Автоматизация процесса исследования функций одной и двух переменных с помощью математического пакета MathCAD

Изменение внешнего вида шкалы, нанесенной на координатную ось, производится с помощью диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика), в котором следует перейти на вкладку X-Y Axes (Оси Х-Y) с помощью флажков и переключателей легко поменять внешний вид каждой из осей.

Маркером на координатных осях отмечаются метки некоторых значений. Маркер представляет собой линию, перпендикулярную оси, снабженную числом или переменной. Готовые маркеры показаны на рис.18. На каждой из осей допускается установить по два маркера. Если определен один из них, то второй виден не будет.

рис.18

Изменение масштаба фрагмента графика

Средствами MathCAD можно изменить масштаб изображения фрагмента графика (рис.19) для чего следует:

ь поместить курсор внутрь графической области и нажать правую кнопку мыши;

ь в всплывающем меню выбрать опцию Zoom (лупа), вызывающую открытие диалогового окна X-Y Zoom;

рис.19

ь удерживая левую клавишу мыши в области графика, которую желательно увеличить, растянуть пунктирный прямоугольник выделения - координаты области отобразятся в полях Min и Max окна X-Y Zoom (рис.19);

ь когда вся область, которую требуется увеличить, выделена, отпустить левую клавишу мыши и нажать кнопку Ok данного диалогового окна. В результате границы на осях координат изменяются в соответствии с размерами области выделения, а график отобразится в новом масштабе (рис. 20).

рис.20

2.2 Трехмерные графики

Коллекция трехмерных графиков - настоящее чудо, которое MathCAD дарит пользователю. За несколько секунд вы можете создать великолепную презентацию результатов своих расчетов.

Создание трехмерных графиков

Чтобы создать трехмерный график, требуется нажать кнопку с изображением любого из типов трехмерных графиков на панели инструментов Graph (График) (рис.21).

рис.21

Следует отметить, что для получения графиков не требуется никакого текста, кроме введения имени соответствующей функции на месте маркеров. При быстром построении графиков имеется возможность строить их в различном диапазоне аргументов, подобно двумерным графикам. Быстрое построение трехмерного графика изображено на рис.22.

Для построения трехмерного графика (графика поверхности) выполните следующие действия:

Ш Наберите имя функции двух переменных, знак присвоения значения := , выражение функции.

Ш Установите курсор в то место, где вы хотите построить график.

Ш В математической панели щелкните мышью на кнопке Graph Toolbar (Панель графиков), изображающей график

Ш Surface Plot (трехмерный график). На месте курсора появится шаблон трехмерного графика (рис.21).

Ш В единственном поле ввода шаблона графика введите имя функции (без параметров).

Ш Щелкните мышью вне области шаблона (рис.22).

Пример 2. Построить график функции двух переменных

рис.22

График линий уровня

При исследовании функции для более точного результата нам нужно построить и график линий уровня данной функции. Это можно сделать используя панель Graph, и выбрать вид графика - Contour Plot. Строится он аналогично трехмерному графику (рис.23).

Пример 3. Построить линии уровня

рис.23

Форматирование трехмерных графиков

График черно-белый, некрасивый, MathCAD позволяет сделать из него почти произведение искусства.

Форматирование трехмерных графиков выполняется с помощью диалогового окна 3-D Plot Format (Форматирование 3-D графика), которое вызывается двойным щелчком мыши в области графика (рис.22). Параметры трехмерных графиков всех типов устанавливаются посредством этого диалогового окна.

Панель форматирования трехмерных графиков, приведенная на рис. 24, содержит 9 вкладок, открывающих огромные возможности форматирования графиков.

рис.24

Выберите пункт Appearance (появление) >Fill surface (Залить поверхность) > Colormap (Разноцветный). Щелкните мышью на кнопке Применить. График стал цветным (рис.25).Щелкните правой кнопкой мыши на графике - откроется контекстное меню, дающее дополнительные возможности улучшения графика. Выбирайте различные пункты и смотрите как они влияют на график.

Преобразуем пример 2.:

рис.25

Вращение графика

Самый простой способ ориентации системы координат с графиком в трехмерном пространстве - это перетаскивание его указателем мыши. Попробуйте перемещать при нажатой левой кнопки мыши указатель в пределах графика, и вы увидите как он поворачивается (рис.26).

