Математическая модель - система уравнений, описывающих объект, и алгоритм (набор правил), определяющих последовательность решения уравнений модели и включающий набор значений параметров технологических производств.

Были приняты следующие допущения:

а) рассматриваемый объем гальванической ванны является реактором идеального смешения, т.к. обеспечивается непрерывное перемешивание электролита;

б) электролит на протяжении всего процесса анодирования алюминия не теряет своих свойств;

в) толщина и пористость покрытия постоянны на любом участке рабочей поверхности.

Существует три метода построения мат. моделей технологических объектах: экспериментальный, аналитический и комбинированный.

При экспериментальном методе построения формальных мат. моделей параметры определяются по опытным данным, полученным на действующем объекте.

Аналитический метод построения мат. моделей заключается в теоретическом расчете или определения параметров неформальных уравнений статики и динамики по опытным данным, которые получены при исследовании отдельных физико-химических процессов, происходящих в объекте.

Комбинированный метод заключается в объединении двух первых методов.

В связи с тем, что в настоящий момент не до конца понят принцип образования оксидного покрытия, даже выдвинутые теории не подходят для обоснования тех или иных случаев, то можно использовать только данные полученные экспериментальным путем.

Так как до настоящего времени нет формулы, по которой можно определить коррозийную стойкость, то воспользуемся табличными значениями и для удобства использования аппроксимируем эти данные.

Классические теории проводимости АОП /1/ рассматривают зависимость ионного тока I_i, от напряженности электрического поля E:

, (1)

где А, В - постоянные.

Рост пленки происходит за счет переноса вещества ионами Me и O^2-.

При больших E выполняется следующее уравнение между плотностью ионного тока i и E:

, (2)

где a - ширина энергетического барьера в объеме оксида;

н - частота колебания частиц в кристаллической решетке;

z - заряд катионов металлов;

W₀ - высота энергетического барьера;

д - толщина оксида.

При малых E отсутствуют диффузионные затруднения в АОП, выполняется соотношение:

, (3)

где a - ширина энергетического барьера в объеме оксида;

н - частота колебания частиц в кристаллической решетке;

z - заряд катионов металлов;

W₀ - высота энергетического барьера;

д - толщина оксида.

Уравнения (3) и (4) достаточно хорошо согласуются с экспериментом, но при их выводе предполагается кристаллическое строение АОП. Однако, практически во всех случаях сформированные AOП являются аморфными.

Эксперименты Дэвиса и Брауна /3/ c метками инертных газов показали, что новые слои АОП на алюминии в том числе, образуются как на внутренней, так и на внешней границах АОП. Было рассчитано число переноса металла (Al) t_M как отношение толщины АОП, образовавшейся на внешней поверхности, к общей толщине АОП. Для А1 по разным источникам составляет от 0,24 до 0,58 (для оксидирования А1 в этиленгликолевом растворе - 0,68).

Видно, что сейчас, при теоретической слабой базе, которая не до конца позволяет понять принцип процесса анодирования алюминия, аналитически невозможно вывести формулу нахождения коррозийной стойкости оксидного слоя. Поэтому создадим формулу, аппроксимировав табличные данные. Формулу представим в виде:

, (4)

где F - множитель полученный при аппроксимации данных взятых при изменении концентрации соли, плотности электролита и плотности тока;

T - множитель полученный при аппроксимации данных взятых при изменении во времени.

Данные для нахождения Т найдем из рисунка 6.1, где представлена зависимость коррозийной стойкости от времени протекания процесса, максимум находится в 1, потому что данные для аппроксимации функции F считаются при оптимальном значении времени анодирования.

Рисунок 6.1 - Зависимость коррозийной стойкости от времени протекания процесса.

Аппроксимировав данные получим:

, (5)

где t - время анодирования алюминия.

Проведем эксперимент, где будем менять плотность серной кислоты от 1,2 до 1,29 с шагом 0,03 и плотность тока от 2 до 8 А/дм² с шагом 1,5 А/дм², концентрацию соли будем изменять от 0,2 % до 2,6% с шагом 0,06. Результаты представлены в виде таблиц 6.1,6.2,6.3,6.4.

