Метод Жордана-Гаусса рішення системи лінійних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

з чисельних методів

(назва дисципліни)

на тему: Метод Жордана-Гаусса рішення системи лінійних рівнянь

м. Горлівка - 2012рік

РЕФЕРАТ

Курсова робота: 28 сторінок, 8 табл., 6 джерел, 1 додаток

Мета роботи: вивчити метод Жордана -Гауса рішення системи лінійних рівнянь та скласти програму мовою Borland C++ 4.5.

Предмет дослідження: система лінійних рівнянь

Об'єкт дослідження: метод Жордана-Гаусса для рішення системи лінійних рівнянь

Методи дослідження: інформаційний,графічний, дослідження, методу математичного аналізу,програмування

ЗМІСТ

Вступ.

Розділ 1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

1.1 Основні означення системи лінійних рівнянь

1.2 Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

1.3 Види матриць

Розділ 2. Метод Жордана-Гаусса рішення системи лінійних рівнянь

2.1 Історія метода Жордана- Гаусса

2.2 Метод Гауса розв'язки системи лінійних рівнянь

2.3 Ідея метода Жордана-Гаусса

2.4 Алгоритм метода Жордана-Гаусса

2.5 Постановка задачі метода Жордана-Гаусса

2.6 Приклад використовування методу Жордана-Гаусса

Висновки

Перелік використаних джерел

Додаток А

ВСТУП

Метод Жордана-Гаусса - це метод, який використовується для вирішення квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора в заданому базисі або відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Системи лінійних рівнянь широко використовуються в задачах економіки(баланс,розвиток та інше). Дослідження вагових і об'ємних характеристик хімічних явищ призвели до використання в хімії елементарного апарату арифметики і алгебри. Методи розв'язання систем лінійних рівнянь застосовуються для вирішення завдань хімії( знаходження хімічних формул ). В даний час в комп'ютерній технології широко використовуються СЛАР для вирішення завдань управління в промисловості, бізнесі, фінансовій діяльності До таких систем зводяться задачі аналізу електричних ланцюгів, розрахунку енергій коливальних рівнів двоатомних молекул та інше. В промисловості проводять рішення задач про місце і час зустрічі промислових суден з перевантажувача зводиться по суті до вирішення систем лінійних рівнянь, що використовують дані про координати судів, їх швидкостях і метеорологічних умовах.

Дуже часто виникають задачі, розв'язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов'язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв'язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв'язування завжди стає ясно, має система розв'язки чи не має, єдиний її розв'язок чи ні. Метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп'ютерів.

Автоматизація СЛАР з використанням ЕОМ дуже зручна тим, що за допомогою програм можна виповнити великий обсяг роботи, при цьому не допустити помилки. Без ЕОМ не можливо безпомилково виконати цикли, вичислити великі числа.

Мета роботи - вивчити метод Жордана-Гаусса рішення системи лінійних рівнянь та скласти програму мовою Borland C++4.5.

РОЗДІЛ 1. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

1.1 Основні означення системи лінійних рівнянь

Нехай маємо систему з лінійних рівнянь з невідомими :

(1.1.1)

де - деякі числа. Зокрема, можливо, що

Розв'язком системи (1.1.1) називається будь-яка впорядкована сукупність чисел яка задовольняє систему, що означає наступне: якщо в кожне рівняння системи замість підставити то одержимо k правильних числових рівностей. Отже, розв'язок системи можна вважати вектором з n компонентами.

Систему називають сумісною, якщо вона має хоча б один розв'язок; у протилежному випадку система називається несумісною (тобто коли не існує жодної впорядкованої системи чисел , що задовольняє систему.

Введемо позначення:

, , .

Тоді систему (1.1.1) можна записати у матричному вигляді:

(1.1.2)

Матриця називається матрицею системи (1.1.1). Приєднавши до матриці стовпець вільних членів, одержимо так звану розширену матрицю системи:

. (1.1.3)

Зрозуміло, що система лінійних рівнянь однозначно визначається своєю розширеною матрицею.

Дві системи називаються рівносильними (еквівалентними), якщо множини їх розв'язків співпадають. З цього випливає, що несумісні системи рівносильні.

Зауважимо, що іноді систему лінійних рівнянь (1.1.1) зручно записувати у векторній формі:

, (1.1.4)

де - стовпці матриці .

1.2 Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

Сумою лінійних рівнянь і

називається лінійне рівняння

Добутком лінійного рівняння на число називається лінійне рівняння .

Нехай маємо дві системи з однаковим числом невідомих. Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу А, якщо другу систему можна одержати з першої переставлянням місцями в першій системі її -го і -го рівнянь . Таке перетворення позначають через і записують:

~

Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу В, якщо другу систему можна одержати з першої заміною -го рівняння першої системи сумою її -го рівняння та го рівняння, помноженого на деяке число . Таке перетворення позначають через і записують:

~

~

Зауваження. Легко бачити, що якщо з першої системи можна одержати другу за допомогою перетворення (відповідно ), то з другої системи можна одержати першу за допомогою перетворення (відповідно ).

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему лінійних рівнянь в рівносильну їй систему.

Перед доведенням цієї теореми доведемо допоміжну лему.

Лема. Якщо друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, то кожен розвязок першої системи є розвязком другої.

Доведення. У випадку елементарного перетворення типу А твердження леми очевидне.

Нехай перша система лінійних рівнянь має вигляд

(1.2.1)

де , а друга система одержується з першої за допомогою елементарного перетворення , де деяке число. Нехай також - розв'язок першої системи, тоді є правильними наступні числові рівності:

(1.2.2)

Помножимо по частково ту рівність з (1.2.2) на і одержимо правильну числову рівність

Додамо по частково до і-тої рівності з (1.2.2) останню рівність, одержимо правильну числову рівність

тобто

(1.2.3)

Отже, правильними є наступі числові рівності

(1.2.4)

Всі рівності в (1.2.4) ті самі, що і в (1.2.2), лише і-та рівність замінена рівністю (1.2.3). Отже, є також і розвязком тої системи, що одержана із системи (1.2.1) за допомогою елементарного перетворення .

Доведення теореми.

Нехай друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, тоді і перша система одержується з другої за допомогою елементарного перетворення (див. зауваження після означення елементарного перетворення типу B). Тоді за лемою кожен розвязок першої системи є розвязком другої системи, і навпаки, кожен розвязок другої системи є розвязком першої системи.

Теорему доведено.

1.3 Види матриць

Матрицею розміру називається сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці, систематизацією з рядків, стовпців.

(1.3.1)

- елементи матриці.

Якщо А та В: мають однаковий розміри , то А=В

Якщо , то матриця називається квадратною.

(1.3.2)

Якщо при , то матриця - діагональна.

(1.3.3)

Якщо , то матриця одинична.

- називається транспонована для матриці А, якщо

(1.3.4)

РОЗДІЛ 2. МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУСА РІШЕННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

2.1 Історія метода Жордана- Гаусса

Метод Жордана-Гаусса був розроблений двома вченими К.Ф.Гауссом і німецьким геодезистом і математиком Вільгельмом Жорданом (в яких і пішла назва методу). Цей метод вони помітили після довгої практики роботи з системами рівнянь. Це можна пояснити складністю розв'язку цим методом.

Метод Жордана-Гаусса (метод повного виключення невідомих) - метод, який використовується для вирішення квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора в заданому базисі або відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса.

У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі, розв'язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов'язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв'язування таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою визначників. Але найпоширеніший з них - метод Жордана-Гаусса, який не потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі розв'язування завжди стає ясно, має система розв'язки чи не має, єдиний її розв'язок чи ні. Оскільки для розв'язування системи рівнянь методом Жордана-Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при розв'язуванні за формулами Крамера, то метод Жордана-Гаусса став основним при побудові стандартних програм для сучасних комп'ютерів.

У процесі вивчення різних питань економіки, природознавства, техніки тощо доводиться розв'язувати системи алгебраїчних рівнянь. Зокрема, до таких систем зводиться чисельне розв'язування лінійних, диференціальних та інтегральних рівнянь. У таких система є коефіцієнти і вільні члени рівнянь - числа наближені. А це веде до появи додаткових (так званих неусувних) похибок.

2.2 Метод Гауса розв'язки системи лінійних рівнянь

Метод Гауса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розв'язання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.

Система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

(2.2.1)

де - невідомі.

-коефіцієнти при невідомих.

- вільні члени (або праві частини).

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв'язок, і несумісною, якщо вона не має розв'язків.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдине розв'язок і невизначеною, якщо вона має незліченну безліч розв'язків.

Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо вони мають одну і ту ж множину розв'язків.

До елементарних перетворень системи віднесемо наступні:

1) зміна місцями два будь-яких рівнянь;

2) множення обох частин будь-якого з рівнянь на довільне число, відмінне від нуля;

3) збільшення до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке дійсне число.

Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну їй.

У загальному випадку для системи лінійних рівнянь з невідомими проводяться аналогічні перетворення. На кожному кроці виключається одне з невідомих зі всіх рівнянь, розташованих нижче провідного рівняння.

Звідси інша назва методу Гауса - метод послідовного виключення невідомих.

Якщо в ході перетворень системи виходить суперечливе рівняння вигляду

, де , то це означає, що система несумісна і розв'язків не має.

У разі сумісної системи після перетворень по методу Гауса, складових прямий хід методу, система лінійних рівнянь з невідомими буде приведена або до трикутного або до ступінчастого вигляду.

Трикутна система має вигляд:

(2.2.2)

Така система має єдине рішення, яке знаходиться в результаті проведення зворотного ходу методу Гауса.

Ступінчаста система має вигляд:

(2.2.3)

Така система має незліченну множину розв'язків. Щоб знайти їх, у всіх рівняннях системи члени з невідомими ., переносять в праву частину. Ці невідомі називаються вільними і надають їм довільні значення. З отриманої трикутної системи знаходимо ., , які виражатимуться через вільних невідомих.

Для простоти розглянемо систему чотирьох рівнянь з чотирма невідомими:

(2.2.4)

Система (2.2.4) буде мати точне рішення , коли всі коефіцієнти точні числа і всі обчислення проводити без округлень.

Методи рішення систем лінійних рівнянь:

1. Прямі (метод Гаусса, метод Гаусса с вибором головного елемента)

2. Ітераційні (методи ітерації, Зейделя)

Розглянемо метод Гаусса - алгоритм послідовного виключення невідомих. Нехай - ведучий елемент. Розділимо коефіцієнти першого рівняння системи (2.2.4) на , отримаємо:

(2.2.5)

де ().

Виключимо із системи (2.2.4) невідому : помножимо рівняння (2.2.5) на і віднімемо з другого рівняння системи (2.2.4); на и віднімемо з третього рівняння системи (2.2.4); на - з четвертого рівняння системи (2.2.4), одержимо:

(2.2.6)

де .

Проведемо ті ж міркування для системи (2.2.6). - ведучий елемент. Розділимо на усі коефіцієнти першого рівняння системи (2.2.6), одержимо:

(2.2.7)

де .

Виключимо, аналогічно, із системи (2.2.6), одержимо:

(2.2.8)

де .

Розділимо коефіцієнти першого рівняння системи (2.2.8) на ведучий елемент , отримаємо:

(2.2.9)

де .

Виключимо невідоме із системи (2.2.8), одержимо:

(2.2.10)

де .

З (2.2.10) одержимо:

(2.2.11)

Інші невідомі послідовно визначаються з рівнянь (2.2.9), (2.2.7), (2.2.5):

Отже, процес рішення лінійної системи по методу Гауса зводиться до побудови еквівалентної системи (2.2.5), (2.2.7), (2.2.9), (2.2.11), що має трикутну матрицю.

Необхідна і достатня умова застосовності методу: нерівність нулю усіх ведучих елементів.

Обчислення помістимо в таблицю(2.2.1), схема якої називається схемою єдиного розподілу.

Таблиця (2.2.1)- Схема єдиного розподілу

Процес знаходження коефіцієнтів трикутної системи називають прямим ходом,процес одержання значень невідомих - зворотним ходом.

Опишемо послідовність заповнення схеми єдиного розподілу.