Пример 4. Построить график функции двух переменных, а затем развернуть его.

рис.26

Масштабирование графика

В поле Zoom (Лупа) вкладки General (Общие) (рис.24) можно задать числовое значение масштаба (рис.27).

Пример 5. Изменить масштаб построенного графика функции двух переменных

рис.27

Теперь изменим масштаб данного графика:

1) График с масштабом 0,5 (рис.28,а);

2) График с масштабом 1,5(рис.28,б).

а) б)

рис.28

Вывод

Мы вспомнили основные свойства функций, определили основные математические операторы, необходимые для исследования функции, рассмотрели возможности математического пакета MathCAD для автоматизации некоторых операций, представили операторы системы, которые будем использовать при исследовании и рассмотрели на примере их работоспособность. Указали, для каких вычислений и операций автоматизация не удастся. Описали способы построения графиков и их форматирования.

MathCAD остается единственной системой, в которой описание решения задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. Имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

Теперь можно смело автоматизировать процесс исследования функций.

Зачем использовать MathCAD в исследовании функции? Возможно, им не станет пользоваться человек с высшим образованием, отлично владеющий математическим анализом и программированием, знаниями и умениями работать в более мощных математических пакетах. Но другое дело учащиеся. Они, конечно же, исследуют функцию у себя в тетради и потратят на это уйму времени. Составят схему и, опираясь на нее, будут строить график. Но получив в ходе решения массу чисел и выражений, могут напутать с нанесением точек на график или допустить в каком-либо пункте арифметические ошибки, и в итоге все исследование будет не верным. Потому что ученики не понимают смысла своей работы и всего исследования, не замечают своих ошибок, ведь этот процесс не привлекает учеников, нет творческой работы, а значит, и нет интереса в ней. Так зачем тратить время, если этот процесс можно автоматизировать?!

Глава III. Исследование функции в системе MathCAD

1. Схемы исследования функции с помощью математического пакета MathCAD

В данной главе модифицируем имеющиеся в I главе схемы. И составим по ним схемы, по которым будем исследовать функцию одной переменной и функцию двух переменных. На основе полученной схемы разработаем шаблон исследования функций, которым может воспользоваться любой начинающий пользователь. В шаблоне укажем пункты, где требуется участие пользователя и приведем рекомендации.

1.1 Схема исследования функции одной переменной

1. Задаем функцию одной переменной;

2. Чертим первоначальный график функции;

3. Находим область определения функции, оси и центры симметрии графика, определяем четность функции и ее периодичность;

4. Точки разрыва, точки пересечения с осями координат, нули функции;

5. Точки максимума и минимума функции, промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее значение функции;

6. Точки перегиба графика, промежутки выпуклости и вогнутости

графика;

7. Принимая во внимание все результаты исследования, строим график данной функции и наносим на нем все полученные точки.

Таблица. Этапы автоматизации исследования функции одной переменной

Этап исследования	Действия	Оператор
Задать функцию	f(x):=
Построить первоначальный график	Осуществляет встроенный графический редактор. На панели Graph есть ссылки на 7 типов графиков. В данном исследование мы воспользуемся только одним типом графиков.	Graph: X-Y Plot
Найти область определения функции, оси и центры симметрии графика, определить четность	Для этого необходимо решить уравнения: 1)Для определения ОДЗ нужно сперва самостоятельно составить уравнение существования функции, которое система решит самостоятельно. 2)Для определения четности необходимо задать функцию относительно переменной (-x) и составить уравнение противоположное по знаку исходному. Система их решит, но вот сравнить их придется самостоятельно. Анализируя полученное делается вывод о симметрии графика.	-f(x)> f(-x)> (> находится на панели Symbolic)
Найти нули функции	Решается уравнение при х=0 и у=0	Solve (> на панели Symbolic)
Найти предел функции (точки разрыва)	Найти предел функции для х > -? х >0 х> ?	(находится на панели Calculus)
Найти точки экстремума функции	Найти производную функции, приравнять ее к нулю и найти точки. Определить, которая точка является точкой максимума, а которая минимума.	Minimize(f,x) Maximize(f,x)
Найти промежутки монотонности	Решаем неравенство D(x)>0, D(x)<0 при помощи оператора solve	D(x)>0 >solve,x D(x)<0>solve,x
Найти точки перегиба	Находим вторую производную функции, либо первую производную от функции получено ранее. Приравниваем ее к нулю и получаем точки.
Построить график функции	С учетом всех полученных точек строим график функции и отмечаем точки на нем, используя свойства графика.	Graph Properties Format

1.2 Схема исследования функции двух переменных с помощью математического пакета MathCAD

1. Задаем функцию двух переменных.

