Передаточные функции систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «КГЭУ»)

Контрольная работа

по дисциплине «Оптимизация систем управления»

Выполнил:

студент гр. ЗАТ-1-19

Казаков К.

Казань 2022



Передаточные функции систем автоматического управления

ССДМ системы стабилизации частоты синхронного генератора (ССЧСГ), представленная на рис. 2.1. Запишем передаточные функции для разомкнутой и замкнутой системы.

Согласно схемы на рис. 2.1 задающим воздействием является номинальное значение частоты f₀, выходной координатой - фактическая частота синхронного генератора f_сг, а возмущающими воздействиями - отклонение напряжения на якоре и момент нагрузки . Отклонение частоты от номинального значения является ошибкой системы.

;

;

;

;

.

Рис. 2.1 ССДМ системы стабилизации частоты синхронного генератора

С учётом полученных выражений запишем передаточные функции ССЧСГ.

1) Передаточная функция разомкнутой ССЧСГ

.

2) Передаточная функция замкнутой ССЧСГ по выходной координате относительно задающего воздействия

.

3) передаточная функция замкнутой ССЧСГ по выходной координате относительно возмущающего воздействия

4) передаточная функция замкнутой ССЧСГ по ошибке относительно задающего воздействия

.

5) передаточная функция замкнутой ССЧСГ по ошибке относительно возмущающего воздействия

.

6) передаточная функция замкнутой ССЧСГ по выходной координате относительно возмущающего воздействия

7) передаточная функция замкнутой ССЧСГ по ошибке относительно возмущающего воздействия

.

Оценим устойчивость системы стабилизации частоты синхронного генератора по переходной характеристике. Моделирование провести в системе MatLab Simulink. Согласно ССДМ ССЧСГ принять следующие исходные данные: К_иу = 4 В/Гц; К_u = 2,4; Т_у.с.п. = 0,09 с; К_дв = 0,8 рад/Вс; Т_м = 0,15 с; Т_в = 0,09 с; К_сг = 0,2 Гцс/рад; К₁ = 18 1/Нмс; К_я = 180 рад/Вс; М_н = 1 Нм; f₀ = 110 Гц; U_я = 6 В.

Полученная ССДМ ССЧСГ представлена на рис. 2.2.

Для сохранения созданной модели выбирается команда Save меню File или пиктограмма Save (в виде дискеты) на панели инструментов и в диалоговом окне Save As вводится имя файла.



Рис. 2.2 ССДМ системы стабилизации частоты синхронного генератора

На рис. 2.3 представлены результаты моделирования.

, Гц

t, c

Рис. 2.3 Переходная характеристика системы стабилизации частоты синхронного генератора

Из рис. 2.3 следует, что система стабилизации частоты синхронного генератора является устойчивой, переходный процесс - колебательным, а характеристическое уравнение системы содержит комплексно-сопряжённые корни.

На основании критерия Рауса-Гурвица получим условия устойчивости системы стабилизации частоты синхронного генератора). Определить критический коэффициент передачи системы из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости и провести её моделирование.

Характеристическое уравнение ССЧСГ

Определитель Гурвица для ССЧСГ

.

Запишем условия устойчивости для ССЧСГ:

0; 0;

0. (2.1)

Так как 0, то 0. Кроме того, из (2.64) следует также, что 0. Поэтому необходимым условием устойчивости ССЧСГ положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, а достаточным условием устойчивости является выполнение неравенства (2.1).

Перепишем (2.1) в виде



,

где

;

.

На основании анализа формул (2.1) видно, что необходимые условия положительности коэффициентов характеристического уравнения выполняются. Для оценки достаточного условия устойчивости вычислим минор второго порядка

Так как полученное число является положительным, то достаточное условие устойчивости выполняется и ССЧСГ в целом является устойчивой.

Значение критического коэффициента передачи ССЧСГ определится из условия

=

или

.

Тогда

.

Подставив в полученное выражение необходимые значения постоянных времени, найдём критический коэффициент передачи ССЧСГ

Проведём моделирование ССЧСГ с критическим значением коэффициента передачи в системе MatLab Simulink согласно ССДМ, представленной на рис. 2.2. Результаты моделирования представлены на рис. 2.4.

, Гц

t, c

Рис. 2.4 Переходная характеристика системы стабилизации частоты синхронного генератора при критическом значении коэффициента передачи

синхронный генератор автоматический управление

Из графика видно, что переходный процесс характеризуется незатухающими колебаниями, то есть система находится на колебательной границе устойчивости.

Качество непрерывных линейных систем автоматического управления

Определим суммарную статическую ошибку системы стабилизации частоты синхронного генератора. Результаты расчётов подтвердиv моделированием ССЧСГ с применением MatLab Simulink.

Для определения выражения суммарной статической ошибки ССЧСГ используем передаточные функции системы. Тогда соответствующие пределы вычисляются как:

.