Випишемо коефіцієнти системи, включаючи вільні члени (розділ ). Останній рядок розділу А являє собою результат розподілу першого рядка на .

Елементи наступного розділу рівні різниці відповідних елементів попереднього розділу і добуток їх "проекцій" на ряди розділу , що містять елемент 1 (тобто на перший стовпець і останній рядок).

Останній рядок розділу А1 знаходиться шляхом розділу її першого рядка на ведучий елемент . І так далі, поки не одержимо розділ, що складається з одного рядка(Розділ ).

При зворотному ході використовуються лише рядки розділів , утримуючі одиниці (відзначені рядки) починаючи з останньої. Елемент з розділу , що знаходиться в стовпці вільних членів відзначеного рядка розділу, дає значення . Далі, крок за кроком знаходяться за допомогою вирахування з вільного члена відзначеного рядка суми добутків її коефіцієнтів на відповідні значення раніше знайдених невідомих. Значення невідомих послідовно виписуються в розділ В.

Розставлені там одиниці допомагають знаходити для відповідні коефіцієнти у відзначених рядках.

Для контролю обчислень використовуються контрольні суми

, (2.2.13)

поміщені в стовпці і вміщаючи в собі суму елементів рядків матриці вихідної системи (2.2.6), включаючи вільні члени.

Якщо прийняти за нові вільні члени в системі (2.2.6),те перетворена лінійна система

(2.2.14)

будуть мати невідомими , зв'язані з колишніми невідомими співвідношеннями:

(2.2.15)

Отже, якщо над контрольними сумами в кожнім рядку проробляти ті ж операції, що і над іншими елементами цього рядка, то при відсутності помилок в обчисленнях елементи стовпця дорівнюють сумам елементів відповідних перетворених рядків. Це є контролем прямого ходу.

Зворотний хід контролюється знаходженням чисел , які повинні збігатися з числами.

Приклад. Розв'зати систему лінійних рівнянь по методу Гауса:

система лінійний рівняння гаусс

Рішення.

Таблиця (2.2.2)-Система лінійних рівнянь

				Вільні члени		Розділи схеми
4 8 3 -------------- 1	2 3 5 3 -------------- 1	-1 -1 -3 -2 -------------- -0,5	1 2 4 2 -------------- 0,5	4 6 12 6 -------------- 2	8 14 26 12 -------------- 4	I
--------------	-1 -3 0 -------------- 1	1 1 -0,5 -------------- -1	0 0 0,5 -------------- 0	-2 -4 0 -------------- 2	-2 -6 0 -------------- 2	II
--------------	--------------	- -0,5 -------------- 1	0 0,5 -------------- 0	2 0 -------------- 1	0 0 -------------- 0	III
--------------	--------------	--------------	0,5 -------------- 1	-0,5 -------------- -1	0 -------------- 0	IV
1	1	1	1			V

Відповідь:

2.3 Ідея метода Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса використовується для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження зворотної матриці, знаходження координат вектора в заданому базисі, знаходження рангу матриці.

Метод є модифікацією методу Гаусса, запропонований Жорданом і дозволяє отримати рішення за допомогою тільки прямого ходу. Можливо міняти строки місцями. Розходження цих двох методів полягає в тому, що при реалізації останнього елементи матриці обнуляються як під, так і над головною діагоналлю. В результаті даного підходу вектор рішення знаходиться на місці вектора вільних членів, а на місці вихідної матриці знаходиться одинична.

2.4 Алгоритм метода Жордана-Гаусса

Відомий класичний метод рішення систем лінійних рівнянь називається методом Гаусса - Жордана. Основна ідея цього методу полягає у зведенні системи рівнянь с невідомими до канонічного або ступінчастому увазі за допомогою елементарних операцій над рядками.

Алгоритм:

1.Вибирається перша колонка зліва, в якій є хоч одне відмінне від нуля значення.

2. Якщо саме верхнє число в цій колонці є нуль, то змінюється вся перший рядок матриці з іншого її рядком, де в цій колонці немає нуля.

3. Всі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.

4. З решти рядків віднімається відповідно багаторазово перший рядок з метою отримати першим елементом кожного рядка (крім першої) нуль.

5. Викреслюється перший рядок і перша колонка і на залишилася матриці повторюємо попередні кроки.

