2.3.1 Передаточная функция разомкнутой системы в виде типовых динамических звеньев

Для получения передаточной функции разомкнутой системы в виде типовых динамических звеньев воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы в виде полиномов, полученной выше:

Запишем полином числителя передаточной функции в виде:

Запишем полином знаменателя передаточной функции и определим его корни:

Используя формулу Виета, полином знаменателя можно записать в виде сомножителей M(s) = Р( s - s_i) :

Причем, пары сомножителей с комплексно сопряженными корнями, заменим одним сомножителем (s + + js + j = s² + 2s + (² + ²) :

Представим знаменатель передаточной функции в виде типовых динамических звеньев, для чего преобразуем его к виду:

Далее, выделив в черный прямоугольник сначала выражения сомножителей коэффициентов передачи, а затем сомножителей типовых динамических звеньев, в правой части и, использовав команды Symbolics - Evaluate - Floating Point и, заменив цифру 20 на необходимое число знаков в численных значениях, получим знаменатель передаточной функции разомкнутой системы в виде типовых динамических звеньев:

Тогда передаточная функция разомкнутой системы в виде типовых динамических звеньев будет иметь вид:

2.3.2 Передаточная функция замкнутой системы в виде типовых динамических звеньев

Для того чтобы получить передаточную функцию замкнутой системы в виде типовых динамических звеньев, выполним те же операции, что и для передаточной функции разомкнутой системы:

Окончательно передаточная функция замкнутой системы в виде типовых динамических звеньев имеет вид:

2.4 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В СИМВОЛЬНОМ И СИМВОЛЬНО - ЦИФРОВОМ ВИДЕ

2.4.1 Математическая модель системы в символьном виде

Mathcad позволяет разрабатывать математические модели систем не только в цифровом, но и в символьном и в символьно-цифровом видах.

Получим в символьном виде передаточную функцию разомкнутой системы в виде типовых динамических звеньев:

С помощью команды factor разложим полином на простые множители.

С помощью команды expand представим выражение в более развёрнутом виде и приведём подобные слагаемые с помощью команды collect

Далее применим команду expand к числителю

Запишем полиномы числителя и знаменателя передаточной функции и выделим полиномиальные их коэффициенты. Выделим s и выберем команду Полиномиальные коэффициенты из меню Symbolycs,.

Окончательно передаточную функцию в виде полиномов в символьном виде можно записать:

2.4.2 Математическая модель разомкнутой системы

в символьно-цифровом виде

Пусть, например, известны следующие параметры системы:

Тогда передаточная функция будет иметь вид:

В результате получили передаточную функцию разомкнутой системы в цифрово-символьном виде. В символьном от параметров k_my, kд, T_my и цифровом от остальных параметров элементов системы. Проделав аналогичные операции, можно получить в символьно - цифровом виде и передаточную функцию замкнутой системы от любых параметров элементов системы.

2.5 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В МАТРИЧНОМ ВИДЕ

Для составления дифференциальных уравнений математической модели системы в нормальной форме Коши и матричном виде преобразуем структурную схему Рис.1, представив ее в виде в интегро-пропорциональных звеньев, используя для этого структурные преобразования передаточных функций типовых динамических звеньев. Преобразованная структурная схема рассматриваемой системы представлена на рисунке 2.

Рисунок 2. Преобразованная структурная схема системы.

На основании данной структурной схемы запишем математическую модель САР в виде дифференциальных уравнений первого порядка. При составлении математической модели рассматриваемой САР в виде дифференциальных уравнений первого порядка по вышеуказанной структурной схеме необходимо помнить, что в правой части от производной x_i будут слагаемые по самой переменной x_i со своим коэффициентом и других переменных, попадающих в переменную x_i только через один интегратор.

На основании системы уравнений можно записать матричную форму математической модели :

Характеристический полином замкнутой системы определится выражением: , где I единичная матрица пятого порядка (матрица, все диагональные элементы которой равны 1, а все остальные элементы равны 0)

Находим определитель данной матрицы, пользуясь значком |Х| на панели инструментов

Упростим и приведём подобные слагаемые

Подставим заданные числовые значения

Как видим данный полином идентичен полученному в пункте 2.2.1.

Если необходимо выразить матрицы в численном виде необходимо выполнить следующие операции:

Сравним с полученным ранее:

Выводы по работе №5

Целью данной работы было изучить возможности математического пакета MathCad в среде Windows для разработки математических моделей электротехнической системы; научиться по заданной структурной схеме, с помощью персонального компьютера, находить в цифровом и символьном видах передаточные функции разомкнутой и замкнутой системы; уметь разрабатывать различные виды математических моделей электротехнической системы.

Передаточной функцией системы называется отношение изображения по Лапласу выходной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция для электротехнической системы в виде полиномов будет иметь вид:

где: a_i , b_i - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров элементов системы (постоянные времени, коэффициенты саморегулирования, коэффициенты усиления и т.п.).

Передаточная функция электротехнической системы в виде типовых

динамических звеньев может быть записана в следующем виде:

где:

F(s) = k - коэффициент передачи электротехнической системы;

- передаточная функция интегрирующих ти повых динамических звеньев (i=0,1,2,…х);

- передаточная функция апериодических типовых динамических звеньев (i=0,1,2…б);

- передаточная функция колебательных типовых динамических звеньев (i=0,1,2…в);

- передаточная функция дифференцирующих типовых динамических звеньев I-го порядка (i=0,1,2…з);

- передаточная функция дифференцирующих типовых динамических звеньев II-го порядка (i=0,1,2…q);

Согласно заданной схемы я нашёл передаточные функции каждого звена. На основании соответствующего соединения звеньев (последовательного или параллельного) была составлена передаточная функция системы. Например, передаточная функция последовательно соединённых звеньев определяется как произведение передаточных функций этих звеньев. Знаменатель этого результата есть характеристический полином разомкнутой системы. С его помощью решают задачи исследования САУ. Например, можно найти корни характеристического полинома, что в MATHCAD позволяет solve.s, и по их знаку судить об устойчивости системы или составить таблицу Рауса из коэффициентов характеристического уравнения и тоже исследовать систему на устойчивость.

Зная передаточную функцию разомкнутой системы, можно, используя свойства паралельно-встречного соединения элементов, записать передаточную функцию замкнутой системы: