Сплайновое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• 1.1 Программа для моделирования 3D-объектов в 3D Max
• 1.2 Возможности 3D Max
• 1.3 Определение и история сплайнов
• 1.4 Классификация сплайнов
• 2. Практическая часть
• 2.1 Сплайновые примитивы
• 2.2 Моделирование бокала при помощи модификатора Lathe
• Заключение
• Список использованных источников
• Введение

Стремительное развитие технологий в последнее десятилетие привело к такому же быстрому росту в области компьютерной техники и программного обеспечения. Еще совсем недавно незначительный по сегодняшним меркам эпизод из фильма, созданный при помощи спецэффектов, вызывал бурю восторга и обсуждений. Сегодня спецэффектами в кино и на телевидении никого не удивишь. Они стали обыденным явлением благодаря массовому распространению программ создания компьютерной графики и, в частности, трехмерного моделирования. Программы трехмерной графики - самые интересные по своим возможностям и сложные по освоению приложения.

Одно из лидирующих мест среди таких программ занимает 3ds Max. В силу своих уникальных возможностей и доступности в освоении эта программа сегодня имеет наибольшее количество поклонников, как среди любителей, так и среди профессионалов. Пожалуй, осталось очень мало сфер деятельности человека, связанных с трехмерной графикой, в которых не используется 3ds Max. Ее активно применяют для создания игр и фильмов, в архитектуре и строительстве, в медицине и физике, а также во многих других областях.

Трехмерная графика уже настолько прочно вошла в нашу жизнь, что мы, сталкиваясь с ней, порой даже не замечаем ее. Разглядывая интерьер комнаты на огромном рекламном щите, янтарный блеск льющегося пива в рекламном ролике, наблюдая, как взрывается самолет в остросюжетном боевике, многие не догадываются, что перед ними не реальные съемки, а результат работы мастера трехмерной графики. Область применения трехмерной графики необычайно широка: от рекламы и киноиндустрии до дизайна интерьера и производства компьютерных игр.

При создании рекламы трехмерная графика помогает представить продвигаемый товар в наиболее выгодном свете, например, с ее помощью можно создать иллюзию идеально белых рубашек, кристально чистой минеральной воды, аппетитно разломленного шоколадного батончика, хорошо пенящегося моющего средства и т.д. В реальной жизни рекламируемый объект может иметь какие-нибудь недостатки, которые легко скрыть, используя в рекламе трехмерных "двойников". Вы наверняка замечали, что после применения моющего средства посуда блестит более тускло, чем в рекламе, а волосы после использования шампуня не выглядят так красиво, как на экране телевизора. Причина этого проста: слишком чистая посуда - всего лишь просчитанное компьютером изображение, такие тарелки в реальности не существуют.

Использование компьютерных технологий при проектировании и разработке дизайна интерьера помогает увидеть конечный вариант задолго до того, как обстановка будет воссоздана. Трехмерная графика позволяет создавать трехмерные макеты различных объектов (кресел, диванов, стульев и т.д.), повторяя их геометрическую форму и имитируя материал, из которого они созданы. Чтобы получить полное представление об определенном объекте, необходимо осмотреть его со всех сторон, с разных точек, при различном освещении. Трехмерная графика позволяет создать демонстрационный ролик, в котором будет запечатлена виртуальная прогулка по этажам будущего коттеджа, который только начинает строиться. Что же касается киноиндустрии, то в этой отрасли компьютерная графика сегодня незаменима. Трудно поверить в то, что для одного из первых фильмов серии "Звездные войны" сцену падающего водопада создавали при помощи обыкновенной соли. Сегодня для создания подобных сцен не обязательно заказывать килограммы соли. При помощи редактора трехмерной графики можно без труда смоделировать любой водопад, который зритель не отличит от настоящего.

Актуальность выбранной темы обусловлена практически повсеместным использованием трехмерной графики в различных отраслях и сферах деятельности, знание которой становится все более необходимым для полноценного развития личности.

Объектом моей курсового проекта является изучение сплайнового моделирования в программе Autodesk 3ds Max 2014.

Предметом - моделирование трехмерных объектов в 3ds Max 2014.

Цель моей курсовой работы: изучить основы моделирования при помощи примитивов, сплайнов и редактируемых поверхностей в Autodesk 3ds Max 2014.

Для достижения этой цели, необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть основные понятия трехмерной графики;

2. Изучить широкое определение и историю сплайнов;

3. Рассмотреть основы сплайнового моделирования.

1. Теоретическая часть

1.1 Программа для моделирования 3D объектов 3D MAX

3D MAX - программное обеспечение предназначенное для реализации проектов созданных в формате трехмерного моделирования, анимации и визуализации. При помощи различных средств существует возможность создать проект, имеющий различные формы, а так же привязать проект к фотографии местности, подготовить к печати, настроить свет. Итоговым результатом программы является графическое фотореалистичное изображение или анимационный ролик.

3D MAX является объектно-ориентированной системой трехмерного моделирования, предоставляющая полную свободу для творчества. Его адаптируемая среда интерактивного моделирования дополняет индивидуальный стиль работы архитекторов и дизайнеров в то же время максимально повышая эффективность коллективной работы специалистов, сотрудничающих в создании одного и того же проекта. Средства 3D позволяют создавать и редактировать поверхности любой формы для создания предметов любой сложности, от простых объектов интерьера или мебели до сложных, таких как механизмы и строительные конструкции.

В 3D MAX можно свободно творить, превращая в жизнь любые свои идеи и совершенно не опасаясь потерять уже сделанное в ходе многочисленных модификаций. Специальный буфер автоматически сохраняет вашу работу таким образом, что все изменения формы и поверхности объекта на различных стадиях оказываются зафиксированными.

Архитекторам, дизайнерам и инженерам 3D MAX предоставляет средства фотореалистичной визуализации для анализа разрабатываемого проекта, проведения презентаций, создания архитектурных подач. Специальное освещение и атмосферные эффекты, такие как видимый свет, туман и дымка, позволят создать правильное настроение презентации».

