Створення і використання електронного підручника

1. Нехай . Зрозуміло, що ряд

, .

Тоді, якщо

, (10)

то ряд (1) - збіжний. З (10)маємо,

.

Тобто це означає, що існує таке число (замість можна взяти ), що

. (11)

Очевидно, що із (11) випливає (10). Отже, виконання нерівності (11) гарантує виконання нерівності (10), що дозволяє стверджувати збіжність ряду (1). Якщо ж для

, , (12)

то ряд (1) розбіжний. Отже, ми зараз одержали наступне важливе твердження.

Теорема 6 (Ознака Даламбера)

Нехай ряд (1) - знакододатній, тоді:

1) якщо існує число , () таке, що виконується нерівність , то ряд (1) - збіжний;

2) якщо виконується нерівність , то ряд (1) - розбіжний.

Наслідок 1 Нехай ряд (1) - знакододатній і існує , тоді :

1) якщо , то ряд (1) - збіжний;

2) якщо , то ряд (1) - розбіжний;

3) якщо , то інформації про збіжність чи розбіжність ряду дана ознака не дає.

На кінець ознаку Даламбера можна сформулювати ще й в такій формі

Наслідок 2 (Ознака Даламбера в термінах верхньої і нижньої границі).

Нехай (1) - знакододатній ряд. Тоді, якщо:

1) , то ряд (1) - збіжний;

2) , то ряд (1) - розбіжний;

3) , то відповіді про збіжність чи розбіжність ряду дана ознака не дає.

Зауважимо, що доведення обох цих наслідків легко одержується із теореми6, і ми пропонуємо читачу розібратись з цим самостійно.

2. Розглянемо , як ми знаємо .

Далі, якщо , (*)

то , або позначивши через , будемо мати, (**)

Очевидно, що із (*) випливає (**), а із (**) випливатиме (*). Співвідношення (**) напишемо дещо по-іншому, . (**')

Зрозуміло, що із (**') випливає (*), а значить із (*) за ознакою Кумера маємо наступне:

Якщо для ряду і таке, що , то ряд буде збіжним.

Нехай таке, що , тоді матимемо: . Отже, якщо , то ряд є розбіжним. Таким чином, ми одержали наступну ознаку.

Теорема 7 (Ознака Раабе)

Якщо існує і існує , то знакододатній ряд є збіжним. Якщо ж , , то цей ряд є розбіжним.

З'ясуємо який вигляд матиме ознака Раабе у граничній формі. Міркуючи аналогічно до попереднього, очевидно отримаємо наступний

Наслідок 1 (Ознака Раабе).

Якщо існує , тоді, якщо , то ряд - збіжний, якщо , то ряд - розбіжний, якщо , то проблему збіжності ряду ця ознака не вирішує.

Нехай спочатку і . З означення границі для даного існує . Звідси . А це за теоремою7 означає збіжність ряду . Якщо , то і за означенням границі маємо, , . А це знову за теоремою7 означає, вже тепер розбіжність ряду .

Наслідок 2. (Ознака Раабе).

Нехай (1) - знакододатній ряд, тоді, якщо:

1) , то ряд (1) - розбіжний;

2) , то ряд (1) - збіжний;

3) , то відповіді про збіжність чи розбіжність ряду дана ознака не дає.

Порівняємо силу ознак Раабе і Даламбера. Будемо використовувати їх перші граничні форми. Якщо для ряду (1) ознака Даламбера дає позитивну відповідь на проблему збіжності, то . Тоді , і ми одержали збіжність ряду (1) і за ознакою Раабе. Отже, якщо збіжність ряду встановлена за ознакою Даламбера, то і ознака Раабе теж підтверджує його збіжність. Аналогічно і для розбіжності ряду. Розглянемо ряд , який є узагальненим гармонійним рядом. Застосуємо до нього ознаку Раабе, оскільки ознака Даламбера тут не підходить (): , згідно цієї ознаки, маємо, якщо , то ряд збіжний, а якщо - розбіжний. Цей приклад показує, що ознака Раабе є сильнішою від ознаки Даламбера.

Перед тим, як розглядати ще один випадок ознаки Куммера подивимось на ознаку, яка хоча і немає великого спектру застосування, проте в окремих випадках ефективна і пов'язує ряди з невласними інтегралами.

Інтегральна ознака Коші. Нехай функція задана на проміжку , така, що:

1) , ;

2) - монотонно спадна на .

Тоді невласний інтеграл і ряд - одночасно збіжні, або розбіжні.

Візьмемо , з умови 2) випливає, що . Спочатку проінтегруємо цю нерівність, а потім просумуємо від 1 до k . Матимемо:

, ;

, або

, , (1)

де - -та часткова сума ряду .

Припустимо, що невласний інтеграл є збіжним. Це означає, що послідовність {} теж збіжна, а отже, обмежена; тобто . Звідси із (1) випливає, що {} є обмеженою, а оскільки, вона ще і монотонно неспадна, то збіжна. Це , в свою чергу, означає, що ряд - збіжний.

Нехай, тепер збіжним є ряд , тоді послідовність {} теж збіжна, а отже, обмежена. Тому, . Звідси і з нерівності (1) маємо, що

, . (2)

Оскільки, послідовність інтегралів {} монотонно неспадна (бо , ), то з (2) випливає, що

. (3)

Візьмемо далі , тоді, очевидно що . З цієї умови і того, що на випливає . А згідно умови (3) отримуємо, що невласний інтеграл - збіжний (тут ми скористалися відомою теоремою про „два міліціонери”). Випадок розбіжності розглядається аналогічно.

Застосуємо на прикладі щойно доведену ознаку. Візьмемо ряд

,

1) , ;

2) монотонно спадна, бо на цьому проміжку монотонно зростаюча.

Візьмемо , а отже, ряд - розбіжний.

Повернемося знову до ознаки Куммера і покладемо, що в ній , і позначимо через . Тоді для матимемо, що

Оскільки, другий доданок правої частини рівності прямує до одиниці при , то якщо ,, то ряд є збіжним. Якщо ж , то ряд - розбіжний.

Таким чином, ми з ознаки Куммера одержали ще одну ознаку.

Теорема 9 (Ознака Бертрана). Якщо для знакододатнього ряду то цей ряд збіжний, якщо ж , то ряд розбіжний.

Наслідок 1.(Ознака Бертрана у граничній формі). Якщо , то при - ряд збіжний, при - розбіжний, при - відповіді про збіжність чи розбіжність дана ознака не дає.

