Всякая совокупность n функций

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

справедливые при всех значениях x из интервала (a,b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

2. Постановка задачи

Цель работы: Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

Задание:

Дана матрица А системы (1) и вектор начальных условий В

В точке t0=0

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР)

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел

5. Решить задачу Коши

6. Найти координаты особых точек и определить их тип

7. Проинтегрировав численно не линейную систему в MATLAB, построить фазовый портрет

Нелинейная система:

dx/dt =x2 - y

dy/dt = cos(x)

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

матрица эйлер коши matlab

Запишем однородную систему линейных дифференциальных уравнений:

Если в матрице системы все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

(5)

Из этого уравнения степени n определяется значение л, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (5) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся формулой для его вычисления DET(A-лE)=0, где А - исходная матрица, Е - еденичная матрица:

Получили полином четвертого порядка, следовательно, корней характеристчисекого полинома должно быть 4.

Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE, которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор . Получим:

Получили два действительных корня, что не соответствует порядку полинома, значит, среди них есть кратные. Разложим многочлен на простые множители с помощью функции FACTOR:

Теперь видим, что имеем действительные разные корни кратности 2.

Тогда функции, образующие ФСР примут вид:

Матрицу yx, столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.

И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:

Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

4. Построение фундаментальной матрицы методом Эйлера

Метод Эйлера заключается в следующем.

Решение системы (1) находится в виде:

(6)

Функция (6) является решением системы (1), если - собственное значение матрицы А, а а- собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .

Случай действительных разных корней

Если собственные значения л 1, л 2, …, л n матрицы А действительные разные и б1, б2, …, бn соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы (2) определяется формулой:

(7)

где c1, c2, …, cn - произвольные константы.

Случай кратных корней

Пусть л k m - кратный корень, тогда решение системы принимает вид:

(8)

n - порядок системы, в нашем случае n = 4. Pi(x) - полиномы в степени m-1, имеющие в совокупности m произвольных коэффициентов. Среди коэффициентов этих полиномов m коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся n?m-m выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (8) в исходную систему уравнений (2), приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к n?m-m коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

Если для кратного собственного значения л матрицы А, имеется столько линейно независимых собственных векторов б1, б2, …, бm, какова его кратность, то ему соответствует m независимых решений исходной системы:

Проемонстрируем метод Эйлера для заданной системы А

Общее решение системы выглядит следующим образом:

Утверждая, что это решение, подставляем в исходную систему , предварительно вычислив производные от вектора решений у, и, сократив на е6х , получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:

Теперь выразим 6 коэффициентов через два свободных, то есть разрешим полученную систему относительно коэффициентов С1 и С2. Далее запишем вектор у с найденными коэффициентами:

Это будет являться решением для первого корня кратности 2 и проделаем тоже для второго корня кратности 2. Получим:

Теперь построим фундаментальную матрицу:

Доопределяя коэффициенты С1, С2, С3 и С4 равными 1, получим фундаментальную матрицу решений:

Таким образом, домножая транспонированную фундаментальную матрицу на столбец свободных коэффициентов, получаем общее решение однородной системы дифференциальных уравнений:

Сделаем проверку найденного решения с помощью формулы:

(*)

Получили нулевой вектор, значит, фундаментальная матрица найдена правильно.

5. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда

Дадим определение матричному ряду и экспоненциальной функции матрицы.

Матричные ряды. Рассмотрим бесконечную последовательность матриц , ,. Будем говорить, что последовательность матриц сходится к матрице А:

,

если при. Из определения нормы следует, что сходимость матриц эквивалентна поэлементной сходимости. Матричным рядом называется символ , причем говорят, что этот ряд сходится к сумме , если к f сходится последовательность частичных сумм Sk, где

Пусть , тогда можно определить степень матрицы А обычным образом:

(k раз).

Рассмотрим ряд, называемый степенным:

, , ,

где по определению положим A0 = En.Экспоненциальная функция матрицы. В качестве примера рассмотрим степенной ряд, равный:

.

Так как радиус сходимости соответствующего числового ряда

Равен бесконечности, то ряд сходится при всех А. Сумма ряда называется экспоненциальной функцией (экспонентой) и обозначается через еА, если ехр{А}.

Приближенно вектор решений можно найти как произведение матричного ряда:

и вектора начальных условий y0=[y1,y2, …..yk].Формула является матричной задачей Коши в приближенном виде.

Экспонентой матрицыА называется сумма ряда

где Е - единичная матрица.

Матрица является решением матричной задачи Коши:

т.е. является фундаментальной матрицей системы.

Найдем разложение матричного ряда по семи первым членам:

Вектор приближенных решений для семи членов ряда:

Первый столбец:

Второй столбец:

Третий столбец:

Четвертый столбец:

Результатом будет являться матрица 4*4:

Для проверки правильности разложения подставим нулевые условия. В результате получим единичную матрицу:

6. Построение общего решения матричным методом

Матричный метод решения системы уравнений (1) основан на непосредственном отыскании фундаментальной матрицы этой системы.

Экспонентой eA матрицы А называется сумма ряда

где Е - единичная матрица.

Свойство матричной экспоненты:

а) если АВ=ВА, то еА+В=еА*еВ= еВ *еА;

б) если SB=AS, то естьА=S-1*B*S, то еА=S-1*eB*S, где матрица S - это матрица преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных.

Исследование зависимости жордановой формы матрицы А от свойств матрицы системы

Пусть J - жорданова клетка матрицы А. Для случая действительных разных корней жорданова клетка будет выглядеть следующим образом:

Пусть среди действительных собственных чисел матрицы А есть кратные. Жорданова клетка будет находиться по следующей формуле:

Например, если кратность k=2, то жорданову клетку матрицы мы можем записать:

Если кратность k=3, то жорданову клетку матрицы мы можем записать так:

Если же среди трех собственных чисел являются корнями кратности 2, то жорданова форма будет выглядеть следующим образом:

Если два собственных числа матрицы А являются комплексными сопряженными, то запись жордановой клетки будет выглядеть, где - действительная, - мнимая часть собственного числа, так:

В нашем случае, мы получили 2 корня кратности 2, значит матрица В примет вид:

А матрицу Sв общем виде представим как:

Из уравнения A*S-S*В=0 получим:

Для того, чтобы полученная матрица была равна 0, приравняли все коэффициенты к 0. Затем доопределили некоторые из них , ,,. Получили матрицу Sв следующем виде:

Сделаем проверку SB-AS=0:

Получили нулевую матрицу, значит, матрица S преобразования переменных из собственного базиса в базис исходных переменных, найдена верно.

Для нахождения вектора решений y необходимо умножить матрицу S на , где - это вектор, элементы которого зависят от корней характеристического многочлена. . Представим B как , тогда получим:

, где ? - матрица без диагональных элементов, которая для нашего случая запишется как:

Как и в поиске приближенного решения в виде матричного ряда найдем и как сумму матричного ряда с числом членов ряда, равным четырем. Для запишем:

И получим:

Очевидно, что запишется в виде:

Тогда запишется в следующем виде:

И, окончательно, получим:

Отсюда найдем общее решение,получим: