Рисунок 15 - Кривая Коха 2 порядка

Рисунок 16 - Кривая Коха 3 порядка

2.3 Ветвление

Когда в L-системе встречается символ [ (открыть ветвь), необходимо запомнить координаты точки нахождения "черепашки" и направление ее движения, т. е. переменные (x, y,б). К сохраненным переменным следует вернуться после обнаружения символа ] (закрыть ветвь). Для хранения триплетов (x, y, б) в [6] предлагается использовать стек:

в конец которого записываются новые данные. При закрытии ветви переменным (x, y, б) присваиваются значения, считанные из конца стека, затем эти значения из стека удаляются. В пакете MATLAB оказывается более удобным использовать матрицу с переменным числом столбцов:

причем координаты каждой новой точки ветвления добавляются в новый столбец матрицы M. После закрытия ветви переменным (x, y, б) присваиваются значения, считанные из последнего столбца матрицы M, затем этот столбец удаляется.

Таким образом, ветвление задается двумя символами:

[ -- открыть ветвь: добавить вектор

] -- закрыть ветвь: присвоить переменным

(x, y, б) значения координат вектора, являющегося последним столбцом матрицы M.

Пример фрактала, построенного с помощью операции ветвления, представлен на рисунке 24. Ниже приводится листинг файла Flower.m, содержащего описание функции, возвращающей изображение цветка, в соответствии с описанной выше L-системой.

2.3.1 Код программы "Flower.m"

% Листинг файла Flower.m

function [X,Y]=Flower(Lmax)

% функция, возвращающая изображение цветка

% Lmax - порядок цветка

% порождающие правила

Axiom='F[+F+F][-F-F][++F][--F]F';

Newf='FF[++F][+F][F][-F][--F] ';

teta=pi/16;

alpha=pi/2;

p=[0;0]; % начальная точка

Coord(p,Lmax,Axiom,Newf,alpha,teta);

% обращение к функции, возвращающей

% изображение цветка

function z=Coord(p,Lmax,Axiom,Newf,alpha,teta)

% функциЯ, возвращающаЯ изображение цветка

Rule=FlowerString(Lmax,Axiom,Newf,1, ' ');

% задание L - системы

figure(1); hold on;

M=length(Rule);L=0; x0=p(1);y0=p(2);

for i=1:M

if Rule(i)== 'F' % шаг вперед

x1=x0+cos(alpha); y1=y0+sin(alpha);

X=[x0,x1]; Y=[y0,y1]; x0=x1; y0=y1;

plot(X,Y, 'Color', 'k'); end

if Rule(i)== '+' % увеличение угла, задающего направление движениЯ

alpha=alpha+teta;

end

if Rule(i)== '! ' % уменьшение угла, задающего направление движениЯ

alpha=alpha-teta;

end

if Rule(i)== ' ['; % открыть ветвь

if L==0 St=[x0;y0;alpha]; L=1; else St=cat(2,St,[x0;y0;alpha]);

end end

if Rule(i)== ']' % закрыть ветвь

M=size(St,2); R=St(1:3,M:M);

x0=R(1); y0=R(2);

alpha=R(3); St=St(1:3,1:M-1);

end

end

hold off

function z=FlowerString(Lmax,Axiom,Newf,n,tmp)

% функция, возвращающая L - систему

while n<=Lmax

if n==1

tmp=Axiom; n=n+1; else

tmp=strrep(tmp, 'F',Newf);

n=n+1; tmp=FlowerString(Lmax,Axiom,Newf,n,tmp); % рекурсия

end

end

z=tmp;

2.3.2 Изображение цветка

Рисунок 24 - Цветок 3 порядка

2.3.3 Изображение куста

Заменяя в описанной программе порождающие правила, можно получить и другие ветвящиеся фрактальные объекты, например, куст.

Аксиома: F

Порождающие правила:

Newf = ?F + F +[+F ? F?]?[?F + F + F]

б = р/2, и = р/8

Рисунок 25 - Куст 3 порядка

2.3.4 Изображение Снежинки

Аксиома: [F]+[F]+[F]+[F]+[F]+[F]

Порождающие правила:

Newf = F[+ + F][?FF]FF[+F][?F]FF

б = 0, и = р/3

Рисунок 26 - Снежинка 3 порядка

3. Системы итерированных функций

3.1 Построение ковра Серпинского с помощью ДСИФ

В общем случае для построения системы итерированных функций (СИФ) в рассмотрение вводится совокупность сжимающих отображений

действующих в R. Эти m отображений используются для построения одного сжимающего отображения T в пространстве Щ всех непустых компактов из R Преобразование Хатчинсона T :Щ>Щ определяется следующим образом:

Данное преобразование ставит в соответствие "точкам" из Щ, под которыми здесь понимаются компактные множества, также "точки" из Щ. Системой итерированных функций называется совокупность приведенных выше отображений вместе с итерационной схемой

Например, СИФ при построении ковра Серпинского задается тремя аффинными преобразованиями, которые в матричной форме имеют следующий вид:

Таким образом, для построения ковра Серпинского в пакете MATLAB с помощью ДСИФ можно использовать следующий алгоритм.

1. Задать порядок ковра Серпинского n.

2. Задать число точек начальной конфигурации m.

3. Задать координаты i точек (i = 1, 2,…, m), заполняющих начальное множество.

4. Перевести каждое из чисел 1, 2,…, 3n в троичную систему счисления.

5. Сформировать массив, состоящий из 3n строк длиной n символов.

6. Задать аффинные преобразования.

7. Для i-ой точки начальной конфигурации последовательно применить каждое из j = 1, 2,…, 3n итерационных правил и отобразить в графическом окне полученные образы каждой начальной точки.

Пример ковра Серпинского, построенного с помощью описанной выше модификации алгоритма ДСИФ, представлен на рисунке 27. Ниже приводится листинг файла SerpDSIF.m, содержащего описание соответствующей функции, возвращающей изображение ковра Серпинского.

3.1.1 Код программы "SerpDSIF.m"

% Листинг файла SerpDSIF.m

function z=SerpDSIF(Niter,NPoints)

% функциЯ, возвращающая изображение ковра Серпинского

% Niter - порядок ковра

% NPoints - число точек начальной конфигурации

x=zeros(NPoints,1); y=zeros(NPoints,1);

% задание координат точек начальной конфигурации

x1=0; y1=0; x2=1; y2=0; x3=1/2; y3=sin(pi/3);

j=1;

while j<=NPoints

tmpx=rand(1,1);

tmpy=sqrt(3)/2*rand(1,1);

if (-sqrt(3)*tmpx+tmpy<=0)&(sqrt(3)*tmpx+tmpy-sqrt(3)<=0)

x(j)=tmpx;

y(j)=tmpy;

j=j+1;

end;

end

% Формирование массива, содержащего правила итерации

for i=1:3^Niter

Tmp(i)=system3(i-1);

% перевод числа из десятичной в троичную систему счисления

end

n=1; s='0';

while n<Niter

s=strcat(s, '0'); n=n+1;

end

for i=1:3^Niter

tmp=num2str(Tmp(i)); tmp1=s;

for m=1:length(tmp)

tmp1(Niter-m+1)=tmp(length(tmp)-m+1);

end

Cod(i,1:Niter)=tmp1;

end

a1=[0;0]; a2=[1/2;0]; a3=[1/4;sqrt(3)/4]; A=[1/2,0;0,1/2];

% задание аффинных преобразований

figure(1); hold on; set(gca, 'xtick',[], 'ytick',[]);

set(gca, 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); fill([x1 x2 x3],[y1 y2 y3], 'w');

GosperDraw(Niter,NPoints,x,y,A,a1,a2,a3,Cod);

% построение ковра Серпинского

function z=GosperDraw(Niter,NPoints,x,y,A,a1,a2,a3,Cod)

% функциЯ, создающаЯ изображение ковра Серпинского

for m=1:3^Niter

X=x; Y=y; Rule=Cod(m,:);

for i=1:Niter

tmp=Rule(Niter+1!i);

if tmp=='0 '

[X Y]=T(NPoints,X,Y,A,a1); % первое аффинное преобразование

end

if tmp=='1'

[X Y]=T(NPoints,X,Y,A,a2); % второе аффинное преобразование

end

if tmp=='2'

[X Y]=T(NPoints,X,Y,A,a3); % третье аффинное преобразование

end

end

plot(X,Y, '. ', 'MarkerSize',1, 'MarkerEdgeColor', 'b');

% отображение результатов итерации

end

function [X,Y]=T(NPoints,x,y,A,a)

% ФункциЯ, возвращающаЯ результат аффинного преобразования

X=zeros(NPoints,1); Y=zeros(NPoints,1);

for i=1:NPoints

R=[x(i);y(i)]; R=A*R+a; X(i)=R(1); Y(i)=R(2);

end

function z=system3(D);

