Как отмечалось во введении, а также в имеющихся работах [1,4], для моделирования статистических распределений, характеризующих поток заявок (вызовов) применяются различные подходы и различные разновидности модельных функций. Так широкое применение получила классификация Кендалла [1], в которой используемая модель системы массового обслуживания (СМО) отражается в соответствии с записью:

(a/b/c): (d/e/f) (1.1)

где, первые три - основные обозначения, оставшиеся три - дополнительных могут обозначать особенности системы

а - распределение времени между заявками во входном потоке,

b - распределение времени между моментами конца обслуживания в выходном потоке,

c - число параллельно заданных узлов обслуживания в выходном потоке,

d - дисциплина очереди,

e - максимально допустимое число заявок, принимаемых СМО,

f - число одиночных источников заявок в подсистеме генератора заявок.

Часто классификация Кендалла также использует запись вида:

А/В/N

В этой записи символ А обозначает вид модели, используемой для описания статистических свойств потока заявок по времени их поступления на СМО, символ В относится к виду модели, описывающей статистику времени обслуживания заявок, N - количество серверов.

Например, обозначение М/М/1 говорит о том, что входной поток системы - марковский (пуассоновский), время обслуживания в сервере имеет экспоненциальное распределение и в системе один такой сервер. Общепринятыми являются следующие обозначения, наиболее часто встречающиеся:

· М - марковская модель (экспоненциальное распределение интервала времени);

· D - детерминированная величина интервала времени;

· Е - эрланговское распределение k-го порядка;

· U - равномерное (uniform) распределение интервала времени;

· С - произвольное (general) распределение интервала времени;

· fBM - фрактальное броуновское движение как модель для числа событий в единицу времени;

· fGN - фрактальный гауссовский шум.

Ниже приведены наиболее часто встречающиеся дополнительные условные обозначения компонентов и примеры условных обозначений СМО:

a/b/c: Loss - система с нулевой длиной очереди (полными потерями);

a/b/c/:k - система с максимальным размером очереди, равным k;

G/G/1 - система с произвольным законом распределения интервала времени между входными требованиями (обычно задается функцией плотности вероятности), с произвольным временем обслуживания требования (обычно задается функцией плотности вероятности) и одним сервером. Размер входного накопителя предполагается неограниченным;

fBM/D/1 - система с входным потоком, описываемым самоподобным процессом типа фрактального броуновского движения и единственным сервером с постоянным временем обслуживания требований.

Через Х ниже будет обозначать неопределенный вид модели.

В учебной литературе подробно описываются результаты для некоторых конкретных разновидностей распределений [1,6,7]. Показано, что для наиболее простых случаев, таких как М/М/1 могут быть проведены прямые аналитические расчеты основных характеристик СМО. Однако, даже в последнем пособии [1] практически не затрагивается вопрос о том, почему именно избранные распределения отвечают характеристикам потока заявок в различных конкретных случаях.

Так, например, при рассмотрении стохастических сетей СМО предполагают, что обслуживание каждого прибора распределено экспоненциально. В свою очередь стохастические сети бывают замкнутые и разомкнутые. Замкнутыми СМО называют системы, в которых число заявок циркулирующих в ней остается постоянным. В замкнутых сетях можно выделить источник заявок и узел уничтожения этих заявок.

Для описания разомкнутых сетей используют теорему Джексона:

P(k₁, k₂, …, k_n)=P(k₁)· P(k₂)·… P(k_n) (1.2)

т.е., вероятность нахождения по каждому узлу k - заявок равняется произведению вероятности в каждом узле. Для таких сетей, где каждый узел в сети представляет собой систему M/M/1. В общем случае полный входящий поток не является пуассоновским.

Теорема Гордона - Ньюэла рассматривает вариант замкнутой сети для теоремы Джексона. Число заявок в этой сети будет постоянным и возникает зависимость

(1.3)

где, k - общее число заявок в сети,

N - число узлов.

