Размещено на http://allbest.ru

ВВЕДЕНИЕ

сумма ряд числовой

Под численными методами в математике понимаются методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами.

Элементарными операциями являются обычно приближённо выполняемые арифметические действия, а также вспомогательные операции как выборки из таблиц, записи промежуточных результатов и т.п.

Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (двоичной, десятичной и т.п.).

Таким образом, в численных методах числовую прямую заменяют дискретной системой чисел (сеткой), функцию непрерывного аргумента заменяют таблицей её значений в сетке. Операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке. Численные методы сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин.

Актуальность темы данной работы заключается в том, что разработка новых численных методов и применение их в ЭВМ привели к возникновению вычислительной математики.

Целью данной курсовой работы является подробное рассмотрение методики расчета конечных и бесконечных численных рядов при помощи различных численных методов.

В данной курсовой работе решены следующие задачи:

- рассмотрение определений «ряд» и «сумма ряда»;

- изучение методики нахождения суммы конечных рядов;

- рассмотрение способов приближенного нахождения суммы бесконечных рядов.

1. ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Понятие и свойства числовых рядов

1.1.1 Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Рассмотрим определение того, что понимается под такими суммами [2].

Пусть задана бесконечная числовая последовательность:

, , …, , …(1.1)

Итак, числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида:

. (1.2)

Числа называются членами ряда, - общим или n-м членом ряда. Чтобы задать ряд (1.2) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

Пусть . Ряд 1.3 называется гармоническим рядом.

(1.3)

Пусть , Тогда ряд 1.4 называется обобщенным гармоническим рядом [1, 3].

(1.4)

В частном случае при получается гармонический ряд.

Пусть =. Тогда ряд 1.5 называется рядом геометрической прогрессии.

(1.5)

Из членов ряда (1.5) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е.

,

,

,

…………………………….

, (1.6)

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Ряд (1.2) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.6) имеет конечный предел, т. е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.2) и пишется так:

.(1.7)

Ряд (1.2) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы [3].

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.2) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

1.2 Сумма числового ряда

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае -- что он расходится [8, c.116].

Элементы ряда a_n представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные). Рассмотрим определение суммы ряда.

Пусть

-- числовой ряд.

Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда -- это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Исчисление сумм связано с исчислением разностей, как интегральное исчисление с дифференциальным. Здесь, как и в интегральном исчислении, нахождение обратного оператора, в сущности, основано на догадке.

Самым удобным обозначением для исчисления сумм является определение как суммы [3, 8]:

(1.8)

Это обозначение применяется Булем, Жорданом и многими другими, однако оно не является употребительным в других областях математики, и использование его могло бы привести к путанице.

По-видимому, лучше все же иметь дело с затруднениями, которые возникают от применения неудобного, но общепринятого обозначения:

(1.9)

Методы суммирования будут целиком основываться на использовании прямого разностного оператора:

(1.10)

а не обратного разностного оператора у и не центрального разностного оператора. Просуммировав последнее равенство от х=а до x = b-1, получим:

(1.11)

Это соответствует равенству 1.12 в интегральном исчислении.

(1.12)

Основная теорема исчисления сумм состоит в том, что если две функции, определенные на дискретном множестве точек, имеют одни и те же первые разности, то они различаются не более чем постоянным слагаемым. Это наводит на мысль о неопределенной сумме, соответствующей неопределенному интегралу, и аддитивной константе в таблице неопределенных сумм [7, c.58].

В исчислении бесконечно малых таблица неопределенных иитегралов основывается на соответствующей таблице производных; таким же образом таблица неопределенных сумм основывается на таблице разностей. Из выражения 1.13 применяя (1.12), получим:

(1.13)

(1.14)

Для примера положим n = 0, тогда получим:

(1.15)

Используя общую формулу (1.14) и очевидную линейность оператора 2' мы можем находить суммы многочленов путем простого превращения степеней х в факториалы или при помощи чисел Стирлинга второго рода, или повторяя деление многочленов.

Этим методом можно показать, что, например:

2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА СУММ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

2.1 Расчет сумм конечных рядов

2.1.1 Формулы суммирования

Формула суммирования для х верна также для отрицательных показателей (); например [2, 6],

(2.1)

Подобным же образом,

(2.2)

Разностная формула 2.3 приводит к суммированию геометрической прогрессии 2.4.

(2.3)

(2.4)

Формулы для разностей синуса и косинуса приводят к полезным формулам:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Важно помнить, что для конечных рядов можно ввести еще много других аналогичных формул.

2.1.2 Суммирование по частям

При интегрировании, кроме таблицы интегралов, применяются два метода: замены переменного и интегрирование по частям. Первый из этих двух методов непригоден для исчисления сумм, зависящих от равноотстоящих аргументов. Это делает вычисление сумм в аналитическом конечном виде, вообще говоря, более трудным, чем вычисление интегралов.

С другой стороны, в исчислении сумм есть очень сильный метод, аналогичный интегрированию по частям. Интегрирование по частям основывается на формуле 2.9. для производной от произведения:

(2.9)

Из этого равенства формула 2.10 для интегрирования по частям находится интегрированием [7, c.62].

(2.10)

Аналогично из формулы для разности и произведения:

(2.11)

Суммированием получаем:

(2.12)

Можно выбрать v так, чтобы v(0) = 0 (или любому другому заданному значению). В качестве примера применения суммирования по частям рассмотрим выражение:

Вообще применение суммирования по частям сильно напоминает применение интегрирования по частям.

Например, суммирование 2.13 выполняется двукратным применением суммирования по частям и приведением подобных членов. В этих преобразованиях нет новых идей, а только скучная алгебра.

(2.13)

Важно, что лишь немногие конечные ряды можно просуммировать и представить компактной формулой. С другой стороны, неожиданно часто суммируются некоторые специальные ряды, например, содержащие биномиальные коэффициенты.

Рекомендуется, прежде чем обращаться к вычислению ряда с помощью машины, попытаться просуммировать его «руками». Удачное суммирование часто приводит к объяснению первоначальной задачи [1, 7].

2.2 Вычисление бесконечных рядов

2.2.1 Общие замечания

В большинстве книг о бесконечных рядах на многих страницах, рассматриваются сходимость, расходимость и «суммируемость» рядов, но почти все они совершенно пренебрегают действительным вычислением (суммированием) рядов. Одна из причин этого состоит в том, что существует очень мало методов для суммирования рядов в конечном виде.

Если возможно в конечном виде провести неопределенное суммирование и ряд сходится, то бесконечный ряд также можно просуммировать, устремив верхний предел к бесконечности. В качестве примера мы имели (равенство 1.2)

(2.14)

Отсюда получим:

(2.15)

Вообще

(2.16)

Задачу анализа нередко можно свести к вычислению бесконечного ряда. При этом часто требуется больше работы, чтобы вычислить ряд, чем чтобы решить первоначальную задачу; но иногда представление рядом является преимуществом. Дело в том, что, суммируя конечное число членов ряда, легче следить за точностью вычислений, чем действуя иным способом.

Так, для вычисления 2.17 для значений х> меньших 1, можно разложить экспоненту в бесконечный ряд.

(2.17)

Интегрируя почленно, получим

(2.18)

Если мы интересуемся значениями х, меньшими 1, и хотим иметь восемь верных знаков, то достаточно взять 11 членов ряда. Действительно, ряд знакопеременный, его члены монотонны, он сходится и первый отброшенный член имеет знаменатель приблизительно 9,2^. 10⁸.

Если бы мы пытались вычислить значение интеграла каким-нибудь приближенным методом интегрирования, то задача оценки ошибки была бы более трудной [7, c.63].

2.2.2 Метод Куммера

Если данный ряд сходится быстро, то выбор способа вычисления его суммы не представляет затруднений. Если ряд сходится медленно, то мы ищем ряд с известной суммой, который сходится приблизительно с той же скоростью, что и данный ряд. Слова «приблизительно с той же скоростью» в действительности означают, что общий член разности этих двух рядов стремится к нулю быстрее, чем общий член исходного ряда.

Найдя подходящий ряд, мы сводим задачу к вычислению суммы ряда, представляющего разность двух рядов; последний по определению сходится более быстро. В этом и состоит идея метода Куммера [5, 7].

Пусть данный ряд есть:

(2.19)

и предположим, что мы знаем сумму

(2.20)

где с_х>с при х.

Тогда

(2.21)

В качестве примера рассмотрим ряд:

(2.22)

который сходится как .

Взяв в качестве ряда для сравнения 2.23, при условии, что член с х=1 взят отдельно, получим

(2.23)

Новый ряд сходится как .

2.2.3 Некоторые специальные суммы

Метод Куммера требует рядов для сравнения и знания их сумм. Одна из самых полезных последовательностей рядов для сравнения, кроме рядов 2.14, есть последовательность сумм, являющихся значениями дзета-функции Римана.

(2.24)

(2.25)

Значения для четных целых z известны в конечном виде, но для нечетных чисел конечный вид неизвестен.



В многочисленных книгах и таблицах имеется много других рядов, имеющих известные суммы, к примеру, суммы, которые возникают из разложения элементарных функций в ряд Маклорена [1, 7].

2.2.4 Метод Эйлера

Другим методом численного суммирования рядов является метод Эйлера. К нему можно прийти следующим образом.

Рассмотрим конечный ряд.

(2.26)

Применим формулу суммирования по частям:

(2.27)

Положим u(k) = a_k, v(k) = tk. Так как мы можем использовать любую аддитивную постоянную, то возьмем:

(2.28)

Тогда

Так что (2.27) принимает вид:

Мы применяем суммирование по частям к третьему члену, заметив, что он имеет тот же вид, что и исходный ряд, только a_k заменено на ?а_k [7, c.65]:

(2.29)

Таким образом, в результате применения суммирования по частям Дважды получим:

(2.30)

После r таких преобразований выражение примет вид:

(2.31)

Так как первоначальный ряд сходится, то для данного е>0 существует такое n_o, что при n> n_o справедливо . Следовательно, . Последний член в полученном выражении стремится поэтому к нулю при, и мы имеем

(2.32)

Предположим, что члены ряда (2.27) изменяются достаточно гладко, так что второе слагаемое справа стремится к нулю при .