2. Строим первоначальный график функции.

3. Находим область определения функции и точки разрыва.

4. Точки пресечения с осями координат.

5. Строим график линий уровня заданной функции

6. Находим повторный предел заданной функции.

7. Определяем частные производные функции. Повторное дифференцирование.

8. Определяем стационарные и граничные точки функции.

9. Находим локальный максимум и минимум функции.

10. Находим глобальный экстремум функции.

11. Принимая во внимание все результаты исследования, строим график данной функции.

Таблица. Этапы автоматизации исследования функции двух переменных

Этап исследования	Действия	Оператор
Задаем функцию	z(x,y):=
Строим первоначальный график функции	Осуществляет встроенный графический редактор.	Graph: Surface Plot
Находим область определения, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат	Для этого необходимо решить уравнения: 1) Для определения ОДЗ нужно сперва самостоятельно составить уравнение или чаще всего систему существования функции, которое MathCAD решит за пользователя. 2) Для точек разрыва надо решить уравнения, полученные при определении ОДЗ. 3) Для отыскания точек пересечения с осями координат надо приравнять аргумент к нулю и решить полученное уравнение, получим точки.
Строим график линий уровня заданной функции	Осуществляет встроенный графический редактор.	Graph: Contour Plot
Находим повторный предел функции	Для этого сперва находим предел в точке x, а потом ищем предел относительно полученного выражения в точке у, или наоборот. Можно воспользоваться встроенным оператором для отыскания повторного предела на панели Calculus.
Определяем частные производные функции.	Находим частные производные функции по переменной х и переменной у. Для этого воспользуемся панелью Calculus. Повторное дифференцирование. 2 производные первого порядка и 4 производных второго порядка
Находим локальный экстремум функции	Для непрерывной функции используем равенство нулю производной (стационарные точки) от заданной функции. а . Тогда а) если , то в точке функция имеет экстремум, причём при - локальный максимум, а при - локальный минимум; б) если то в точке экстремума нет; в) если , то нужны дополнительные исследования (экстремум может быть, а может отсутствовать).
Находим глобальный экстремум функции	Определяем стационарные и граничные точки. Подставляем точки в заданную функцию. Среди полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее значение.
Построение конечного графика функции	Принимая во внимание все результаты исследования, строим график данной функции двух переменных.	Graph 3-D Plot Format

2. Исследование функции в системе MathCAD

Желтыми прямоугольниками выделены вычисления, в которых требуется участие пользователя.

Красными прямоугольниками выделены комментарии к пунктам, в которых требуется участие пользователя.

Зелеными прямоугольниками выделены пункты и комментарии к ним, в которых система работает автоматически, т.е. без участия пользователя.

2.1 Шаблон исследования функции одной переменной

Шаблон№1. Исследовать функцию

1. Задаем функцию // пользователь выбирает функцию сам

2. Строим первоначальный график заданной функции

// выводит автоматически

3. Находим область определения функции

Определим четность функции

функция ни нечетная, ни четная

// Пользователь сам составляет уравнение или неравенство (возможно систему) для нахождения области определения функции. Система решит его сама. После чего, получив точки, пользователь делает вывод. Если область определения принадлежит множеству действительных чисел, то надо лишь это указать, не решая никаких уравнений.

4. Найдем нули функции

Точка пересечения с осью Oy

точка пересечения с осью Ox

// Пользователю только надо сделать вывод о четности функции

// В некоторых случаях требует участия пользователя

5. Найдем пределы функции

6. Найдем точки экстремума. Для этого найдем сперва производную функции

Приравняем производную к нулю:

являются критическими точками

Найдем точки экстремума

Точка минимума

Точка максимума

Определим промежутки возрастания и убывания функции

График функции убывает на промежутке:

// Требует участия пользователя для анализа точек и составления промежутков монотонности

График функции возрастает на промежутке:

// пользователь должен заменить функцию на свою

Наибольшее значение

Наименьшее значение

// В скобках надо заменить значения на те, которые получились при нахождении точек экстремума

7. Найдем вторую производную

Точек перегиба нет

// Вывод делает пользователь

G (x) всюду отрицательно, значит точек перегиба нет, и график функции выпуклый кверху на всей области определения

8. Построим график функции

2.2 Шаблон исследования функции двух переменных

Шаблон №2. Исследовать функцию двух переменных:

1. Задаем функцию

// Пользователь сам выбирает функцию

2. Построим первоначальный график функции

// выводит автоматически

3. Находим область определения функции

// Для функции двух переменных система MathCAD может решать только функции с областью определения R. Для разрывных функции график не строит

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Точка пересечения в начале координат

5. Строим линии уровня

// автоматически

6. Определяем повторный предел заданной функции

7. Находим частные производные

Проводим повторное дифференцирование

8. Определяем стационарные точки

Приравниваем частные производные первого порядка к нулю

стационарные точки. Получаем точку с координатами

// Пользователь сам делает вывод

9. Найдем точки локального экстремума

// Иногда требует участия пользователя

// Пользователь сам должен сделать вывод

т. к. Д>0, то в точке М функция имеет экстремум

A >0, C>0 значит точка М -точка локального минимума

10. Находим глобальный экстремум функции

// Заменить значения в скобках на ваши координаты точки М

11. Строим график функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

// автоматически

2.3 Исследование функции одной переменной

Пример 1. Исследовать функцию

1. Задаем функцию

2. Строим первоначальный график заданной функции

3. Находим область определения функции

Как видим из графика и самой функции, что заданная функция существует на все области действительных чисел

Определим четность функции

Значит график функции симметричен относительно начала координат

4. Найдем нули функции

Точки пересечения с осью Ох

Точки пересечения с осью Oy

5. Найдем пределы функции

У данной функции точек разрыва нет

6. Найдем точки экстремума. Для этого найдем сперва производную функции

Приравниваем производную к нулю:

Найдем точки экстремума

Точка минимума

Точка максимума

Определим промежутки возрастания и убывания функции

График функции возрастает на промежутке:

График функции убывает на промежутке:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

Наименьшее значение

Наибольшее значение

7. Найдем вторую производную

Приравняем производную второго порядка к нулю:

Точка перегиба

График функции вогнут вниз на промежутке:

График функции выпуклый к верху на промежутке:

8. Построим график функции

Пример 2. Исследовать функцию

1. Задаем функцию

2. Строим первоначальный график заданной функции

3. Находим область определения функции

По свойству логарифмов имеем:

Учитывая знак модуля функция f(x) всегда положительная

4. Найдем нули функции

Точки пересечения с осью Oy

Точки пересечения с осью Ox

Раз функция всегда положительная, то график находится выше оси Ох

5. Найдем пределы функции

У данной функции точек разрыва нет

6. Найдем точки экстремума.

Точкой экстремума является точка пересечения с осями

точка минимума

Определим промежутки возрастания и убывания функции

Учитывая, что область определения (-1,?) имеем:

График функции убывает на промежутке:

График функции возрастает на промежутке: , где ноль входит

7. Найдем вторую производную

Нет точек перегиба и промежутков выпуклости и вогнутости

8. Построим график функции

Пример 3. Исследовать функцию

1. Задаем функцию

2. Строим первоначальный график заданной функции

3. Находим область определения функции

Как видим из графика и самой функции, что заданная функция существует на все области действительных чисел

Определим четность функции



Функция ни четная, ни не четная

4. Найдем нули функции

Точки пересечения с осью Oy и Ох, т.е. начало координат

5. Найдем пределы функции

У данной функции точек разрыва нет

6. Найдем точки экстремума. Для этого найдем сперва производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем точки экстремума

Точка минимума

Точки максимума нет

Определим промежутки возрастания и убывания функции



График функции возрастает на промежутке:

График функции убывает на промежутке:

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции

Наименьшее значение

7. Найдем вторую производную

Приравняем производную второго порядка к нулю:

Точка перегиба

График функции выпуклый кверху

8. Построим график функции



Пример 4. Исследовать функцию

1. Задаем функцию

2. Строим первоначальный график заданной функции

3. Находим область определения функции

, Вертикальные асимптоты

функция четная

Значит график функции симметричен относительно оси Oy

4. Найдем нули функции Точки пересечения с осью Oy

Значит точек пересечения с осью Ox нет

5. Найдем пределы функции

Точки разрыва x=2 и x= - 2

6. Найдем точки экстремума. Для этого найдем сперва производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем точки экстремума

Точка минимума

Определим промежутки возрастания и убывания функции

График функции возрастает на промежутке:

График функции убывает на промежутке:

Наименьшее значение

7. Найдем вторую производную



Приравняем производную второго порядка к нулю:

График функции вогнут вниз на промежутке (2,2)

График функции выпуклый к верху на промежутке:

8. Построим график функции

2.4 Исследование функции двух переменных

Пример 1. Исследовать функцию двух переменных:

1. Задаем функцию

2. Построим первоначальный график функции

3. Находим область определения функции

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Точка пересечения в начале координат

5. Строим линии уровня

6. Определяем повторный предел заданной функции

7. Находим частные производные

Проводим повторное дифференцирование

8. Определяем стационарные точки

Приравниваем частные производные первого порядка к нулю

стационарные точки

Получаем точку с координатами

9. Найдем точки локального экстремума

т .к. Д<0, то в точке М функция не имеет экстремум

10. Находим глобальный экстремум функции

нет глобального экстремума

11. Строим график функции



Пример 2. Исследовать функцию двух переменных:

1. Задаем функцию

2. Построим первоначальный график функции

3. Находим область определения функции

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Точка пересечения в начале координат

5. Строим линии уровня

6. Определяем повторный предел заданной функции

7. Находим частные производные

Проводим повторное дифференцирование

8. Определяем стационарные точки

Приравниваем частные производные первого порядка к нулю

стационарные точки

Получаем точку с координатами

9. Найдем точки локального экстремума

т .к. Д<0, то в точке М функция не имеет экстремум

10. Находим глобальный экстремум функции

нет глобального экстремума

11. Строим график функции

Пример 3. Исследовать функцию двух переменных:

1. Задаем функцию

2. Построим первоначальный график функции



3. Находим область определения функции

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Точка пересечения

5. Строим линии уровня

6. Определяем повторный предел заданной функции

7. Находим частные производные

Проводим повторное дифференцирование

8. Определяем стационарные точки

Приравниваем частные производные первого порядка к нулю

стационарные точки

9. Найдем точки локального экстремума

Нет точек экстремума

10. Находим глобальный экстремум функции

11. Строим график функции

Пример 4. Исследовать функцию двух переменных:

1. Задаем функцию

2. Построим первоначальный график функции

3. Находим область определения функции

4. Найдем точки пересечения с осями координат

Точка пересечения в начале координат

5. Строим линии уровня

6. Определяем повторный предел заданной функции

7. Находим частные производные

Проводим повторное дифференцирование

8. Определяем стационарные точки

Приравниваем частные производные первого порядка к нулю

, стационарные точки. Получаем точку с координатами

9. Найдем точки локального экстремума

не существует, значит точек экстремума нет

10. Находим глобальный экстремум функции

11. Строим график функции

Вывод

MathCAD - это универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики и другие.

Применение доступной системы MathCAD:

Ш позволяет упростить работу учащихся,

Ш оптимизировать учебное время,

Ш не затрачивать время и усилий на ручные расчеты и построение графиков,

Ш повышает информативность сообщаемого материала,

Ш нацеливает занятия на формирование умений по изучаемой теме,

Ш не допускает отвлечения на другие проблемы,

Ш описание исследования функции задается с помощью привычных математических формул и знаков, что придает ей математический вид,

Ш повышает эффективность интеллектуального труда,

Ш позволяет готовить документы, напоминающие вид записей у себя в тетради,

Ш решение становиться понятным и доступным,

Ш существенно повышает эффективность интеллектуального труда,

Ш позволяет получить более точные вычисления и результаты,

Ш дает нам отличное качество чертежей и графиков.

Ш пакет рассчитан на школьников и учащихся, но не годится для использования в серьезных разработках.

Проблема лишь в том, что не все пользователи ПК хорошо знакомы с математическими пакетами, возможно отчасти в этом виноваты и учебные заведения, которые уделяют их изучению не достаточно времени, а в некоторых школах и вовсе не изучают.

Заключение

Итак, мы вспомнили основные свойства функции одой и двух переменных, рассмотрели математический пакет MathCAD, составили схемы для исследования функции одной и двух переменных, совместив полученные знания применили их к автоматизации исследования функции в среде MathCAD.

Система MathCAD позволяет автоматизировать один из самых трудоемких и времяемких процессов.

При исследовании функции одной переменной можно автоматизировать примерно 60% работы ручной работы. При исследовании функции двух переменных автоматизируется около 80% работы. Так как в исследовании функции одной переменной пользователю часто приходиться вмешиваться в процесс, редактировать формулы и анализировать полученные данные.

Все рассмотренные примеры и сама схема представлены в общем виде, таким образом, достаточно лишь в начале документа изменить функцию и получить готовое исследование, которое стоит лишь немного отредактировать

В своей работе я достигла поставленной цели: автоматизировала процесс исследования функции в математической среде MathCAD.

Задачи работы решены:

1. Составлены две схемы для исследования функции в общем виде;

2. Разобраны все необходимые операции и возможности пакета для исследования функции;

3. Процесс исследования в среде MathCAD автоматизирован более чем на 50%;

4. Указаны этапы, которые можно автоматизировать с помощью математического пакета, и которые требуют участия пользователя.

Итак, с помощью MathCAD можно составлять пакеты и библиотеки документов, реализующие такие исследования различных графиков. К работе прилагается диск, на котором присутствует библиотека примеров исследования функции одной и двух переменных.

Несомненно, важны и такие достоинства системы, как высокая достоверность и надежность результатов вычислений, наглядность документов и удобные графические средства вывода результатов вычислений.

Процесс внедрения изучения пакета MathCAD в школе можно реализовать за счет дополнительных часов изучения информатики в старших классах или проведения элективных курсов для старшеклассников.

Применение доступной системы MathCAD позволяет упростить работу учащихся, оптимизировать учебное время, так как большое внимание можно обращать на методы моделирования, не затрачивая время и усилий на ручные расчеты и построение графиков. При исследовании функции от пользователя требуется только творческое участие и наблюдение за процессом, редактирование документа и анализ получаемых по мере решения данных.

На защиту выносится

Ш Список операций для исследования функций;

Ш Выделенная инструментальная среда MathCAD для исследования функций;

Ш Модифицированная схема для исследования функций;

Ш Шаблон.

Список использованной литературы

1. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. - М.: издательский центр «Высшая школа», 1987г., 480 стр. с илл.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: издательский центр «Наука», 1987г., 624 стр. с илл.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: издательский центр «Наука», 1977г., 416 стр. с илл.

4. Рагулина М.И. Информационные технологии в математике: учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений, под редакцией М.П. Лапчика. - М.: издательский центр «Академия», 2008г., 134 стр.

5. Шилов Г.Е. Функции нескольких вещественных переменных. ч.1- М.: издательский центр «Наука», 1977г., 547 стр. с илл.

6. Пранов Б.М. Система компьютерной математики MathCAD. Учебно-методическое пособие. - М.: Академия ГПС МВД России, 2009г., 38 стр.

7. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD 14. - СПб.: издательство «Питер», 2007г.

8. Макаров Е.Г. Компакт - диск Самоучитель MathCAD 14. - М.: «Новый диск», 2008г.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Том 1. - М.: издательство «Физматлит», 2002г., 440 стр. с илл.

10. Алексеев В.Р. Решение задач вычислительной математики в пакетах MathCAD, MatLAB, Maple. - М.: HT Пресс, 2006 г., 496 стр.

11. Макаров Е.Г. MathACD(+ СD-ROM). Учебный курс. - СПб.: издательство «Питер», 2009г., 384 стр.

12.Очков В.Г. MathCAD 14 для студентов и инженеров. - М.: издательство «BHV», 2009г., 512 стр.

13. Гурский Д., Турбина Е. MathCAD для студентов и школьников. - СПб.: издательство «Питер», 2005г., 400стр.

14. Васильев А.Н. MathCAD 13 на примерах. - М.: издательство «BHV», 2006г., 528 стр.

Размещено на Allbest.ru