Таблица 6.1 - Зависимость коррозийной стойкости от концентрации соли и плотности тока при плотности электролита равной 1.2 кг/м³

Таблица 6.2 - Зависимость коррозийной стойкости от концентрации соли и плотности тока при плотности электролита равной 1.23 кг/м³

Таблица 6.3 - Зависимость коррозийной стойкости от концентрации соли и плотности тока при плотности электролита равной 1.26 кг/м³

Таблица 6.4 - Зависимость коррозийной стойкости от концентрации соли и плотности тока при плотности электролита равной 1.29 кг/м³

Необходимо определиться каким образом будем получать значения функции не в узлах таблицы.

Интерполирование функций многих переменных значительно сложнее, чем функции одной переменной. Это вызвано не только тем, что рассуждения становятся более громоздкими в силу наличия большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудностей.

Первой трудностью является то, что если представить многочлен в виде:

P (x,y) =a₀₀+a₁₀x+a₀₁y+a₂₀x²+ a₁₁xy+a₀₂y² +…+a_omy^m, (6)

где а_ij - коэффициенты.

То подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть соответствующему значению z_i, получим систему n+1 линейных алгебраических уравнений относительно 1+2+…+ (m+1) = (m+1) (m+2) /2 неизвестных коэффициентов a_ij. Вообще говоря эти уравнения независимы. Следовательно, если не накладывать на P (x,y) никаких дополнительных условий, то n+1 должно быть равно (m+1) (m+2) /2. Поэтому мы не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве узлов интерполирования.

Второе принципиальное затруднение это то, что узлы интерполирования не могут располагаться произвольно. Рассмотрим на примере n=2 и n=5: для первого случая определитель будет обращен в нуль, если три точки (x₀,y₀), (x₁,y₁) и (x₂,y₂) лежат на одной прямой; во втором случае определитель будет обращаться в нуль если 6 точек интерполирования лежат на одной кривой второго порядка. Аналогично, если взять 10 узлов интерполирования, то определитель системы обратиться в нуль, если все они лежат на одной прямой третьего порядка. Проверка того, что определители не обращается в нуль, чрезвычайно затруднительна.

Третье принципиальное затруднение возникает при оценке остаточных членов. Так как теорема Ролля, для данного случая действовать не будет.

Также существуют еще несколько нюансов показывающие, что использовать только интерполирование нерационально. Во-первых, если число узлов велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяционных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции подвержены каким-то случайным ошибкам измерения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен и тем самым исказят истинную картину поведения функции.

Из всего вышесказанного следует, что использовать интерполяционный многочлен необходимо, если только не нужна большая точность, поэтому логичным будет использовать аппроксимационную функцию, т.к. эта функция будет близко проходить к заданным значениям, будет происходить дополнительное сглаживание результатов наблюдения.

При аппроксимации главным допущением является то, что значения аргумента x₀,x₁,.,x_n найдены значительно точнее, чем значения функции f (x_i). Также будем предполагать, что систематические погрешности, а также грубые ошибки в значениях функции f (x_i) исключены (если нет то необходимо сгладить таблицные значения).

Для получения значения функции в точке x расположенных между x_i и x_i+1, будем применять сглаживающую функцию основанную на методе наименьших квадратов, предполагая, что x₀,x₁,.,x_n равностоящие, а все значения f (x_i) имеют одинаковую точность.

Пусть ц₀ (x), ц₁ (x),…, ц_m (x) - какая-то система линейно независимых функций на интервале [a,b], m?n. Будем разыскивать обобщенный многочлен, составленный из этих функций:

, (7)

где f (x_i) - значение функции взятой из таблицы;

Ф (x_i) - значение подбираемой функции;

р_{i -} вес точности.

Далее необходимо, чтобы этот многочлен имел наименьшее значение. В нашем случае значения f (x_i) имеют одинаковую точность, поэтому:

, (8)

где р_{i -} вес точности.