.

Гц.

Суммарная статическая ошибка ССЧСГ

Гц.

Определим статические ошибки с применением системы MatLab Simulink. Для моделирования используем ССДМ ССЧСГ, представленную на рис. 2.2. Подадим на вход системы задающее воздействие Гц. Полагая, что возмущающие воздействия М_н и U_я равны нулю, получим график статической ошибки , представленный на рис. 2.5.

, Гц

t, c

Рис. 2.5 График статической ошибки относительно задающего воздействия

В правом верхнем углу рис. 2.5 показано в увеличенном виде значение статической ошибки Гц.

Для получения графиков ошибок относительно возмущающих воздействий установим задающее воздействие равным нулю и поочерёдно подадим на соответствующие входы М_н = 1 Нм и U_я = 6 В. Результаты моделирования представлены на рис. 2.6 и рис. 2.7.



, Гц

t, c

Рис. 2.6 График статической ошибки относительно возмущающего воздействия

, Гц

t, c

Рис. 2.7 График статической ошибки относительно возмущающего воздействия

Из рис. 2.6, рис. 2.7 видно, что статические ошибки составляют Гц и Гц соответственно.

На рис. 2.8 показан график ошибки при совместной подаче задающего и возмущающих воздействий М_н и U_я.

, Гц

t, c

Рис. 2.8 График суммарной статической ошибки

Из графика следует, что суммарная статическая ошибка Гц.

Таким образом, результаты моделирования подтверждают правильность расчётов. Также заметим, что значительное влияние на точность работы ССЧСГ оказывают задающее воздействие и изменение напряжения на обмотке якоря. Воздействие момента нагрузки на суммарную составляющую ошибки незначительно и на точность работы системы влияния не оказывает.

Построим переходную характеристику ССЧСГ с применением системы MatLab. Определить основные показатели качества.

Передаточная функция замкнутой ССЧСГ

.

После подстановки в выражение численных значений параметров, получим

Составляем программу для построения переходной характеристики

num=[1.536];

den=[0.001215 0.0351 0.33 2.536];

sys=tf(num, den);

step(sys)

Переходная характеристика, полученная в результате моделирования ССЧСГ при отработке единичного ступенчатого воздействия, показана на рис. 2.59.

Определяем показатели качества.



, Гц

t, c

Рис. 2.9 Переходная характеристика ССЧСГ

Подставив в формулу численные значения Гц (Peak amplitude) и Гц (Final Value), получим перерегулирование (Overshoot)

.

Время регулирования характеризует момент окончания переходного процесса, который соответствует ограничению

,

где - допустимо малая величина.

Обычно принимают . В нашем случае Гц (см. рис. 2.9), и по графику находим время регулирования с.

Время нарастания определяется в точке первого пересечения переходной характеристики и ее установившегося значения . Из графика видно, что = 0,274 с.

Число колебаний связано с периодом колебания и временем регулирования

.

Время регулирования с. Период колебания определяем по графику (рис. 2.9), как расстояние между двумя ближайшими максимумами:

с.

Тогда

.

В данном случае процесс характеризуется, как колебательный, с числом колебаний равным 1,3.

Частота колебаний

.

Синтез непрерывных линейных систем автоматического управления

Синтезируем регулятор частоты, обеспечивающий настройку ССЧСГ на ОМ.

Проведем моделирование системы: получим графики переходных функций по задающему воздействию f₀, по моменту сопротивления нагрузки М_н, а также по линейно возрастающему изменению напряжения на якоре U_я = 6t В; оценим установившиеся ошибки системы; построим графики ЛЧХ разомкнутой ССЧСГ; проведем анализ результатов моделирования.

Приравниваем передаточную функцию разомкнутой ССЧСГ с учётом включенного последовательно с усилителем регулятора частоты к передаточной функции контура, настроенного на ОМ

,

где суммарная малая постоянная времени

.

Тогда передаточная функция регулятора частоты

.

Полученное выражение соответствует передаточной функции ПИ-регулятора. Подставив в формулу численные значения, получим

.

Построим ССДМ ССЧСГ с регулятором частоты. ССДМ ССЧСГ в системе Simulink представлена на рис. 2.10.

Рис. 2.10 Структурная схема динамической модели ССЧСГ в системе Simulink

Для моделирования в блоке Step задаём входное воздействие Гц, а в блоках Step 1 и Step 2 значения момента нагрузки М_н и изменения напряжения на якоре U_я равными нулю. На рис. 2.11 изображена соответствующая переходная характеристика.

f(t), Гц

t, c

Рис. 2.11 Переходная характеристика контура скорости по задающему воздействию

Для построения переходной характеристики по моменту нагрузки М_н устанавливаем в блоках Step и Step 2 нулевые значения, а в блоке Step 1 - момент сопротивления . Полученная переходная характеристика представлена на рис. 2.12.

f(t), Гц

t, c

Рис. 2.12 Переходная характеристика контура скорости по моменту нагрузки М_н

Для построения переходной характеристики по изменению напряжения на якоре U_я устанавливаем в блоках Step и Step 1 нулевые значения. Линейно возрастающее воздействие моделируется при помощи блока Ramp, находящегося в библиотеке блоков Sources, в диалоговом окне которого устанавливаем значение В/с. Переходная характеристика представлена на рис. 2.13.



f(t), Гц

t, c

Рис. 2.13 Переходная характеристика контура скорости по изменению напряжения на якоре U_я

Переходим к анализу полученных графиков. По графику на рис. 2.11 определяем максимальное значение частоты синхронного генератора f_max = 115,1 Гц и установившееся значение частоты f_уст = 110 Гц. По этим данным рассчитываем перерегулирование

.

Время нарастания определяется в первой точке пересечения графика переходной функции и установившегося значения f_уст и составляет

0,77 с.

Проверяем соответствие полученного значения требованиям настройки на ОМ

с.

Из анализа графика на рис. 2.11 следует, что при воздействии неизменного по величине момента нагрузки М_н моментная составляющая ошибки примерно через 2 с становится равной нулю. Увеличение точности обусловлено наличием в структуре регулятора частоты интегральной составляющей.

При воздействии на систему линейно возрастающего напряжения на якоре появляется ошибка регулирования. Из графика на рис. 2.12 следует, что Гц. Рассчитаем установившуюся ошибку по формуле

.

С учётом регулятора частоты передаточная функция замкнутой ССЧСГ по ошибке относительно возмущающего воздействия примет вид

Вычислив соответствующий предел, получим

Гц.

Для построения ЛЧХ необходимо написать программу в Command Window системы MatLab. Передаточная функция разомкнутой ССЧСГ с учётом компенсации

.

Раскрывая скобки в полученном выражении, запишем программу

num = [1];

den = [0.002916 0.0648 0.36 0];

sys = tf(num, den);

bode(sys)

Графики ЛЧХ представлены на рис. 2.14.

Рис. 2.14 ЛЧХ ССЧСГ, настроенной на ОМ

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде составляют L_з = 18,1 дБ (Gain Margin) и (Phase Margin) соответственно.

Результаты моделирования подтверждают правильность расчёта параметров регулятора частоты и позволяют сделать вывод о том, что ССЧСГ настроена на ОМ.

Вместе с тем, при отработке линейно возрастающего воздействия по цепи якоря величина погрешности является значительной и равна -77,76 Гц. Для её устранения представляется целесообразным применить настройку на симметричный оптимум, что позволит повысить порядок астатизма системы.

Синтезируем регулятор для настройки ССЧСГ, схема которой представлена на рис. 2.2, на симметричный оптимум.

Проведем моделирование системы: получить графики переходных функций по задающему воздействию f₀, по моменту сопротивления нагрузки М_н, а также по линейно возрастающему изменению напряжения на якоре ; оценим установившиеся ошибки системы; построим графики ЛЧХ разомкнутой ССЧСГ; проведем анализ результатов моделирования.

Передаточную функцию регулятора частоты определим из соотношения

,

тогда передаточная функция регулятора запишется как

.

Из полученного выражения следует, что структура регулятора частоты представляет собой последовательное соединение двух ПИ-регуляторов. Подставляя численные значения, получим



.

ССДМ ССЧСГ с рассчитанным регулятором частоты представлена на рис. 2.15.

Рис. 2.15 Структурная схема динамической модели ССЧСГ, настроенной на симметричный оптимум

В результате моделирования получены: график переходной функции при отработке задающего воздействия Гц (рис. 2.16), график ошибки при отработке линейно возрастающего возмущающего воздействия U_я = 6 В/с (рис. 2.17) и графики ЛЧХ (рис. 2.18).

Как видно из анализа графика на рис. 2.70, появление в структуре ССЧСГ второго интегрирующего звена увеличило перерегулирование

и уменьшило время нарастания до величины

0,54 с,

соответствующей расчётному значению

с.

f(t), Гц

t, c

Рис. 2.16 Переходная характеристика контура скорости по задающему воздействию

f(t), Гц

t, c

Рис. 2.17 Переходная характеристика контура скорости при отработке линейно возрастающего напряжения на якоре

Рис. 2.18 ЛЧХ ССЧСГ, настроенной на симметричный оптимум

Из графика, представленного на рис. 2.71, видно, что за время 4 с составляющая ошибки при отработке линейно возрастающего напряжения на якоре U_я становится равной нулю. Это свидетельствует о том, что система, настроенная на СО, стала точнее.

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде составляют L_з = 14 дБ (Gain Margin) и (Phase Margin), что подтверждает правильность расчёта параметров регулятора скорости.

Размещено на Allbest.ru