Ознака Бертрана не є слабкішою за ознаку Раабе, а існують приклади, які показують, що вона є сильнішою. Пропонуємо читачу знайти такі приклади.

Зрозуміло, що як і в попередніх випадках можна одержати і

Наслідок.(Ознака Бертрана в термінах верхньої і нижньої границь). Якщо , то цей ряд розбіжний, якщо , то ряд збіжний, а якщо , то дана ознака відповіді на питання збіжності не дає.

Розглянемо, на кінець ще одну ознаку, яка не одержується, як попередні, із ознаки Куммера.

Теорема10 (Ознака Коші (радикальна)). Нехай - знакододатній ряд. Якщо

, (*)

то цей ряд збіжним, якщо ж , то наш ряд - розбіжний.

Позначимо , де - з умови теореми, тоді з (*) матимемо, що , , але ж ряд є збіжною геометричною прогресією, а тому із останньої нерівності випливає збіжність ряду за ознакою порівняння. Що стосується другої частини ознаки Коші, то з її умови випливає, що існує безліч членів ряду які більші або рівні одиниці, тому загальний член ряду не прямує до нуля і ряд розбіжний.

Наслідок 1 (Ознака Коші (радикальна) в граничній формі). Нехай - знакододатній ряд, причому, . Тоді, якщо:

- ряд збіжний,

- ряд розбіжний,

- відповіді ознака не дає.

Дуже часто трапляються випадки, коли у сформульованій вище ознаці границі не існує, тоді використовують іншу форму цього твердження.

Наслідок2 (Ознака Коші (радикальна) в термінах верхньої і нижньої границь). Нехай - знакододатній ряд, причому, . Тоді, якщо,

- ряд збіжний,

- ряд розбіжний,

- відповіді дана ознака не дає.

3.3 Абсолютно та умовно збіжні ряди

Означення. Ряд

(1)

називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є ряд

. (2)

Якщо ряд (1) є збіжним, а ряд (2) - розбіжний, то ряд (1) називається умовно збіжним.

Очевидно, що множина абсолютно збіжних рядів є непорожньою (їй належать всі збіжні знакододатні ряди). Множина умовно збіжних рядів теж є непорожньою. Їй, наприклад, належить такий ряд: .

З'ясуємо чи може абсолютно збіжний ряд бути розбіжним?

Теорема 1. Із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Із збіжності ряду (2) за критерієм Коші матимемо, що . Звідси із нерівності , зразу за тим же критерієм одержуємо потрібний нам результат.

Тільки що доведена теорема дозволяє, в окремих випадках зводити проблему збіжності довільних рядів до проблеми збіжності знакододатніх рядів. Нашою найближчою метою є вивчення деяких властивостей абсолютно та умовно збіжних рядів. Розпочнемо з такої властивості.

Теорема 2.(Ріман). Якщо ряд (1) умовно збіжний ряд, то для члени ряду (1) можна переставити місцями так, що утворений ряд матиме суму що дорівнює (причому може бути і чи ).

Нехай - послідовність часткових сум ряду (1) і . Нехай - всі невід'ємні члени ряду (1) взяті в порядку зустрічі з ними в цьому ряді, - модулі від'ємних членів ряду (1), теж взяті в такому ж порядку. Розглянемо ряди

,

.

Нехай і - послідовності часткових сум рядів () і (). Візьмемо , де і - кількість відповідно додатніх і від'ємних членів ряду (1), які ввійшли в , зрозуміло, що . Якщо - - та часткова сума ряду , то . Звідси одержуємо,

, (3)

. (4)

З того, що , а , з (3) і (4) випливає, що ряди () і () - розбіжні. Позначимо через , таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і , тобто - найменше натуральне число таке, щоб сума вперше перевищила . Аналогічно через , позначимо таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і .

Через , таке натуральне число, щоб виконувались нерівності, і . Продовжуючи цей процес і так далі, ми отримаємо ряд, членами якого є члени ряду (1). Часткові суми цього ряду позначатимемо через . З'ясуємо, яку суму має цей ряд. Для матимемо , аналогічно можна одержати, що . Оскільки, при збільшені прямує до , а - це члени збіжного ряду (1), то з необхідної умови збіжності ряду і останньої нерівності отримуємо, що часткова сума ряду прямує до . Аналогічно переконуємося, що і часткова сума ряду , теж прямує до . Ми показали, що дві підпослідовності послідовності часткових сум утвореного ряду прямують до . Якщо ж взяти , то як випливає із побудови, буде лежати між двома частковими сумами із вказаних вище двох підпослідовностей. А , отже, за теоремою „про два міліціонери”, теж прямуватиме до .Таким чином, ми так преставили члени ряду (1), що утворений ряд збігається до числа .

Випадок коли розглядається аналогічно.

Покажемо як можна одержати перестановку, яка буде розбіжним рядом. Для цього візьмемо два будь-які числа і ,, і позначимо через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність , через , таке найменше натуральне число, щоб виконувалась нерівність . Продовжуючи цей процес і так далі ми одержимо ряд із членів ряду (1), такий , що із послідовності його часткових сум, ми виділимо дві підпослідовності: всі члени першої підпослідовності будуть меншими від , другої більшими від . Отже, послідовність часткових сум нашої перестановки має по принаймі дві часткові границі, а цього досить, щоб ця перестановка утворювала розбіжний ряд.

В зв'язку зі щойно розв'язаною проблемою виникає питання, чи не буде мати місце аналогічне твердження для абсолютно збіжного ряду. Негативну відповідь на це питання дає наступна

Теорема 3 (Про перестановку членів абсолютно збіжного ряду). Якщо ряд (1) абсолютно збіжний ряд, то будь-який ряд, одержаний з нього шляхом перестановки його членів збіжний, теж абсолютно і до тієї ж суми.

З умови теореми маємо, що .Нехай

(5) - деяка перестановка ряду (1). Нам потрібно довести:

1) ряд (5) - збіжний до числа , яке є сумою ряду (1);

2) ряд (5) - збіжний абсолютно.

Із збіжності рядів (1) і (2) маємо, що справедливі такі нерівності:

(6)

(7)

Позначимо через таке натуральне число, щоб у часткову суму ряду (5) ввійшли всі члени ряду (1) від номера 1 до . Тоді вони ввійдуть і в для . Розглянемо далі різницю ()

( тут якесь натуральне число), а це означає, що і перша частина теореми доведена. Щодо другої частини, то вона одразу випливає з першої. Справді, розглянемо ряд , причому оскільки члени цього ряду невід'ємні числа, то він збіжний абсолютно. Тоді, за щойно доведеним і ряд - теж збіжний, а отже, ряд (3) є абсолютно збіжним.

