) = det(D) (det(S))2

det(S) = (s11*s22* *snn),

det(D) = (d11*d22* *dnn)

Отсюда находим:

(7)

г) нахождения обратной к А матрицы.

Пусть H - обратная к А матрица. Тогда

AH=E (8)

E - единичная матрица nЧn.

Т.к. уравнение (8) матричное, необходимо записать его в векторном виде, представив матрицы Н и Е в виде систем векторов:

E=[e1, e2,, en], ei - вектора 1Чn (единичные орты)

H=[h1, h2,, hn], hi - вектора 1Чn (9)

Используя систему (9), преобразуем матричное уравнение (8) в систему:

, m = (1,2,…, n)

Отсюда

, m = (1,2,…, n)

Таким же образом, как и при решении СЛАУ, положим и , из чего найдем:

, m = (1,2,…, n)

, m = (1,2,…, n)

Таким образом, будет найдена матрица Н, обратная к А.

Перемножение матриц

2. Листинг программы

 // -

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include <iostream.h>

#include <fstream.h>

#include <sstream.h>

#include <math.h>

#include <tchar.h>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <winbase.h>

#include <windows.h>

 // -

#pragma argsused

const int n=4;

void FindD (float A[n] [n], float S[n] [n], float D[n] [n], int i)

{float c=0, b=0; int l;

for (l=0; l<=i-1; l++)

c=c+S[l] [i]*S[l] [i]*D[l] [l];

b= A[i] [i] - c;

if (b==0) D[i] [i]=0;

else {

if (b<0) D[i] [i]=-1;

else D[i] [i]=1;};

c=0;

}

void FindSij (float A[n] [n], float S[n] [n], float D[n] [n], int i, int j)

{float c=0; int l;

for (l=0; l<=i-1; l++)

c=c+S[l] [i]*D[l] [l]*S[l] [j];

if ((S[i] [i]==0)||(D[i] [i]==0)) {S[i] [j]==0;}

else S[i] [j]=(A[i] [j] - c)/S[i] [i]*D[i] [i];

c=0;

}

void FindSii (float A[n] [n], float S[n] [n], float D[n] [n], int i)

{float c=0; int l;

for (l=0; l<=i-1; l++) {

c=c+S[l] [i]*S[l] [i]*D[l] [l];};

S[i] [i]=sqrt (fabs(A[i] [i] - c));

c=0;

}

void Findy (float A[n] [n], float St[n] [n], float b[n], float y[n], int i)

{float c=0; int k;

for (k=0; k<=i-1; k++) {

c=c+St[i] [k]*y[k];};

y[i]=(b[i] - c)/St[i] [i];

c=0;

}

void Findx (float A[n] [n], float S[n] [n], float D[n] [n], float y[n], float x[n], int i)

{float c=0; int k;

for (k=i+1; k<n; k++) {

c=c+D[i] [i]*S[i] [k]*x[k];};

x[i]=(y[i] - c)/(D[i] [i]*S[i] [i]);

c=0;

}

void FindDet (float S[n] [n], float D[n] [n], float &DetA)

{float c=1, o=1; int k;

for (k=0; k<n; k++)

c=c*S[k] [k];

for (k=0; k<n; k++)

o=o*D[k] [k];

DetA=o*(c*c);

c=1; o=1;

}

void Umn (float A[n] [n], float x[n], float b[n], float r[n])

{float c=0;

for (int i=0; i<n; i++) {

for (int j=0; j<n; j++) {

c = c + (A[i] [j]*x[j]);

}

r[i]= c-b[i]; c=0;};

}

void Umnm (float A[n] [n], float S[n] [n], float M[n] [n])

{

for (int i=0; i<n; i++) {

for (int j=0; j<n; j++) {

M[i] [j]=0;

for (int k=0; k<n; k++)

M[i] [j]= M[i] [j]+ (A[i] [k]*S[k] [j]);

};

};

}

int main (int argc, char* argv[])

{const int n=4;

float A[n] [n];

float S[n] [n], St[n] [n], D[n] [n];

float b[n];

int i, j;

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

S[i] [j]=0; St[i] [j]=0; D[i] [j]=0;

};

};

FILE* f1, *f2;

f1=fopen («input.txt», «r»);

if((f1=fopen («input.txt», «r»)) == 0) printf («file pust»);

else {

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fscanf (f1, «%16f», &A[i] [j]);

fscanf (f1, «\n»);};};

for (i=0; i<n; i++) {

fscanf (f1, «%16f», &b[i]);

fscanf (f1, «\n»);};

fclose(f1);

f2=fopen («output.txt», «w»);

fprintf (f2, «A= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», A[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

fprintf (f2, «b= \n»);

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», b[j]);};

fprintf (f2, «\n»);

 // поиск элементов S, D

bool B=true;

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=i; j<n; j++) {

if (i==j) {

FindSii (A, S, D, i);

FindD (A, S, D, i);

if ((S[i] [i]==0)||(D[i] [i]==0)) B=false;

}

else

{

FindSij (A, S, D, i, j);};};

};

if (B==false) fprintf (f2, «Nedopustimaya matrica! DetA=0»);

else {

for (i=0; i<n; i++) { // поиск элементов St

for (j=0; j<n; j++) {

St[i] [j]=S[j] [i];};

};

fprintf (f2, «S= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», S[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

fprintf (f2, «D= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», D[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

fprintf (f2, «St= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», St[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

 // Решение СЛАУ

float y[n], x[n];

for (i=0; i<n; i++)

Findy (A, St, b, y, i);

for (i=n-1; i>=0; i-)

Findx (A, S, D, y, x, i);

fprintf (f2, «y= \n»);

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», y[j]);};

fprintf (f2, «\n»);

fprintf (f2, «x= \n»);

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», x[j]);};

fprintf (f2, «\n»);

 // Нахождение определителя

float DetA;

FindDet (S, D, DetA);

fprintf (f2, «Det A=»);

fprintf (f2, «%16f», DetA);

fprintf (f2, «\n»);

 // Нахождение обратной матрицы

float H[n] [n];

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++)

H[i] [j]=0;};

int m;

float z[n], h[n], e[n];

for (m=0; m<n; m++) {

for (i=0; i<n; i++) e[i]=0;

e[m]=1;

for (i=0; i<n; i++)

Findy (A, St, e, z, i);

for (i=n-1; i>=0; i-)

Findx (A, S, D, z, h, i);

for (i=0; i<n; i++) {

H[i] [m]=h[i];

};};

fprintf (f2, «H= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», H[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

fprintf (f2, «NEVYAZKI: \n»);

float r[n];

Umn (A, x, b, r);

fprintf (f2, «Ax-b= \n»);

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», r[j]);};

fprintf (f2, «\n»);

float M[n] [n], F[n] [n];

Umnm (D, S, M);

Umnm (St, M, F);

fprintf (f2, «St*D*S= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», F[i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

float N1 [n] [n];

Umnm (A, H, N1);

fprintf (f2, «A*H= \n»);

for (i=0; i<n; i++) {

for (j=0; j<n; j++) {

fprintf (f2, «%16f», N1 [i] [j]);};

fprintf (f2, «\n»);};

};

};

system («pause»);

return 0;

}

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятие определителя матрицы, математические и алгоритмические основы его расчета, функциональные модели, блок-схемы и программная реализация. Сущность метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений и вычисления определителя матрицы.

    контрольная работа [455,2 K], добавлен 18.01.2010

  • Применение численного метода решения систем линейных алгебраических уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление на базе метода матрицы Гаусса вычислительной схемы алгоритма и разработка интерфейса программы на алгоритмическом языке.

    курсовая работа [823,9 K], добавлен 19.06.2023

  • Разработка программы для решения системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы на языке С++. Описание метода Крамера. Структура программы: заголовочные файлы, типы данных, переменные, идентификаторы, операторы, массивы.

    курсовая работа [32,3 K], добавлен 19.01.2009

  • Описание методов вычисления определителя матрицы. Математическое решение задачи с применением метода исключения Гаусса с выбором главного элемента. Схема алгоритма программы, описание переменных и структур данных, текст программы на языке Pascal.

    курсовая работа [438,8 K], добавлен 16.02.2011

  • Основные операции над матрицами. Формирование матрицы из файла. Ввод матрицы с клавиатуры. Заполнение матрицы случайными числами. Способы формирования двухмерных массивов в среде программирования С++. Произведение определенных элементов матрицы.

    курсовая работа [537,0 K], добавлен 02.06.2015

  • Разработка эскизного и технического проектов программы преобразования заданной матрицы в ортогональную матрицу. Сравнивание транспонированной матрицы с обратной с целью проверки ортогональности. Выбор состава технических и программных средств реализации.

    курсовая работа [52,1 K], добавлен 09.12.2014

  • Метод интегральных многообразий. Теория дифференциальных уравнений. Разбиение матрицы Якоби. Математическая модель процесса распада комплекса фермент-продукта. Построение интегрального многообразия. Составление матрицы Гурвица. Фазовые портреты системы.

    дипломная работа [1,4 M], добавлен 27.06.2013

  • Реализация программы для решения матричных игр. Задание матрицы игры вручную и случайным образом, нахождение оптимальных стратегий игроков итерационным и методом чистых стратегий. Проектирование и листинг программного кода, сохранение матрицы игры.

    контрольная работа [716,7 K], добавлен 11.06.2011

  • Формулировка задачи о замочной скважине, подойдет ли ключ к замку. Составление блок-схемы, которая позволяет наглядно увидеть ход выполнения поставленной задачи. Описание использованных переменных. Анализ результатов вычислений, листинг программы.

    курсовая работа [134,1 K], добавлен 07.05.2012

  • Составление матрицы непосредственных связей для структуры сети автоматической системы управления, заданной графом. Определение возможных путей доведения и ранжирование их по приоритетам. Этап разложения матрицы с одновременным раскрытием скобок.

    контрольная работа [326,1 K], добавлен 03.12.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.