Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Хакасский технический институт - филиал КГТУ

Кафедра прикладной информатики

Расчетно-пояснительная записка

К курсовому проекту по дисциплине "Информатика"

Тема: Решение функциональных и вычислительных задач средствами пакетов прикладных программ MathCAD и электронных таблиц Excel

Выполнил:

студент группы 34-2

Липнягова Наталья

Проверил:

ассистент кафедры

прикладной информатики

Медведева Т.М.

Абакан, 2005

Содержание

Введение

Решение нелинейных уравнений

Решение системы нелинейных уравнений

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Интерполирование. Аппроксимация

Решение дифференциальных уравнений

Линейное программирование

Трендовый анализ

Создание электронной таблицы

Заключение

Список литературы

интерполирование аппроксимация линейный программирование трендовый

Введение

Фундаментальной чертой цивилизации является рост производства , потребления и накопления информации во всех отраслях человеческой деятельности. Вся жизнь человека, так или иначе, связана с получением, накоплением и обработкой информации. Что бы человек не делал: читает ли он книгу, смотрит ли он телевизор, разговаривает ли - он постоянно и непрерывно получает и обрабатывает информацию.

Увеличение информации и растущий спрос на нее обусловил появление отрасли, связанной с автоматизацией обработки информации - ИНФОРМАТИКИ.

В наше время существует множество всевозможных программ обработки информации.

В этой работе представлены две такие программы. Это EXCEL и Mathcad.

Mathcad - это пакет прикладных программ, для решения математических, физических, экономических, систематических им других видов задач.

Это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica ( математика) и CAD ( Computer Aided Design - системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами разного стиля, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными "живыми" примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

Mathcad содержит более ста операторов и функций предназначенных для численного и символьного решения задач, инструменты построения графиков различных типов в декартовой, полярной системе координат и т.д.

К важным достоинствам новых версий Mathcad относятся настройка под любой мало-мальски известный тип печатающих устройств, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В новые версии Mathcad включены эффектные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимационных ( движущихся) графиков и звукового сопровождения. Предусмотрена и возможность объединения и с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем - интегрированные системы.

В конце 2000 года выпущена новейшая версия системы - Mathcad 2001. В ней существенно повышены скорость вычислений и удобства работы, введен рад новых возможностей.

Как интегрированная система Mathcad содержит следующие основные компоненты:

Редактор документов - редактор с возможностью вставки математических выражений, шаблонов графиков и текстовых комментариев;

Центр ресурсов - интегратор ресурсов системы;

Электронные книги - электронные книги с описанием типовых расчетов в различных областях науки и техники;

Справочная система - система для получения справочных данных по тематическому и индексному каталогу, а также для поиска нужных данных по ключевому слову или фразе.

А также "быстрые шпаргалки" и броузер Интернета.

Возможности EXCEL очень высоки. В пакете Excel имеется программа проверки орфографии текстов, находящихся в ячейках рабочего листа, диаграммах или текстовых полях. Функции призваны облегчить работу при создании и взаимодействии электронными таблицами. Простейшим примером выполнения расчетов является операция сложения. Работать с электронными таблицами само по себе большое удовольствие, но если бы удалось превратить сухие столбцы чисел в наглядные диаграммы и графики. Такую возможность дает Excel. Для оформления документов Excel предлагает кроме графиков и диаграмм возможность создавать другие графические объекты, например, вычерчивать на экране, а потом распечатывать прямоугольники, эллипсы, прямые и кривые линии, дуги и др. Можно также выполнить рисунки с помощью отдельных графических объектов, что никто не будет подозревать, что они выполнены с помощью Excel, а не специально графического редактора. Обработка текста, управление базами данных - программа настолько мощна, что во многих случаях превосходит специализированные программы-редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может поначалу запутать, чем заставить применять на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей EXCEL тяжело достичь.

Решение нелинейных уравнений

1. Решение нелинейного уравнения графически с точностью до 0,001.

Для того, чтобы решить уравнение с данной точностью нужно задать интервал изменения х, с шагом 0,001:

где -1 - начальное значение переменной х, 1 - конечное значение переменной х, 0.0001 - шаг.

Зададим саму функцию

Построим график:

С помощью трассировки найдем точку пересечения графика с осью ох. Координат х будет являться решением этого уравнения:

Ответ: х = 0,303

2. Решение с помощью solve.

Символьный оператор solve можно взять на панели ключевых операторов.

где х - имя переменной, относительно которой решается данное уравнение.

Решение с помощью root.

Зададим начальное приближение:

Зададим функцию:

Ответ: х = 0,303

Мы решили систему нелинейного уравнения разными способами и во всех случаях получили одинаковый ответ, следовательно, решения проведены, верно.

Проверка

Ответ приблизительно равен о, следовательно, решение верно.

Решение системы нелинейных уравнений

1. Графически с точностью до 0,001

Выразим из уравнения у, и запишем в виде у(х):

Построим график, и с помощью трассировки найдем точки пересечения графика с осями:

Для первой точки:

Для второй точки:



2. Графически с помощью Given и Find.

Зададим начальное приближение х и у:

Зададим систему уравнений:

Для второго корня:

Значок "жирное" равно можно взять на булевой панели или нажав клавиши



Сделаем проверку:

Мы решили систему нелинейных уравнений разными способами и получили примерно одинаковые ответы, следовательно, решения верны.

Решение системы линейных алгебраических уравнений

1. Решение СЛАУ с помощью given(дано) и find(найти).

Сделаем проверку:



2. С помощью функции lsolve.