Первая версия пакета под названием 3D Studio DOS была выпущена в 1990 году. Разработками пакета занималась независимая студия Yost Group, созданная программистом Гари Йостом; Autodesk по началу занимался только изданием пакета. Бытуют мнения, что Гари Йост покинул прежнее место работы после переговоров с Эриком Лайонсом (Eric Lyons), в то время директором по новым проектам Autodesk^[1].

Первые четыре релиза именовались 3D Studio DOS (1990--1994 годы). Затем пакет был переписан заново под Windows NT и переименован в 3D Studio MAX (1996--1999 годы). Нумерация версий началась заново.

В 2000--2004 годах пакет выпускается под маркой Discreet 3dsmax, а с 2005 года -- Autodesk 3ds MAX. Актуальная версия носит название Autodesk 3ds MAX 2014 (индекс 16.0).

Таблица 1 - Список всех версий 3ds Max:

Версия	Платформа	Имя	Год выпуска
3D Studio	MS-DOS	THUD	1990
3D Studio 2	MS-DOS		1992
3D Studio 3	MS-DOS		1993
3D Studio 4	MS-DOS		1994
3D Studio MAX 1.0	Windows	Jaguar	1996
3D Studio MAX R2	Windows	Athena	1997
3D Studio MAX R3	Windows	Shiva	1999
Discreet 3dsmax 4	Windows	Magma	2000
Discreet 3dsmax 5	Windows	Luna	2002
Discreet 3dsmax 6	Windows		2003
Discreet 3dsmax 7	Windows	Catalyst	2004
Autodesk 3ds Max 8	Windows	Vesper	2005
Autodesk 3ds Max 9	Windows	Makalu	2006
Autodesk 3ds Max 2008	Windows	Gouda	2007
Autodesk 3ds Max 2009	Windows		2008
Autodesk 3ds Max 2010	Windows		2009
Autodesk 3ds Max 2011	Windows		2010
Autodesk 3ds Max 2012	Windows		2011
Autodesk 3ds Max 2013	Windows		2012
Autodesk 3ds Max 2014	Windows		2013

1.2 Возможности 3D MAX

Для чего нужна трехмерная графика? Трехмерная графика дает широкий круг деятельности, что позволяет моделировать физические задачи, разрабатывать видеоигры, разрабатывать дизайн, проектировать трехмерные проекты и многое другое.

Для тoгo, чтобы сoздaть нaглядные пaрaметрические изoбражения, испoльзуется стек мoдификатoров, любыe измeнения, внoсимые в этoт стек автоматически отображается в конечном результате. С завершенными моделями работа проводится в нелинейном режиме, а для добавления деталей исходной геометрии, делается возврат к низкому разрешению в нижней части стека. Детали проходят через модификации и появляются в итоговом изображении. Для работы можно пользоваться мышью или планшетом.

Много времени уделяется развитию инвентаря для создания анимации. Анимация по основным кадрам, процедурная анимация, ограниченная анимация - это неполный перечень всех вероятных разновидностей заставить объекты перемещаться. Есть полномочия управления скелетной деструкцией, творения быстрой анимации двуногих созданий, управления физическими мощами, действующими на персонажей. Можно с уверенностью заявить, собственно заключительные версии программы 3d Studio Max содержат безусловно все, требуемые для работы, модификаторы. Данное категории модификаторов подбора, сеток, полигонов, оптимизации плоскости и почти все прочие. А в случае если принять к сведению, что использование любого модификатора предполагает конструкцию определенного количества пользовательских характеристик, делается понятно, то, что деятельность в 3d Studio Max сравнима с творчеством и раскрывает пред пользователем нелимитированное количество потенциалов с целью осуществлении его задумок».

«В 3Ds Max имеется вероятность искусно макетировать сетки и плоскости с целью основания параметрических предметов высочайшего свойства. Предписание структур. 3Ds Max может класть, готовить к печати и запекатьструктуры, разрешая убыстрить ход разрисовки предметов. В 3Ds Max имеется вероятность узкой деятельность с тенями и веществами с целью придания ещё огромной правдивости анимации.

В 3Ds Max имеется вероятность стремительной трудом с процессом элементов, а кроме того вероятность самодействующею опции управления струями элементов с целью основания этого либо другого результата. MassFX. В 3Ds Max имеется вероятность деятельность с многомерным прогнозированием присутствие поддержки унифицированных модулей Частицы. Вероятность прогнозирования перемещения небольших элементов в 3Ds Max, аналогичных будто протяжение вода, изменение пламени и распространения снегопада, а также распыления. Волосы и мех. В 3Ds Max реализована сложная система для создания натуральных волосяного и мехового покровов».

«Добавлять 3d объекты в реальную фотографию (фон) дизайнеры и художники стали давно. При этом им приходилось прибегать к разным ухищрениям, чтобы правильно выставить камеру в 3ds Max и добиться такой же перспективы, что и у фотографии (фонового изображения). И вот Autodesk решила помочь нам в решении этой задачи и ввела новый инструмент Perspective matching tools, который позволяет в интерактивном режиме быстро выставить положение камеры и согласовать перспективу с реальной фотографией (фоновым изображением). Теперь добавлять 3d объекты к фоновому изображению станет намного легче».

«Редактор узлов также является достаточно мощным, хотя некоторые пользователи, к сожалению, отмечают некоторые сложности в его использовании. При этом большинство пользователей более чем довольны отсутствием барьера в разрешениях композиции. Также очень привлекательной для пользователей является отличная интеграция с другими графическими редакторами, что, несомненно, облегчает процесс работы и способствует повышению его эффективности».

