Современная теория управления

.(7.4)

Введение обратной связи по скорости позволяет изменить коэффициент усиления до значения и добавить в передаточную функцию разомкнутой системы нуль: . Если разомкнутая система имеет вид , то замкнутая соответственно

.(7.5)

Система (7.5) является системой второго порядка с частотой собственных колебаний и коэффициентом демпфирования, равным . Если , то и переходный процесс будет затухающим. Полюса системы (7.5) равны:

.(7.6)

Введем обозначения:

,

.

Поскольку мы имеем теперь не один, а два параметра и , возникает вопрос, какой из них следует считать переменной величиной, чтобы получить корневой годограф замкнутой системы? Важны не абсолютные значения этих величин, а соотношение между ними, то есть, параметр

.(7.7)

Заметим, что параметр равен абсолютному значению нуля системы. Для полюсов можно записать: . Тогда: . Возведя в квадрат, получим: . Прибавив к левой и правой частям уравнения слагаемое , приходим к формуле круга, смещенного влево от начала координат на величину :

.(7.8)

Корневой годограф такой системы изображен на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Корневой годограф системы с ПД-регулятором

На основании данного корневого годографа можно сделать вывод, что замкнутая система управления с ПД-регулятором будет устойчивой при всех и . Поскольку теперь имеются два варьируемых параметра и , то корни характеристического уравнения системы могут быть размещены в любых точках левой полуплоскости комплексной плоскости.

Пример 7.3. Замкнутая система управления описывается передаточной функцией (7.5). Найти значение , обеспечивающее критическое демпфирование , если частота собственных колебаний замкнутой системы должна быть равна единице.

Решение. . График переходной функции системы с такими параметрами показан на рис. 7.6.

Рис. 7.6. График переходной функции

Лекция №8. Требования к проектируемой системе управления

К проектируемой системе управления обычно предъявляют следующие требования:

1) система должна быть устойчивой, запас устойчивости не должен быть ниже заданных норм;

2) точность в установившемся режиме должна быть высокой;

3) переходная функция должна иметь приемлемые характеристики;

4) чувствительность к изменению параметров должна быть низкой;

5) способность компенсировать возмущения, напротив, должна быть высокой.

1). Запас устойчивости. В теории управления помимо понятия устойчивости систем, которая может либо быть, либо не быть, существует понятие относительной устойчивости. Из двух устойчивых линейных систем одна может быть более устойчивой, а другая - менее устойчивой. Относительная устойчивость системы определяется величиной двух параметров: запасом устойчивости по модулю и запасом устойчивости по фазе.

Рис. 8.1. Диаграммы Найквиста неустойчивой (а) и устойчивой (б) систем

Запас устойчивости системы можно определить с помощью диаграммы Найквиста или с помощью диаграммы Боде. Диаграмма Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по ее частотным характеристикам в разомкнутом состоянии. На рис. 8.1 показаны диаграммы Найквиста двух разных систем. Левая (а) соответствует системе, которая в замкнутом виде является неустойчивой («петля» охватывает красный крестик, находящийся в точке (-1, 0) - это критерий устойчивости Найквиста). Правая (б) - системе, которая в замкнутом виде устойчивая («петля» не охватывает красный крестик).

Если информация о передаточной функции разомкнутой системы уже введена в программу, то диаграмму Найквиста можно получить с помощью команды: nyquist(G).

Рис. 8.2. Определение запасов устойчивости по диаграмме Найквиста

На рис. 8.2 показана нижняя часть диаграммы Найквиста системы, устойчивой в замкнутом состоянии. Диаграмма представляет собой график частотной функции разомкнутой системы в полярных координатах. Каждая точка жирной линии соответствует определенной частоте . Точка, для которой , помечена буквой «А», стрелкой указано направление возрастания частоты. Длина отрезка, проведенного от начала координат до произвольной точки диаграммы, равна модулю частотной функции , а угол между отрезком и горизонтальной осью координат равен фазе частотной функции .

Напомним, что частотная функция получается из передаточной функции путем замены аргумента. Вместо параметра преобразования Лапласа используется аргумент: , где - круговая частота гармонических колебаний, - мнимая единица.

Очевидно, что запасом устойчивости обладают только устойчивые системы. На рис. 8.2 видно, что точка пересечения графиком горизонтальной линии с координатой: находится правее «роковой» точки -1, так что данная система устойчива. Запас устойчивости по модулю в абсолютных единицах определяется выражением: , а запас по фазе - равен углу (см. рис. 8.2).

Рис. 8.3. Определение запасов устойчивости по диаграмме Боде

Запасы устойчивости по модулю и по фазе замкнутой системы можно определить также с помощью диаграммы Боде (рис. 8.3). Запас по модулю определяется на частоте, при которой . Эта частота на диаграмме Боде (рис. 8.3) обозначена как . Запас по модулю принято выражать в децибелах, то есть, как . Запас по фазе определяется на частоте , на которой (или 0 дБ). Запас по фазе есть разность между и , как показано на рисунке.

Запасы устойчивости необходимы для того, чтобы иметь приемлемый вид переходной функции. Второй мотив стремления к большим запасам устойчивости связан с неточностью моделирования. Поскольку модели, на основе которых решается задача синтеза, в какой-то степени являются неточными, то запасы устойчивости можно рассматривать также как гарантию безопасной работы системы.

Эмпирическим путем установлено, что запас по модулю в 8 дБ (что соответствует абсолютному значению в 2,51) обычно является достаточным для систем управления, тогда как запас в 5 дБ (абсолютное значение 1,78) недостаточен. Аналогично, запас по фазе обычно оказывается приемлемым, а запас недостаточен.

2). Точность в установившемся режиме. Точность работы системы управления в установившемся режиме достигается с помощью следующего правила. Частотная функция замкнутой системы определяется выражением

.(8.1)

Если на некоторой частоте коэффициент усиления разомкнутой системы достаточно велик, то коэффициент усиления замкнутой системы приблизительно равен единице. Таким образом, чтобы ошибка была малой на некоторых частотах, соответствующий коэффициент усиления разомкнутой системы должен быть достаточно большим. Если мы сумеем спроектировать систему, имеющую большой коэффициент усиления в широком диапазоне частот, то эта система очень хорошо будет отслеживать сигналы, спектр которых расположен в этом диапазоне.

3). Переходная функция. На рис. 8.4 показана типичная переходная функция системы при наличии пары доминирующих полюсов. Основными параметрами, которые могут представлять интерес, являются: время нарастания , максимальное значение переходной функции (или перерегулирование в процентах), и время установления .

Рис. 8.4. Типичная переходная функция

Время нарастания тесно связано с полосой пропускания замкнутой системы. В общем случае, если нам нужно уменьшить время нарастания, скажем, в 2 раза, то необходимо приблизительно в 2 раза увеличить полосу пропускания замкнутой системы. Если мы хотим уменьшить время установления , то полюсы передаточной функции замкнутой системы необходимо сдвинуть влево на -плоскости, уменьшив таким образом постоянные времени. Сдвиг полюсов замкнутой системы влево приводит также к увеличению полосы пропускания. Следовательно, чтобы сократить длительность переходного процесса в системе, необходимо увеличить ее полосу пропускания.

Перерегулирование в переходной функции связано с резонансом замкнутой системы, который проявляется в виде максимума ее амплитудно-частотной характеристики (см. рис. 8.5).

Замкнутая система может обладать резонансными свойствами, только если запасы устойчивости являются малыми. Следовательно, для уменьшения перерегулирования необходимо увеличивать запасы устойчивости. Перерегулирование обычно более чувствительно к запасу устойчивости по фазе, чем по модулю. Требования к ограничению влияния резонансных свойств могут быть заданы в виде процентного перерегулирования переходной функции, в виде максимально допустимого значения амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы, отмеченного как на рис. 8.5, или в виде запаса устойчивости по фазе.

Рис. 8.5. Частотная характеристика замкнутой системы

4). Чувствительность. Обычно параметры объекта управления изменяются в зависимости от температуры, влажности, срока службы и т.д. Чувствительность передаточной функции замкнутой системы к изменению передаточной функции объекта, представленная в зависимости от частоты, описывается выражением

.(8.2)

Отсюда видно, что для того, чтобы эта чувствительность была малой в заданном диапазоне частот, модуль частотной функции разомкнутой системы в этом диапазоне должен быть достаточно большим. Обычно это стремятся сделать путем увеличения коэффициента усиления в контуре. Но это, в свою очередь, уменьшает запасы устойчивости, поэтому, как правило, приходится искать компромисс между низкой чувствительностью и достаточными запасами устойчивости.

