Основы теории телетрафика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

на тему:

«Основы теории телетрафика»

Введение

В повседневной жизни приходится постоянно сталкиваться с обслуживанием, т.е. удовлетворением некоторых потребностей, и очень часто с очередями, когда обслуживание является массовым. Примерами процессов массового обслуживания могут служить продажа билетов в железнодорожных, театральных и других кассах, обслуживание бригадой рабочих группы станков, осуществление телефонной связи и т.д. Естественно, что во всех случаях большое значение имеет степень удовлетворения потребности в обслуживании, или качество обслуживания. Так, при осуществлении телефонной связи важно знать, как долго придется ожидать соединения с требуемым абонентом после заказа междугородного разговора при ручном способе установления соединений или сколько в среднем попыток необходимо сделать для установления соединения при автоматическом способе.

Количественная сторона процессов массового обслуживания является предметом раздела прикладной математики, которую советский математик А.Я. Хинчин (1894-1959 гг.) назвал теорией массового обслуживания. Родилась теория массового обслуживания в первой четверти XX века вследствие возникновения потребностей разработки математических методов для оценки качества функционирования телефонных систем. Основоположником теории телетрафика, из которой ґвыросла теория массового обслуживания, является датский ученый А.К. Эрланг (1878-1929 гг.) - сотрудник Копенгагенской телефонной компании.

В теории массового обслуживания все рассматриваемые объекты объединяются под общим названием ґсистемы массового обслуживания. Одним из классов систем массового обслуживания являются системы распределения информации (системы телетрафика).

Системой распределения информации могут быть совокупность коммутационных приборов, часть или весь коммутационный узел либо сеть связи, которые обслуживают по определенному алгоритму телефонные, телеграфные и другие сообщения.

В настоящее время методы теории массового обслуживания используются для решения самого широкого круга задач с от бытового обслуживания до космических исследований, однако определяющую роль в развитии теории массового обслуживания продолжает играть одна из ее ветвей - теория телетрафика.

Предметом теории телетрафика является количественная, сторона процессов обслуживания потоков сообщений в системах распределения информации.

1. Основные задачи теории телетрафика

Основная цель теории телетрафика заключается в разработке методов оценки качества функционирования систем распределения информации. В соответствии с этим на первом месте в теории телетрафика стоят задачи анализа, т.е. отыскание зависимостей и значений величин, характеризующих качество обслуживания, от характеристик и параметров входящего потока вызовов, схемы и дисциплины обслуживания. Эти задачи в начальный период развития телефонной техники были более актуальными, чем задачи синтеза, и решались, как правило, с помощью теории вероятностей.

Поэтому наиболее значительные результаты на сегодняшний день получены при решении задач анализа.

Развитие координатной и особенно квазиэлектронной и электронной коммутационной техники поставило перед теорией телетрафика сложные вероятностно-комбинаторные задачи синтеза, в которых требуется определить структурные параметры коммутационных систем при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания.

Близкими к задачам анализа и синтеза являются задачи оптимизации. Эти задачи при проектировании систем распределения информации формулируются следующим образом: определить такие значения структурных параметров коммутационной системы (алгоритмы функционирования), для которых:

1) при заданных потоках, качестве и дисциплине обслуживания стоимость или объем оборудования системы распределения информации минимальны и

2) при заданных потоках, дисциплине обслуживания и стоимости качественные показатели функционирования системы распределения информации оптимальны.

При эксплуатации систем распределения информации задача оптимизации формулируется как задача управления потоками вызовов или структурой системы для достижения наилучших показателей качества функционирования. Из-за больших вычислительных трудностей задачи оптимизации систем распределения информации начали ставиться и решаться в последние два десятилетия после появления быстродействующих ЭВМ.

2. Общие сведения о методах решения задач теории телетрафика

Основным математическим аппаратом теории телетрафика являются теория вероятностей, математическая статистика и комбинаторика.

Значительные результаты теории телетрафика получены благодаря сформулированному А.К. Эрлангом понятию статистического равновесия, вероятностный процесс находится в состоянии статистического равновесия, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. Понятие статистического равновесия не только стимулировало развитие теории телетрафика, но и способствовало практическому применению и дальнейшему развитию теории вероятностей.