Число различных состояний (количество заявок в узле), равно числу способов размещения k - требовании по N - узлам, т.е. биноминальному коэффициенту.

(1.4)

где, ,

m_i - количество приборов в i-том узле.

Исключение составляет анализ самоподобного трафика (т.е. число событий на заданном временном интервале может зависеть от числа событий, поступивших в весьма отдаленные от него интервалы времени). В текущей научной литературе [2-4] значительное внимание уделяется исследованию случая fBM/Х/х. Так в работе [2] разработаны аналитические модели, позволяющие получить параметры характеризующие функционирование мультисервисного (самоподобного) трафика.

Исследования последних лет доказало, что реальный сетевой трафик является самоподомным (фрактальным) процессом. Считают, что на самоподобность трафика влияют поведение пользователей, структура данных, объединение трафика и ограниченность сетевых ресурсов и т.д.

Авторами [2] были получены решения для оценки показателей качества функционирования СМО с коммутацией пакетов с фиксированной и экспоненциальной длины при обслуживании мультисервисного трафика.

В условиях высокой загрузки узлов коммутации и пачечности трафика требуемый объем буфера для удовлетворения соглашения по трафику значительно превышает средний размер очереди. Для вывода формул также используется метод инвариантов.

Выше были перечислены возможные причины возникновения самоподобия, а, следовательно, и долговременной зависимости. В работе [3] показано, что долговременная зависимость возникает в процессе преобразования битового потока в поток ячеек. Процесс преобразования сопровождается появлением распределений с «тяжелыми хвостами».

Для количественного анализа преобразования битового потока в поток ячеек. Были сделаны несколько допущений: если ограничится фиксированной длиной пакета L, трафик описывается распределением длительности и интервалов времени между передаваемыми пакетами. Длительность интервала ф определяется временем накопления информации в буфере, достаточном для образования пакета заданной длины L₀:

(1.5)

где, L₀ - определяется как произведение среднего значения скорости передачи на интервал ф;

, при малых значениях длины пакета с небольшой погрешностью ;

Тогда можно записать,

(1.6)

Данная функциональная зависимость дает возможность определить закон распределения g(ф) непрерывной случайной величины ф, как функций одного случайного аргумента r, если известен закон его распределения f®.

Отличительной особенностью зависимости между случайными величинами r и ф является инвариантность по отношению к замене местами функции и аргумента. Это зависимость выражается через . Таким образом, закон распределения приобретает вид обратного преобразования:

(1.7)

В соответствии с последним выражением были построены гистограммы для реальных законов распределения [4]. Гистограммы отражают сравнение реальных законов распределения, Рэлея и экспоненциального, с преобразованными в соответствий с полученными формулами. Кривые показывают, что распределения с «тяжелыми хвостами» возникают при преобразовании битового потока в поток пакетов, а также что его появление не зависит от закона распределения исходного преобразуемого битового потока.

В частности авторами [3] доказано, что связь между долговременной зависимостью и распределениями «тяжелого хвоста» возникает тогда, когда производится преобразование исходного битового потока в поток пакетов.

В последние годы в структуре трафика произошедшие изменения, потребовали определения входного потока способами отличными от классической. В работе [5] сделаны предположения относительно регулярности воспроизведения типовых информационных процессов (ИП_Т), рассмотрены две крайние ситуаций: когда начало реализации ИП_Т определяется начальным моментом предыдущей реализации и когда начало реализации ИП_Т, происходит по расписанию.

В цитированных работах также представлены аргументы в пользу возможности использования моделей самоподобного трафика в прикладных целях.

Интерес к рассмотрению случая fBM/Х/х вполне объясним, так как в данном случае существует возможность получить конкретные результаты, оставаясь в рамках собственно теории телетрафика или теории систем массового обслуживания.

С помощью телекоммуникационных систем на рынок поставляется вполне определенная разновидность услуг, причем продолжительность телефонных переговоров однозначно связана со стоимостными показателями. Востребованность данных услуг связана далеко не только с техническими характеристиками систем, но, строго говоря, во многом определяется также и покупательной способностью населения. С этой точки зрения продолжительные телефонные разговоры представляют собой услугу со сравнительно высокой стоимостью, и наоборот. Можно утверждать, что продолжительность телефонных разговоров лимитируется именно стоимостными факторами.

1.2 Использование формулы Полячека-Хинчина и ее аналогов для определения характеристик СМО

Модель Марковского входного потока является достаточно хорошим приближением, которым можно пользоваться для первичных оценок характеристик СМО. Другим преимуществом этой модели является возможность получения аналитических формул для ряда важных случаев.

В частности, с ее помощью удается рассчитать параметры СМО для случая, отвечающего обозначению M/G/1 в классификации Кендалла. Для определения среднего значения времени ожидания обслуживания в такой системе используют формулу Полячека-Хинчина, которая широко используется в теории СМО. Однако, как будет показано в основной части, область применимости данной формулы является весьма ограниченной, точнее, существуют аргументы [8], показывающие, что ею нельзя пользоваться как раз для статистических распределений того вида, который реализуется на практике.

В виду необходимости критики формулы Полячека-Хинчина, а точнее, методов ее применимости, дадим ее подробный вывод. Это позволит преодолеть ряд парадоксов, возникающих при анализе СМО с использованием экспериментально полученных статистических распределений.

Обозначение M/G/1 отвечает системам, для которых входной поток остается пуассоновским, тогда как время обслуживания в сервере может описываться случайной величиной с произвольным заданным распределением.

Необходимо подчеркнуть, что для таких систем удается провести вывод формул до конца, только если они содержат ровно один сервер, что и отвечает символу 1 в обозначении Кендалла M/G/1. Будем считать, что на вход системы поступает пуассоновский поток со средней интенсивностью л, то есть плотность вероятности для интервала времени между поступлениями заявок на входе описывается формулой:

. (1.8)

Распределение времени обслуживания в сервере будем описывать через функцию плотности вероятности P_e. Данная функция определена на правой полуоси и должна удовлетворять условию нормировки

(1.9)

Среднее значение времени обслуживания заявки соответственно дается записью

. (1.10)

Работа СМО в самом общем случае характеризуется интенсивность поступающего трафика (поступающей нагрузки) л, которая имеет размерность частоты, и коэффициентом загруженности сервера [1]. Последний показатель можно также трактовать как время, затрачиваемое на обработку требований

. (1.11)

В среднем каждая заявка, поступившая в систему, будет ожидать обслуживания в течение времени обслуживания всех находящихся в очереди и пришедших ранее заявок, а также времени освобождения сервером последней из заявок. Поэтому, среднее время ожидания в очереди можно будет описать соотношением:

(1.12)

здесь, - средняя незавершенная работа, т.е. время, которое должно пройти до полного ухода всех требований из системы с момента прекращения поступлений требований на её вход, - среднее число заявок в системе, которое можно рассчитать по формуле [1]

(1.13)

В соответствии с формулой Литтла [1]:

(1.14)

(1.15)

откуда

(1.16)

Для определения средней незавершенной работы в системе рассмотрим, как она изменяется стечением времени. Очевидно, что с течением времени незавершенная работа линейно убывает, пока сервер обрабатывает заявку, и скачком увеличивается с поступлением каждой новой заявки на сервер.

Для определения среднего значения незавершенной работы достаточно проинтегрировать эту функцию и разделить полученную величину на длину интервала интегрирования. Имеем:

(1.17)

Из этой формулы определяется среднее значение времени ожидания обслуживания в системе M/G/1, известная как формула Полячека-Хинчина:

(1.18)

Таким образом, по формуле Полячека-Хинчина можно определить среднее время ожидания в очереди, а также среднее время пребывания заявки в системе:

. (1.19)

Как видно из полученной формулы, даже для простейшей системы M/G/1, среднее время пребывания заявок зависит не только от величины средней интенсивности поступающего трафика, но и от вида распределения времени обслуживания. Действительно, при одном и том же потоке и одном и том же времени обслуживания заявки, величина будет разной для разных статистических распределений.

Таким образом, анализ даже самого простого случая показывает, что для адекватного времени ожидания заявки в очереди требуется знать вид статистического распределения.

1.3 Основы моделирования средствами языка GPSS. Способы построения имитационных программ для моделирования поведения СМО

Компьютерное имитационное моделирование является методом прогнозирования поведения, как новых систем, так и существующих систем, в которые вносятся некоторые изменения. Оно имеет более широкий спектр применения, нежели математические методы, и в течение многих лет сэкономило пользователям значительные средства. При этом имитационному моделированию поддаются даже самые сложные системы реального мира. Фактически список возможностей для применения компьютерного имитационного моделирования огромен и регулярно пополняется.

В настоящее время имитационные модели строятся в виде программ, разрабатываемых на обычных языках программирования или на специализированных языках и в специализированной визуальной среде.

Наиболее простым и исторически первым из таких специализированных языков является GPSS (General Purpose Simulation System).

GPSS World сочетает в себе функции дискретного и непрерывного моделирования. Возможность перехода из дискретной фазы моделирования в непрерывную фазу и обратно обеспечивает тесную связь с непрерывным моделированием. В непрерывной фазе могут быть установлены пороговые значения, управляющие созданием транзактов в дискретной фазе. И наоборот, блок INTEGRATION и команда INTEGRATE управляют процессом непрерывного моделирования.

Язык GPSS осуществляет моделирование с точки зрения событий, т.е. изменений, происходящих в системе. Работа модели представляется как движение требований, называемых в GPSS транзакциями, через различные блоки, описываемые операторами языка. Каждый блок программы, выполняет присущее ему действие только в тех случаях, когда через него проходит транзакция. Поскольку в системе в каждый момент времени могут присутствовать несколько транзакций, следующих по разным маршрутам, процесс моделирования можно представить как многопоточное псевдопараллельное исполнение кода, описывающего модель. Но это обстоятельство не создает трудностей при написании программы в виду того, что язык GPSS является специализированным, учитывающим особенности построения подобных моделей и автоматический управляющим различными аспектами параллельного исполнения программы.

В данной работе будем пользоваться версией GPSS World [1,14], которая позиционируется как объектно-ориентированная версия моделирующей среды программирования. Поддерживается четыре типа объектов: Model Objects, Simulation Objects, Report Objects, Text Objects.

Объект первого типа создается в виде последовательности инструкций языка GPSS, называемых блоками. Состав и последовательность записи этих блоков определяют способ и порядок обработки событий - транзакций в моделируемой системе. Модель всегда содержит источники и обработчики транзакций. Объект типа Model предназначен для описания моделируемой системы и условий моделирования. Модель системы состоит из последовательности управляющих и исполняемых выражений. Исполняющие выражения называются блоками, описывают логику потока транзакций в ходе моделирования. Только когда на входе в блок появляется транзакция, в модели происходят изменения. Блок может содержать до четырех полей: label, operator, operand, comment. Крайнее левое поле предназначается для поля label, которое ставится при необходимости организовать ветвление. Поле operator располагается справа от метки и каждый из них определяет вид действий. Далее расположен поле operand, их количество и тип каждого из них зависят от назначения блока. Поле comment описывает комментарий к блоку.

Объект типа Simulation появляется при запуске транслятора среды GPSS World. Этот объект является интерпретируемым кодом и может быть запушен на исполнение несколько раз, с целью получения достаточного для понимания объема статистической информации о моделируемой системе.

В процессе исполнения будет порожден третьи объект типа - Report. Этот объект содержит типичную для анализа систем массового обслуживания информацию.

Объекты четвертого типа (Text) не являются обязательными при выполнении моделирования и используются при описании особо сложных моделей и получения исходного кода для архивирования и переноса.