5). Компенсация возмущений. Модель замкнутой системы при наличии возмущений представлена на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Система при наличии возмущений

На этом рисунке обозначает возмущение (случайный нежелательный входной сигнал). Например, это может быть восходящий поток воздуха, действующий на пассажирский авиалайнер. Выходной сигнал такой системы может быть записан в виде

.(8.3)

Для того чтобы уменьшить влияние возмущения на выход, необходимо сделать коэффициент усиления разомкнутой системы достаточно большим в диапазоне частот, занимаемом возмущениями . Если это невозможно, то коэффициент усиления разомкнутой системы должен быть сделан как можно большим в как можно большем диапазоне частот. Однако это приводит к уменьшению запасов устойчивости.

Лекция № 9. Синтез ПИД-регулятора

Регуляторы в системах автоматического управления в общем случае бывают различными. Однако чаще всего используется ПИД-регулятор, осуществляющий пропорционально-интегрально-дифференциальный закон управления. Передаточная функция ПИД-регулятора имеет вид

.(9.1)

Интегральная составляющая соответствует отставанию по фазе, а дифференциальная составляющая - опережению по фазе. Следовательно, интегральная составляющая играет роль в области низких частот: , а дифференциальная составляющая - в области высоких частот: . Диаграмма Боде для ПИД-регулятора представлена на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Диаграмма Боде для ПИД-регулятора

Пропорциональный канал регулятора образует на выходе составляющую, которая является функцией текущего состояния системы. Поскольку выход интегратора зависит от входного сигнала во все предшествующие моменты времени, то эта составляющая выходного сигнала регулятора определяется прошлым состоянием системы. Она не может измениться мгновенно и поэтому характеризует инерционность системы. Выход дифференциатора пропорционален скорости изменения входного сигнала, поэтому данный канал можно рассматривать в качестве предсказателя будущего состояния системы. Дифференциальная составляющая выхода регулятора способствует улучшению вида переходного процесса в системе, сокращая его длительность. Однако, если входной сигнал «засорен» высокочастотным шумом, то это предсказание может привести к нежелательным результатам. Итак, ПИД-регулятор можно рассматривать как устройство, вырабатывающее сигнал, являющийся функцией прошлого, настоящего и прогнозируемого будущего состояния системы.

Диаграмма Найквиста для скорректированной системы при частоте проходит через точку , где - запас по фазе. Иначе говоря

.(9.2)

Если аргумент функции обозначить через , то согласно (9.2):

.(9.3)

Из (9.1) и (9.2) следует

,(9.4)

.(9.5)

Приравняв в (9.4) действительные части, получим:

,(9.6)

а приравняв мнимые части:

.(9.7)

Частоту можно рассчитать, считая заданным время установления :

.(9.8)

Соотношение (9.8) является точным только для типовой системы второго порядка. Для систем более высокого порядка оно может служить лишь приближением, причем иногда даже очень грубым.

Коэффициент задается, исходя из требований к качеству системы в установившемся режиме.

На рис. 9.1 видно, что фазовый сдвиг, создаваемый регулятором на частоте , может быть как положительным, так и отрицательным, а модуль частотной функции может быть как больше, так и меньше единицы. Поэтому единственным ограничением на выбор частоты является то, что абсолютное значение угла должно быть меньше, чем .

Коэффициенты и являются взаимозависимыми. Если увеличить , то и также надо будет увеличить. Увеличение может иметь два последствия. Во-первых, в систему вносится большее отставание по фазе, поэтому переходная функция будет иметь большее перерегулирование и более длительное время установления. Во-вторых, система может стать условно устойчивой, т.е. система остается устойчивой, но она может потерять устойчивость как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Некоторые часто встречающиеся нелинейности эффективно уменьшают коэффициент усиления при больших входных сигналах. Одной из наиболее распространенных нелинейностей является нелинейность типа «ограничение». При малых входных сигналах такой элемент работает в линейном режиме и имеет коэффициент усиления К. Однако при больших входных сигналах элемент насыщается и его эквивалентный коэффициент усиления падает. Если такой элемент входит в состав условно устойчивой системы, то при больших сигналах система может стать неустойчивой.

