Реализация комплексной арифметики на языке программирования Си

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

АКАДЕМИЯ МАРКЕТИНГА И СОЦИАЛЬНО-ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет инженерно-информационных технологий

Кафедра компьютерных систем, управления и обработки информации

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Программирование на языке высокого уровня»

на тему: Реализация комплексной арифметики на языке программирования Си

Научный руководитель: Бужан В.В.

Краснодар 2011

РЕФЕРАТ

Курсовая работа 25 с., 8 рис., 12 источников.

ПРОГРАММНЫЙ КОД, АЛГОРИТМ, ПРИЛОЖЕНИЕ, ПОЛЕ, КОМПОНЕНТ, ФОРМА.

Объектом исследования является комплексная арифметика.

Цель работы состоит в приобретении навыков реализация комплексной арифметики на языке программирования Си.

К полученным результатам относятся программа, которая производит арифметические действия с комплексными числами. Программная часть записана на компакт-диске. Теоретическая часть работы оформлена в виде рукописи.

Новизна результатов заключается в автоматизации решения комплексных чисел по имеющимся формулам.

Внедрение результатов предусматривается во всех учебных заведениях, которым требуется производить арифметические действия с комплексными числами.



СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 Постановка задачи

2 Используемый математический аппарат

2.1 Стандартная модель

2.2 Матричная модель

2.3 Замечания

2.4 Действия над комплексными числами

2.5 Геометрическая модель

2.6 Модуль и аргумент

2.7 Сопряжённые числа

2.8 Представление комплексных чисел

3 Программная реализация решения задачи

3.1 Руководство пользователя

3.2 Руководство программиста

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ



Введение

Комплексные числа -- это расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y -- вещественные числа, i -- мнимая единица.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле -- это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках -- электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Для более удобного и быстрого произведения арифметических действий было написано приложение на языке программирования высокого уровня C++ с реализованными операциями сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.



1 Постановка задачи

Задача курсовой работы «Реализация комплексной арифметики на языке программирования Си» состоит в разработке программы - калькулятора комплексных чисел, которая позволяет реализовать операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.

Необходимо разработать удобный пользовательский интерфейс для работы с программой. арифметический комплексный число си



2 Используемый математический аппарат

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z2 + 1.

2.1 Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица -- а мнимая единица -- На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть ? 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

2.2 Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице --

2.3 Замечания

Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x2 = ? 1, так как число ( ? i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение, ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вродесчиталась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильный ответ:

2.4 Действия над комплексными числами

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитание

(a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i.

Умножение



Деление

2.5 Геометрическая модель

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Связанные определения

Пусть -- комплексное число, где и -- вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой(аналогично англ. real, imaginary) частями z.

Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.

Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.

2.6 Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;;

2) (неравенство треугольника);

3) ;

4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 ? z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается .

Из этого определения следует, что

; ; .

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kр, где k -- любое целое число.

Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [3]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

Сопряжённые числа

Если комплексное число z = x + iy, то числоназывается сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z * ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.



(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Обобщение:

, где p(z)

-- произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

2.8 Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy,, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = ? 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Тригонометрическая и показательная формыЕсли вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где -- расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Основная статья: Формула Муавра.

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где r -- модуль, а -- аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни n-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).



3 Программная реализация решения задачи

Программный продукт разработан на языке программирования высокого уровня C++ в среде Visual Studio 2010.

C++ является компилируемым статическим типизированным языком программирования общего назначения. Поддерживает различные парадигмы программирования, сочетает свойства как высокоуровневых, так и низкоуровневых языков. В сравнении с его предшественником - языком C,- наибольшее внимание уделено поддержке объектно-ориентированного и обобщённого программирования.[1] Название «C++» происходит от языка C, в котором унарный оператор ++ обозначает инкремент переменной.

Являясь одним из самых популярных языков программирования[3][4], C++ широко используется для разработки программного обеспечения. Область его применения включает создание операционных систем, разнообразных прикладных программ, драйверов устройств, приложений для встраиваемых систем, высокопроизводительных серверов, а также развлекательных приложений (например, видеоигры). Существует несколько реализаций языка C++ - как бесплатных, так и коммерческих. Их производят Проект GNU, Microsoft, Intel и Embarcadero (Borland). C++ оказал огромное влияние на другие языки программирования, в первую очередь на Java и C#.

При создании C++ стремились сохранить совместимость с языком C. Множество программ, которые могут одинаково успешно транслироваться как компиляторами C, так и компиляторами C++, довольно велико -- отчасти благодаря тому, что синтаксис C++ был основан на синтаксисе C.

Был использован объектно-ориентированного подход, в основе которого лежат три принципа, призванные отождествить объекты программирования с объектами реального мира: инкапсуляция, наследование и полиморфизм. Инкапсуляция означает объединение данных (переменных и констант) с функциями, которые могут работать только с этими данными, что повышает их защищённость от случайного изменения другими подпрограммами. Типы данных, инкапсулирующие данные и функции получили название классы. Наследование означает приобретение одними классами некоторых признаков другого класса. Такой подход имеет аналог в классификации видов живых организмов. Он позволяет ускорить процесс программирования, избавляя от необходимостив новых классах дублировать элементы из других классов. И, наконец, полиморфизм предусматривает возможность одинаково идентифицировать различные объекты, предоставляя компилятору право самому выбирать тот из них, параметры которого соответствуют требованиям, предъявляемым при использовании объекта.

3.1 Руководство пользователя

Для нормальной работы с данным программным продуктом требуется IBM-совместимый компьютер следующей конфигурации:

· тактовая частота процессора не менее 500 МГц,

· оперативная память не менее 32 МВ,

· видеоадаптер SVGA,

· объём свободного места на жестком диске не менее 5 МВ,

· операционная система Microsoft Windows 95/98/NT/2000/XP/Vista/7

· устройство для чтения компакт-дисков.

Установка программного продукта производится с компакт-диска на компьютер. Для этого требуется:

· создать папку с именем «Programma» в директории C:\Program Files\;

· вставить CD-ROM с программным продуктом в устройство чтения компакт-дисков;

· произвести копирование программного продукта в папку C:\Program Files\Programma (программный продукт представлен в виде единственного exe-файла).

Работа пользователя с программой начинается с открытия файла Programma.exe в окне проводника (либо иного файлового менеджера) из папки с установленной программой (по умолчанию - это C:\Program Files\Programma). В результате откроется окно приложения рисунок 1.

Рисунок 1 - Окно приложения после загрузки

В левое поле ввода следует вводить действительную часть комплексного числа соблюдая принятые в региональных настройках требования к вводу чисел (рисунок 2).

Рисунок 2 - Начало работы с программой

В правое поле ввода следует вводить мнимую часть комплексного числа соблюдая принятые в региональных настройках требования к вводу чисел (рисунок 3).



Рисунок 3 - Ввод комплексного числа

Затем следует выбрать арифметическое действие, после чего создадутся новые поля для ввода комплексного числа (рисунок 4).

Рисунок 4 - Выбор арифметического действия

Вводим необходимые данные комплексного числа по тому же принципу соблюдая принятые в региональных настройках требования к вводу чисел и нажимаем на кнопку «Подсчитать» (рисунок 5).

Рисунок 5 - Подсчет результатов



При необходимости можно добавлять и производить расчеты над 10000 комплексными числами (рисунок 6).

Рисунок 6 - Добавление комплексных чисел

Для удаления последнего добавленного комплексного числа используйте кнопку «X», либо контекстное меню - «Удалить» (рисунок 7).

Рисунок 7 -Удаление комплексных чисел

Для изменения арифметического действия над числами нажмите правой кнопкой мыши на красный знак между числами, после чего выберете нужное действие (рисунок 8).



Рисунок 8 -изменение арифметического действия

Удаление программы:

Если программа установлена простым копированием, то удаление (деинсталляция) заключается в прекращении работы программы с последующим перемещением её значка из окна проводника в корзину.

3.2 Руководство программиста

Программный продукт разработан на языке программирования высокого уровня C++ в среде Visual Studio 2010. Программный продукт состоит из файла сборки Programma.exe.

В программе используются переменные:

int Z; - целочисленная глобальная переменная, обозначающая количество комплексных чисел.

int i; - целочисленная переменная для реализации цикла.

float x1, x2, Temp1, Temp2, Temp3; - вещественные числа для хранения значений комплексных чисел во время подсчета результата.

Используемые модули:

System::ComponentModel; - Предоставляет объекту функциональные возможности, позволяющие возвратить список, который может быть связан с источником данных.

System::Collections; - Предоставляет базовый класс abstract для строго типизированной коллекции.

CollectionBase() Инициализирует новый экземпляр класса CollectionBase с начальной емкостью по умолчанию.

CollectionBase(Int32) Инициализирует новый экземпляр класса CollectionBase с указанной емкостью.

Свойства:

Capacity - Получает или задает число элементов, которое может содержать коллекция CollectionBase.

Count - Получает число элементов, содержащихся в экземпляре класса CollectionBase. Это свойство нельзя переопределить.

InnerList - Возвращает объект ArrayList, в котором хранится список элементов экземпляра класса CollectionBase.

List - Получает объект IList, содержащий список элементов экземпляра класса CollectionBase.

Методы:

Clear- Удаляет все объекты из экземпляра класса CollectionBase. Этот метод не может быть переопределен.

Equals(Object) - Определяет, равен ли заданный объект Object текущему объекту Object. (Унаследовано от Object.)

Finalize - Beginning with the $$$$, the $$$$ event is raised for all assemblies, including resource assemblies. (Унаследовано от Object.)

GetEnumerator - Возвращает перечислитель, осуществляющий перебор элементов экземпляра класса CollectionBase.

GetHashCode - Хэш-функция для определенного типа. (Унаследовано от Object.)

GetType - Возвращает объект Type для текущего экземпляра. (Унаследовано от Object.)

MemberwiseClone - Создает неполную копию текущего объекта Object. (Унаследовано от Object.)

OnClear - Осуществляет дополнительные пользовательские действия при удалении содержимого экземпляра класса CollectionBase.

OnClearComplete - Осуществляет дополнительные пользовательские действия после удаления содержимого экземпляра класса CollectionBase.

OnInsert - Выполняет дополнительные пользовательские действия перед вставкой нового элемента в экземпляр класса CollectionBase.

OnInsertComplete - Выполняет дополнительные пользовательские действия после вставки нового элемента в экземпляр класса CollectionBase.

OnRemove - Осуществляет дополнительные пользовательские действия при удалении элемента из экземпляра класса CollectionBase.

OnRemoveComplete - Осуществляет дополнительные пользовательские действия после удаления элемента из экземпляра класса CollectionBase.

OnSet - Выполняет дополнительные пользовательские действия перед заданием значения в экземпляре класса CollectionBase.

OnSetComplete - Выполняет дополнительные пользовательские действия после задания значения в экземпляре класса CollectionBase.

OnValidate - Выполняет дополнительные пользовательские операции при проверке значения.

RemoveAt - Удаляет элемент по указанному индексу в экземпляре класса CollectionBase. Этот метод нельзя переопределить.

ToString - Возвращение строки, представляющей текущий объект. (Унаследовано от Object.)

Методы расширения:

AsParallel - Позволяет осуществлять параллельный запрос. (Определено в ParallelEnumerable.)

AsQueryable - Преобразовывает коллекцию IEnumerable в объект IQueryable. (Определено в Queryable.)

Cast<TResult> - Преобразовывает элементы объекта IEnumerable в заданный тип. (Определено в Enumerable.)

OfType<TResult> - Выполняет фильтрацию элементов объекта IEnumerable по заданному типу. (Определено в Enumerable.)

Явные реализации интерфейса

ICollection::CopyTo - Копирует целый массив CollectionBase в совместимый одномерный массив Array, начиная с указанного индекса конечного массива.

ICollection::IsSynchronized - Получает значение, показывающее, является ли доступ к интерфейсу CollectionBase синхронизированным (потокобезопасным).

ICollection::SyncRoot - Получает объект, который можно использовать для синхронизации доступа к CollectionBase.

IList::Add - Добавляет объект в конец коллекции CollectionBase.

IList::Contains - Определяет, содержит ли интерфейс CollectionBase определенный элемент.

IList::IndexOf - Осуществляет поиск указанного индекса Object и возвращает индекс (с нуля) первого вхождения в коллекцию CollectionBase.

IList::Insert Вставляет элемент в коллекцию CollectionBase по указанному индексу.

IList::IsFixedSize - Получает значение, показывающее, имеет ли список CollectionBase фиксированный размер.

IList::IsReadOnly - Получает значение, указывающее, доступна ли коллекция CollectionBase только для чтения.

IList::Item - Получает или задает объект с указанным индексом.

IList::Remove - Удаляет первое вхождение указанного объекта из коллекции CollectionBase.

System::Windows::Forms;



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Описанная в этом курсовом проекте реализация комплексной арифметики на языке программирования Си, должна быть полезна при решении комплексных уравнений.

Пользуясь формулами:

Сложения:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитания:

(a + bi) ? (c + di) = (a ? c) + (b ? d)i.

Умножения:

Деления:

было написано приложение, выполняющее все поставленные задачи, имеющая удобный пользовательский интерфейс и предоставляющее дополнительные возможности.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бужан, В.В. Основы программирования в среде Borland C++ Builder. Учебное пособие [Текст] / В.В. Бужан. -- Краснодар.: ЮИМ, 2005. -- 109 с.

2. Ватсон, К. C# [Текст] / К. Ватсон, М. Беллиназо, О. Корне, Д.Э.З. Гринфосс К. Найджел, Д.Х.П.Д. Рейд, М. Рейнольде, М. Скиннер, Э. Уайт. -- М.: «Лори», 2005. - 852 с.

3. Керниган, Б. Язык программирования СиПер. с англ. [Текст] / Б. Керниган, Д. Ритчи. -- М.: Финансы и статистика, 1992.- 272 с

4. Нейгел, К. C# 2008 и платформа .NET 3.5 для профессионалов [Текст] / К. Нейгел, Б. Ивьен, Дж. Глинн, К. Уотсон, М. Скиннер -М:. И.Д. «Вильямс», 2008. - 1392 с.

5. Павловская, Т.А. C/C++ Программирование на языке высокого уровня [Текст] / Т.А. Повловская. СПб.: Питер, 2004. -- 461 с.

6. Павловская, Т.А. C/C++. Структурное программирование: Практикум [Текст] /Т.А. Павловская, Ю.А. Щупак -- СПб.: Питер, 2004. -- 240 с.

7. Дейтел, Х.М. Как программировать на C++. [Текст] / Х. М. Дейтел, П. Дж. Дейтел. -- М.: «Бином-Пресс», 2008.- 1456 с .

8. Глушаков, С.В. Программирование на C++. [Текст] / С. В. Глушаков, Т. В. Дуравкина. -- М.: АСТ, 2008.- 688 с .

9. Тимофеев, В.В. Самоучитель C++. [Текст] / В. В. Тимофеев. -- М.: «Бином-Пресс», 2009.- 334 с .

10. Давыдов, В.Г. Технологии программирования C++. [Текст] / В. Г. Давыдов. -- СПб.: БХВ-Петербург, 2005.- 672 с .

11. Ишкова, Э.А. C++. Начала программирования. [Текст] / Э. А. Ишкова. -- М.: «Бином-Пресс», 2011.- 368 с .

12. Мартынов, Н.Н. Программирование для Windows на C/C++. [Текст] / Н. Н. Мартынов. -- М.: «Бином-Пресс», 2008.- 528 с .

Размещено на Allbest.ru