% функциЯ, возвращающаЯ значение целого числа

% в троичной системе счислениЯ

% D - число в десЯтичной системе счислениЯ

n=1;

while D>=3^n n=n+1; end

if n>1

a=floor(D/3^(n-1))*10^(n-1); b=mod(D,3^(n-1));

if b>=3

b=system3(b); % рекурсия

end

z=a+b;

else

z=D;

end

3.1.2 Изображение ковра Серпинского построенного при помощи ДСИФ

Рисунок 27 - Ковёр Серпинского 4 порядка (ДСИФ)

3.2 Кристалл построенный по алгоритму РСИФ

В отличие от ДСИФ в рандомизированном алгоритме начальное множество S₀ состоит из одной точки (x₀ , y₀ ), а правило, по которому точке ставится в соответствие точка ( x_i,y_i ), где i -- номер правила, выбирается случайным образом из набора, содержащего все возможные правила аффинных преобразований. Например, применительно к ковру Серпинского это означает, что при построении ковра 2_го порядка преобразование должно случайным образом выбираться из следующего множества преобразований:

число элементов N которого равно

Таким образом, для построения ковра Серпинского в пакете MATLAB с помощью РСИФ можно использовать следующий алгоритм.

1. Задать порядок ковра Серпинского n.

2. Задать число испытаний NTrial.

3. Задать число аффинных преобразований m = 3.

4. Сформировать массив, содержащий набор правил для аффинных преобразований.

5. Задать координаты начальной точки (x₀ , y₀ ).

6. Перевести каждое из чисел 1, 2,…, 3n в троичную систему счисления.

7. Задать аффинные преобразования.

8. Для заданного числа испытаний последовательно, начиная с начальной точки, в соответствии с правилами аффинных преобразований, выбираемых случайным образом, вычислить точки итерационной последовательности.

9. Отобразить вычисленное множество точек в графическом окне.

Пример кристалла, построенного с помощью описанного выше алгоритма РСИФ, представлен на рисунке 28. Ниже приводится листинг файла Cristal.m, содержащего описание соответствующей функции.

3.2.1 Код программы "Cristal.m"

% Листинг файла Cristal.m

function z=Cristal(Niter,NTrial)

% функция, возвращающая изображение кристалла

% Niter - порядок кристалла

% NTrial - число испытаний

Na=4; % число аффинных преобразований

% Создание массива, содержащего набор

% правил для аффинных преобразований

k=1;

for m=1:Niter

for i=1:4^m Tmp(k)=system3(i-1,Na); k=k+1;

end

Q(1)=Na;

for m=2:Niter Q(m)=Q(m-1)+Na^m; end

n=1; s='0'; M=1;

while n<=length(Tmp)

m=1;

while n>Q(m) m=m+1; end

if m==1

S(n,1:1)=s;

else

S(n,1:1)=s;

for i=2:m S(n,1:i)=strcat(S(n,:),s); end

end

n=n+1;

end

for i=1:k-1 tmp=num2str(Tmp(i)); m=1;

while i>Q(m) m=m+1; end

tmp1(1:m)=S(i,1:m);

for m=1:length(tmp)

tmp1(length(tmp1)-m+1:length(tmp1)!m+1)=tmp(length(tmp)!m+1:length(tmp)!m+1);

end

Cod(i,1:length(tmp1))=tmp1;

end

x=0; y=0; % координаты начальной точки

% задание аффинных преобразований

A1=[0.2550,0.0000;0.0000,0.2550];

A2=[0.2550,0.0000;0.0000,0.2550];

A3=[0.2550,0.0000;0.0000,0.2550];

4=[0.3700,-0.6420;0.6420,0.3700];

a1=[0.3726;0.6714]; a2=[0.1146;0.2232];

a3=[0.6306;0.2232]; a4=[0.6356;!0.0061];

figure(1); hold on;

set(gca, 'xtick',[], 'ytick',[]);

set(gca, 'XColor ', 'w', 'YColor', 'w');

DrawFractal(Niter,NTrial,x,y,A1,A2,A3,A4,...

a1,a2,a3,a4,Cod); % визуализация фрактала

function z=DrawFractal(Niter,NTrial,x,y,...

A1,A2,A3,A4,a1,a2,a3,a4,Cod)

% функция, возвращающая изображение фрактала

X1=zeros(NTrial,1); Y1=zeros(NTrial,1);

X=x; Y=y;

for m=1:NTrial

Np=1+round((size(Cod,1)-1)*rand(1,1));

% выбор номера преобразования

Rule=Cod(Np,:);

for i=1:length(Rule)

tmp=Rule(length(Rule)+1-i);

if tmp=='0' [X Y]=T(X,Y,A1,a1); end

if tmp=='1' [X Y]=T(X,Y,A2,a2); end

if tmp=='2 ' [X Y]=T(X,Y,A3,a3); end

if tmp=='3' [X Y]=T(X,Y,A4,a4); end

end

X1(m)=X; Y1(m)=Y;

end

plot(X1,Y1, '. ', 'MarkerSize',1,'MarkerEdgeColor', 'b');

function [X,Y]=T(x,y,A,a)

% Функция, возвращающая результат

% аффинного преобразования

R=[x;y]; R=A*R+a;

X=R(1); Y=R(2);

function z=system3(D,m);

% функция, возвращающая значение

% числа в четверичной системе координат

n=1;

while D>=m^n n=n+1; end

if n>1

a=floor(D/m^(n-1))*10^(n-1);

b=mod(D,m^(n-1));

if b>=m b=system3(b,m); end

z=a+b;

else

z=D;

end

3.2.2 Изображение кристалла

Рисунок 28 - Кристалл (РСИФ)

3.2.3 Код программы "Maple.m"

function z=Maple(Niter,NPoints)

x1=0; y1=0;

x2=1; y2=0;

x3=1/2; y3=sin(pi/3);

x=zeros(NPoints,1); y=zeros(NPoints,1);

j=1;

while j<=NPoints

tmpx=rand(1,1);

tmpy=sqrt(3)/2*rand(1,1);

if (-sqrt(3)*tmpx+tmpy<=0)&(sqrt(3)*...

tmpx+tmpy-sqrt(3)<=0)

x(j)=tmpx; y(j)=tmpy; j=j+1;

end

end

for i=1:2^Niter Tmp(i)=system2(i-1,2); end

n=1; s='0';

while n<Niter s=strcat(s,'0'); n=n+1; end

for i=1:2^Niter

tmp=num2str(Tmp(i)); tmp1=s;

for m=1:length(tmp) tmp1(Niter-m+1)=...

tmp(length(tmp)-m+1); end

Cod(i,1:Niter)=tmp1;

end

A1=[0.4,-0.3733;0.0600,0.6000];

A2=[-0.8000,-0.1867;0.1371,0.8000];

a1=[0.3533;0.000]; a2=[1.1000;0.1000];

figure(1); hold on;

set(gca,'xtick',[],'ytick',[]);

set(gca,'XColor','w','YColor','w');

FractalDraw(Niter,NPoints,x,y,A1,A2,...

a1,a2,Cod);

function z=FractalDraw(Niter,NPoints,x,y,...

A1,A2,a1,a2,Cod)

for m=1:2^Niter

X=x; Y=y;

Rule=Cod(m,:);

for i=1:Niter

tmp=Rule(Niter+1-i);

if tmp=='0' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A1,a1); end

if tmp=='1' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A2,a2); end

end

plot(X,Y,'.','MarkerSize',1,...

'MarkerEdgeColor','b'); end

function [X,Y]=T(NPoints,x,y,A,a)

X=zeros(NPoints,1); Y=zeros(NPoints,1);

for i=1:NPoints R=[x(i);y(i)]; R=A*R+a;

X(i)=R(1); Y(i)=R(2); end

function z=system2(D,m);

n=1;

while D>=m^n n=n+1; end

if n>1

a=floor(D/m^(n-1))*10^(n-1);

b=mod(D,m^(n-1));

if b>=m b=system2(b,m);

end

z=a+b;

else

z=D; end

3.2.4 Изображение Листа

Рисунок 29 - Лист (ДСИФ)

3.2.5 Код программы "Paporotnic.m"

function z=Paporotnic(Niter,NPoints)

x1=0; y1=0; x2=1; y2=0; x3=1/2; y3=sin(pi/3);

x=zeros(NPoints,1); y=zeros(NPoints,1);

j=1;

while j<=NPoints

tmpx=rand(1,1); tmpy=sqrt(3)/2*rand(1,1);

if (-sqrt(3)*tmpx+tmpy<=0)&(sqrt(3)*tmpx+tmpy-sqrt(3)<=0)

x(j)=tmpx; y(j)=tmpy; j=j+1; end; end;

for i=1:4^Niter Tmp(i)=system2(i-1,4); end;

n=1; s='0';

while n<Niter s=strcat(s,'0'); n=n+1; end;

for i=1:4^Niter

tmp=num2str(Tmp(i)); tmp1=s;

for m=1:length(tmp)

tmp1(Niter-m+1)=tmp(length(tmp)-m+1);

end;