Пример 9.1. Осуществим синтез ПИД-регулятора для системы, которая в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

.

Исходные параметры, определяющие требование к системе, следующие: запас по фазе , время установления с.

Решение: Вначале определим частоту, на которой обеспечивается необходимый запас по фазе:

.

С помощью «MATLAB» определим модуль и аргумент передаточной функции :

w2=1.7;

Gp=tf([4], [1 3 2 0]);

Gpiw2=evalfr(Gp, i*w2);

mag=abs(Gpiw2), phase=angle(Gpiw2)*180/pi

В результате выполнения программы получим:

mag =0.4545

phase =170.1010

Согласно (9.3):

С помощью (9.6) находим

.

Формула (9.7) позволяет найти сумму:

.

.

Чтобы подобрать оптимальные значения коэффициентов и , сравним реакции замкнутой системы на ступенчатый входной сигнал при следующих значениях коэффициента : 0,005; 0,05; 0,5. Для этого используем программу «MATLAB»:

KI=[0.005 0.05 0.5]; phim=50; w2=1.7;

Gp=tf([0 0 0 4], [1 3 2 0]);

for k=1:3

Gpiw2=evalfr(Gp, i*w2);

Gpiw2mag=abs(Gpiw2);

theta=-pi+phim/57.296-angle(Gpiw2);

KP=cos(theta)/Gpiw2mag;

KD=sin(theta)/(w2*Gpiw2mag)+KI(k)/w2^2;

[KP, KI(k), KD]

Gc=tf([0 KD KP KI(k)], [0 0 1 0]);

T=minreal(Gc*Gp/(1+Gc*Gp));

step(T), pause

[Gm, Pm, Wcg, Wcp]=margin...

(Gc*Gp), pause

end

В результате расчетов получим, что если , то ; если , то ; если , то . Запас устойчивости по фазе во всех трех случаях одинаков и на частоте равен 49,9998 градусам. Переходные функции замкнутой системы для различных значений коэффициента показаны на рис. 9.2.



Рис. 9.2. Переходные функции замкнутой системы

Графики показывают, что время установления в 4 секунды обеспечивается только при . Поэтому окончательно принимаем значения коэффициентов: ; ; . Таким образом, синтезированный регулятор имеет передаточную функцию:

.

Построим диаграммы Боде для исходной системы и для системы с регулятором. Для этого в системе «MATLAB» необходимо набрать следующую программу:

KP=1.1035; KI=0.005; KD=1.1215;

Gp=tf([4], [1 3 2 0]);

Gc=tf([KD KP KI], [1 0]);

Gpc=Gp*Gc;

bode(Gp), hold on

bode(Gpc), hold on

Полученные диаграммы показаны на рис. 9.3.

Рис. 9.3. Диаграмма Боде исходной системы (синяя линия) и системы с регулятором (зеленая линия)

Как можно видеть, регулятор повысил коэффициент усиления на низких частотах и расширил полосу пропускания разомкнутой системы. А главное - увеличил запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Лекция № 10. Синтез системы в пространстве состояний

Классические процедуры синтеза основаны на использовании передаточной функции, синтез путем размещения полюсов основан на использовании модели в переменных состояния. Модель линейной непрерывной системы в переменных состояния имеет вид:

(10.1)

Мы ограничимся случаем систем с одним входом и одним выходом, поэтому , - это скалярные переменные. Предположим, что вход системы, обозначаемый как , равен нулю (см. рис. 10.1).

Рис. 10.1. Синтез системы на основе размещения полюсов

В общем случае вход объекта управления является функцией переменных состояния

.(10.2)

Это уравнение называют законом управления. При синтезе путем размещения полюсов закон управления определяется как

,(10.3)

где есть вектор постоянных коэффициентов размерности . Далее мы покажем, что этот закон управления позволяет разместить все полюсы замкнутой системы в любых заданных точках. Закон управления можно записать в виде:

.(10.4)

Отсюда видно, что сигнал, поступающий на вход объекта, представляет собой линейную комбинацию всех переменных состояния.

