Размещено на http://www.allbest.ru/

26

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Российской Федерации

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра ВПМ

Пояснительная записка к курсовой работе

На тему

Программная реализация вычислительных алгоритмов

Рязань 2011 г.

Содержание

(1.1) ,

заменим на h

,

при h 0, h>0,

,

где - погрешность

(2.1) ,

последнее слагаемое в формуле (2.1) отбрасывается и является истинной ошибкой метода, в математике это выражение называется остаточным членом. Необходима, конечно, оценка его модуля. Если в основе вычислительного алгоритма лежит приближённый математический метод, то возникает ошибка метода. Очень важно иметь оценки округления и метода.

Ошибка погрешности округления

Оценка погрешности округления производится дублированием расчётов с изменением типа входных данных, её можно произвести достаточно точно, для этого этот способ дублирования: например, дан вещественный тип_1 и выбрали тип_2. Все вычисления проводим с тип_1,а второй ряд вычислений по абсолютно таким же формулам, но все переменные описываются как тип_2; результат единственный с используемым тип_1 - R1, а результат с тип_ 2 - R2. Разность между ними и есть погрешность округления, т.е. R1-R2= . Хотя она не очень точеная, но зато даёт порядок величины.

Оценка ошибки метода численного дифференцирования

Разностные формулы дифференцирования:

(3.1) ,

где h - шаг; - ошибка метода ()

При малых значениях h: чем больше р, тем точнее формула.

Далее используем следующий приём:

(4.1)

где и ненамного отличаются, тогда примем , следовательно, неизвестно значение производной и неизвестно k. При дальнейшем решении используем знак точного равенства, т.е. «=».

(а)

(б)

Решим систему уравнений, вычтя из (а) - (б):

0=

0=

(5.1) 0=.

Последнее слагаемое в формуле (5.1) есть ошибка метода

.

(6.1) .

Формула (6.1) - есть оценка Рунге, где р принимает разные значения. Очень важно подметить, что оценка Рунге не является гарантированной, т.е. модуль истинной погрешности может быть как меньше, так и дольше его, конечно, это весьма нежелательно при значительном превышении, и это необходимо иметь в виду. Подставим формулу (6.1) в формулу (4.1) и получим уточнённое значение производной функции:

(7.1)

Формула (7.1) - это уточнённое значение производной функции с помощью оценки Рунге.

б) Поиск оптимального шага

Поиск оптимального шага, т.е. поиск такого оптимального шага, при котором погрешность наименьшая k* ; ;

+= k* +

Ниже приведена картина, поясняющая поиск оптимального шага:

;

Для нахождения оптимального шага необходимо зафиксировать 5 точек, по которым строится график.

Часть 2

Аппроксимация функции с помощью формулы Тейлора (ряда Тейлора)

Методы аппроксимации функции очень различны. Мы рассмотрим один из них - аппроксимация функции с помощью степенных рядов.

(1) - формула Тейлора, если записать другом виде, уже в математическом:

- ряд Тейлора.

Аппроксимация - это приближённое значение функции.

Если примем функцию за (1), то оценка абсолютной погрешности не превосходит одного отброшенного члена (n+1):

.

Относительная ошибка оценивается, как:

.

Ошибка округления и > с ростом Х; ошибка метода, наоборот, при уменьшении Х, она уменьшается. В результате получается следующая картина:

Конечной задачей является нахождение . Если x>, то не можем аппроксимировать функцию. Это находится при >, где =0.0001+0.0004kV.

Члены ряда вычисляются по рекуррентной формуле вида:

.

Чтобы получить рекуррентную формулу необходимо записать , затем ; - рекуррентная формула, где переходной коэффициент.

В программе рекуррентная формула будет иметь вид: u:= u, и цикл вычислений будет выполняться, пока .

3. Описание переменных

4. Разработка схемы алгоритма

Функция у=cosx^3/4

Формула для дифференцирования:

при р=4 - для ошибки метода Рунге (для каждой формулы она различна).

В данном задании требуется составить программу для численного дифференцирования функции с заданной допустимой погрешностью, вычислить ошибки, найти оптимальное значение шага и соответствующую ему оценку погрешности. Для вычисления приближённого значения производной по заданной формуле численного вычисления производной и определения оптимального шага будем использовать подпрограммы(процедуры и функции).

Задание 1

В данном задании требуется составить алгоритм и программу для численного дифференцирования функции с заданной допустимой погрешностью , для определения оптимального шага, соответствующую ему оценку погрешности, вычислить ошибки метода и округления. Для вычисления функции в данной точке, численного вычисления, нахождения h1, h2 и соответствующие суммарные ошибки. производной будем использовать подпрограммы(procedure и function).

Задание 2

В данном задании требуется записать в ряд и вывести рекуррентную формулу. Составить алгоритм и программу аппроксимации функции. Вывести - номер последнего слагаемого, истинную ошибку . Задать относительную погрешность , значение n должно получиться порядка 4-5. провести контрольный расчет на калькуляторе - результаты должны совпасть. Цикл по х организовывать не нужно, х вводить с клавиатуры. Выводить те же самые величины, а также и полную ошибку .

Для функции Вариант №24: y(x)= и разложение функции y(x)=в ряд:

.

Для функции разложение в ряд имеет следующий вид:

,

тогда:

Вычисления членов ряда необходимо проводить по рекуррентной формуле. Чтобы получить рекуррентную формулу необходимо записать

, а затем ;

,

тогда - рекуррентная формула. Для вычисления значения функции путем разложения в ряд будем использовать подпрограмму.

5. Описание и текст программы

Программа написана на алгоритмическом языке Turbo Pascal 7.0 и предназначена для решения задач вычислительной математики.

7. Список используемой литературы

математика программа алгоритм дифференцирование аппроксимация

Вычислительная математика: Методические указания к лабораторным работам 1,2/Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. В.Д. Корлёв. Рязань, 2008. 8 с.

Приближённые вычисления: Учеб. Пособие /В.Д. Королёв; Рязан. радиотехн. ин - т. Рязань, 2010.

Лекции по курсовой работе.

Размещено на Allbest