Тогда остается ряд.

(2.33)

Рассмотрим пример применения указанного метода.

Если дан ряд , у которого стремится к t, то можно написать:

,(2.34)

где стремится к 1, и применить метод Эйлера.

Наиболее часто этот метод применяется для t=-1. Находим

(2.35)

Иногда преобразование Эйлера делает ряд сходящимся быстрее, но иногда и нет.

2.2.5 Степенные ряды

Степенные ряды широко применяются в математике, особенно в линейных задачах. Но даже в нелинейных задачах степенные ряды -- полезный инструмент. Так как в нелинейных задачах вычисление последовательных коэффициентов часто очень трудоемко, вычислительная машина должна находить их сама. Для данного числа коэффициентов легко написать программы сложения, вычитания, умножения, деления, подстановки одного степенного ряда в другой и обращения ряда [3, 7].

Преимущество использования степенных рядов или многочленов в том, что большую часть действий над коэффициентами можно выполнить один раз перед началом вычислений.

Абстрактное математическое описание этого выглядит так: 11 точек могут рассматриваться как одна точка в 11-мерном пространстве. Первая операция получения факториального многочлена. Ньютона преобразовала точку исходного пространства в соответствующую точку 11-мерного пространства коэффициентов.

Использование чисел Стирлинга для вычисления непосредственного многочленного представления было равносильно изменению базиса пространства коэффициентов. Последующие операции были преобразованиями в пространстве коэффициентов, тогда как окончательное вычисление было преобразованием обратно в исходное пространство. Таким образом, большинство действий производилось в преобразованном пространстве, а не в исходном пространстве данных и ответа. Это характерно для метода степенных рядов; мы оперируем с коэффициентами разложения и возвращаемся к данному пространству только в конце. Подобные замечания относятся как к асимптотическим рядам, так и к методам, обсуждающимся в этой главе.

2.2.6 Разложение по специальным функциям

Кроме разложения в степенные ряды, в анализе часто применяется разложение по специальным функциям, таким как полиномы Лежандра Р_n(х), полиномы Лагерра L_n (x), полиномы Эрмита Н_n(х), функции Бесселя J_n(x) и т. д. При поверхностном рассмотрении может показаться, что эти разложения бесполезны из-за трудности вычисления значений самих специальных функций. Однако известно, что большинство семейств специальных функций удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению вида [7, c.68]:

(2.34)

В тех случаях, когда специальные функции суть многочлены, многочлены нулевого и первого порядков особенно легко вычислять для каждого значения х. Таким образом, работа с разложением в ряд по специальным функциям не больше, чем работа по вычислению степенного ряда.

Следует обратить внимание на накопление ошибки при использовании рекуррентного соотношения для вычисления последовательных функций; но обычно ошибка не слишком быстро растет для умеренных (скажем, порядка 15) значений индекса n.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе нами были рассмотрены методы нахождения сумм конечных и бесконечных степенных и функциональных рядов. Естественно, данные методы не дают абсолютно точный результат, во многом являясь приближенными.

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых.

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае -- что он расходится.

Исчисление сумм связано с исчислением разностей, как интегральное исчисление с дифференциальным. Здесь, как и в интегральном исчислении, нахождение обратного оператора, в сущности, основано на догадке.

Важно, что лишь немногие конечные ряды можно просуммировать и представить компактной формулой. С другой стороны, неожиданно часто суммируются некоторые специальные ряды, например, содержащие биномиальные коэффициенты. Отметим, что существует очень мало методов для суммирования рядов в конечном виде.

Если возможно в конечном виде провести неопределенное суммирование и ряд сходится, то бесконечный ряд также можно просуммировать, устремив верхний предел к бесконечности.

Существует множество методов суммирования конечных и бесконечных рядов, важнейшими из которых являются методы Куммера и Эйлера и разложение при помощи специальных функций, на примерах рассмотренные в данной работе. Для успешного решения задач нахождение сумм рядов важно не только владение данными методиками, но и понимание сущности рядов, позволяющее выбрать наиболее оптимальную из них.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

2. Гарнаев, А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах / А.Ю. Гарнаев. - СПб.: БХВ, 2000. 336 с.

3. Ильичева, В.В. Математические методы в экономике. Учебное пособие. Ростов н/Д, 2006. 112 с.

4. Красс, М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М. : «Дело», 2010. 688 с.

5. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

6. Хачатрян, С.Р. Методы и модели решения экономических задач. - М.: «Экзамен», 2005. 384 с.

7. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. Пер. с англ. - М.: M.: Наука, 1992. - 400 c.

8. Экономико-математические методы и модели : учебное пособие / кол. авторов ; под ред. С.И. Макарова. 2-е изд., перераб. и доп. М. : КНОРУС, 2009. 240 с.

Размещено на Allbest.ru