Задача синтеза заключается в определении желаемого положения корней характеристического уравнения системы и нахождении коэффициентов , обеспечивающих заданное размещение корней.

Поскольку вход системы равен нулю, то ее назначение сводится к тому, чтобы поддерживать равной нулю выходную переменную. На практике система подвержена влиянию возмущений, которые стремятся сделать выход объекта отличным от нуля. Цель обратной связи - вернуть значение выходной переменной (и всех переменных состояния) к нулю определенным, наперед заданным, образом. Система такого типа (при входном сигнале, равном нулю) обычно называется регулятором состояния.

Сначала мы рассмотрим метод размещения полюсов на примере, а затем сформулируем общие принципы процедуры синтеза.

Пример 10.1. В примере 7.2 мы получили передаточную функцию, описывающую движение спутника в виде: . Уравнения состояния можно записать так

(10.5)

В матричном виде они будут выглядеть следующим образом

.(10.6)

Уравнение наблюдения:

.(10.7)

Рис. 10.2. Схема моделирования системы управления спутником

В соответствии с формулой (10.4) и рис. 10.2 сигнал на входе объекта равен

.(10.8)

Уравнения состояния для замкнутой системы имеют вид

Матрица - это матрица коэффициентов замкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

.(10.9)

Предположим, что условия синтеза системы требуют, чтобы два корня характеристического уравнения были расположены в точках и.

Присвоив желаемому характеристическому уравнению обозначение , запишем:

.(10.10)

Синтез заключается в выборе таких коэффициентов и в уравнении (10.9), которые равнялись бы соответствующим коэффициентам в уравнении (10.10). Таким образом

,

.

Из этого примера следует, что надлежащим выбором коэффициентов обратной связи можно разместить корни характеристического уравнения модели системы (полюсы передаточной функции замкнутой системы) в любых заданных точках на -плоскости. Заметим, что если и являются комплексными, то должен быть комплексно-сопряженным корню . Поэтому коэффициенты и всегда вещественны.

Теперь изложим общие принципы синтеза. Для линейной стационарной системы уравнения состояния объекта имеют вид:

. (10.11)

Закон управления выбирается так, что

. (10.12)

Подставляя (10.12) в (10.11), получим

, (10.13)

где есть матрица коэффициентов замкнутой системы. Тогда можно записать характеристическое уравнение замкнутой системы

. (10.14)

Предположим, что по условиям синтеза корни характеристического уравнения должны иметь значения . Обычно исходят из следующего условия:

,

где - время установления переходных процессов в системе. Из всех полюсов в качестве выбирается тот, у которого модуль действительной части имеет наименьшее значение. Желаемое характеристическое уравнение системы тогда можно записать в виде

.(10.15)

В соответствии с процедурой синтеза путем размещения полюсов необходимо найти такую матрицу , чтобы выражения (10.14) и (10.15) были равны друг другу

.(10.16)

Это уравнение содержит неизвестных . Приравнивая в этом уравнении коэффициенты при одинаковых степенях , мы получим уравнений относительно неизвестных. Эти уравнения являются линейными. Решив их, мы получим элементы матрицы .

В 1972 году Аккерман вывел формулу для вычисления матрицы :

,(10.17)

где - матричный полином, образованный путем использования коэффициентов желаемого характеристического уравнения .

Матрица может быть вычислена на компьютере по формуле (10.17). В «MATLAB» матрица вычисляется с помощью команды:

K=acker(A, B, Pp).

Операндами этой команды являются матрицы A и B из уравнения состояния системы, а также Pp - вектор-строка желаемого расположения полюсов системы управления.

Пример 10.2. Вначале аналитически рассчитаем элементы матрицы по формуле Аккермана для системы управления положением спутника. Модель системы в переменных состояния имеет вид

.

Значит: , ,.

.

Образуем матричный полином

Применим формулу Аккермана

Пример 10.3. На рис. 10.3 приведена схема практической реализации системы управления спутником. Предположим, что по условиям синтеза необходимо получить критически демпфированную систему со временем установления . Поскольку время установления приблизительно в четыре раза больше постоянной времени объекта, постоянная времени равна: . Следовательно, два полюса должны быть расположены в точке , то есть: .