«Рендеринг:

1. NVIDIA mental ray Renderer. В mental ray появился новый режим сэмплинга - Unified Sampling, который намного проще в обращении и работает быстрее многопроходного семплинга из предыдущих версий 3dsMax;

2. IBL - Image Based Lighting. Новые опции в Skylight позволяют точно генерировать тени при помощи изображений IBL (Image Based Lighting). В процессе генерации можно использовать более одной карты;

3. NVIDIA iray Renderer. Iray рендер поддерживает различные новые карты, такие как Checker, Color Correction, Dent, Gradient, Gradient Ramp, Marble, Perlin Marble, Speckle, Substance, Tiles, Waves, Wood, и mental ray шейдер Ocean shader; новые опции солвера позволяют включить более точный просчет для сцен; настройки Displacement перемещены в отдельный свиток; добавлены новые опции солвера, позволяющий подключать сэмплер для улучшения точности просчета сцен внутри помещения, и сэмплер повышающий качество расчета каустики».

«Программы 3d Max можно сопоставить со съемкой при помощи камеры. Программа 3d Max разрешает создать объект, а после этого вносить коррективы по собственному желанию, включать источника света для большей реалистичности. Трудится с 3d Max - означает иметь дело с воображаемым трёхмерном пространством. Лишь прикиньте и представьте, как эта программа 3d Max упрощает работу и бережет время и силы. Может показаться на первый взгляд, в недалеком прошлом работу по существу всевозможных эффектов в кинематографии в особых зданиях с применением физических моделей, многообразной дорогой техники. На эту всю работу уходило тысячи часов. Нужно было бы поначалу выстроить эту модель, далее установить её на сцене, осветить, снять и после этого всё объединить с остальными героями. А и уже эта неувязка решена при помощи применения идущих в ногу со временем программ. На всю эту работу уходило тысячи часов. Необходимо было сначала построить данную модель, затем установить её на сцене, осветить, отснять и затем всё совместить с остальными героями. А теперь данная проблема решена с помощью использования современных программ. И одна из таких программ, как мы выяснили - это 3d Max. Используя данную программу, один человек за обычным персональным компьютером может создать спецэффекты, которые поражают нас своей реалистичностью. Благодаря технологии 3d Max у вас есть прекрасная возможность создавать богатейший спектр визуальных эффектов, включая видимые лучи, туман, атмосферные эффекты, горение».

«Регулирование организациями элементов дает возможность организовывать мультипликационные результаты: дожди, снегопада, бури, движения жидкостей, вертуна и т.п.,- то, что существенно увеличивает свобода и правдоподобие формируемых анимаций.

Использование потенциалов (интегрированного в мир 3DS Max) модуля Reactor даст возможность для вас макетировать динамические взаимодействия среди творения предметами: строгие соударения, нарушение предметов и т.п.

Устройство Cloth - несомненно поможет сформировать динамическое поступки материй. Устройство Hair and Fur - формирует кудри и волос. В совокупности, данные модули прибавляют ещё огромную трезвость в формируемые сцены, имитируя протяжение натуральных действий, текущих в настоящем обществе. Персонажная анимация позволит осуществлять реалистичные движения людей, животных, а также любых сказочных существ (имеющих N конечностей). Для этого используются системы костей (bones, biped), которые «привязываются» к внешним оболочкам предварительно созданных персонажей (с помощью модификатора - skin) посредством огибающих (envelope). Использование методов обратной инверсной кинематики (IK) позволяет достаточно легко управлять движением персонажей. Средство footstep позволит достаточно просто задавать параметры одного из трех типовых видов движения человека: шаг, бег, прыжки.

Устройство видеомонтажа Video Post - использовать к кадрам визуализированной анимации фильтры второстепенной обрабатывания с целью имитированияаналогичных результатов, будто блещущие нимбы либо блики объектива.

Моделирование в базе разнородных оптимальных В-сплайнов Моделирование в базе разнородных оптимальных В-сплайнов (Non-Uniform Rational B-Spline - NURBS) считается, наиболее сильным с абсолютно всех популярных в настоящее время способов прогнозирования плоскостей трудной комплекция. Действуя с NURBS-поверхностями, возможно, использовать 2-мя базисными раскладами к прогнозированию. 1-ый заключается в разработке NURBS-сплайнов и плоскостей в их базе. 2-ой состоит в разработке

NURBS-поверхностей с последующей корректировкой их формы или созданием плавных переходов между ними.

А кривые типа NURBS создаются или на основе контрольных точек, или на основе управляющих вершин. Разница между этими двумя подходами состоит в том, как кривая располагается относительно точек или вершин. При использовании контрольных точек кривая проходит непосредственно через них. При использовании же управляющих вершин (control vertices - CV) кривая плавно изгибается между этими точками, играющими роль узлов решетки деформации».

«Дополнительные модули упрощают выполнение некоторых задач -- например, позволяют тратить меньше времени на моделирование (благодаря специфическим объектам и оригинальным модификаторам), на просчет (из-за улучшенных настроек подключаемых визуализаторов) и т.д. Кроме того, дополнительные модули часто не только предлагают альтернативу стандартному инструментарию, но и привносят в 3ds Max совершенно новые возможности. Некоторые дополнительные модули -- например, reactor, clothfx, Power Booleans и Particle Flow, -- стали настолько популярны среди пользователей, что были интегрированы в 3ds Max и теперь являются частью программы. Существует огромное количество подключаемых модулей для 3ds Max. Их выпуском занимаются как крупные коммерческие фирмы, так и разработчики-энтузиасты. По данной причине далеко не каждый дополнительный модуль содержит мастер установки или справочное руководство с подробным описанием процесса инсталляции. Это вызывает определенные трудности, особенно у начинающих пользователей. Скачав бесплатный дополнительный модуль из Интернета (или даже приобретя коммерческий продукт), они не могут разобраться с тем, как заставить 3ds Max работать с этим модулем. В данном разделе рассмотрим особенности установки дополнительных модулей. Все дополнительные модули являются файлами библиотек DLL, но в зависимости от свойств имеют разные расширения.

Например:

· .DLO -- дополнительные объекты;

· .DLM -- модификаторы;

· .DLR -- визуализаторы;

· .DLT -- текстуры;

· .DLU -- утилиты.