Анализ результатов в GPSS World очень прост. Окно «Journal» («Журнал») записывает действия, связанные с объектом «Процесс моделирования». Автоматическая система нумерации отчетов гарантирует сохранение каждого стандартного отчета. Основной анализ результатов этих экспериментов осуществляется автоматически и выводится в окно «Journal» («Журнал»).

GPSS World, которая создает объекты «Процесс моделирования». Перед включением в объект «Процесс моделирования» все операторы модели проходят трансляцию. Точно так же интерактивные операторы транслируются в глобальной области видимости прежде, чем они будут переданы существующему объекту «Процесс моделирования».

GPSS World отличается высоким уровнем визуализации выполняющегося процесса моделирования. Для наблюдения и взаимодействия с процессом моделирования используются двадцать различных окон, соответствующих большей части объектов GPSS. Для получения, сохранения и печати визуального представления состояния процесса моделирования не требуется дополнительных усилий, кроме операций с окнами. Тогда как кадры состояния процесса моделирования представляют собой единовременное статическое отображение быстроизменяющегося объекта, окна процесса моделирования обновляются оперативно, динамически изменяясь, с целью соответствовать изменяющемуся состоянию выполняющегося процесса моделирования. Хотя динамические окна показывают изменяющееся состояние объектов, что весьма полезно при моделировании, следует помнить, что их использование приводит к снижению производительности.

2. Экспериментальная часть

Основываясь на ранее полученный результат, в частности, теоретическую модель [4], позволяющую отыскать статистическое распределение заявок по времени обслуживания, можно сделать вывод о том, что характер данного распределения не зависит от выбора конкретного города на территории РК. Поэтому особый интерес представило выявление статистических закономерностей, характеризующих телетрафик на примере г. Павлодар и сопоставление результатов, данного города с полученными ранее для г. Алматы.

Верификация данной модели требует сопоставления с экспериментальными данными, точнее со статистическими распределениями, полученными на основе опытных данных.

Методика экспериментального получения таких распределений, доказательство их релевантности и первичный анализ полученных результатов, рассматриваются в данной главе.

2.1 Методика получения экспериментальных статистических распределений заявок по времени обслуживания

Для отыскания статистических распределений времени обслуживания абонентов сотовой связи используется метод, который был уже подробно описан в работе [4]. Суть данной методики заключается в следующем: для получения исследуемого статистического распределения, в принципе, подходит любая выборка звонков, лишь бы только она содержала достаточное число событий (что обеспечивает необходимую точность) и относилась к неизменным условиям (что обеспечивает сопоставимость используемых данных).

Каждый звонок рассматривается как оказанная услуга (в экономическом смысле), при этом нет необходимости осуществлять привязку к конкретным телефонным узлам. Следовательно, данные могут быть собраны безотносительно к району расположения базовых станций, обеспечивающих мобильную связь.

Для получения наиболее обобщенных результатов, описывающих характер распределения трафиков сотовой связи, сбор данных проводился у абонентов различных операторов связи, пользователей всевозможных тарифных планов и в течение достаточно продолжительного времени.

Наблюдения, использованные в данной работе, проводились по городу Алматы в период с 06 декабря 2008 г. По 31 января 2009 г., по г. Павлодар - с 15 марта по 11 апреля 2009 года. Каждая серия наблюдений относится небольшому промежутку времени, что позволяет исключить влияние сезонных вариаций. Продолжительность исходящих звонков регистрировались в секундах, использовались сведения, заносимые в память аппаратов мобильной связи. Было опрошено 300 человек различного социального статуса в г. Алматы и 200 человек по г. Павлодар. Общее количество звонков абонентов мобильной связи по городу Алматы, а также по г. Павлодар используемой выборке составило порядка 2000 звонков.

Выбор городов осуществлен с учетом существенно отличающей социально-экономической обстановки, в том числе, покупательной способности населения в данных населенных пунктах.

Характер собираемых сведений отражает таблица 2.1. В ней показано несколько случаев из используемой выборки, где отражалась информация о времени и длительности сделанного телефонного звонка.