3.4 Ознаки збіжності знакозмінних рядів

Знакозмінним називається ряд у якому існує безліч як додатніх, так і від'ємних членів. Можна при дослідженні на збіжність таких рядів використовувати наступну процедуру:

1) перейти від цього ряду до ряду з модулів;

2) з допомогою якоїсь ознаки збіжності знакододатніх рядів дослідити його на збіжність;

3) якщо він виявиться збіжним, то за відомою теоремою і вихідний ряд теж буде збіжним;

4) якщо ж ряд з модулів виявиться розбіжним, то ми поки що не маємо ніяких ознак, крім означення і критерію Коші, тому є потреба їх отримати.

В цьому параграфі ми якраз і дамо деякі ознаки збіжності таких рядів. Для доведення потрібних нам теорем, і не лише для цього, нам буде потрібне наступне твердження.

Теорема 1. (Перетворення Абеля). Нехай маємо і дві послідовності дійсних чисел, і та . Тоді справедлива така рівність

.

Розглянемо



А далі все зрозуміло.

Тепер вже ми можемо сформулювати і довести згадані вище ознаки.

Теорема 2. (Перша ознака Абеля-Діріхле).

Нехай нам дано ряд

(1)

Якщо:

1) послідовність () - обмежена;

2) - монотонно прямує до нуля,

то ряд (1) - збіжний.

Нехай для конкретності - монотонно зростаюча послідовність, тоді оскільки, послідовність - обмежена, то . З умови 2) випливає, що

(2)

Звідси, застосувавши перетворення Абеля одержуємо і :

,

а це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).

Теорема 3. (Друга ознака Абеля-Діріхле). Нехай ми знову маємо ряд (1). Якщо:

1) послідовність () - збіжна;

2) - монотонна і обмежена послідовність,

то ряд (1) - збіжний.

Із перетворення Абеля матимемо, що

.

Зрозуміло, що оскільки і збіжні, нехай до чисел і , то два останні доданки правої частини останньої рівності прямуватимуть кожен до , тому цю рівність можна переписати так

(3)

Оскільки - збіжна, то вона обмежена, отже,

. (4)

З того, що останні два доданки справа в (3) при прямують до нуля, матимемо:

, (5)

. (6)

Оскільки, - збіжна, то за критерієм Коші матимемо, що для вказаного вище , (не зменшуючи загальності його можна вважати тим самим що і в (5) і в (6)):

. (7)

Оцінимо модуль лівої частини рівності (3), для . Одержимо

.

А це за критерієм Коші означає збіжність ряду (1).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд . Покладемо , . Тоді .Оскільки, відомо, що

,

то , . А отже, оскільки і - монотонна спадна послідовність, то за першою ознакою Абеля-Діріхле наш ряд є збіжним.

Розглянемо далі один частковий випадок знакозмінних рядів - це, так званні, знакопочережні ряди. Нехай , тоді ряд

 (8)

називається знакопочережним рядом.

Ряд (8) називається рядом Лейбніца, якщо:

1)

2) .

Зрозуміло, що за першою ознакою Абеля-Діріхле справедливе таке твердження.

Теорема 4 (Лейбніц). Ряд Лейбніца - збіжний..

Ряд є рядом Лейбніца, тому він збіжний. Виявляється, що для ряду Лейбніца справедливе наступне.

Зрозуміло, що (парні часткові суми ряду Лейбніца) є монотонно неспадною послідовністю. Справді

.

Оскільки ця послідовність має своєю границею число , що є сумою ряду Лейбніца, то з того, що вона монотонно неспадна зразу одержуємо

,. (9)

Розглянемо тепер послідовність

.

Звідси видно, що послідовність - монотонно не зростаюча, і оскільки, вона ще й збіжна до тієї ж границі , то

,. (10)

З (9) і(10) маємо, що , звідси

. (11)

Так само одержимо

. (12)

З (11) і (12) ми маємо, що справедлива нерівність

. (13)

З неї зокрема випливає, що похибка від заміни суми ряду Лейбніца його -тою частковою сумою не перевищує модуля -го члена цього ряду. Отже, щоб знайти суму ряду Лейбніца з певною точністю , слід знайти найменше при якому виконується нерівність . Якщо це буде, наприклад, , то і буде давати наближене значення суми ряду Лейбніца з точністю .

3.5 Множення рядів

Вище ми згадували про додавання та множення на константу рядів, а як же перемножити між собою два ряди? Чи завжди добуток двох збіжних рядів буде збіжним рядом? В цьому розділі ми дамо відповіді на ці запитання.

Розглянемо поняття добутку двох рядів за Коші.

Означення (Коші). Під добутком рядів

, (1)

(2)

за Коші, розуміють такий ряд , де

. (3)

Виявляється, що якщо ряди (1) і (2) - збіжні, то цього мало для збіжності ряду (3) (добутку їх за Коші).

Приклад. Нехай ми маємо два ряди

і ,

утворимо добуток цих рядів

Взявши по модулю ми побачимо, що кожен доданок в дужках більший або рівний за , то врахувавши, що кількість доданків , матимемо, що і не прямує до нуля, а отже, ряд - розбіжний. Таким чином, ми встановили, що добуток двох збіжних рядів не зобов'язаний бути збіжним рядом.

Зауважимо, що обидва співмножники є умовно збіжними рядами. Можливо, негативний результат одержався саме з цієї причини? Відповідь на цю проблему дає наступне твердження.

Теорема. (Мертенс). Нехай ряд (1) абсолютно збіжний, а ряд (2) - збіжний. Тоді ряд (3) - збіжний до числа , де і - суми рядів відповідно (1) і (2).

Нехай , , - часткові суми відповідно рядів (1), (2), (3). Розглянемо

(4)

Оскільки ряд (2) - збіжний до суми , то , а отже, , де при . Звідси і з (4) маємо, що

.

Для доведення цієї теореми достатньо показати, що

. (5)

З абсолютної збіжності ряду (1) маємо, що

, (6)

де - це число, що визначається з того, що нескінченно мала послідовність . - обмежена, і . (7)

Оцінимо тепер ,

. І

з збіжності ряду , випливає, що його сума дорівнює деякому числу , тоді

, . (8)

Оскільки , то для вказаного в (6) знайдеться

. (9)

Повертаючись до оцінки візьмемо , тоді на основі (9) та (8) матимемо, що , а це і означає, що ряд (3) - збіжний.

Зауважимо, що в теремі Мертенса умова абсолютної збіжності одного з рядів не може бути знятою.

3.6 Функціональні послідовності та ряди. Збіжність, рівномірна збіжність функціональних рядів і послідовностей

Послідовність членами якої є функції , кожна з яких визначена на множині , називається функціональною послідовністю визначеною на .Аналогічно, , де функції, кожна з яких визначена на , називається функціональним рядом визначеним на . Як і для числових рядів і послідовностей, так і для функціональних, між ними існує зв'язок, який дозволяє отримані результати для одного з об'єктів перекидати на інший.

Візьмемо точку з множини . Підставимо цю точку в ряд , одержимо числовий ряд , який може бути або збіжним, або розбіжним. Якщо цей числовий ряд буде збіжним, то точку називають точкою збіжності цього ряду. Множина всіх таких точок множини називається областю збіжності функціонального ряду. Якщо її позначимо через , то зрозуміло, що . Сумою функціонального ряду на області збіжності буде деяка функція задана на цій множині. Очевидно, що область збіжності функціонального ряду можна шукати використовуючи ознаки збіжності числових рядів.

Приклад. Розглянемо послідовність , де на задається так,

Зрозуміло, що послідовність збіжна при до функції

Цей приклад показує, що границя послідовності неперервних функцій не зобов'язана бути неперервною функцією. Далі ми ще повернемось до цієї проблеми, але спершу напишемо, що означає, що :

(1)

Умова (1) виражає собою, так звану, поточкову збіжність послідовності на множині .

Оскільки поточкова збіжність приводить до не зовсім бажаних результатів (границя послідовності неперервних функцій не зобов'язана бути неперервною функцією), то спробуємо дещо підсилити означення збіжності (1).В поточковій збіжності номер залежить і від, і від вибору точки з множини . Спробуємо одержати таку збіжність, щоб залежало лише від і підходило одразу до всіх з ( тобто, щоб воно від не залежало). Це вже буде не поточкова збіжність. Її ми назвемо рівномірною збіжністю на множині .

Дамо тепер точне означення цьому поняттю.

Означення. Послідовність називається рівномірно збіжною на множині до функції , якщо

. (2)

Зрозуміло, що означення рівномірної збіжності легко переноситься і на ряди.

Означення. Ряд називається рівномірно збіжним на множині до функції , якщо рівномірно збіжною на є послідовність його часткових сум, або що те саме,

. (3)

Зрозуміло, що із рівномірної збіжності на множині, випливає поточкова збіжність, а навпаки? Наступна теорема в якісь мірі відповідає на питання , що дає рівномірна збіжність послідовності.

Теорема 1. Нехай - послідовність функцій, неперервних в точці , яка рівномірно збіжна до функції в деякому - та околі точки . Тоді - неперервна в цій точці.

З умови теореми випливає, що

. (4)

Розглянемо різницю поки що для , (далі - якесь натуральне число більше за )

(5)

Оскільки функція - неперервна в точці, то для вказаного вище . Взявши в (5) , матимемо, що , а це і означає, що неперервна в точці .

Очевидно, з цієї теореми, в якості простого наслідку випливає наступна

Теорема 2. Якщо послідовність - рівномірно збіжна до на відрізку і - неперервні на функції, то теж неперервна на цьому відрізку.

Цими теоремами ми не лише показали важливість рівномірної збіжності, а і з врахуванням приведеного вище прикладу встановили, що із поточкової збіжності, рівномірна збіжність не випливає. Тобто поняття цих двох збіжностей не є еквівалентними (друге є більш „жорстким”).

Теорема 3. (Критерій Коші рівномірної збіжності послідовності). Для того щоб послідовність рівномірно збігалася на множині , необхідно і достатньо, щоб

. (6)

Необхідність. Доведення необхідності в цьому випадку аналогічне до доведення необхідності в критерії Коші для числових послідовностей.

Достатність. Нехай

. (7)

Підставимо в (7) замість будь-яку фіксовану точку з множини . Ми отримаємо числову послідовність , яка за (7) на основі критерію Коші для числової послідовності є збіжною. Отже, ми одержали, що послідовність збіжна на до деякої функції . Доведемо, що ця збіжність - рівномірна. Для цього звернемося до останньої нерівності з (7). Перейшовши в ній до границі, коли , і врахувавши, що , ми отримаємо, що послідовність збігається рівномірно на множині .

Теорема 4. Для того, щоб ряд був рівномірно збіжним на множині , необхідно і достатньо, щоб

.

Хоча теореми 3 і 4 - це критерії рівномірної збіжності, проте, на практиці застосовувати їх важко. Тому є потреба одержати більш конструктивні, хоча б достатні умови рівномірної збіжності. Виявляється, що для послідовностей часто ефективним є наступний критерій.

Теорема 5. (Критерій рівномірної збіжності послідовності). Для того, щоб послідовність рівномірно збігалась до на множині , необхідно і достатньо, щоб , де .

Необхідність. Нехай рівномірно збігається до . Тоді,

.

Звідси випливає, що . А це і означає, що .

Доведення достатності є очевидним.

Для рядів корисною є наступна

Теорема 6 (Ознака Вейерштрасса). Нехай - деякий ряд і - збіжний знакододатній ряд. Якщо для і для всіх справедлива нерівність

, (8)

то ряд рівномірно і абсолютно збіжний на множині .

Для доведення теореми достатньо розглянути нерівність , і використати критерій Коші для числових рядів і теорему4.

Зауважимо, що в цій теоремі, ряд називається мажорант ним рядом для нашого функціонального ряду. Отже, щоб застосувати теорему Вейерштрасса, потрібно для досліджуваного на рівномірну збіжність функціонального ряду, на множині підібрати збіжний мажорант ний ряд. Інколи такого ряду може і не існувати, але це не означає що ряд не буде рівномірно збіжним на . А що ж робити у такому випадку? Виявляється, як і для числових рядів були ефективні ознаки Абеля-Діріхле, так і тут, на їх базі утворюють відповідні ознаки рівномірної збіжності функціональних рядів.

Перед формулюванням цих ознак введемо таке поняття.

Означення. Послідовність називається рівномірно обмеженою на множині , якщо і .