Методы математической статистики применяются при оценке результатов наблюдений за параметрами потоков вызовов и показателями качества обслуживания в действующих системах распределения информации, а также при моделировании таких систем.

При анализе, синтезе и оптимизации структурно-сложных систем распределения информации кроме вероятностных методов используются комбинаторные и алгебраические методы, теория множеств, принципы системного подхода (системотехники). Основными методами решения задач в теории телетрафика являются аналитические, численные и метод статистического моделирования.

Аналитические методы позволяют решать задачи теории телетрафика в тех случаях, когда структура системы, характеристики потока и дисциплина обслуживания относительно просты. При этом рассматриваются все возможные состояния системы, определяемые положением каждой точки коммутации или другого элемента системы при наиболее подробном ее описании. Такие состояния называются микросостояниями системы. Каждый раз, когда поступает новый вызов, заканчивается какая-либо фаза работы управляющего устройства по установлению соединения или заканчивается соединение, система меняет свое микросостояние. Для каждого микросостояния записывается уравнение статистического равновесия. Решая систему таких уравнений, находят точное решение задачи в пределах принятой модели.

Для сложных систем число микросостояний так велико, что решить систему уравнений статистического равновесия не представляется возможным даже с помощью самых быстродействующих ЭВМ. Более перспективным является так называемый макроподход. В сложной системе с очень большим числом микросостояний имеется тот или иной признак, по которому микросостояния объединяются в классы-макросостояния. Путем усреднения определяются интенсивности переходов из одних макросостояний в другие. Для каждого макросостояния записывается уравнение статистического равновесия. В результате решения системы таких уравнений выводятся точные или приближенные формулы для вероятностей макросостояний. Чтобы представить трудности, связанные с использованием аналитических методов, достаточно указать, что число микросостояний неполнодоступного пучка из v линий оценивается как 2^х. Например, при х = 20 число состояний более 10⁶. Для решения задач такой размерности с помощью ЭВМ используются специальные алгоритмы, позволяющие находить приближенные решения итерационными или другими численными методами.

Наиболее универсальным методом, который пригоден для решения задач практически любой сложности, является метод статистического моделирования. Метод заключается в построении математической модели системы, реализация которой осуществляется в виде программы для ЭВМ. Моделирование позволяет получить численные результаты, характеризующие качество обслуживания при заданных параметрах потока, схемы и дисциплины обслуживания. Однако в силу специфики метода он менее удобен по сравнению с аналитическим и численным методами при определении скрытых закономерностей функционирования или зависимостей между отдельными характеристиками системы. Наиболее универсальный метод решения сложных задач - метод статистического моделирования. Во многих случаях разумное сочетание аналитических и численных методов с методом статистического моделирования позволяет детально проанализировать исследуемую систему.

При малых значениях параметров системы удается получить решение точными аналитическими методами и проанализировать предельные случаи при асимптотическом поведении характеристик изучаемой системы. Полученные сведения дополняются результатами статистического моделирования в области реальных значений параметров системы.

Оценивая результаты исследований систем распределения информации любыми математическими методами, следует помнить, что математика оперирует не с реальными системами, а с их математическими моделями. Так как математические модели всегда лишь приближенно описывают реальные системы, то никакие математические методы не могут заменить исследований, проводимых на реально функционирующих системах.

3. Потоки вызовов

3.1 Основные понятия

Потоком вызовов (в общем случае - событий) называется последовательность вызовов, поступающих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени. В теории массового обслуживания под потоком вызовов принято понимать не только последовательность вызовов, поступающих от группы абонентов или группы устройств телефонной сети, но и другие последовательности событий, например поток телеграмм, поток писем, поток неисправностей отдельных коммутационных устройств или телефонных сооружений в целом, поток информации, поступающей на ЭВМ, поток неисправностей в станках и т.п. Рассматриваемые в настоящей главе свойства, характеристики, закономерности потоков вызовов не ограничиваются узкими рамками изучения потоков телефонных вызовов, а имеют более широкую область применения.

Следует различать детерминированный и случайный потоки вызовов. Детерминированный поток вызовов с последовательность вызовов, в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Случайный поток вызовов отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поступления вызовов и промежутки времени между вызовами являются не строго фиксированными, а случайными величинами.

Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. Примерами их могут служить: поток сеансов связи с искусственными спутниками Земли, поток поступления деталей и выхода изделий ритмично работающего завода и т.п. Строго говоря, даже в таких потоках часто имеют место случайности. В связи с этим в теории телетрафика основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.

Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать прописными (большими) буквами, а их возможные значения с соответствующими строчными (малыми) буквами.

Поток вызовов может быть определен тремя эквивалентными способами: последовательностью вызывающих моментов t₁, t₂,…, t_n, последовательностью промежутков времени между вызывающими моментами z₁, z₂,…, z_n и последовательностью чисел k₁, k₂,…, k_n, определяющих количество вызовов, поступающих в течение заданных отрезков времени (t₀, t₁), (t₀, t₂),…, (t₀, t_n). При этом под вызывающим моментом понимается момент одновременного поступления одного, двух и более вызовов; для вызывающих моментов всегда, если t_i>t_i-1, то z_i>0, в то время как для момента поступления вызова t_i.?t_i-1 и z_i ?0.

Определение случайного потока вызовов связано с определением в вероятностном смысле либо последовательности вызывающих моментов, либо последовательности промежутков между вызывающими моментами, либо последовательности чисел вызовов, поступающих в течение отрезков времени (t₀, t₁), (t₀, t₂),…, (t₀, t_n).

Для задания случайных потоков вызовов, как и любых других случайных величин и процессов, используются функции распределения. Функцией распределения вероятностей некоторой случайной величины X называется функция

(1)

определяющая вероятность того, что Х<х, где х - определенная, заданная величина. С учетом изложенного, для задания случайного потока вызовов могут быть использованы следующие эквивалентные способы:

1) совместный закон распределения п случайных вызывающих моментов

. (2)

где T_i - i-й вызывающий момент; n может принимать любое значение;

2) совместный закон распределения n случайных промежутков времени между вызывающими моментами

. (3)

где Z_i - промежуток времени между (i - 1) - и i-м вызывающими моментами; n может принимать любое значение;

3) совместный закон распределения числа вызовов К на n отрезках времени (t₀, t₁), (t₀, t₂),…, (t₀, t_n):

, (4)

где n может принимать любое значение; .

Введем некоторые ограничения на рассматриваемые случайные потоки вызовов.

Потоки вызовов подразделяются на неоднородные и однородные. В неоднородном потоке вызовов каждый вызов имеет две и более характеристики. Например, вызовы, поступающие от абонентов телефонной сети, определяются моментами их поступления, направлениями установления соединений, длительностью их обслуживания и другими характеристиками.

Аналогично телеграммы, поступающие на телеграф, характеризуются моментами их поступления, направлениями их передачи, количеством слов в телеграмме и т.д.

Однородный поток вызовов характеризуется последовательностью, определяющей только закономерность поступления вызовов, т.е. последовательностью моментов поступления вызовов или промежутков времени между вызовами, либо иным способом задания потока вызовов.

На практике потоки вызовов, как правило, являются неоднородными. Несмотря на это, целесообразно отдельно от других характеристик потоков вызовов изучить последовательности моментов поступления вызовов. Поэтому в дальнейшем под потоком вызовов будем понимать однородный поток вызовов.

Ограничимся рассмотрением потоков, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число вызовов и математическое ожидание числа поступающих вызовов также является конечной величиной. Такие потоки называются финитными.

Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени (0, t), называется ведущей функцией потока. Обозначим эту функцию ?(0, t). Функция ?(0, t) - неотрицательная, неубывающая и в практических задачах принимает конечное значение.

Потоки с непрерывной ведущей функцией называются регулярными, а со ступенчатой - сингулярными. Вероятность поступления хотя бы одного вызова в определенный момент времени для регулярного потока равна нулю, а для сингулярного потока в моменты разрыва ведущей функции отлична от нуля. Нас интересуют только потоки вызовов с непрерывной ведущей функцией, т.е. регулярные потоки.

Таким образом, в дальнейшем рассматриваются случайные однородные финитные регулярные потоки.

3.2 Принципы классификации потоков вызовов

Потоки вызовов классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия.

Стационарность потока. Поток вызовов является стационарным, если при любом п совместный закон распределения числа вызовов за промежутки времени (t₀, t₁), (t0, t₂),…, (t₀, t_n)

. (5)

зависит только от длины промежутков времени и не зависит от момента t₀. Иными словами, независимо от того, где на оси времени расположен промежуток времени (t₀, t₁), вероятность поступления K(t₀, t_t) вызовов одна и та же. Это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным.