Вы можете также встретить файлы со следующими расширениями:

· .BMI -- импорт/экспорт графических форматов (использование изображений);

· .BMS -- сохранение файлов в разных форматах;

· .DLC -- контроллеры для управления анимацией объектов;

· .DLE -- экспорт MAX-файлов в другие форматы;

· .DLF -- импорт для использования шрифтов;

· .DLI -- импорт различных форматов в MAX;

· .DLS -- вспомогательные объекты;

· .FLT -- фильтры для постобработки;

· .MSE -- сценарии»

Новые возможности поддержки трансляторов семейства Autodesk® DirectConnect позволяют обмениваться данными промышленного дизайна при использовании ведущих САПР: AutoCAD, Autodesk® Inventor®, Autodesk® Alias®, Dassault Systemes SolidWorks® и CATIA®, PTC Pro/ENGINEER®, Siemens PLM Software NX, JT™ и др.

Поддерживается большое количество форматов файлов; для работы с некоторыми из них нужно устанавливать соответствующую САПР. Данные импортируются в качестве встроенных твердотельных объектов, которые при необходимости могут быть отсоединены. Пользователи 3ds Max Design могут дорабатывать данные до получения необходимой точности рендеринга.

1.3 Определение и история

Сплайн -- функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна. Разность между степенью сплайна и получившейся гладкостью называется дефектом сплайна. Например, непрерывная ломаная есть сплайн степени 1 и дефекта 1. В современном понимании сплайны -- это решения многоточечных краевых задач сеточными методами.

Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования. Сплайны двух аргументов называют би-сплайнами (например, бикубический сплайн), которые являются двумерными сплайнами, моделирующими поверхности. Их часто путают с B-сплайнами (базисными сплайнами), которые являются одномерными и в линейной комбинации составляют кривые -- каркас для «натягивания» поверхностей. Также из базисных сплайнов возможно составить трёхмерную конструкцию для моделирования объёмных тел.

Сплайном называли гибкую металлическую линейку -- универсальное лекало, которое использовали чертёжники для соединения точек на чертеже плавной кривой, то есть для графического исполнения интерполяции.

Рисунок 1 - Лекала

Более того, кривая, описывающая деформацию гибкой линейки, зафиксированной в отдельных точках, является сплайном. Итак, имеется физическая модель сплайн-функции (или, наоборот, сплайн-функция является математической моделью гибкой линейки). Интуитивный подход к использованию кусочных функций в задачах аппроксимации встречался в математике в течение длительного времени. Физической моделью, называемой механической аналогией сплайна, является многоопорная балка, не испытывающая внешней нагрузки, а деформации которой вызваны внутренними реакциями на заданные смещения опор в фиксированные узлы. Математически данная модель описывается дифференциальным уравнением деформации балки и является многоточечной краевой задачей, для решения которой был применён известный в то время сеточный метод, который получил решение именно в таком виде, называемом сегодня сплайном. Но, как отмечает советский учёный Николай Корнейчук, вторжение сплайнов в теорию приближения произошло из-за задачи интерполяции, благодаря их хорошим вычислительным и аппроксимативным свойствам. Сплайны обладают исключительно хорошими аппроксимативными свойствами, универсальностью и обеспечивают простоту реализации вычислительных алгоритмов, полученных на их основе. При этом алгоритмы построения сплайнов совпадают с алгоритмом метода конечных элементов, который является основным промышленным методом прочностного анализа в системах автоматизированного проектирования (САПР).

Теория интерполяции сплайнами и сам термин сплайн ведут свой отсчёт со статьи Айзека Шонберга 1946 года. Особенно интенсивное её развитие произошло в 50-70 годы. В настоящее время традиционной прикладной сферой использования интерполяционных сплайнов стали САПР. Однако потенциальные возможности сплайнов значительно шире, чем просто описание некоторых кривых. В реальном мире большое количество физических процессов по самой своей природе являются сплайнами. В механике это деформация гибкой пластины или стержня, зафиксированных в отдельных точках; траектория движения тела, если сила, действующая на него меняется ступенчато (траектория искусственного космического объекта с активными и инерционными отрезками движения, траектория движения самолёта при ступенчатом изменении тяги двигателей и изменении профиля крыла и т. д.). В термодинамике это теплообмен в стержне, составленном из фрагментов с различной теплопередачей. В химии -- диффузия через слои различных веществ. В электричестве -- распространение электромагнитных полей через разнородные среды. То есть сплайн не выдуманная математическая абстракция, а во многих случаях он является решением дифференциальных уравнений, описывающих вполне реальные физические процессы.

Рассмотрение сплайнов начнём с определения алгебраического сплайна. Функция , определённая и непрерывная на отрезке , называется полиномиальным сплайном порядка с узлами , если на каждом из отрезков , является алгебраическим полиномом степени, не превышающей , а в каждой из точек некоторая производная может иметь разрыв. Если функции в точках непрерывны, а производные в точках терпят разрыв, то числа называют дефектами сплайна. Множество называют сеткой узлов сплайна, а точки -- узлами, точками соприкосновения или точками склейки сплайна.

Как следует из определения, для построения сплайна, состоящего из фрагментов, требуется найти такие значения числовых параметров для каждого фрагмента -- полинома степени , которые обеспечат непрерывность в узлах как самой функции, так и необходимых производных. Так, всего следует определить параметров. С учётом условия интерполяции и непрерывности первых двух производных определение параметров сводится к решению системы, состоящей из линейных уравнений. Как правило, значения коэффициентов для отрезков полиномов непосредственно не рассчитываются.

Для определения интерполяционного сплайна с непрерывной первой производной достаточно рассчитать значение первой производной в узлах. Способ определения производных в узлах сплайна определяет широкое разнообразие интерполяционных сплайнов. Часто производные определяются не как константы, а как некоторые зависимости от интерполируемой функции и сетки интерполяции.

Если значение первой производной в узлах рассчитывать исходя из условия непрерывности второй производной (решая систему, составленную из n линейных уравнений), то сплайн будет иметь две непрерывные производные. Такой способ построения сплайна, как и сам сплайн называют глобальным, поскольку при определении каждого из его коэффициентов учитывается всё множество узлов интерполяции.