Теорема 7. (Перша ознака Абеля-Діріхле рівномірної збіжності ряду). Нехай маємо ряд і . Якщо:

1) послідовність - рівномірно обмежена на ;

2) послідовність - монотонна для ;

3) послідовність - рівномірно збіжна на до нуля,

тоді ряд рівномірно збіжний на множині .

Теорема 8. (Друга ознака Абеля-Діріхле рівномірної збіжності ряду). Нехай маємо ряд і . Якщо:

1) послідовність - рівномірно збіжна на ;

2) послідовність - монотонна для ;

3) послідовність - рівномірно обмежена на ,

тоді ряд рівномірно збіжний на множині .

Доведення цих ознак одержується перенесенням аналогічних ознак, для числових рядів лише з певними змінами. Правда, для доведення теореми 8 потрібне перетворення Абеля в дещо іншій формі. Напишемо цю іншу форму з якої і одержиться дана теорема.

Нехай маємо ряд , , (при цьому вважатимемо, що ). Тоді матимемо

. (9)

Доведення теореми 7.

Позначимо для , . Будемо вважати, що .

З умови 1) цієї теореми , а отже, для

. (10)

З умови 3) теореми 7 маємо, ,

. (11)

Візьмемо для конкретності - монотонно зростаюча. Тоді, скориставшись рівністю (9) і монотонністю , , будемо мати

,

а це за критерієм Коші означає рівномірну збіжність ряду на множині .

Зауважимо, що ми в наших випадках в доведенні використовували те, що (бо монотонно зростає до нуля!).

Доведення теореми 8.

З умови 3) цієї теореми маємо, що

. (12)

З умови 1) за критерієм Коші рівномірної збіжності отримаємо,

,

. (13)

Візьмемо для конкретності, що послідовність монотонно спадна. Тоді з (9), , , будемо мати,

,

а це знову за критерієм Коші рівномірної збіжності ряду означає, що ряд - рівномірно збіжний на множині .

Отже, ми привели декілька теорем які є або критеріями, або ознаками рівномірної збіжності рядів і послідовностей. Вище ми довели теорему, яка показує, що рівномірно збіжні послідовності (а отже і ряди) можуть мати властивості, яких не мають поточково збіжні ряди і послідовності. В наступному параграфі ми розширимо перелік таких властивостей.

3.7 Властивості рівномірно збіжних послідовностей і рядів

Нагадаємо, що раніше ми довели таке твердження.

Теорема 1. (Про неперервність границі рівномірно збіжної послідовності). Якщо для неперервні на і - рівномірно збіжна на до функції , то - неперервна на .

Теорема 1^”. (Про неперервність суми рівномірно збіжного ряду). Сума рівномірно збіжного на ряду, неперервних на цьому відрізку функцій є неперервною функцією на .

Те що виражає теорема 1^” символічно може бути записано так:

Остання рівність показує, що в умовах теореми 1^” символи границі і суми можна міняти місцями.

В зв'язку з цими результатами виникає питання: а чи не мають місце аналогічні твердження для похідної та інтеграла Рімана? Тобто, чи вірно, що:

, (1)

. (2)

Що стосується справедливості рівностей (1) і (2), то вони, взагалі кажучи, не вірні. Це можна підтвердити прикладами. Якщо , то легко перевірити, що , , . При цьому, (що теж легко перевірити) дана послідовність збігається на нерівномірно. Проте, справедлива наступна теорема про можливість граничного переходу під знаком інтеграла Рімана.

Теорема 2. Нехай - послідовність рівномірно збіжна на до функції . Якщо всі функції - інтегровані за Ріманом на , то теж інтегрована за Ріманом на і справедлива рівність

(3)

Для доведення цієї теореми потрібно показати, що:

1) (тут - множина функцій інтегрованих за Ріманом на );

2) справедливість рівності (3).

1) З критерію інтегрованості за Ріманом, випливає, що для доведення першої умови, потрібно встановити, що для розбиття відрізка

. (4)

З того, що послідовність - рівномірно збіжна на до функції , матимемо що

. (5)

Візьмемо розбиття відрізка , і нехай - будь-який відрізок цього розбиття. Виберемо далі довільні дві точки та з , і розглянемо різницю .

,

де , а . Проаналізувавши одержану нерівність (звернувши увагу, що права її частина не залежить від та ) робимо наступний висновок: множина чисел обмежена зверху, а отже, існує її , який буде дорівнювати і маємо нерівність

. (6)

Помноживши (6) на , і врахувавши, що таких нерівностей буде , то після додавання їх усіх, ми одержимо наступне,

, або

. (7)

Оскільки, , то за критерієм інтегрованості за Ріманом для вказаного вище розбиття відрізка . Звідси і з (7) одержуємо, що , а це означає, що і перша частина теореми доведена.

2) Для доведення (3) розглянемо різницю

,

а це і означає, що і (3) доведено.

Теорема 2^”. (Про можливість поленого інтегрування ряду). Нехай , . Якщо ряд рівномірно збіжний до на відрізку , то , і справедлива рівність .

Далі потрібно розглянути проблему можливості по членного диференціювання послідовності і ряду. Для доведення теорем нам потрібне одне твердження, яке тісно зв'язане з теоремою про рівномірну збіжність і неперервність.

Теорема 3. Нехай - рівномірно збіжна на множині до функції послідовність і - гранична точка множини . Якщо існує

, (8)

то:

1) існує ;

2) існує ;

3) справедлива рівність .

З умови теореми маємо, що:

. (9)

Перейшовши в (9) до границі при , з використанням (8) отримаємо: , а це, за критерієм Коші для числових послідовностей означає, що існує

. (10)

Розглянемо різницю

(11)

З того, що послідовність - рівномірно збіжна на множині до функції і з умов (8) та (10) матимемо, що

,

для і та . Взявши в (11) довільне і , та використавши три останні нерівності, одержимо, що , а це означає, що .

До речі, з цієї теореми можна ще раз одержати доведену вище теорему1. Тепер вже можна розглянути проблему граничного переходу під знаком похідної. Зауважимо тільки, що якщо вимагати навіть рівномірної збіжності послідовності чи ряду, то цього виявиться замало для справедливості рівності (2).

Теорема 4. (Про граничний перехід під знаком похідної). Нехай про послідовність відомо наступне:

1) існує точка , така, що - збіжна;

2) для - диференційовані на функції;

3) - рівномірно збіжна на послідовність.

Тоді:

a) - рівномірно збіжна до деякої функції на послідовність;

b) - диференційована на ;

c) для .