Интенсивности потоков вызовов на телефонных сетях резко колеблются в зависимости от времени суток: количество вызовов за единицу времени в определенные дневные и вечерние часы достигает максимальной величины, а в ночные часы уменьшается почти до нуля. Это значит, что вероятность поступления какого-либо числа вызовов в определенный промежуток времени зависит от местонахождения на оси времени этого промежутка и, следовательно, поток поступающих в течение суток вызовов от любой абонентской группы на телефонную станцию является нестационарным. Заметим, что внутри ограниченного отрезка суток, например часа, нестационарность телефонного потока вызовов малоощутима, что позволяет для практических задач полагать стационарным поток телефонных вызовов, поступающих от большой абонентской группы (100 и более абонентов) за небольшой отрезок суток, исчисляемый одним-тремя часами.

Ординарность потока. Обозначим через рk (t, t+ф) вероятность поступления k и более вызовов за промежуток (t, t+ф). Поток вызовов является ординарным, если при ф>0

, (6)

т.е. р₂(t, t+ф)=п(ф), где п(ф) - величина более высокого порядка малости по отношению к ф.

Ординарность потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более вызовов в любой момент времени t. Примером ординарного потока является поток вызовов, поступающий на телефонную станцию от абонентской группы любой емкости. Потоки телефонных вызовов к абонентам диспетчерской или конференц-связи, потоки телеграмм в несколько адресов являются неординарными.

Последействие потока. Поток вызовов является потоком без последействия, если вероятность поступления K(t₀, t_i) вызовов за промежутки (t₀, t_i), i=1, 2,…, n

. (7)

не зависит от вероятностного процесса поступления вызовов до момента t₀. Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость течения случайного потока вызовов после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.

Примером потока без последействия может служить поток телефонных вызовов, поступающих от большой группы источников. Действительно, лишь небольшая часть (10 - 20%) абонентской труппы одновременно участвует в телефонных соединениях. Поэтому вероятность поступления какого-либо числа вызовов от большой группы источников на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления вызовов до начала данного отрезка. Заметам, что эта вероятность, как и вероятность (7), может зависеть от момента t₀ начала этого отрезка времени. Так, различные значения принимает вероятность поступления некоторого числа телефонных вызовов за равные промежутки времени в различные часы суток в силу нестационарности потока телефонных вызовов в течение суток. Поток вызовов является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа вызовов за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка. Потоки вызовов от спаренных телефонных аппаратов, от малых абонентских групп, в направлениях коммутационной системы, не обеспечивающих удовлетворительного качества обслуживания абонентов телефонной связью, к интенсивно загруженным абонентам являются потоками с последействием.

3.3 Характеристики потоков вызовов

К основным характеристикам потока вызовов следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность.

Под параметром потока л(t) в момент времени t понимается предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова за время (t, t + ф) к длине этого отрезка времени ф при ф>0:

, (8)

т.е. параметр потока есть плотность вероятности наступления вызывающего момента в момент t. Исходя из (8), находим вероятность поступления одного и более вызовов за время (t, t + ф):

. (9)

Согласно определению стационарного потока, вероятность поступления определенного числа вызовов за некоторый промежуток времени одна и та же и не зависит от месторасположения на оси времени этого промежутка. Следовательно, и плотность вероятности поступления вызовов стационарного потока, т.е. его параметр л(t), есть величина постоянная, не зависящая от момента t, т.е. л(t)=л. Отсюда для стационарных потоков

. (10)

В отличие от ведущей функции потока Л (0, t), определяющей математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени (0, t), параметр потока л(t) характеризует не поток вызовов, а поток вызывающих моментов, и эта характеристика относится не ко всему отрезку (0, t), а лишь к фиксированному моменту t.

Интенсивностью стационарного потока µ называется математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени. Единица времени может быть выбрана произвольно, однако в теории телетрафика в качестве такой единицы большей частью принимают среднюю длительность одного занятия. Вследствие аддитивности математического ожидания для стационарного потока ведущая функция за промежуток времени (0, t) равна Л (0, t)=µt.

Для нестационарных потоков используются понятия средней и мгновенной интенсивностей. Средняя интенсивность потока на отрезке времени (t1, t2) есть

, (11)

а мгновенная интенсивность потока в момент t

, (12)

Согласно определению (12) мгновенная интенсивность потока представляет производную ведущей функции потока. Так же как и параметр потока л(t), мгновенная интенсивность потока µ(t) относится не к отрезку времени поступления вызовов, а только к моменту t. В то же время, в отличие от параметра потока, характеризующего поток вызывающих моментов, мгновенная интенсивность потока характеризует поток поступления вызовов.

Для любых потоков вызовов µ(t)?л(t), причем для ординарных потоков µ(t)=л(t). Для стационарных потоков интенсивность и параметр постоянны: µ(t)=µ, л(t)=л. Следовательно, для любых стационарных потоков µ?л, а для стационарных ординарных µ=л.

Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. С точки зрения последействия различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием.

Начнем рассмотрение этих классов с потоков без последействия. К этому классу относятся: стационарный ординарный поток, называемый простейшим (его также называют стационарным пуассоновским), нестационарный ординарный поток, называемый нестационарным пуассоновским, и стационарный неординарный поток, называемый неординарным пуассоновским.

3.4 Простейший поток вызовов

Определение. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия. Простейший поток вызовов является наиболее распространенной моделью реального потока вызовов, применяемой в системах массового обслуживания, в том числе в теории телетрафика. Действительно, как отмечалось при рассмотрении принципов классификации потоков вызовов, поток телефонных вызовов от большой группы абонентов характеризуется отсутствием последействия. Его можно считать ординарным, а при ограничении исследуемого промежутка времени 1-3 ч и стационарным. Аналогичные случайные потоки событий характерны для многих отраслей народного хозяйства.

Математическая модель простейшего потока. Определим вероятности поступления точно k (k=0, 1, 2,…) вызовов на отрезке времени (t₀, t₀+t): pk(t₀, t₀+t). Исследования будем проводить на отрезке времени (t₀, t₀+t+ф), который можно представить состоящим из двух примыкающих друг к другу отрезков: (t₀, t₀+t+ф)=(t₀,+t₀+t)+(t, t+ф).

Для того чтобы в течение отрезка (t₀, t₀+t+ф) поступило точно k вызовов, необходимо, чтобы за первый промежуток времени (t₀, t₀+t) поступило k, или k-1,…, или k-i,…, или 0 вызовов и соответственно за второй промежуток 0, или 1,…, или i,…, или k вызовов.

Введем обозначения: p_k(t₀, t₀+t+ф) с вероятность поступления точно k вызовов за отрезок времени (t₀, t₀+t+ф); p_k-i(t₀, t₀+t) - вероятность поступления точно k-i вызовов за первый отрезок времени (t₀, t₀+t); p_i(t, t+ф) - вероятность поступления точно i вызовов за второй отрезок времени (t, t+ф). Согласно определению простейший поток является стационарным.

Из этого следует, что вероятности поступления того или иного числа вызовов за отрезки времени (t₀, t₀+t+ф), (t₀, t₀+t), (t, t+ф) не зависят от моментов начала отсчета времени, а зависят только от длины отрезков времени. Поэтому упростим обозначения как отрезков времени, так и вероятностей: (t₀, t₀+t+ф) будем обозначать (t+ф); (t₀, t₀ + t) с (t); (t, t+ф) с (ф) и соответственно p_k(t₀, t₀+t+ф) - p_k(t+ф); p_k-i(t₀, t₀+t) - p_k-i(t); p_i(t, t+ф) - p_i(ф).

Простейший поток является потоком без последействия. Поэтому независимыми являются события, заключающиеся в поступлении какого-либо числа вызовов за первый и второй промежутки времени, и вероятность поступления точно k вызовов за время (t+ф) для каждой реализации i=0, 1,…, k составляет pk (t+ф) i=pk-i(t) pi(ф), i=0, 1,…, k. Поскольку реализации с i=0, 1,…, k представляют несовместимые события, то согласно формуле полной вероятности имеем

. (13)

Выражение (13) представляет собой систему, состоящую из бесконечного числа уравнений. Устремим отрезок времени ф к нулю. Вследствие ординарности простейшего потока р2 (t, t+ф)=o(t), ф>0. Тем более вероятности поступления точно 2, 3,… вызовов с p₂(ф), p₃(ф),… - есть бесконечно малые более высокого порядка по отношению к ф. Следовательно, в системе ур-ний (13) вероятности p_i имеют конечные значения только при i, равном 0 и 1.

