Краткое содержание проекта: Рассмотрение основных теоретических сведений о фракталах, рассмотрение способов построения фракталов, разработка алгоритма построения фрактала и реализация алгоритма в программе.

1. Теоретическая часть: Понятие фрактала, Размерность фрактала, Салфетка и ковер Серпинского и Ковер Серпинского

2. Практическая часть: Разработка алгоритма. Пояснение к алгоритмам функций.

Сроки выполнения работы по графику:

Обоснование актуальности выбора темы - 5% к 4 неделе

Поиск и выбор источников и литературы по теме - 15% к 6 неделе

Формулирование текстового изложения результатов проведенного анализа источников и литературы - 25% к 7 неделе

4. Формализация метода решения поставленной задачи - 50% к 9 неделе

5. Разработка программного обеспечения - 80% к 13 неделе

6. Оформление результатов проведенного исследования - 95% к 16 неделе

7. Защита - 100% к 18 неделе

Требования к оформлению:

1. Расчетно-пояснительная записка курсовой работы должна быть представлена в электронной и твердой электронной и твердой копиях

2. Объем РПЗ должен быть не менее 20 машинописных страниц без учета приложений

3. РПЗ оформляется по ГОСТу 7. 32-2001 и подписывается у ответств. за нормоконтроль.

Аннотация

Объектом нашего исследования являются фракталы. Необходимость появления понятия фрактал появилась сравнительно недавно, а именно около 40 лет назад. Тогда геометрические модели различных природных конструкций традиционно строились на основе сравнительно простых геометрических фигур: прямых, многоугольников, окружностей, многогранников, сфер. Однако стало очевидно, что этот классический набор, достаточный для описания элементарных структур, становится плохо применим, для таких сложных объектов, как очертание береговых линий материков, поле скоростей в турбулентном потоке жидкости, разряд молнии в воздухе, пористые материалы, форма облаков, снежинки, пламя костра, контуры дерева и т.д. В связи с этим ученые стали вводить новые геометрические понятия. И одним из таких понятий стало понятие фрактала. Введено это понятие было французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом в1975 году. И хотя в математике похожие конструкции в той или иной форме появились давно, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70 годы 20 столетия. Тогда немаловажную роль в распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она выражает собой тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при рассмотрении их через микроскоп с различным увеличением. В результате эти структуры на малых масштабах выглядят в среднем также, как и на больших. Здесь определена разница между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна. Фрактальная же кривая, в идеале, на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотичной. Для нее, в частности, не существует и понятия касательной в точке, так как функции, описывающие эти кривые, являются в общем случае недифференцируемыми.

Возможно, что наиболее убедительным аргументом в пользу изучения фракталов является их бросающаяся в глаза красота. Фракталы удивительным образом соединили логический подход и познание природных явлений.

Многие крупные достижения в области фрактальной геометрии стали возможны с появлением современных компьютеров. Компьютерные эксперименты позволили получить достаточно полное представление о разнообразных фракталах и причинах их возникновения. Часто теоретическое моделирование этих структур подчас даже опережало экспериментальные методы изучения реальных природных объектов сложной формы. [1]

Итак, с развитием фрактальной геометрии, для многих стало очевидно, что формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости.

В настоящее время можно сказать, что фрактальная геометрия обширно известна и достаточно актуальна. Все потому, что язык фрактальной геометрии применим для всей науки современного мира в целом. Например, в медицине для построения модели кровеносной системы человека или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Итак, основная цель нашего исследования: реализация построения фрактала Ковер Серпинского в программной среде. Для достижения цели были определены основные задачи: изучение способов построения фрактала Ковер Серпинского, определение алгоритма для реализации в программной среде и реализация построения фрактала в программной среде.

1. Теоретический раздел

Пусть, например, расстояние по прямой между расположенными на береговой линии точками A и B равно R (см. рис. 1). Тогда, чтобы измерить длину береговой линии между этими точками, мы расставим по берегу жестко связанные друг с другом вешки так, что расстояние между соседними вешками составляло бы, например, l=10км. Длину береговой линии в километрах между точками A и B мы примем тогда равной чиcле вешек минус одна, помноженному на десять. Следующее измерение этой длины мы произведем подобным же образом, но расстояние между соседними вешками сделаем уже равным l=1км.

Оказывается, что результаты этих измерений будут различными. При уменьшении масштаба l мы будем получать все большие значения длины. В отличие от гладкой кривой, линия морского побережья оказывается зачастую настолько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов), что с уменьшением звена l величина L - длина береговой линии - не стремится к конечному пределу, а увеличивается по постепенному закону

, (1)

где D - некоторый показатель степени, который называется фрактальной размерностью береговой линии. Чем больше величина D, тем более изрезанной является эта береговая линия. Происхождение зависимости (1) интуитивно понятно: чем меньший масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая масштаб, мы спрямляем побережье, уменьшая длину L.

Таким образом, очевидно, что для определения длины береговой линии L с помощью жесткого масштаба l (например, с помощью циркуля с фиксированным раствором), необходимо сделать N=L/l шагов, причем величина L меняется c l так, что N зависит от l по закону . В результате с уменьшением масштаба, длина береговой линии неограниченно возрастает. Это обстоятельство резко отличает фрактальную кривую от обычной гладкой кривой (типа окружности, эллипса), для которой предел длины аппроксимирующей ломаной L при стремлении к нулю длины ее звена l конечен. В результате для гладкой кривой ее фрактальная размерность D=1, т.е. совпадает с топологической.

Приведем величины фрактальных размерностей D для различных береговых линий. Например, для Британских островов D ? 1. 3, а для Норвегии D ? 1. 5. Фрактальная размерность побережья Австралии D ? 1. 1. Близкими к единице оказываются и фрактальные размерности других побережий.

Выше было введено понятие о фрактальной размерности береговой линии. Дадим теперь общее определение этой величины. Пусть d - обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект (d=1 - линия, d=2 - плоскость, d=3 - обычное трехмерное пространство). Покроем теперь этот объект целиком d-мерными "шарами" радиуса l. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N (l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N (l) меняется по степенному закону:

, (2)

то D - называется Хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.

1.2 Салфетка и ковер Серпинского