В других случаях, для определения отдельного коэффициента учитываются только ближайшие узлы интерполяции и такие способы построения, как и сами сплайны, называют локальными. Параметры фрагмента такого сплайна можно определить независимо от других фрагментов.

Простым условием построения фрагмента локального сплайна является условие равенства полинома на концах отрезков соответствующим значениям интерполируемой функции.

Для простейшего сплайна -- ломаной -- этого условия вполне достаточно. Два коэффициента прямой однозначно определяются из двух уравнений. Такой сплайн является локальным. Для полиномов высших степеней следует добавить дополнительные условия таким образом, чтобы общее число уравнений было равно числу коэффициентов полинома. Так, для сплайна 3-й степени таким условием является равенство 1-й производной на концах отрезка некоторому значению, определяемому для соседних участков одинаковым образом (в формулах (2) через приближённое значение производной функции).

Система из 4-х уравнений

позволяет однозначно определить четыре коэффициента полинома. Для полинома 5-й степени следует добавить условие равенства 2-й производной на концах отрезка и т. д. Из сказанного должно быть ясно, почему сплайны строят в основном из полиномов нечётных степеней (с чётным количеством коэффициентов).

Для полиномов чётных степеней при сборке системы (3):

остаётся неопределённой производная в одном из концов отрезка;

и условие равенства производных (гладкости кривой) не будет выполняться, поэтому для полинома 2-й степени невозможно достичь равенства 1-й производной в точках стыка, а для 4-й степени -- 2-й производной и т. д. Для построения сплайнов с чётными степенями искусственно добавляют дополнительные условия, чтобы сформировать систему уравнений, подобную (3). Если производные полинома сплайна определяются также, как соответствующие производные интерполируемой функции, сплайн называется является эрмитовым.

Существуют локальные методы построения сплайнов Бесселя и Акими, B -- сплайны. В основном, когда речь идет о сплайнах, то имеют в виду сплайны, построенные из алгебраических полиномов. Именно к ним относится приведённое выше определение. Именно эти сплайны являются наиболее изученными. Однако сплайн может состоять из фрагментов функций любого класса. В рассмотрено построение таких сплайнов и исследуются их свойства. Автор не даёт общего определения построенных сплайнов. Очевидно, что для любых классов функций, из которых состоит сплайн, приведённое в начале статьи определение не совсем подходит. Например, если сплайн состоит из отрезков экспоненты, то понятие дефекта сплайна теряет смысл. Хотя количество непрерывных производных останется важной характеристикой. Построение сплайна, фрагментами которого являются разрывные функции (рациональные функции, функции Паде), несколько выходит за рамки сплайновой идеи, поскольку одним из основных преимуществ сплайнов является их гладкость. Если произвольно расширять такие конструкции, то стираются различия сплайнов от кусковых функций. Другим преимуществом сплайнов является эффективность вычислений. Чрезмерное усложнение фрагментов существенно снижает преимущество сплайнов перед классическими функциями.

Для сплайнов характерны следующие признаки: сплайн состоит из фрагментов -- функций одного класса, которые отличаются только своими параметрами, на соседние фрагменты в точках стыковки накладываются определенные условия, которые сводятся к непрерывности значений и некоторых первых производных. Сплайны -- направление прикладной математики, которое интенсивно развивается. В Интернете содержится обширная библиография по сплайнам.

1.4 Классификация сплайнов

Как отмечалось выше, существует большое количество конструкций, которые называют сплайнами. Поэтому необходимо внести определенную классификацию в это многообразие, имея целью выделить те признаки, которые позволят выбрать сплайны годные для конкретной прикладной задачи.

Назначение сплайнов. По назначению можно выделить три основные группы сплайнов: «интерполяционные сплайны» или «функциональные сплайны» -- проходящие точно через заданные точки, «сглаживающие сплайны» -- проходящие через заданные точки с учетом погрешностей их определения; «корреляционные сплайны» -- проходящие через корреляционное множество точек и отображающие его генеральную зависимость (тренд, регрессию). Интерполяционные и функциональные сплайны используют в задачах геометрического моделирования, например, задания обводов корпусов водных и воздушных судов. Сглаживающие сплайны используют чаще всего для описания зависимостей физических экспериментов с известной погрешностью измерений. Корреляционные сплайны используют в качестве нелинейных графиков регрессии, простейшими из которых можно считать описание зависимости ступенчатой и кусочно-линейной функцией (сплайнами нулевой и первой степени).

Вид фрагментов сплайна. То, что сплайн состоит из фрагментов одинакового вида, является одним из ключевых признаков, что отличает его от других кусковых функций. Однако существуют комбинированные сплайны, состоящие из фрагментов различных сплайнов.

Самые известные сплайны -- состоящие из фрагментов -- алгебраических полиномов не выше заданной степени. Как правило, это кубические полиномы, или полиномы нечётных степеней: первой, третьей (кубический), пятой степени. Более высокие степени применяют редко из-за усложнения расчетов и сложностей, описанных в предыдущем разделе. Основным их преимуществом является простота расчетов и анализа. Недостатком является то, что относительно мало реальных физических процессов соответствуют этой зависимости.

Экспоненциальные сплайны. Если гибкую металлическую линейку, зафиксированную в узлах, натянуть, то решением дифференциального уравнения будет не алгебраический полином, а экспонента. Поэтому такие сплайны называют также напряженными. Экспонента описывает многие физические процессы в динамических системах. Недостатком является трудоёмкость расчета.

По механической аналогии с металлической линейкой, представляющей собой расчетную модель балки, получаются сплайны переменной жесткости, описанные в работах Снигирева В. Ф. и Павленко А. П. Первоначально такие сплайны называли вырождающимися или логарифмическими, так как решение исходного сплайнового дифференциального уравнения, представляющее собой фрагмент сплайна, будет содержать натуральные логарифмические функции. Жесткость в них может выступать как весовая, если она заранее задана, так и как управляющая функция, которая отыскивается из условий минимума функционала энергии оператора исходного сплайнового уравнения, аналогичного полной потенциальной энергии деформации линейки (балки). Функция жесткости позволяет управлять формой сплайна. В случае, когда функция жесткости является управляющей функцией, то такие сплайны называют сплайнами минимальной жесткости.

