ЛИСП-реализация основных операций над нечеткими множествами

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

• 2. Математические и алгоритмические основы решения задачи
• 2.1 Понятие нечеткого множества
• 2.2 Операции над нечеткими множествами
• 2.2.1 Содержание
• 2.2.2 Равенство
• 2.2.3 Пересечение
• 2.2.4 Объединение
• 2.2.5 Разность
• 2.2.6 Произведение
• 2.2.7 Отрицание
• 2.2.8 Дизъюнктивная сумма
• 2.2.3 Наглядное представление операций над нечеткими множествами
• 3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи
• 4. Программная реализация решения задачи
• 5. Пример выполнения программы
• Заключение
• Список использованных источников и литературы
• ВВЕДЕНИЕ
• Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.
• Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах известного американского математика Латфи Заде. Исследования такого рода было вызвано возрастающим неудовольствием экспертными системами. Хваленый "искусственный интеллект", который легко справлялся с задачами управления сложными техническими комплексами, был беспомощным при простейших высказываниях повседневной жизни, типа "Если в машине перед тобой сидит неопытный водитель - держись от нее подальше". Для создания действительно интеллектуальных систем, способных адекватно взаимодействовать с человеком, был необходим новый математический аппарат, который переводит неоднозначные жизненные утверждения в язык четких и формальных математических формул. Первым серьезным шагом в этом направлении стала теория нечетких множеств, разработанная Заде. Его работа "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 году в журнале "Information and Control", заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и стала начальным толчком к развитию новой математической теории. Он же дал и название для новой области науки - "fuzzy logic" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий).
• Чтобы стать классиком, надо немного опередить свое время. Существует легенда о том, каким образом была создана теория "нечетких множеств". Один раз Заде имел длинную дискуссию со своим другом относительно того, чья из жен более привлекательна. Термин "привлекательная" является неопределенным и в результате дискуссии они не смогли прийти к удовлетворительному итогу. Это заставило Заде сформулировать концепцию, которая выражает нечеткие понятия типа "привлекательная" в числовой форме.
• Дальнейшие работы профессора Латфи Заде и его последователей заложили фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.
• Аппарат теории нечетких множеств, продемонстрировав ряд многообещающих возможностей применения - от систем управления летательными аппаратами до прогнозирования итогов выборов, оказался вместе с тем сложным для воплощения. Учитывая имеющийся уровень технологии, нечеткая логика заняла свое место среди других специальных научных дисциплин - где-то посредине между экспертными системами и нейронными сетями.
• Свое второе рождение теория нечеткой логики пережила в начале восьмидесятых годов, когда несколько групп исследователей (в основном в США и Японии) всерьез занялись созданием электронных систем различного применения, использующих нечеткие управляющие алгоритмы. Теоретические основы для этого были заложены в ранних работах Коско и других ученых.
• Третий период начался с конца 80-х годов и до сих пор. Этот период характеризуется бумом практического применения теории нечеткой логики в разных сферах науки и техники. До 90-ого года появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике (30 - японских). Сорок восемь японских компаний создают лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансирует 5-летнюю программу по нечеткой логике, которая включает 19 разных проектов - от систем оценки глобального загрязнения атмосферы и предвидения землетрясений до АСУ заводских цехов. Результатом выполнения этой программы было появление целого ряда новых массовых микрочипов, базирующихся на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах заводов и моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами.
• В США развитие нечеткой логики идет по пути создания систем для большого бизнеса и военных. Нечеткая логика применяется при анализе новых рынков, биржевой игре, оценки политических рейтингов, выборе оптимальной ценовой стратегии и т.п. Появились и коммерческие системы массового применения.
• Целью данной курсовой работы является ЛИСП - реализация основных операций над нечеткими множествами.
• 1.Постановка задачи
• Требуется реализовать основные операции над нечеткими множествами:
• 1) содержание;
• 2) равенство;
• 3) пересечение;
• 4) объединение;
• 5) разность;
• 6) произведение;
• 7) отрицание;
• 8) дизъюнктивная сумма.
• Пример 1.
• Пусть:
• ;
• .
• Решение:
• 1. Содержание: так как
• , B доминирует A.

2. Равенство: так как

, следовательно A не равно B.

3. Пересечение: .

4. Объединение: .

5. Разность: .

6. Произведение:

7. Отрицание: ,

.

8. Дизъюнктивная сумма: .

Пример 2.

Пусть:

;

.

Решение:

1. Содержание: так как

, B доминирует A.

2. Равенство: так как

, следовательно A равно B.

3. Пересечение:

.