На основании этого (13) преобразуются к виду

. (14)

Определяем вероятности p₁(ф) и p₀(ф):

.

С учетом (10) и (6)

(15)

(р₀(ф) - вероятность поступления 0 и более вызовов, т.е. вероятность достоверного события, она равна 1).

Подставим в систему ур-ний (14) полученные значения вероятностей p₁(ф) и p₀(ф).

Затем, перенеся в левую часть уравнений p_k(t), поделим левые и правые части уравнений на ф.

Переходя к пределу, получим

. (16)

Решив систему дифференциальных ур-ний (16), получим формулу Пуассона

. (17)

Таким образом, вероятность поступления точно k вызовов простейшего потока за отрезок времени t определяется формулой Пуассона. По этой причине простейший поток также называют стационарным пуассоновским потоком.

3.5 Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки

Нестационарный пуассоновский поток (который также называется потоком с переменным параметром или нестационарным простейшим потоком) есть ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр л(t), зависящий от момента t. По аналогии с простейшим потоком в качестве математической модели нестационарного пуассоновского потока выбирается вероятность pk(t₀, t) поступления точно k вызовов за заданный промежуток времени (t₀, t). В силу нестационарности потока эта вероятность зависит не только от длины промежутка времени (t₀, t), но и от начального момента t₀:

. (18)

Заметим, что для стационарного потока , и формула (18) преобразуется к (17).

Для неординарного пуассоновского потока, т.е. для стационарного неординарного потока без последействия, следует различать поток вызывающих моментов и поток вызовов. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятностью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени t. Эта вероятность p_i(t) определяется формулой Пуассона (17).

В каждый вызывающий момент поступает l (1?l?r) вызовов. Величина l, называемая характеристикой неординарности потока, может быть постоянной и переменной. Если l является постоянной величиной, то с вероятностью p_i(t) суммарное число вызовов, поступающих за отрезок времени t, составляет k=li.

Для неординарного пуассоновского потока с переменной величиной l, в котором в каждый вызывающий момент с вероятностью щl поступает l вызовов , также получена формула, определяющая вероятность p_k(t) поступления точно k вызовов за промежуток времени t. Ввиду громоздкости эта формула не приводится. Параметр такого потока для каждого значения l равен лщ_l. Отсюда общий параметр потока такой же, как и для потока вызывающих моментов, т.е. для простейшего потока. Интенсивность µ неординарного пуассоновского потока, как и любого стационарного неординарного потока, больше его параметра л. Действительно, .

3.6 Потоки с простым последействием

Основной характеристикой потока с простым последействием является зависимость параметра потока от состояния коммутационной системы в любой момент времени t.

Коммутационная система имеет множество состояний s, которые различаются числом занятых входов, выходов и соединительных путей между входами и выходами коммутационной системы, номерами занятых входов и выходов, номерами соединительных путей между входом и выходом, числом занятых или свободных источников вызовов и т.д.

Так как коммутационная система всегда имеет конечное число входов, выходов, соединительных путей, то конечным является и число возможных состояний системы обслуживания (хотя оно может быть и очень велико). Такие состояния коммутационной системы будем называть микросостояниями. Состояния коммутационной системы, различающиеся только числом занятых входов (или выходов), называются макросостояниями.

Исследования процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов следует производить с учетом микросостояний системы в тех случаях, когда структура рассматриваемой коммутационной системы такова, что вероятность ее состояния в любой произвольный момент времени t зависит как от числа занятых входов (или выходов), так и от того, какие именно входы (или выходы) заняты и по каким соединительным путям осуществляются соединения между каждым входом и выходом. Если же структура рассматриваемой коммутационной системы такова, что вероятности ее состояний в любой произвольный момент t зависят только от числа занятых входов (или выходов), то исследования процесса обслуживания коммутационной системой поступающих вызовов можно производить только с учетом макросостояний системы.

Под параметром потока в состоянии s(t) будем понимать предел

, (19)

где р₁(t, t+ф/s(t)) - вероятность поступления за промежуток (t, t+ф) одного и более вызовов, если в момент t коммутационная система находится в состоянии s(t). Это определение позволяет сформулировать понятие потока с простым последействием. Под потоком с простым последействием понимается ординарный поток, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в состоянии s(t) (19), зависящий только от состояния s(t) коммутационной системы в момент t и не зависящий от процесса обслуживания вызовов до момента t.

(Параметр потока с простым последействием в любой момент времени t зависит от состояния системы в этот момент времени, а состояние системы s(t), в свою очередь, зависит от процесса, поступления и обслуживания вызовов до момента t. Такое последействие принято называть простым, поскольку для определения; параметра потока в момент t достаточно ограничиться знанием; состояния системы s(t) в этот момент. Поток с простым последействием является нестационарным, так как его параметр зависит от момента t. Заметим, что эта зависимость проявляется через состояние s(t). Для каждого конкретного состояния параметр; потока с простым последействием является постоянной величиной.

Понятие потока с простым последействием является одним из самых общих в теории потоков. Практически любой поток вызовов можно считать потоком с простым последействием, поскольку коммутационная система всегда влияет на процесс поступления вызовов. К частным случаям потока с простым последействием относятся симметричный поток, примитивный поток и поток с повторными вызовами.

3.7 Симметричный и примитивный потоки

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого лs(t) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние s(t) коммутационной системы. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых вызовов может быть подчинена любому закону. Поэтому в любом состоянии s(t) с i обслуживаемыми вызовами параметр симметричного потока один и тот же, он зависит только от i, т.е. лs(t)=лi.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого лi прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

, (20)

где n - общее число источников вызовов; i - число занятых источников; б - параметр потока источника в свободном состоянии (при этом имеет место естественное предположение - занятый источник не может производить вызовы). В модели примитивного потока параметр б источника в свободном состоянии является постоянной величиной, а параметр примитивного потока лi убывает с увеличением числа занятых источников i. Математическое ожидание параметра примитивного потока л определяется по формуле , где p_i - вероятность того, что в системе занято i источников. Заметим, что в обслуживающей примитивный поток коммутационной системе не требуется соединительных устройств более n, так как занятый источник не может производить вызовы.

Можно показать, что функция распределения вероятностей длительности свободного состояния источника (промежутка времени между моментом окончания одного занятия и моментом поступления от источника нового вызова)

, (21)

Таким образом, промежуток времени между моментами окончания одного занятия и поступления от источника нового вызова распределен по показательному закону. Следовательно, поток вызовов от свободного источника является простейшим.

Поток с простым последействием является более общим по сравнению с простейшим потоком вызовов. Простейший поток можно представить частным случаем потока с простым последействием, в том числе симметричного и примитивного потоков. С увеличением числа источников п и уменьшением параметра б последействие потока уменьшается. В предельном случае при n>? и б>0 так, что nб есть конечная величина и i принимает ограниченные значения, параметр потока л=nб не зависит от состояния системы, т.е. модель примитивного потока переходит в модель простейшего потока вызовов.

3.8 Поток с повторными вызовами

Система, на которую поступает поток вызовов, обслуживает не все поступающие вызовы. Часть из них не обслуживается (теряется) по ряду причин. Так, например, на телефонных сетях часть вызовов не обслуживается по причине занятости или неответа вызываемого абонента, ошибок вызывающего абонента в процессе набора номера, занятости всех соединительных устройств, способных обслужить поступивший вызов, неустановления соединения коммутационной системой по техническим причинам. Все или часть источников необслуженных вызовов осуществляют повторные вызовы.

Поток с повторными вызовами состоит из первичных и повторных вызовов. Поскольку параметр потока повторных вызовов зависит от состояния коммутационной системы, то и поток с повторными вызовами относится к классу потоков с простым последействием.