Тогда получаем:

, (9)

где f (x_i) - значение функции взятой из таблицы;

Ф (x_i) - значение подбираемой функции.

Аппроксимировав данные взятые из таблиц 1,2,3,4 алгебраическими многочленами 1,x,x²,…,x^m, т.к. они образуют систему Чебышева на любом отрезке, а следовательно линейно не зависимы, получим зависимость коррозийной стойкости от плотности тока, концентрации соли и плотности серной кислоты. Для удобства читаемости запишем формулу в виде:

, (10)

где Ch - числитель в формуле,

Zn - знаменатель.

), (11)

где p - плотность заданного электролита,

c - концентрация соли в растворе электролита,

i - плотность тока.

, (12)

где p - плотность электролита.

Далее с учетом формул (4) и (5), получим:

, (13)

где p - плотность заданного электролита, c - концентрация соли в растворе электролита, i - плотность тока; t - время анодирования алюминия.

На основании этих допущений и зависимостей полученных экспериментальным путем на какой-либо конкретной установке и зная свойства электролита можно судить о любом похожем процессе.

6.1.3 Описание методов оптимизации

Значение эффективных численных методов минимизации функции одной переменной определяется в основном тем, что они входят составной частью во многие методы решения сложных экстремальных задач.

Существует множество различных методов нахождения экстремума функции. Отличаются они по скорости сходимости (количестве итераций необходимых для нахождения оптимума), количестве элементарных действий (необходимо или нет вычислять дополнительные функции, например, производные). Но сказать какой метод лучше или хуже можно только с натяжкой, т.к. это зависит от вида функций, например, метод чисел Фибоначчи считается самым быстрым из одномерных, однако он справедлив только для унимодальных функций. Метод локализации очень зависим от выбора начальной точки и приращения, но он способен локализовать экстремум в отличии от чисел Фибоначчи или "золотого сечения". Методы первого порядка просты в реализации. Для методов второго порядка требуется вычисление вторых производных, что в прикладных задачах или невозможно или сопряжено с большими затратами. Однако такие общие данные не могут служить основанием для оценки качества методов при решении конкретных задач. До настоящего времени нет достаточно обоснованных правил выбора методов решения.

Основной теории сходимости вычислительных методов служит теория устойчивости дискретных систем. В рамках этой теории сходимость многих модификаций (например, методов ньютоновского типа, квазиньютонофского методов первого и нулевого порядка) можно трактовать как сохранение свойства устойчивости при возмущении дискретных систем.

Важной особенность является то, что почти все эти методы находят локальный минимум на каком-либо отрезке, глобальный можно найти только методом перебора или аналитически, при реализации с помощью вычислительной техники второй способ не подходит.

Выбор метода для минимизации конкретной функции зависит от многих причин. Общая рекомендация состоит в том, что первые итерации строить методами нулевого или первого порядка, а затем в случае необходимости перейти к методам второго порядка. Метод сопряженных градиентов, будучи методом первого порядка, по объему итераций на итераций мало отличается от градиентных методов, но обладает сверхлинейной сходимостью. Следует однако, отметить его большую чувствительность к ошибкам округления. Методы второго порядка накладывают ограничение на функцию, необходимо чтобы она была дважды диффиринцируема и эта производная была положительна. Поэтому для нахождения минимума реализуем метод двумерной оптимизации - покоординатным спуском и сканированием, а одномерной - метод "золотого сечения" и метод сканирования. Покажем как функционируют эти методы.

Метод сканирования самый простой в реализации, но он единственный который ищет глобальный экстремум. Этот метод заключается, при заданных значениях точности и границах, перебором всех значений переменных и из всех вычисленных значений выбирается лучший.

Метод покоординатного спуска заключается в нахождении экстремума поочередно по каждой переменной.