Тригонометрическими являются сплайны, фрагменты которых описываются тригонометрическими полиномами. Имеют достаточно сложные расчетные выражения. Более пятидесяти различных по виду фрагментов сплайнов описаны в работах Б.А. Попова.

Также существуют рациональные сплайны и сплайны Паде. Их особенностью является возможность разрыва производных на фрагментах, при непрерывности в узлах. М. Ансерме строит фракциональные сплайны, где фрагменты заданы с помощью гамма-функции.

Целесообразность применения фрагментов определенного вида основана на конкретных условиях задачи и ограничениях реализации. Как правило, основное требование -- это достижение заданной точности интерполяции при приемлемых затратах времени и ресурсов на реализацию. Удачный выбор фрагментов, который соответствует характеру процесса, позволяет сократить время вычислений и требуемый объём памяти.

Число фрагментов. Очевидно, что минимальное число фрагментов -- один. Классическое определение сплайна ограничивает число фрагментов определенным числом на конечном отрезке. Однако можно строить сплайны и с бесконечным числом фрагментов, а реально эти методы и алгоритмы, которые не нуждаются в информации об определенном количестве фрагментов. Представителями этих сплайнов являются кардинальные сплайны, исследованные Шенбергом. Для построения сплайнов с неограниченным числом фрагментов лучше подходят локальные сплайны.

Ширина фрагментов. Следует выделить сплайны с равной шириной фрагментов. Это позволяет значительно упростить расчетные выражения, ускорить работу алгоритмов и снизить затраты на реализацию. Определенного упрощения можно достичь за счёт применения фрагментов с кратной шириной. Существуют сплайны с нулевой шириной фрагментов (Де Бур). Это приводит к кратности узлов и возможности приближать сплайны с неразрывными фрагментами разрывных функций. Расчетные выражения получают в результате предельных переходов. Сплайны могут иметь также фрагменты с бесконечной шириной. Эти фрагменты должны быть крайними. Иногда это позволяет естественно задать краевые условия. Строго говоря, ширина фрагментов зависит от выбора параметра -- аргумента сплайн-функции, а для этого требуется решать отдельную задачу параметризации. Идеальным выбором в качестве параметра является длина интерполируемой функции, которая не всегда известна, поэтому существует множество способов решения этой задачи. Наиболее распространен способ параметризации по хордам.

Условия стыковки фрагментов. Еще один важный признак, что отличает сплайны. Когда идет речь о сплайнах, как правило, считают, что фрагменты стыкуются гладко. То есть обеспечивается непрерывность значений и первой производной. Понятие дефекта сплайна связано с числом непрерывных производных, которые имеет функция-фрагмент определенного вида и числом производных, непрерывность которых гарантирована в узлах. Экспонента, синусоида имеют бесконечное число производных. Для них это понятие не имеет смысла. Поэтому удобнее говорить прямо о числе производных, непрерывность которых гарантирована в узлах сплайна. Практически речь идет о непрерывности значений и первой, максимум второй производной. Разрыв второй и высших производных визуально не заметно, поэтому учитывается редко. Понятно, что первая производная в точках стыка может задаваться по-разному. Наиболее распространены два приёма. Значение первой производной выбирается так, чтобы обеспечить непрерывность второй (глобальные кубические сплайны минимального дефекта). Первая производная равняется первой производной интерполируемой функции (возможно приближенно) в эрмитовых сплайнах.

Краевые условия. Имеется 4 типа классических краевых условий и ряд неклассических. Если сплайны имеют ограниченное число фрагментов, то, естественно, у них отсутствуют крайние фрагменты слева и справа, поэтому крайние узлы не с чем стыковать. Исключением являются лишь периодические сплайны, которые имеют естественное продолжение (3-й тип классических краевых условий). Иногда естественными называют краевые условия с нулевой производной, хотя никаких оснований считать их более естественными, чем другие, нет, но для кубического сплайна естественные (натуральные) краевые условия являются частным случаем 2-го типа классических краевых условий, задающего вторые производные на краях сплайна. В этом случае приравнивание вторых производных к нулю высвобождает края металлической линейки от нагружения изгибающим моментом, что естественным образом и происходило бы при прикладывании ее к фиксированным (заданным) узлам в физическом пространстве. В 1-м типе классических краевых условий задают первые производные (касательные) на краях сплайна; во 2-м типе -- задают вторые производные(кривизну); 3-й тип используется для интерполяции замкнутых или периодических линий и заключается в стыковке крайних фрагментов сплайна; 4-й тип используется когда на краях сплайна неизвестны ни первая, ни вторая производные и заключается в стыковке соседних пар крайних фрагментов (1-го со 2-м и последнего с предпоследним) по третьим производным, что на практике реализуется в проведении по узлам пар соседних крайних фрагментов функции, аналогичной одному фрагменту сплайна (у полиномиального сплайна -- полинома той же степени, что и фрагмент сплайна). Используются различные комбинации краевых условий, которые сводятся к данным 4-м типам классических условий. В случае, если краевые условия нельзя свести к этим четырем типам, как, например, изменение на паре соседних крайних фрагментах сплайна его третьей производной по линейному (афинному) закону, предложенное в работах Снигирева В.Ф., то такие условия называют неклассическим вариантом краевых условий. Далее приведены некоторые варианты, сводящиеся к классическим краевым условиям. Если сплайн имеет фрагменты одинаковой ширины, считают недостающие фрагменты той же ширины. Другой вариант -- это считать недостающие фрагменты продлёнными в бесконечность. Преимущество такого подхода в возможности экстраполяции. Можно считать ширину фрагментов нулевой. Расчетные выражения получают предельными переходами. Если взглянуть на краевые условия с точки зрения формирования сплайна из базисных функций, то они сводятся к продолжению соответствующих локальных базисных функций. Ширина соседних фрагментов влияет на их форму. А простое обрезание часто приводит к осцилляции и росту погрешности на краях. Важное значение краевые условия имеют при обработке изображений и в задачах с экстраполяцией.