4. Объединение:

.

5. Разность:

.

6. Произведение

7. Отрицание:

,

.

7. Дизъюнктивная сумма:

.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие нечеткого множества

Нечёткое (или размытое, расплывчатое, туманное, пушистое) множество -- понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 г. в статье "Fuzzy Sets" (нечёткие множества) в журнале Information and Control [1]. Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только значения 0 или 1.

Под нечётким множеством A понимается совокупность

,

где-- X универсальное множество, а -- функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента нечёткому множеству A.

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве M. Множество M называют множеством принадлежностей, часто в качестве M выбирается отрезок . Если , то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

2.2 Операции над нечеткими множествами

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

2.2.1 Содержание

Говорят, что A содержится в B, если

.

Обозначение: A М B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.

2.2.2 Равенство

A и B равны, если

.

Обозначение: A = B.

2.2.3 Пересечение

Пересечением нечётких множеств A и B называется наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B:

.

2.2.4 Объединение

- наименьшее нечеткое подмножество, которое включает как А, так и В, с функцией принадлежности:



2.2.5 Разность

с функцией принадлежности:

.

2.2.6 Произведение

Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

.

2.2.7 Отрицание

Отрицанием множества A при называется множество с функцией принадлежности:

.

2.2.8 Дизъюнктивная сумма

Дизъюнктивной суммой нечетких множеств A и B называется множество с функцией принадлежности:

.

2.3 Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Пусть A нечеткий интервал между 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке 1 и 2.

Рисунок 1. Множество A Рисунок 2. Множество B

Проиллюстрируем нечеткое множество между 5 AND 8 около 4 (синяя линия).

Рисунок 3. Пересечение множеств А и В

Нечеткое множество между 5 OR 8 около 4 показано на следующем рисунке (синяя линия).



Рисунок 4. Объединение множеств А и В

Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия - это отрицание нечеткого множества A.

Рисунок 5. Отрицание множества А

На следующем рисунке заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству A и изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. Остальные рисунки изображают соответственно .

Рисунок 6. Множества

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Функциональные модели и блок-схемы решения задачи представлены на рисунке 7 - 14.

Условные обозначения:

· X1 - первое множество;

· X2 - второе множество;

· X - множество.

Рисунок 7 - Функциональная модель решения задачи для функции CONTENT (содержание)

Рисунок 8 - Функциональная модель решения задачи для функции EQUAL_ (равенство)



Рисунок 9 - Функциональная модель решения задачи для функции CROSSING (пересечение)

Рисунок 10 - Функциональная модель решения задачи для функции UNION (объединение)

Рисунок 11 - Функциональная модель решения задачи для функции SUBTR (разность)

Рисунок 12 - Функциональная модель решения задачи для функции MULT (произведение)



Рисунок 13 - Функциональная модель решения задачи для функции ADDITION (отрицание)

Рисунок 14 - Функциональная модель решения задачи для функции DIZ_SUMM (дизъюнктивная сумма)

4. Программная реализация решения задачи

;СОДЕРЖАНИЕ mA(x) < mB(x)

;РАВЕНСТВО mA(X) = mB(X)

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ min( mA(x), mB(x))

;ОБЪЕДИНЕНИЕ max(mA(x), m B(x))

;РАЗНОСТЬ А - B = АЗ с функцией принадлежности: mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x))

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ mA(x)* m B(x)

;ОТРИЦАНИЕ A^ = 1-mA(X)

;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:

;mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

;СОДЕРЖАНИЕ

;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A СОДЕРЖИТСЯ В МНОЖЕСТВЕ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0

(DEFUN CONTENT (X1 X2)

(COND

((NULL X1) 0)

((ATOM X1) (IF (> X1 X2) 1 0))

(T (+ (CONTENT (CAR X1) (CAR X2)) (CONTENT (CDR X1) (CDR X2))))

)

)

;РАВЕНСТВО

;ЕСЛИ МНОЖЕСТВО A РАВНО МНОЖЕСТВУ B - РЕЗУЛЬТАТОМ ФУНКЦИИ БУДЕТ 0

(DEFUN EQUAL_ (X1 X2)

(COND

((NULL X1) 0)

((ATOM X1) (IF (EQUAL X1 X2) 0 1))

(T (+ (EQUAL_ (CAR X1) (CAR X2)) (EQUAL_ (CDR X1) (CDR X2))))

)

)

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

(DEFUN CROSSING (X1 X2)

(MIN X1 X2)

)

;ОБЪЕДИНЕНИЕ

(DEFUN UNION (X1 X2)

(MAX X1 X2)

)

;РАЗНОСТЬ

(DEFUN SUBTR (X1 X2)

(MIN X1 (- 1 X2))

)

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(DEFUN MULT (X1 X2)

(* X1 X2)

)

;ОТРИЦАНИЕ

(DEFUN ADDITION (X)

(- 1 X)

)

;ДИЗЪЮНКТИВНАЯ СУММА

(DEFUN DIZ_SUMM (X1 X2)

(MAX (MIN X1 (- 1 X2)) (MIN (- 1 X1) X2))

)

;РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ

;С ПОМОЩЬЮ ОПИСАННЫХ РАННЕЕ ФУНКЦИЙ

;----------------------------------------------

;ПОЛУЧАЕМ МНОЖЕСТВА

(SETQ INPUT (OPEN " D:\MULTITUDE.TXT" :DIRECTION :INPUT))

(SETQ A (READ INPUT))

(SETQ B (READ INPUT))

(CLOSE INPUT)

;СОДЕРЖАНИЕ

(SETQ CONTENT_AB (IF (= (CONTENT A B)) "Mnowestvo A soderzitsya v mnowestve B" "Mnowestvo A NE soderzitsya v mnowestve B"))

;РАВЕНСТВО

(SETQ EQUAL_AB (IF (= (EQUAL_ A B) 0) "Mnowestvo A ravno B" "Mnowestvo A NE ravno B"))

;ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

(SETQ CROSS_AB (MAPCAR 'CROSSING A B))

;ОБЪЕДИНЕНИЕ

(SETQ UNION_AB (MAPCAR 'UNION A B))

;ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(SETQ MULT_AB (MAPCAR 'MULT A B))

;РАЗНОСТЬ

(SETQ SUBTR_AB (MAPCAR 'SUBTR A B))

;ОТРИЦАНИЕ

(SETQ A_ (MAPCAR 'ADDITION A))

(SETQ B_ (MAPCAR 'ADDITION B))

;ДИЗЪЮКТИВНАЯ СУММА

(SETQ DIZ_SUMM_AB (MAPCAR 'DIZ_SUMM A B))

;ЗАПИСЫВАЕМ РЕЗУЛЬТАТ ОПЕРАЦИЙ В ФАЙЛ

(SETQ OUTPUT (OPEN "D:\RESULT_OPERATIONS.TXT" :DIRECTION :OUTPUT))

(PRINT (LIST 'A A) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'B B) OUTPUT)

(PRINT 'OPERATIONS OUTPUT)

(PRINT '------------------------- OUTPUT)

(PRINT (LIST 'CONTENT_AB CONTENT_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'EQUAL_AB EQUAL_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'CROSS_AB CROSS_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'UNION_AB UNION_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'MULT_AB MULT_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'SUBTR_AB SUBTR_AB) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'A_ A_) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'B_ B_) OUTPUT)

(PRINT (LIST 'DIZ_SUMM_AB DIZ_SUMM_AB) OUTPUT)

(TERPRI OUTPUT)

(CLOSE OUTPUT)

;КОНЕЦ

5. Пример выполнения программы

Пример 1.

Рисунок 15 - Входные данные

Рисунок 16 - Выходные данные

Пример 2.

Рисунок 17 - Входные данные



Рисунок 18 - Выходные данные

Пример 3.

Рисунок 19 - Входные данные

Рисунок 20 - Выходные данные

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда нечеткое множество является четким (обычным), эти операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.

Итогом работы можно считать созданную функциональную модель реализации основных операций над нечеткими множествами. Созданная функциональная модель и ее программная реализация могут служить органической частью решения более сложных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ и литературы

Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708 с.

Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений [Электронный ресурс] / Заде Л. - М.: Мир, 1976. С. 166.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств [Текст] / А.Кофман. - М.: Радио и связь, 1982. С. 432.

Круглов, В.В. Нечёткая логика и искусственные нейронные сети. [Текст] / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. - М.: Питер, 2001. C. 224.

Нечеткое множество [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Нечеткое_множество

Симанков, В.С. Основы функционального программирования [Текст] / В.С.Симанков, Т.Т.Зангиев, И.В.Зайцев. - Краснодар: КубГТУ, 2002. - 160 с.

Степанов, П.А. Функциональное программирование на языке Lisp. [Электронный ресурс] / П.А.Степанов, А.В. Бржезовский. - М.: ГУАП, 2003. С. 79.

Хювенен Э. Мир Лиспа [Текст] / Э.Хювенен, Й.Сеппянен. - М.: Мир, 1990. - 460 с.