Проаналізувавши формулювання цієї теореми і теореми про по членне інтегрування, можемо зробити висновок, що для граничного переходу під знаком похідної слід накладати серйозніші умови, ніж ті, які потрібні для граничного переходу під знаком інтеграла.

Доведемо спочатку умову а). Для цього з умов теореми матимемо, що

, (12)

. (13)

Розглянемо далі таку функцію на проміжку з кінцями і , де і - будь-які точки з відрізка. Зрозуміло, що введена вище функція, на цьому відрізку буде задовольняти всім умовам теореми Лагранжа. Тоді, матимемо, що між і існує , таке що

. (14)

Звідси і з (13) матимемо,

. (15)

Далі для оцінимо таку величину ,

,

а це (за критерієм Коші) означає, що послідовність - рівномірно збіжна на до деякої функції .

Для подальшого доведення теореми введемо в розгляд наступні функції. Спочатку візьмемо і зафіксуємо її. Позначимо через і на множині . Із (15) випливає

, (15)^”

або згадавши означення функції одержуємо, що . Останнє співвідношення, разом з вимогами накладеними на , і , означає що - рівномірно збіжна до на множині послідовність, причому точка для є граничною.

Розглянемо границю , бо функція диференційована на , значить і в точці . Щойно одержане грає роль із теореми 3, і отже, виконані всі умови теореми 3 для на . Згідно цієї теореми матимемо, що:

1) існує , а це означає, що функція диференційована в точці ;

2) існує ;

3) .

Оскільки точка - довільна з , то теорема 4 доведена повністю.

Теорема 4^”. (Про можливість по членного диференціювання ряду). Нехай - ряд, членами якого є диференційовані на функції. Якщо:

1) існує точка така, що - збіжний;

2) - рівномірно збіжний на .

Тоді:

a) - рівномірно збіжний на ;

b) сума ряду - диференційована на функція;

c) , для .

Розділ IV. Степеневі ряди

4.1 Область збіжності степеневого ряду. Властивості сум степеневих рядів

Означення. Ряд виду

, (1)

де , , ,…,… - деякі дійсні числа, називається степеневим рядом. Числа , ,…,… називаються коефіцієнтами цього ряду (які незалежні від числа ).

Як і для будь-якого функціонального ряду, так і для степеневого, першою проблемою при роботі з ним є встановлення області збіжності. Відповідь на цю проблему дають наступні роздуми. Утворимо ряд з модулів

(2)

і застосуємо до нього радикальну ознаку Коші. Отримаємо

, де ,

якщо знаменник дорівнює нулю, то і , коли знаменник .

1) якщо , то і ряд (2), а отже, і (1) - збіжний на інтервалі , причому абсолютно;

2) якщо , то ряд (2) - розбіжний на , тобто, ззовні , а значить розбіжним буде і ряд (1) (подумайте чому?);

3) якщо , то невідомо якими будуть ряди (1) і (2) - збіжні чи розбіжні.

Підсумовуючи все одержане вище, ми помічаємо, що довели наступне твердження.

Теорема 1. (Коші-Адамара про інтервал збіжності степеневого ряду). Якщо , то степеневий ряд (1) абсолютно збіжний на інтервалі , (коли , то цей інтервал перетворюється на всю числову вісь, коли , то він зводиться до точки ) і розбіжний зовні відрізка .

Домовимось далі називати одержане вище число радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал - інтервалом збіжності степеневого ряду. Отже, ця теорема майже повністю відповідає на питання про область збіжності степеневого ряду (1).

З'ясуємо далі, чи є цей ряд рівномірно збіжним.

Теорема 2. (Про рівномірну збіжність степеневого ряду). Степеневий ряд (1) з відмінним від нуля радіусом збіжності є рівномірно збіжним на будь-якому відрізку , який належить інтервалу збіжності.

Позначимо через , тоді, оскільки, відрізок належить інтервалу збіжності, то точка належить інтервалу . Отже, в цій точці ряд (1) є абсолютно збіжним, тобто збіжним є ряд

 (3)

Візьмемо будь-яку точку, тоді в силу вибору , матимемо що , а отже, і , і для будь-якого ,

. (4)

З (4) і збіжності числового ряду (3) за ознакою Вейерштрасса, маємо рівномірну збіжність ряду (1) на .

Те, що стверджується в теоремі 2 називають: степеневий ряд рівномірно збіжний всередині інтервалу збіжності (зауважимо, що це зовсім не означає рівномірну збіжність степеневого ряду на інтервалі збіжності).

З попередніх теорем випливає наступний факт.

Теорема 3. Сума степеневого ряду (1) є функцією неперервною на всьому інтервалі збіжності.

Для того, щоб застосувати для степеневого ряду дві інші загальні властивості функціональних рядів, спробуємо вирішити наступну проблему.

Очевидно, якщо ми утворимо ряд з похідних ряду (1), то одержимо знову степеневий ряд (з іншими коефіцієнтами). З'ясуємо яким буде радіус збіжності новоутвореного ряду. Нехай радіус збіжності ряду (1) дорівнює . Утворимо ряд з похідних ряду (1)

(5)

і знайдемо радіус його збіжності. Для цього обчислимо



, а це означає, що радіуси збіжності рядів (1) і (5) співпадають. Отже, ми з'ясували, що ряд який утворюється з ряду (1) почленним його диференціюванням є степеневим рядом з тим самим радіусом збіжності.

Теорема 4. Якщо радіус збіжності ряду (1) не дорівнює нулю, то для будь-якого справедлива рівність , тобто степеневий ряд можна почленно диференціювати на всьому інтервалі збіжності.

Візьмемо будь-яке і довільний відрізок , якому належить точка , і який міститься в інтервалі збіжності. А далі до цього відрізка застосуємо теорему2 і те, що радіус збіжності ряду з похідних теж дорівнює . В результаті одержимо теорему 4.

Теорема 4'. Степеневий ряд з відмінним від нуля радіусом збіжності можна почленно диференціювати на інтервалі збіжності довільну кількість разів, причому справедливі рівності

, , ,…,...

Рівності теореми 4' легко одержуються з відповідних рівностей продиференційованих рядів.

Зауважимо, що коефіцієнти степеневого ряду з відмінним від нуля радіусом збіжності виражаються через значення суми цього ряду лише в точці, що є центром інтервалу збіжності.

Сума степеневого ряду з відмінним від нуля радіусом збіжності є функція, яка безліч разів диференційована на всьому інтервалі збіжності.