Пусть задана функция двух переменных, линии равного уровня которой изображены на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 - Метод покоординатного спуска

Из некоторой начальной точки Х⁰= (х₁, х₂) производится поиск минимума вдоль направления оси х₁ с получением точки Х⁰. В этой точке касательная к линии равного уровня параллельна оси х₁. Затем из точки Х⁰ производится поиск минимума вдоль направления оси х₂ с получением точки Х¹_. Следующие итерации выполняются аналогично. Для минимизации функции F (x) вдоль осевых направлений может быть использован любой из методов одномерной оптимизации.

Приведем описание метода “золотого сечения”.

Пусть экстремум локализован в интервале [x₁,x₃] (рисунок 6.5).

Алгоритм поиска экстремума складывается из следующих этапов:

а) вычисляются и запоминаются значения функции F (x) на концах исходного интервала [x₁,x₄], то есть значения F (x₁) и F (x₄);

б) вычисляются и запоминаются значения функции F (x₂), где

;

в) вычисляются и запоминаются значения функции F (x₃), где

;

г) по найденным значениям F (x₁), F (x₂), F (x₃) и F (x₄) определяется интервал, в котором локализован экстремум, состоящий из двух интервалов l₁ и l₂ неравной длины.

д) внутри большого интервала l₂ находится точка, отстоящая от конца общего интервала l₁+l₂ на расстоянии.

;

е) в этой точке рассчитывается значение функции F (x), после чего снова выбирается сокращенный подинтервал в интервале l₁+l₂, локализующий экстремум, то есть вычисления повторяются, начиная с пункта.

г) до тех пор, пока не будет получена заданная точность нахождения положения экстремума.

Рисунок 6.3 - Одномерный поиск методом “золотого сечения”

6.1.4 Результаты оптимизации

Рассмотрим процесс анодирования алюминия AD1 в растворе серной кислоты с добавлением соли сульфата меди. Данные находятся в таблицах 1,2,3,4 соответственно при плотности электролита 1.2,1.23,1.26 и 1.29 кг/м³. Опыты проводились при ограничениях на концентрацию соли (от 0.2% до 2.6%) и плотность тока изменялась от 2 до 8 А/дм². Наглядно показаны данные в виде поверхностей на рисунках 6.4,6.5,6.6,6.7.

Рисунок 6.4 - Зависимость коррозийной стойкости от плотности тока и концентрации сульфата меди при плотности электролита 1.2 кг/м³

Рисунок 6.5 - Зависимость коррозийной стойкости от плотности тока и концентрации сульфата меди при плотности электролита 1.23 кг/м³

Рисунок 6.6 - Зависимость коррозийной стойкости от плотности тока и концентрации сульфата меди при плотности электролита 1.26 кг/м³

Рисунок 6.7 - Зависимость коррозийной стойкости от плотности тока и концентрации сульфата меди при плотности электролита 1.29 кг/м^3\

При обработки таблиц сглаживание произведено не было так как значения не выделяются.

Функциональную зависимость коррозийной стойкости от плотности тока, концентрации соли и плотности электролита показана можно увидеть на формуле (13).

При оптимизации метод сканирования с точностью 0.1 по оси плотности тока, с точностью 0.001 по с точностью 0.01 по оси плотности электролита оси концентрация и были получены следующие результаты:

коррозийная стойкость равна 10;

плотность тока равна 5 А/дм²;

концентрация соли равна 0.014 %;

плотность электролита 1.23 кг/м³.

При оптимизации методом двумерной оптимизации покоординатным спуском с точностью 0.001 и методом "золотого сечения" с точностью 0.001 были получены следующие результаты:

коррозийная стойкость равна 10;

плотность тока равна 6,99 А/дм²;

концентрация соли равна 0.015 %;

плотность электролита 1.27 кг/м³.

Данные получились целые так как таковы ограничения на функцию (коррозийная стойкость целочислена от 0 до 10), отличия наблюдается, потому что максимальное значение коррозийной стойкости возможны при разных параметров процесса анодирования, а наша аппроксимация позволяет если бы не было максимального значения в таблице данных, то найти его, так как программа ищет максимум по зависимости.