Cod(i,1:Niter)=tmp1; end;

A1=[0.7000,0;0,0.7000]; A2=[0.1000,-0.4330;0.1732,0.2500];

A3=[0.1000,0.4330;-0.1732,0.2500]; A4=[0,0;0,0.3000];

a1=[0.1496;0.2962]; a2=[0.4478;0.0014];

a3=[0.4450;0.1559]; a4=[0.4987;0.0070];

figure(1); hold on; set(gca,'xtick',[],'ytick',[]);

set(gca,'XColor','w','YColor','w');

FractalDraw(Niter,NPoints,x,y,A1,A2,A3,A4,a1,a2,a3,a4,Cod);

function z=Simplex(Niter,NPoints,x,y,A1,A2,A3,A4,a1,a2,a3,a4,Cod)

for m=1:4^Niter

X=x; Y=y;

Rule=Cod(m,:);

for i=1:Niter

tmp=Rule(Niter+1-i);

if tmp=='0' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A1,a1); end;

if tmp=='1' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A2,a2); end;

if tmp=='2' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A3,a3); end;

if tmp=='3' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A4,a4); end;

end;

plot(X,Y,'.','MarkerSize',1,'MarkerEdgeColor','k') end;

function [X,Y]=T(NPoints,x,y,A,a)

X=zeros(NPoints,1); Y=zeros(NPoints,1);

for i=1:NPoints R=[x(i);y(i)]; R=A*R+a; X(i)=R(1); Y(i)=R(2); end;

function z=FractalDraw(Niter,NPoints,x,y,A1,A2,a1,a2,Cod)

for m=1:2^ Niter

X=x; Y=y; Rule=Cod(m,:);

for i=1:Niter tmp=Rule(Niter+1-i);

if tmp=='0' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A1,a1); end;

if tmp=='1' [X Y]=T(NPoints,X,Y,A2,a2); end;

end;

plot(X,Y,'.','MarkerSize',1,'MarkerEdgeColor','k'); end;

function [X,Y]=T(NPoints,x,y,A,a)

X=zeros(NPoints,1); Y=zeros(NPoints,1);

for i=1:NPoints R=[x(i);y(i)]; R=A*R+a; X(i)=R(1); Y(i)=R(2); end;

function z=system2(D,m);

n=1;

while D>=m^n n=n+1; end;

if n>1

a=floor(D/m^(n-1))*10^(n-1); b=mod(D,m^(n-1));

if b>=m b=system2(b,m); end;

z=a+b;

else z=D; end;

3.2.6 Изображение папоротника

Рисунок 30 - Папоротник (ДСИФ)

Заключение

В результате выполнения курсовой работы рассмотрены фракталы.

Фракталы -- математические объекты дробной размерности, название которых было введено в математику Б. Мандельбротом, являются в настоящее время, как предметом самостоятельных математических исследований, так и инструментарием, используемым в целом ряде прикладных задач нелинейной динамики, теории хаоса, обработки сигналов. Однако только относительно недавно появилось первое полноценное учебное пособие по новой быстро развивающейся математической дисциплине, основой которого стал учебный курс, преподававшийся автором книги в течение ряда лет в университете Миссури Колумбия. Так как при изучении фракталов и хаоса большую роль играет компьютерное моделирование, в курсовой работе рассмотрено параллельное изучение теоретических вопросов и проведение компьютерных экспериментов.

В обобщенном виде подробно описаны известные алгоритмы построения фрактальных объектов (L-системы и терл-графика, аффинные преобразования, системы итерированных функций, случайные системы итерированных функций и др.).

Разработаны соответствующие программы, созданные в математическом пакете Matlab.

Список использованных источников

1. Mandelbrot B. B. Les object fractals: forme, hasard et dimantion.-- Paris: Flamarion, 1975.

2. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем.-- М.: Факториал, 1999.

3. Кренкель Э. Т. Сжатие сигналов с применением теории фракталов.-- М.: МТУСИ, 1996.

4. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.-- М.: Постмаркер, 2000.

5. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.-- М.: Меркурий_ПРЕСС, 2000.

6. Шустер Г. Детерминированный хаос.-- М.: Мир, 1988.

7. Журнал Exponenta Pro. Математика в приложениях. №3, 2003 г.

Размещено на Allbest.ru