Дополнительные ограничения. Они чаще всего касаются производных в узлах. Иногда они вытекают из физики процесса. Условия: неотъемлемость значений, равенство моментов, площадей, условия нормирования. Дополнительные условия иногда упрощают анализ свойств сплайнов, но могут серьезно затруднять построение и затраты реализации.

Сетка точек интерполяции. Может существенно влиять на эффективность расчетов. Важны случаи равномерной сетки и равномерной сетки, с расстоянием между точками, кратным расстоянию между узлами сплайна. Нахождение сетки точек интерполяции (интерполяционных узлов) является задачей параметризации, о которой уже сказано в разделе «Ширина фрагментов».

Локальные свойства базисных функций. Сплайн можно представить как сумму взвешенных базисных сплайнов. Существенным является ширина этих базисных функций. Так, в глобальных сплайнах базисные сплайны ненулевые на всём отрезке интерполяции. Хотя стоит заметить, что с определенной точностью (достаточной для многих технических расчетов) их можно считать локальными. У локальных сплайнов ширина базисных функций невелика (четыре фрагмента у кубических эрмитовых сплайнов). Это существенно влияет на эффективность расчетов и затраты реализации.

Форма представления. Функции, задающие фрагменты сплайна, как правило, зависят от множества параметров, благодаря которым они меняют свою форму. Значения параметров на каждом из фрагментов индивидуальны. Эти параметры могут задавать конкретный сплайн. Для полиномиальных сплайнов это полиномиальные коэффициенты. Так, сплайн можно представить множеством параметров функций на каждом из фрагментов. Назовем это представление пофрагментным. Такое представление является наглядным, часто имеет явный физический смысл. Но число параметров является чрезмерным. Так, для кубического сплайна необходимо иметь 4 * (r-1) параметров (r -- число узлов сплайна). Данное представление получается в результате неопределенного интегрирования фрагмента исходного сплайнового дифференциального уравнения и называется аналогичной кусочно-полиномиальной формой (pp-формой) по аналогии с полиномиальными сплайнами. Для явного выражения коэффициентов через уже известные значения координат узловых точек, применяют разложение аналогичной кусочно-полиномиальной формы на базисные функции путем подстановки ее в краевые условия Эрмита (граничные условия фрагмента сплайна, условия интерполирования и опирания на производные). В результате получается базисная форма (B-форма) сплайна. Такое представление сплайна является значительно более компактным и записывается через базисные сплайн-функции в виде:

,

где -- базисные сплайн-функции (как правило локальные), -- числовые коэффициенты, задающие вес базисных функций при формировании сплайна, физическим смыслом которых являются обобщенные (линейные и угловые) перемещения металлической линейки в узлах. Число параметров, задающих сплайн, равно числу узлов сплайна. Между параметрами функции на фрагменте и коэффициентами полинома-сплайна существует зависимость, что позволяет с одними коэффициентами находить другие, хотя формулы могут иметь достаточно сложный вид.

Преобразование аналогичной кусочно-полиномиальной формы представления сплайна в базисную форму снижает порядок системы линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов сплайна, так как они частично выражаются через уже известные параметры -- координаты заданных точек (узлов), что позволяет значительно снизить вычислительные затраты за счет возможности применить экономичные методы решения, такие как метод алгебраической прогонки или разновидности метода Гаусса для разрежённых (ленточных) матриц с выбором ведущего элемента столбца.

Содержание коэффициентов сплайна. Как отмечалось в предыдущем пункте, содержание параметров сплайна при пофрагментном представлении определяется типом функции. При полиномиальном представлении следует выделить случай, когда коэффициенты имеют тот же физический смысл, что и входные данные. То есть, коэффициенты являются значениями сплайна в узлах. Такую форму называют Лагранжевой, по аналогии с полиномом Лагранжа. Следует заметить, что базисные сплайны этой формы равны единице в центральном узле и нулю во всех остальных.

Коэффициенты интерполяционных и функциональных сплайнов всегда содержат значения координат заданных точек, вытекающие из условий интерполирования. А так же в зависимости от условий опирания на производные, содержат значения соответствующих производных на границах фрагмента сплайна (в узловых точках). Как правило, при записи таких условий фрагмент сплайна на его границах опирают на первые или вторые производные. Опирание фрагмента сплайна на первые производные явно отражает физический смысл, так как первые производные (касательные) -- это угловые перемещения (повороты) металлической линейки относительно поперечной оси. Опирание сплайна на вторые производные применяют для упрощения вида расчетных выражений с целью уменьшения ошибок при их ручной перезаписи, однако в некоторых случаях использование таких выражений в каких-либо дополнительных условиях может приводить к тривиальным решениям.

Особые сплайны. В ряде случаев рассматривают функции, которые находятся близко к границе между сплайнами и обычными функциями, а также сплайнами и кусковыми функциями. К примеру, это сплайны, состоящие из двух фрагментов. Имеют упрощенный вариант построения, но особое внимание следует уделять краевым условиям.

К особым сплайнам можно отнести многомерный ортогональный нормированный сплайн, описывающий нелинейную модель искусственного нейрона (сплайн-модель Хакимова), используемый для моделирования зависимости функции от совокупности множества аргументов.

2. Практическая часть

2.1 Сплайновые примитивы

Один из эффективных способов создания трехмерных моделей - использование техники сплайнового моделирования. В конечном итоге создание модели при помощи сплайнов (трехмерных кривых) сводится к построению сплайнового каркаса, на основе которого создается огибающая трехмерная геометрическая поверхность.

Сплайны - это двумерные примитивы (например, линия, окружность, текст), имеющие, как и трехмерные, различные параметры задания.

Сплайновые примитивы представляют собой такой же рабочий материал, как и простейшие трехмерные объекты, создаваемые в 3ds Max 2008. Сплайновый инструментарий программы включает в себя следующие фигуры:

* Line (Линия);

* Circle (Окружность);

* Arc (Дуга);

* NGon (Многоугольник);

* Text (Сплайновый текст);

* Section (Сечение);

* Rectangle (Прямоугольник);

* Ellipse (Эллипс);

* Donut (Кольцо);

* Star (Многоугольник в виде звезды);

* Helix (Спираль).

Доступны также дополнительные сплайновые объекты, которые отличаются сложной формой и гибкими настройками. Благодаря этому, изменяя значения параметров, можно получать объекты самой разнообразной формы. Объекты такой формы часто используются в архитектуре.



Рисунок 2 - Сплайновые формы

* WRectangle (Прямоугольник за стеной) - позволяет создавать закрытые сплайны, состоящие из двух концентрических прямоугольников.

* Channel (С-образный) - позволяет создавать закрытые сплайны в форме буквы С, напоминающие канавки.

* Angle (L-образный) - позволяет создавать закрытые сплайны в форме буквы L, напоминающие уголки.

* Tee (Т-образный) - позволяет создавать закрытые сплайны в форме буквы Т.

* Wide Flange (I-образный) - позволяет создавать закрытые сплайны в форме буквы I.

Чтобы создать сплайновый объект, перейдите на вкладку Create (Создание) командной панели, в категории Shapes (Формы) выберите строку Splines (Сплайны) и нажмите кнопку создаваемого примитива. Для создания сложных сплайновых объектов, находясь в категории Shapes (Формы), выберите строку Extended Splines (Сложные сплайны).

Все сплайновые примитивы имеют схожие настройки. Например, каждый описанный объект содержит два обязательных свитка настроек: Rendering (Визуализация) и Interpolation (Интерполяция).

По умолчанию сплайновые примитивы не отображаются на этапе визуализации и используются как вспомогательные объекты для создания моделей со сложной геометрией. Однако любой сплайновый примитив может выступать в сцене как самостоятельный объект. За отображение объекта в окне проекции и на этапе визуализации отвечает свиток настроек Rendering (Визуализация). Если установить флажок Enable In Renderer (Показать при визуализации), объект на этапе визуализации становится видимым. Установленный флажок Enable In Viewport (Показывать в окне проекции) позволяет визуализировать сплайновый примитив в окне проекции с учетом формы сплайна, которую можно выбрать округлой или прямоугольной, установив переключатель в положение Radial (Округлый) или Rectangular (Прямоугольный).

При выборе округлого сечения сплайна (Radial (Округлый)) толщина регулируется параметром Thickness (Толщина). Сплайн характеризуется также количеством сторон (параметр Sides (Количество сторон)) и углом их расположения (Angle (Угол)). Минимальное количество сторон сплайна - 3 (такой сплайн имеет треугольное сечение).

В другом случае - при выборе прямоугольного сечения Rectangular (Прямоугольный) - устанавливаются значения Length (Длина) и Width (Ширина), определяющие толщину сплайна. Параметр Aspect (Соотношение) обозначает соотношение длины и ширины прямоугольного профиля сплайна. Если нажать кнопку с изображением замка, расположенную рядом с этим параметром, то при изменении длины или ширины профиля автоматически будет изменяться и другой параметр так, чтобы их соотношение оставалось неизменным. При выборе прямоугольного сечения, как и при выборе округлого, есть возможность управлять параметром Angle (Угол).

Свиток настроек Interpolation (Интерполяция) определяет количество шагов интерполяции сплайна (количество сегментов между вершинами объекта). Установленный флажок Optimize (Оптимизация) служит для оптимизации сплайна. Для сплайнов группы Extended Splines (Сложные сплайны) доступны также дополнительные параметры, позволяющие определять форму их внешних и внутренних углов (Corner Radius 1 (Радиус углов 1) и Corner Radius 2 (Радиус углов 2)).

На основе сплайновых фигур можно создавать сложные геометрические трехмерные объекты. Для этого используются модификаторы Surface (Поверхность), Lathe (Вращение вокруг оси), Sweep (Выгнутость), Extrude (Выдавливание) и BeveL (Выдавливание со скосом), а также составной объект Loft (Лофтинг).

Модификатор - это программная функция изменения формы и внешнего вида трехмерного объекта.

Если присмотреться к объектам, которые нас окружают, то можно заметить, что многие из них обладают осевой симметрией. Например, плафон люстры, тарелки, бокалы, кувшины, колонны и т.д. Все эти объекты в трехмерной графике создаются как поверхности вращения сплайнового профиля вокруг некоторой оси при помощи модификатора Lathe (Вращение вокруг оси). Этот модификатор назначается созданному сплайну, после чего в окне проекции появляется трехмерная поверхность, образованная вращением сплайна вокруг некоторой оси. Сплайновая кривая при этом может быть разомкнутой или замкнутой.

Настройки модификатора Lathe (Вращение вокруг оси) позволяют установить тип поверхности, получившейся в результате вращения сплайнового профиля. Это может быть Patch (Патч-поверхность), Mesh (Поверхность) или NURBS (NURBS-поверхность). Кроме этого, при создании объекта можно устанавливать угол вращения профиля в диапазоне от 0 до 360°.

Для построения трехмерной модели методом лофтинга необходимо создать два сплайна. Одна трехмерная кривая определяет сечение модели, а вторая - траекторию, вдоль которой это сечение будет располагаться.

Модификатор Sweep (Выгнутость) - еще один инструмент для превращения сплайна в трехмерный объект. Настройки любой трехмерной кривой, которая создается в 3ds Max, дают возможность визуализировать ее с круглым или квадратным сечением. Модификатор Sweep (Выгнутость) позволяет визуализировать сплайн со значительно большим количеством профилей. Среди них профили в форме уголка (Angle (Угол)), канавки (Channel (Канавка)), полукруга (Half Round (Полукруг)), полой круглой трубки (Pipe (Труба)), полой квадратной трубки (Tube (Трубка)) и др. Профиль можно выбирать из списка Built In Section (Встроенные профили) свитка Section Type (Тип профиля) настроек модификатора.