2.5 Постановка задачі метода Жордана-Гаусса

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими. Для методу Жордана-Гаусса її зручно зобразити у вигляді таблиці(2.4.1):

таблиця (2.4.1)- Система лінійних рівнянь

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
			…		…

Нехай потрібно виразити змінну з і-го рівняння системи, а потім потрібно підставити отриманий вираз в усі інші рівняння системи. Таке перетворення системи називають кроком Жорданових виключень з основним елементом .

Такі перетворення зручно виконувати користуючись таблицею (2.4.1), яка перейде в іншу таблицю за такими правилами:

Усі вільні елементи реально заданої системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто стовпець замінюють на протилежні;

Основний елемент замінюють на одиницю. Над основним стовпчиком записують , а біля рядка ;

Інші елементи основного стовпчика залишають без змін;

Інші елементи основного рядка і-го змінюють лише свої знаки;

Елементи, які не належать розв'язуючому рядку або стовпчику обчислюють наступним чином. Створюється двовимірний визначник, який складається з таких елементів попередньої таблиці:

а) елемента з цими ж індексами, що й в обчислювальному елементі;

б) основний елемент;

в) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (а) і стовпця з елементом (б);

г) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (б) і рядка з елементом (а).

Шуканий елемент обчислюється як добуток елементів (а) та (б) мінус добуток залишених елементів визначника.

Цю дію можна зобразити у вигляді формули:

Всі елементи таблиці (2.4.1) ділять на елемент . Тим самим створюють ще одну таблицю, але вже без стовпця з елементом , а рядок з елементом позначають так, як позначили вилучений стовпець.

Виконавши всі описані операції новостворена таблиця (2.4.2) матиме вигляд:

таблиця (2.4.2)- Система лінійних рівнянь

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
…	…	…	…	…	…
			…

Шукаючи невідомі системи лінійних алгебраїчних рівнянь продовжують виконувати операції 2...6, причому основним елементом вже не можна вибрати елемент I рядка, в якому вже був при попередніх Жорданових виключеннях використаний елемент. Операції продовжують бути, поки усі позначення рядків не будуть замінені позначеннями стовпців, тобто поки всі стовпці крім -го не будуть вилучені.

Шуканими елементами будуть елементи, які залишаться після всіх обчислень в рядках навпроти нових позначень даних рядків. Оскільки нові позначення рядків відповідають відповідним невідомим та елементи навпроти, будуть відповідати розв'язкам заданої системи. З обчислення випливає, що шукані невідомі опиняються в стовпці під позначенням стовпця вільних елементів.

З даного методу обчислення помітно, що для розв'язку система повинна мати однакову кількість рядків і невідомих, бо в протилежному випадку невідомі буде важко чи навіть неможливо знайти (коли невідомих більше чим рядків) даним методом.

Розв'язуючи систему вручну методом Жордана-Гауса, основним елементом зручно вибирати число на яке найменше ділити і, зрозуміло, що неможливо вибирати 0. для полегшення розв'язку при обчисленні кожен рядок зокрема можна скорочувати.

Оскільки комп'ютер не має логічного мислення, то йому важко задати вибирати зручніший елемент. Тому йому в програмі можна задати, щоб він вибрав перший можливий елемент для основного елемента.

2.6 Приклад використовування методу Жордана-Гаусса

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса:

Решение СЛАУ методом Жордано-Гаусса.

Запишемо систему у вигляді:

Послідовно будемо вибирати дозволяє елемент РЕ, який лежить на головній діаго-налі матриці.

Оскільки дозволяє елемент дорівнює нулю, то поміняємо рядка матриці.

Дозволяє елемент дорівнює (2).На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі. Всі інші елементи матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника. Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають дозволяє елемент РЕ.НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ

РЕ - дозволяє елемент (2), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.

Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці(2.6.1):

Таблиця (2.6.1)- Розрахунок елементів

x1	x2	x3	x4	B
2 / 2 = 1	3 / 2 = 1.5	3 / 2 = 1.5	1 / 2 = 0.5	-2 / 2 = -1

Оскільки дозволяє елемент дорівнює нулю, то поміняємо рядка матриці.



Дозволяє елемент дорівнює (-3.5).

На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.Всі інші елементи матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають дозволяє елемент РЕ.

Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці(2.6.2):

Таблиця (2.6.2)- Розрахунок елементів

x1	x2	x3	x4	B
0 / -3.5 = 0	-3.5 / -3.5 = 1	-6.5 / -3.5 = 1.86	1.5 / -3.5 = -0.43	16 / -3.5 = -4.57

Дозволяє елемент дорівнює (-1).

На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.

Всі інші елементи матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають дозволяє елемент РЕ.

Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці(2.6.3):

Таблиця (2.6.3)- Розрахунок елементів

x1	x2	x3	x4	B
0 / -1 = 0	0 / -1 = 0	-1 / -1 = 1	-1 / -1 = 1	0 / -1 = 0

Дозволяє елемент дорівнює (-2).

На місці дозволяє елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Всі інші елементи матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають дозволяє елемент РЕ.

Уявімо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці(2.6.4):

Таблиця (2.6.4)- Розрахунок елементів

x1	x2	x3	x4	B
0 / -2 = 0	0 / -2 = 0	0 / -2 = 0	-2 / -2 = 1	1 / -2 = -0.5



Відповідь: x1 = 7.07

x2 = -5.71

x3 = 0.5

x4 = -0.5

ВИСНОВКИ

Підводячи підсумок роботи, хочу зазначити, що в ході її роботи були розглянуті метод Жордана -Гаусса рішення системи лінійних та складена програма мовою Borland C++4.5. Було визначено,що метод Жордана -Гаусса є модифікацією методу Гауса.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. В.Д.Колдаєв, «Численные методы и программирование», Профессиональное образование,2009г.,с.336

2. Г.Н.Воробьева, А.Н.Данилова, «Практикум по численным методам», М., Высшая школа, 1979 г., с.184

3. Данилина Н.И., «Численные методы», М., Высшая школа, 1976 г., с. 368

4. Демидович Б.П., Марон И.А., «Основы вычислительной математики», М.,Наука, 1963 г., с.660

5. С.А.Калоеров, «Введение в программирование на языке С++»,: Учеб. Пособие,1999 г.,с.183

6. В.М.Долгіх, «Лінійна алгебра та аналітична геометрія», 2008г.,с.103

Дотаток А

Рішення системм лінійних рівнянь методом Гауса-Жордана мовою Borland C++4.5.

Дана система:

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <iostream.h>

main()

{

clrscr();

float a[11][11], b[11], x[11], t;

int i, j, k, m, n;

n=3;

a[1][1]= 2; a[1][2]= 1; a[1][3]=-1; b[1]= 2;

a[2][1]= 3; a[2][2]=1; a[2][3]=-2; b[2]=3;

a[3][1]= 1; a[3][2]= 0; a[3][3]= 1; b[3]= 3;

cout << "\n\n";

for (i=1; i<=n; i++)

{

for (j=1; j<=n; j++)

cout << a[i][j] << " ";

cout << b[i] << "\n";

}

double eps=.000001;

double max;

int max_i;

double lead, a_div_lead;

for(k=1; k<=n; k++)

{

max=0;

max_i=-1;

for(int i=k; i<=n; i++)

{

if(fabs(a[i][k])>max)

{

max=fabs(a[i][k]);

max_i=i;

}

}

if(max_i==-1 || fabs(a[max_i][k])<eps)

{

cout << "\n\n" << "Error: det=0" << "\n\n";

break;

}

lead=a[k][k];

for(j=k; j<=n; j++)

a[k][j]/=lead;

b[k]/=lead;

for(i=1; i<=n; i++)

{

a_div_lead=a[i][k]/a[k][k];

if(i!=k)

{

for(j=k; j<=n; j++)

a[i][j]-=a[k][j]*a_div_lead;

b[i]-=b[k]*a_div_lead;

}

}

}

cout << "\n\n";

for (i=1; i<=n; i++)

{

for (j=1; j<=n; j++)

cout << a[i][j] << " ";

cout << b[i] << "\n";

}

getch();

}

Размещено на Allbest.ru