Тепер розглянемо проблему інтегрування степеневого ряду. Нехай знову маємо ряд (1) з відмінним від нуля радіусом збіжності. Візьмемо точку , тоді відрізок належатиме інтервалу збіжності. За теоремою 2, на цьому відрізку ряд (1) буде рівномірно збіжним. Оскільки, члени ряду (1) є функції інтегровні на , то ряд можна почленно інтегрувати по цьому відрізку і матимемо, що . Очевидно, що ряд справа в останній рівності теж буде степеневим рядом, радіус збіжності, якого буде співпадати з радіусом збіжності ряду (1).

Оскільки, члени степеневого ряду є простими функціями, з добре відомими властивостями, то використовуючи ці властивості, а також характер збіжності, ми можемо вивчати певні властивості і суми цього ряду на інтервалі збіжності. В зв'язку з цим виникає проблема: чи можна, а якщо так, то як, за заданою, на певному проміжку функцією, підібрати степеневий ряд так, щоб ця функція була сумою степеневого ряду? Якщо така ситуація здійснима для функції , то кажуть, що цю функцію розкладено у степеневий ряд. Найближчою нашою проблемою буде зобразити цю функцію у вигляді суми степеневого ряду.

4.2 Розклад функції у степеневий ряд. Біноміальний ряд

Для функції , яка задана в деякому околі точки , і хоча б разів диференційована в самій точці , важливим є наступний многочлен:

,

який називається многочленом Тейлора функції по степенях . Якщо , то її многочлен Тейлора буде співпадати з самою функцією , а .

Якщо ж функція не є многочленом певного степеня, то вона не зобов'язана співпадати зі своїм многочленом Тейлора у всіх точках деякого околу точки . Тоді представляє інтерес поведінка такої величини: , яку називатимемо залишковим членом. Цю рівність перепишемо ще так , її називатимемо формулою Тейлора, а другий доданок - залишковим членом. Щоб довідатись дещо більше про величину , нам потрібне буде наступне твердження, у якому позначимо через відрізок з кінцями та , а через -інтервал з цими ж кінцями.

Теорема. (Тейлор). Нехай функція на - неперервна разом зі своїми першими похідними, а на існує похідна. Якщо - довільна, неперервна на функція, яка в кожній точці інтервалу має відмінну від нуля похідну, то існує :

(1)

Введемо в розгляд функцію ,

очевидно, що - диференційовна на і неперервна на . Знайдемо для



.

Функції і на задовольняють усім умовам теореми Коші, тому існує :

(2)

Оскільки , , . Підставивши одержані результати у формулу (2) одержуємо рівність (1).

У формулі (1) функція - довільна, а це означає, що беручи в якості різні функції, ми одержуватимемо різні форми залишкового члена формули Тейлора. Покладемо спочатку , , то . , ,

. (3)

(3) - це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Коші. Тепер нехай , , . , ,

(4)

(4) - це залишковий член у формулі Тейлора записаний у формі Лагранжа.

Якщо функція безліч разів диференційована в точці , то для неї, формально, можна написати наступний ряд

(5)

(5) ми будемо називати рядом Тейлора функції по степенях . Виявляється, що якщо безліч разів диференційована в точці , то цього замало, щоб її значення співпадали з сумою її ряду Тейлора, хоча б в якомусь околі цієї точки.

В зв'язку з цим справедливе наступне твердження.

Теорема. (Критерій розкладу функції у степеневий ряд). Для того, щоб функцію на деякому інтервалі можна було розкласти у степеневий ряд, необхідно і достатньо, щоб:

1) на інтервалі функція була безліч разів диференційованою,

2) залишковий член формули Тейлора в якісь із форм прямував до нуля при , для .

Необхідність. Якщо є сумою деякого степеневого ряду, то цей ряд буде її рядом Тейлора і, з відомої теореми випливає, що вона безліч разів диференційована. Щодо прямування до нуля величини , то це буде вірно, тому що .

Достатність. З умови 1) маємо, що для функції можна написати її ряд Тейлора, а з 2) - залишок цього ряду, тобто, різниця між прямує до нуля, отже ряд збігається до .

Після цього критерію виникає питання єдиності розкладу функції у степеневий ряд по степенях . Із теореми про можливість почленного диференціювання степеневого ряду, у якій було встановлено, що коефіцієнти ряду виражаються через суму цього ряду однозначно, то справедливе наступне твердження.

Якщо функція в деякому околі точки розкладається у степеневий ряд по степенях , то цей розклад є єдиний і цей степеневий ряд є рядом Тейлора.

Ряд Тейлора, у якому , тобто ряд виду

називається рядом Маклорена для функції .

Найближчою нашою метою є одержання розкладів основних елементарних функцій у степеневі ряди, але спочатку доведемо наступний факт.

Теорема(Друга теорема Абеля). Нехай ряд є збіжним до числа . Якщо степеневий ряд з інтервалом збіжності , то існує . Інакше кажучи, якщо ряд з одиничним радіусом збіжності збіжний у точці , то сума , цього ряду, є функцією неперервною у точці зліва.

Позначимо через , . Тоді, оскільки існує

(1)

то є обмеженою послідовністю.

Розглянемо

.

З даної тотожності, враховуючи що і обмеженість , переходом до границі по одержуємо: . З рівності (1), за означенням границі, маємо що , :

. (2)

Розглянемо модуль

.

Позначимо через , коли , то . Згідно означення границі випливає, що виконується нерівність .

Отже , і .

Зауважимо, що у цій теоремі необов'язково щоб радіус збіжності дорівнював одиниці. Він може бути будь-яким скінченим додатнім числом. Необов'язково і також, щоб ряд був розміщеним по степенях , він може бути і по степенях .

А тепер займемося розкладом функцій в ряд Маклорена.

Нехай маємо функцію . Знаходимо , , … Отже , , , …, , … Тому ряд Маклорена для має вигляд

Знайдемо залишковий член функції у формі Лагранжа:

, .

Візьмемо і розглянемо відрізок , дослідимо поведінку на цьому відрізку.

, .

Але права частина останньої нерівності прямує до нуля. Отже, залишковий член функції у формі Лагранжа прямує до нуля на будь-якому відрізку і тому справедлива для рівність

, (1)

яка і є розкладом функції в ряд по степенях .