Параметр потока повторных вызовов можно определить как произведение числа источников повторных вызовов j на параметр одного источника в. В качестве модели потока первичных вызовов принимается простейший с параметром л или примитивный с параметром лi поток. Параметр суммарного потока равен сумме параметров потоков первичных и повторных вызовов. Для простейшего и примитивного потоков он соответственно составляет

; . (22)

3.9 Поток с ограниченным последействием. Поток Пальма

Под потоком с ограниченным последействием понимается поток вызовов, у которого последовательность промежутков времени между вызовами z₁, z₂,… представляет последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток вызовов описывается последовательностью функций распределения промежутков между вызовами:

(23)

Как следует из приведенного определения потока с ограниченным последействием, свойство ограниченности последействия заключается в независимости промежутков между вызовами. Введенное ранее понятие «отсутствие последействия» потока заключается в независимости количества вызовов, поступающих в непересекающиеся отрезки времени. Таким образом, свойства «ограниченность последействия» и «отсутствие последействия» являются различными характеристиками потока.

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток, который характеризуется одинаково распределенными промежутками времени между вызовами:

. (24)

Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррентный поток с запаздыванием с поток с ограниченным последействием, для которого

. (25)

Стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма. Для потока Пальма, как и для любого другого стационарного ординарного потока, µ=л=1/M(Z). Распределение промежутков времени между вызовами для потока Пальма задается следующими соотношениями:

; (26)

где щ₀(z) - вероятность отсутствия вызовов на промежутке времени длиной z. Весьма важной является следующая теорема Пальма (доказательство этой теоремы не приводится): если на коммутационную систему с потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступают вызовы, образующие поток Пальма, то поток необслуженных вызовов является также потоком Пальма. В частности, если поток поступающих вызовов будет простейшим, то поток потерянных вызовов будет потоком Пальма.

Это справедливо и для потоков, теряемых каждой линией полнодоступного пучка, работающего в режиме упорядоченного искания: если на первую линию пучка поступает поток Пальма или простейший поток вызовов, то поток потерянных вызовов любым количеством первых линий пучка будет потоком Пальма.

Простейший поток является частным случаем потока Пальма, у которого все промежутки времени между вызовами, включая первый, распределены по показательному закону. При вероятности щ соотношения (26) преобразуются к соотношению

(27)

Рекуррентный поток без запаздывания является ординарным потоком. Рекуррентные потоки с запаздыванием могут быть и неординарными. Доказано, что стационарный рекуррентный поток, является простейшим.

телетрафик поток вызов эрланг

3.10 Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Пусть имеется поток вызовов, для которого t₁, t₂,… есть моменты поступления вызовов. Выберем из этого потока часть вызовов, применив следующую операцию: вызов, поступающий в момент t_k (k=1, 2,…), с вероятностью с остается в новом потоке и с вероятностью (1сс) теряется. Новый поток вызовов называется просеянным. Таким образом, просеянный поток образуется из заданного потока, в котором случайное число вызовов теряется, следующий вызов остается (просеивается), затем снова случайное число вызовов, имеющее тот же закон распределения, теряется, следующий вызов заданного потока остается и т.д. Операция, с помощью которой получен просеянный поток, называется рекуррентной операцией просеивания. Поток, получаемый из рекуррентного потока с помощью рекуррентной операции просеивания, также является рекуррентным.

Если основной поток - простейший с параметром л и каждый вызов этого потока просеивается с вероятностью р и теряется с вероятностью (1-с), то просеянный поток будет также простейшим с параметром лс. Из этого следует весьма важный для практики вывод: если поступающий на коммутационную систему простейший поток с параметром л разделяется на h направлений и вероятность того, что вызов входящего потока поступает на i-е направление (i=1,2,…, h), равна с_i, то поток i-го направления является также простейшим с параметром лс_i.

Используем отличную от рекуррентной операцию просеивания, при которой точно m вызовов потока теряются, (m+1) - й вызов просеивается, затем снова точно m вызовов теряются и (m+1) - й просеивается и т.д. В результате такой операции просеивания простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга m-го порядка. Если в простейшем потоке сохранить (просеять) каждый третий вызов, то образуется поток Эрланга 2-го порядка, каждый второй вызов - поток Эрланга 1-го порядка. Естественно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют собой сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррентными. Математическое ожидание M(Z_m), дисперсия D(Z_m) и среднеквадратическое отклонение у(Z_m) промежутка времени между вызовами в потоке Эрланга m-го порядка равны соответственно

; ; . (28)

Параметр этого потока

(29)

Из (28) и (29) следует, что с увеличением порядка потока Эрланга увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между вызовами и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эрланга m-го порядка при разных т создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (m=0) до детерминированного (m=?).

Размещено на Allbest.ru