2.2 Первичный анализ гистограмм, отражающих статистику продолжительности телефонных разговоров

По полученным данным были построены гистограммы, для городов Алматы и Павлодар, пример которых показан на рисунках 2.1 и 2.2. По оси абсцисс отложена продолжительность звонка в секундах, по оси ординат - число звонков из данной выборки, имеющих соответствующую продолжительность.

Видно, что полученные гистограммы в достаточной степени зашумлены, что обусловлено малой длительностью отрезков, на которые разбивается исследуемый интервал продолжительности звонка. Переход к более протяженным интервалам разбиения эквивалентен сглаживанию полученной кривой по методу скользящих средних. Соответствующие кривые также показаны на рисунках 2.1 и 2.2. Видно, что сглаживание с протяженностью окна усреднения 9 с уже дает достаточно гладкие кривые. Погрешность полученных значений рассчитывалась по методу стандартной методике.

Рисунок 2.1 - Гистограмма, отвечающая распределению числа звонков по их продолжительности (г. Алматы)

А именно, при расчете погрешности использовалась основная идея метода скользящих средних. В соответствии с нею, предполагается, что при изменении текущей переменной на величину, равную протяженности окна усреднения, значение функции в приемлемом приближении можно считать неизменным. Тогда, точки, относящиеся к данному положению окна усреднения, можно считать измерениями одной и той же величины.

Рисунок 2.2 - Гистограмма, отвечающая распределению числа звонков по их продолжительности (г. Павлодар)

Применительно к данному случаю, это означает, что можно считать, что каждое значение, относящееся к сглаженной кривой, измерялось 9 раз.

Соответственно, расчет погрешности для каждой точки можно проводить по формуле, записанной для погрешности измерений некоторой физической величины, полученной по девяти отклонениям от среднего значения. Данная формула имеет вид:

(2.1)

где - среднее значение для данной точки, полученное по методу скользящих средних

Таблица 2.1 - Пример регистрации сведений для получения статистических выборок

Целесообразность полученных статистических выборок уже была рассмотрена [4] с точки зрения экономической структуры общества, где было выявлено, что социальный статус абонентов не оказывает заметного влияния на характер статистического распределения продолжительности телефонных переговоров.

Данный вывод можно интерпретировать, отталкиваясь также от существующих представлений о природе информационного общества [10,11]. А именно, вовлеченность индивида в коммуникационную среду не является имущественным признаком, соответственно для определенных групп населения расходы на связь относятся к предметам (товарам, услугам) первой необходимости, для других - наоборот.

3. Теоретическое моделирование статистических характеристик времени обслуживания абонентов и анализ применимости формулы Полячека-Хинчина

В работах [4,8,9] уже поднимался вопрос об адекватности использования формулы Полячека-Хинчина и ее аналогов. Был найден конкретный вид статистического распределения времени обслуживания абонентов сотовой связи. Доказано на примере Южного региона РК, что такие распределения обладают формально бесконечной дисперсией.

На примере полученного распределения по г. Павлодар выясним, насколько общий характер имеют результаты, полученные ранее. В работе проверим, совпадают ли выводы, сделанные раннее в [4,8] об ограниченной применимости формулы Полячека-Хинчина.

3.1 Установление вида статистического распределения обслуживания заявок по продолжительности

Как было показано в Главе 1, адекватное описание статистического распределения продолжительности времени обслуживания абонентов невозможно дать без анализа поведения потребителей на рынке услуг связи.

В [4] была сформулирована гипотеза, призванная описать асимптотику функций, описывающих частоту приобретения товаров, в области больших значений стоимости.

Математически, данная гипотеза формулируется как существование пропорциональной связи между производной от числа потребленных товаров (рассматривается фиксированная группа покупателей) по стоимости товара и самим числом потребленных товаров:

(3.1)

где - функция, описывающая число товаров данной категории, приобретенных данной группой покупателей в фиксированный промежуток времени. Более корректно, однако, использовать вероятностную функцию , имеющую смысл плотности вероятности того, что товар, обладающий стоимостью , будет приобретен покупателями из выделенной группы. Т.е. определяется через вероятность того, что товар, обладающий стоимостью из интервала от до , будет приобретен:

(3.2)

Предположение (1) в терминах плотности вероятности, очевидно, записывается полностью аналогичным образом:

(3.3)

Знак минус отвечает условию, что потребление сходных по характеру товаров уменьшается по мере увеличения их стоимости.

Наибольший интерес представляет смысл коэффициента . Очевидно, данный коэффициент тем выше, чем выше покупательная способность данной группы, причем, поскольку рассматривается товар, имеющий стоимость выше заданной, то целесообразно рассматривать «остаточную» покупательную способность. Под остаточной покупательной способностью можно понимать, в первом приближении, количество средств, выделяемых на приобретение товаров данной группы за вычетом средств, истраченных на приобретение товаров той же группы, но имеющей стоимость, меньшую . Считая средства, выделяемые данной группой покупателей на приобретение товаров выделенной категории фиксированной, можно записать:

 (3.4)

При этом величина определяется как:

(3.5)

что позволяет определить коэффициент остаточной покупательной способности по данной группе товаров как

(3.6)

Таким образом, сделанные предположения позволяют записать следующее интегро-дифференциальное уравнение на распределение вероятности потребления товаров сходного характера по стоимости:

, (3.7)

где - феноменологический параметр.

Уравнение (7) преобразуется к виду:

(3.8)

(3.9)

В записи (9) учтено, что дифференцирование ведется по нижнему пределу интегрирования. Дифференцируя (9), имеем:

(3.10)

Откуда получаем искомое дифференциальное уравнение

(3.11)

Данное уравнение допускает понижение порядка. Примем производную за новую неизвестную функцию:

, (3.12)

а саму функцию за новую переменную. Тогда

(3.13)

Подставляя (12) и (13) в (11), имеем:

(3.14)

Перейдем к новой неизвестной функции . Тогда

(3.15)

Рассмотрим выражение:

(3.16)

Видно, что если использовать , то первые два слагаемых уравнения (15) можно преобразовать к виду:

(3.17)

(3.18)

Как и выше, предполагается, что на исследуемом интервале функция не обращается в ноль. Решение рассматриваемого уравнения, очевидно, имеет вид:

(3.19)

где - произвольная постоянная. Возвращаясь к функции , имеем:

(3.20)

В итоге, уравнение первого порядка на искомую функцию может быть записано как

(3.21)

Данное уравнение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и можно записать:

(3.22)

Напомним, что задача состоит в отыскании асимптотики поведения исследуемой функции в области больших значений , где функция является достаточно быстро спадающей. Соответственно, можно выделить два случая:

1.

2. , точнее

Случай можно исключить из рассмотрения, так как при выполнении этого условия существует такое значение , при котором имеет место расходимость, что невозможно из физических соображений.

В первом из этих случаев соотношение (22) приобретает простой вид

(3.23)

Во втором случае в области достаточно больших значений будет выполняться неравенство:

 (3.24)

и соотношение (22) для исследования асимптотики также резко упрощается:

(3.25)

Решение уравнения (23) имеет вид:

(3.26)

где из физических соображений в (23) выбран знак минус. Легко видеть, что полученное решение в асимптотической области соответствует квадратичному (т.е. относительно медленному) спаду исследуемой функции

(3.27)

Последнее приближенное равенство в (27) также записано для больших значений .

Случай 2 приводит к экспоненциальному, т.е. намного более быстрому спаду исследуемой функции, действительно, выбирая в (25) из физических соображений знак минус, получаем:

(3.28)

Этот случай, как ни удивительно соответствует экспоненциальной модели распределения вывозов по продолжительности, часто используемой в теории телетрафика.

Как было доказано в [4], экспериментальные данные преимущественно нужны для того, чтобы осуществить обоснованный выбор между двумя гипотезами, предложенными выше.

3.2 Сопоставление с экспериментальными данными