Аналогічно ми одержуємо і такий розклад для:

(2)

Продиференціювавши ряд (2) ми отримаємо для:

(3)

Далі, скористаємося наступними рівностями,

, (4)

, (4')

(справа в них стоять геометричні прогресії знаменники яких за модулем менші 1). Проінтегрувавши ряд (4') по відрізку з кінцями , де одержимо,

,

(5)

Якщо в праву частину рівності (5), яка справедлива, поки що на , замість поставити , то отримаємо ряд , який є збіжним. Тому за другою теоремою Абеля справедлива рівність , де - сума ряду (5) на множині , і . Звідси маємо, що ,але ж при теж дорівнює , отже рівність (5) насправді справедлива на множині . Поставимо у рівність (5) замість , . Отримаємо:

, (6)

Візьмемо , для нього будуть справедливі рівності (5) і (6). Віднявши від (5) (6) матимемо:

(7)

Формула (7) цікава тим, що з її допомогою можемо наближено обчислювати значення логарифма для чисел, яке не можна обчислити за допомогою формул (5) або (6).

Розкладемо в ряд Маклорена функцію ,

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Отже, для функції матимемо такий ряд Маклорена,

.

З'ясуємо яким має бути , щоб в останньому співвідношенні можна було поставити знак рівності. Для того щоб це з'ясувати, знайдемо залишковий член цієї функції у формі Коші,

(8)

де - деяке число залежне від і від , . Оцінимо модулі двох останніх множників правої частини рівності (8) на інтервалі . Будемо мати

, (9)

, (10)

де не залежить від і від . Ми одержали, що . З рівності (8) і оцінок (9) і (10) маємо для :

(11)

Утворивши з правої частини нерівності (11) ряд, і дослідивши його на збіжність за ознакою Даламбера, ми одержимо, що відповідна границя дорівнює , а оскільки , то і ряд збігається для . Тому загальний член цього ряду (тобто права частина нерівності (11)) прямує до нуля. Отже, як випливає з (11) при і, згідно критерію для , справедлива рівність:

(12)

З'ясуємо чи не можна до рівності (12) при приєднати точки ,?

Розглянемо

. (13)

Дослідимо на збіжність ряд

. (14)

За ознакою Раабе матимемо

,

а це означає, що ряд (14) є збіжним. Звідси і з (13), за ознакою Вейерштрасса отримаємо, що ряд (12) при рівномірно збіжний на до деякої функції , яка неперервна на відрізку . Але ж при теж неперервна на , оскільки на , справедлива рівність , то насправді , . Отже, ми встановили, що:

, .

Висновок

Інтенсивний розвиток інформаційних і комунікаційних технологій сприяють інтелектуалізації всіх видів діяльності. Це, насамперед, відображається в галузі освіти. Перспективною тенденцією в розвитку освіти, її доступності, індивідуалізації є застосування комп'ютерних навчальних систем.

При розробці даної дипломної роботи було розглянуто концепцію електронного підручника, проаналізовано доцільність використання електронних підручників у навчальному процесі. До недоліків традиційних підручників віднесено: неможливість зміни без перевидання (досить дорогого), практична неможливість їх пристосування до індивідуалізації навчання кожного студента. Відповідно, перевагами електронних підручників є можливість багаторазової зміни і тиражування без великих матеріальних затрат, можливість настроювання для окремих користувачів, що дає змогу реалізувати принцип диференційованості навчання. Суттєвою перевагою є можливість включати в них сучасні (у тому числі мультимедійні) способи представлення інформації, використовувати інтерактивні засоби контролю знань, у тому числі і самоперевірки.

В ході даного дослідження було розроблено електронний підручник з розділу “Ряди математичного аналізу”. Підручник являє собою HTML-документ, розроблений у середовищі FrontPage. Його перегляд можливий у вікні будь-якого браузера. Мова HTML дозволяє ефективно реалізувати структуру електронного підручника. Крім того, такий підручник не є складним як у створенні, так і у коригуванні. При потребі його можна доповнити новими розділами, відредагувати існуючі. У використанні підручник є надзвичайно простим завдяки інтуїтивному інтерфейсу. Робота підтвердила правильність вибору засобів реалізації підручника, оскільки розглядувані поняття, пов'язані з Інтернетом, ілюструються засобами Інтернету.

Електронний підручник містить сторінку-зміст, сторінки розділів з прямими і зворотними посиланнями на інші розділи і визначення, що містяться в них. Тож підручник можна використовувати як для вивчення всієї теми, так і будь-якого окремого розділу чи підтеми.

Слід зазначити, що більшість навчальних систем розраховані на тривалий час роботи з ними. Невідповідність кольорової гами вподобанням студента може привести до виникнення у нього втоми і, як наслідок, зниження ефективності засвоєння матеріалу. Тому важливим елементом електронного підручника є можливість його налагодження за вимогами конкретного користувача. Даний електронний підручник має цю можливість завдяки вибору засобів його реалізації, а можливість зміни шрифтів та кольорів HTML-документів реалізована у браузерах.

Дана робота передбачає подальше вдосконалення розробленого електронного підручника, а саме:

· добір навчального матеріалу з урахуванням ступеня підготовки студента;

· можливість переходу до іншого навчального середовища для практичного застосування отриманих знань.

У перспективі можливе використання розробленого підручника в системі дистанційного навчання.

Список використаної літератури

1. Давидов М.О. Курс математичного аналізу. „Вища школа”, 1979р.

2. Кудрявцев А.Д. Краткий курс математическоого анализа, М., “Наука”, 1989г.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А.,Сендов Бл.Х. матиматичиский анализ, МГУ, 1979г.

4. Кузнецов М.Л. сборник задач повысшей математики, М.,1983г.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, М.,”Высшая школа” 1981г

6. Рудин У. Основы математического анализа, М., „Мир”, 1976г.

7. Баранова Ю.Ю., Перевалова Е.А., Тюрина Е.Е., Чадин А.А. Методика использования электронных учебников в образовательном процес се // Информатика и образование. 2006.

8. Иванов В.Л. Структура електронного учебника. //Інформатика и образование. - 2006. - №6.

9. Крюкова Л.Ю., Бегенин В.Г. Использование гипертекста при обучении прикладной дисциплине.// Информатика и образование. - 2001. - №9.

10. Максимов Г.Н., Вишняков А.В., Капустин Ю.И. Електронный учебник - что это? // Откритое образование. - 2008. - №2.

11. Тевелєва С.В. Электронный учебник как средство дистанционного обучения //Информатика и образование. 2005. №8.

12. Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии.// Информатика и образование. 2009 - №2.

Размещено на Allbest.ru