Рис. 10.3. Система управления спутником

Теперь мы можем записать желаемое характеристическое уравнение

.

На основании предыдущего примера требуемые коэффициенты обратной связи равны

.

Соответствующая передаточная функция замкнутой системы равна

.

С помощью следующей программы мы можем рассчитать реакцию системы на начальные условия , при коэффициентах демпфирования и (для сравнения) .

A=[0 1; 0 0]; B=[0; 1]; C=[1 0]; D=0;

Pp=[-4 -4];

K=acker(A, B, Pp)

e10p1=ss((A-B*K), B, C, D);

Pp=[-4+4*i -4-4*i];

K=acker(A, B, Pp), pause

e10p2=ss((A-B*K), B, C, D);

initial(e10p1, [1; 0]), hold on

initial(e10p2, [1; 0]), hold on

Результат расчетов показан в виде графика на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Реакция системы на начальные условия

Синяя линия соответствует , а зеленая . В последнем случае корни характеристического уравнения должны быть равны , и

,

.

Как можно видеть, выходной сигнал при затухает гораздо быстрее и имеет очень малое перерегулирование. Этим объясняется популярность выбора значения для доминирующих полюсов системы.

Из последнего примера, казалось бы, следует, что мы можем выбрать вещественную часть корней сколь угодно большой, чтобы повысить быстродействие системы. В модели системы мы действительно можем это сделать. Однако для того, чтобы уменьшить постоянную времени объекта, необходимо увеличивать коэффициент обратной связи. И это не случайно, так как чтобы увеличить скорость реакции объекта, на его вход должен поступать большой сигнал. А если возрастают амплитуды сигналов в системе, то велика вероятность того, что она перейдет в нелинейный режим работы. При очень больших сигналах практически любая реальная система будет работать как нелинейная. Следовательно, линейная модель, которая использовалась при синтезе, больше не будет точно отображать поведение реальной системы и ее истинные характеристики.

Лекция №11. Оценка состояния и синтез наблюдателя

Если все переменные состояния объекта могут быть измерены, то говорят, что в системе существует полная обратная связь по состоянию. Во многих системах второго порядка используется обратная связь и по положению, и по скорости. Следовательно, они являются системами с полной обратной связью по состоянию. Однако известно много систем, которые невозможно точно описать системами первого или второго порядков. В большинстве таких систем невозможно измерить все переменные состояния, однако их можно оценить в результате наблюдения за поведением объекта. На рис. 11.1 приведена блок-схема процесса оценки состояния.

Рис. 11.1. Оценка состояния

Устройство оценки состояния называется наблюдателем. Наблюдатель получает информацию о входах и выходах системы. На основании этой информации он формирует оценку неизвестного состояния системы. Наблюдатель имеет ту же динамику, что и сама система. Его моделью является следующее дифференциальное уравнение первого порядка

.(11.1)

Для простоты мы рассматриваем систему с одним входом и одним выходом, поэтому и - скалярные величины. Однако наблюдатель можно построить и для более сложных систем со многими входами и выходами. Матрицы и должны быть выбраны таким образом, чтобы вектор давал точную оценку . Тогда в системе управления вектор используется для формирования сигнала обратной связи .

Уравнения для определения матриц и могут быть получены разными способами. Мы воспользуемся методом передаточной функции. Передаточная функция от входа к переменной состояния наблюдателя должна быть равна передаточной функции от к переменной состояния для всех , то есть

.(11.2)

Преобразование Лапласа уравнений состояния и наблюдения

Игнорируя начальные условия, решим эти уравнения относительно :

.(11.3)

Преобразуя по Лапласу уравнение наблюдателя (11.1) и игнорируя начальные условия, получим

.(11.4)

Отсюда, учитывая (11.3), выразим

.

Из равенства передаточных функций (11.2) следует

.

Группируя коэффициенты при члене , получим

.

Затем из левой стороны этого уравнения вынесем в качестве сомножителя

.

Теперь можем записать

.

Окончательно получим

.

Это уравнение удовлетворяется, если

,(11.5)

.(11.6)

Теперь уравнение наблюдателя (11.1) мы можем записать в следующем виде

,(11.7)

.(11.8)

Из уравнения (11.8) следует, что если ошибка будет равна нулю, уравнение наблюдателя переходит в уравнение системы.

Матрица выбирается так, чтобы переходный процесс в наблюдателе заканчивался быстрее, чем переходный процесс в системе. Эмпирически установлено, что наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2-4 раза превышающим быстродействие системы.

Теперь перейдем к вопросам синтеза наблюдателей состояния. Из уравнения (11.7) следует, что характеристическое уравнение наблюдателя имеет вид

.(11.9)

Основной метод синтеза наблюдателя состоит в том, чтобы сделать его в 2-4 раза более быстродействующим, чем замкнутая система. Следовательно, мы можем выбрать такое характеристическое уравнение наблюдателя, которое содержит информацию о желаемом быстродействии:

. (11.10)

Тогда матрица должна удовлетворять уравнению

(11.11)

Отметим сходство данной задачи с синтезом системы путем размещения полюсов. Поэтому для синтеза наблюдателей состояния также может быть использована формула Аккермана. В итоге получим следующий результат:

.(11.12)

Выражение (11.12) позволяет вычислить матрицу по заданному характеристическому полиному наблюдателя и известным матрицам и .

Пример 11.1. Проведем синтез наблюдателя для системы управления спутником. Уравнения состояния и наблюдения объекта имеют вид

,

.

В примере 10.3 был синтезирован регулятор, удовлетворяющий характеристическому уравнению

,

который обеспечивал постоянную времени замкнутой системы и параметр . Теперь мы синтезируем наблюдатель, который обладал бы критическим демпфированием с постоянной времени . Таким образом,

.

.

,

.

.

На этом синтез наблюдателя завершен. Эта процедура может быть выполнена с помощью следующей программы «MATLAB»:

A=[0 1; 0 0]; B=[0; 1]; C=[1 0]; D=0;

Pe=[-10 -10];

Gt=acker(A', C', Pe); G=Gt'

В этой программе для вычисления коэффициентов наблюдателя используются инструкция acker и транспонированные матрицы, так как

.

Следовательно, в инструкции acker заменяет , заменяет , а результатом является .

Пример 11.2. В данном примере мы рассмотрим реализацию закона управления с помощью наблюдателя состояния, использовав результаты примеров 10.3 и 11.1 соответственно. В примере 10.3 была найдена матрица коэффициентов, позволяющая разместить полюсы замкнутой системы в точках :

,

.

В соответствии с (11.7) уравнения наблюдателя имеют вид

,

поскольку теперь . В последнем уравнении

.

.

В результате регулятор-наблюдатель описывается следующими уравнениями

,

.

В этих уравнениях является входом, а - выходом наблюдателя. Данная задача решается с помощью следующей программы «MATLAB»:

A=[0 1; 0 0]; B=[0; 1]; C=[1 0]; D=0;

e10p4=ss(A, B, C, D);

Pp=[-4+4*i -4-4*i];

K=acker(A, B, Pp)

Pe=[-10 -10];

Gt=acker(A', C', Pe); G=Gt'

rsys=reg(e10p4, K, G), pause

Gec=-tf(rsys), Gp=tf(e10p4), G01=Gec*Gp, pause

[gm, pm, wg, wp]=margin(G01)

В этой программе объединены две предыдущие программы и использована функция reg (от слова регулятор), которая вычисляет матрицы системы с регулятором-наблюдателем. Затем мы переходим к моделям регулятора и объекта управления в виде передаточных функций и определяем для замкнутой системы запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Литература

1. Чаки Ф. Современная теория управления: нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. - М:. Мир, 1975. - 423 с.

2. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 616 с.

3. Савин М.М., Елсуков В.С. Пятина О.Н. Теория автоматического управления. - Ростов н/Д: Феникс, 2007. - 469 с.

4. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. - К.: Техніка, 1975. - 311 с.

5. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971. - 399 с.

6. Васильев В.И. и др. Многоуровневое управление динамическими объектами. М.: Наука, 1987. - 309 с.

7. Цвиркун А.Д. Основы синтеза структуры сложных систем. М.: Наука, 1982. - 200 с.

Размещено на Allbest.ru