Задаем матрицу А, состоящую из коэффициентов при неизвестных, и матрицу В, состоящую из свободных коэффициентов.

3. С помощью обратной матрицы.

Задаем матрицу А и В :

по формуле вычисляем:

И делаем проверку:

В результате получилась матрица В, следовательно, расчет проведен правильно.

4. По формулам Крамера.

Вводим матрицы А и В:

Вычисляем главный определитель из коэффициентов матрицы А:

Главный определитель отличен от нуля, следовательно, существует единственное решение.

Вычислим определитель А1 заменив первый столбец матрицы А, столбцом матрицы В. И найдем значение 1

Теперь мы можем найти значение x₁:

Аналогично находим x₂, x₃, x₄:

5. Методом Гаусса.

С помощью функции augment формируем расширенную матрицу АB:

Обращаемся к методу Гаусса с помощью функции rref:

Последний столбец является решением данной СЛАУ.

С помощью функции submatrix выделим нужный нам столбец элементов, где Ar - данная матрица; 0 и 3 - начальный и конечный номер строки выделяемого блока соответственно; 4и 4 - начальный и конечный номер столбца выделяемого блока соответственно.



Мы решили СЛАУ разными способами, и видим, что результаты получились во всех случаях одинаковыми, следовательно, все решено, верно

Интерполирование. Аппроксимация

Найти приближенное значение функции при заданном аргументе.

Зададим значения:

1. С помощью линейной интерполяции.

Интерполирование - нахождение приближенной функции ( или замена таблично-заданной функции, приближенной функцией в виде формулы.



2. С помощью параболического сплайна.

Сплайн - математическая модель гибкого тонкого стержня из упругого материала.

где КР - Вектор второй производной при приближении в угловых точках к прямой линии кубического полинома.

Найдем значение в точке Dx:

Построим график:

3. С помощью линейной аппроксимации.

Порядок полинома равен 1:

4. Методом наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов: сумма квадратов разностей аппроксимй функцией и функцией заданной таблично, должна быть минимальной.

Зададим значения:



Порядок трем:

Функция rows вычисляет количество строк х

Запишем матрицы А и b:

Рассчитаем погрешность:

СР < 1, следовательно найдено все верно.

Построим график:

5. С помощью полиномиальной регрессии.

Функция rows вычисляет количество строк х

Функция regress возвращает вектор чисел в котором имеются коэффициенты

Рассчитаем погрешность:

Результат получился меньше единицы, следовательно, решение верно.

Построим график:

Решение дифференциальных уравнений

Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутта.

где у1 - вектор начальных условий; 0,5 - начальное значение переменной х; 1,5 - конечное значение переменной х; 20 - число узлов на отрезке [0,5;1,5]; f - вектор, содержащий правые части разрешенного, относительно старшей производной дифференцированного уравнения.

Построим график:

Линейное программирование

Решить задачу линейного программирования средствами пакетов прикладных программ Mathcad и Excel. В электронной таблице Excel представить две таблицы: одну с результатами, другую с формулами.

Задача: Для изготовления трех видов изделий А, В, С используется токарное, фрезерное, шлифовальное и сварочное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования приведены в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Тип оборудования	Затраты времени (станко-час) на обработку одного изделия вида	Общий фонд рабочего времени оборудования (ч)	Ограничения
	А	В	С
Фрезерное	2	4	5	120	120
Токарное	1	8	6	280	168
Сварочное	7	4	5	240	240
Шлифовальное	4	6	7	300	204
Прибыль(у.е)	10	14	12

Требуется определить, сколько изделий, и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.



Ячейка F3: =B3*B14+C3*C14+D14*D3

Ячейка F4: =B4*B14+C4*C14+D4*D14

Ячейка F5: =B5*B14+C5*C14+D5*D14

Ячейка F6: =B6*B14+C6*C14+D6*D14

Ячейка F9: =B7*B14+C7*C14+D7*D14

Мы задали ряд у с именем $B$2 и значением $B$3:$B$8, а также подписали ось х: $A$3:$A$8 и построили линию тренда полиномиального вида.

Выполним отчет по результатам

Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$F$9	Целевая функция Ограничения	0	492

Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$B$14	А	0	24
	$C$14	В	0	18
	$D$14	С	0	0

Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	формула	Статус	Разница
	$F$4	Токарное Ограничения	168	$F$4<=$E$4	не связан.	112
	$F$5	Сварочное Ограничения	240	$F$5<=$E$5	связанное	0
	$F$6	Шлифовальное Ограничения	204	$F$6<=$E$6	не связан.	96
	$F$3	Фрезерное Ограничения	120	$F$3<=$E$3	связанное	0
	$B$14	А	24	$B$14=целое	связанное	0
	$C$14	В	18	$C$14=целое	связанное	0
	$D$14	С	0	$D$14=целое	связанное	0
	$B$14	А	24	$B$14>=0	не связан.	24
	$C$14	В	18	$C$14>=0	не связан.	18
	$D$14	С	0	$D$14>=0	связанное	0

Составим математическую модель задачи

Пусть х1 - количество изделий, требуемое для получения максимальной прибыли, вида А

х2 - количество изделий, требуемое для получения максимальной прибыли, вида В

х3 - количество изделий вида, требуемое для получения максимальной прибыли, вида С

Зададим целевую функцию.

Начальное значение изделий принимаем, равным нулю:

Также эти значения не могут быть отрицательными:

У нас есть ограничения по времени

Воспользуемся функцией Maximize:

Проверим не выходят ли наши значения за рамки ограничений:

И посчитаем максимальную прибыль:

Мы нашли прибыль от реализации полученного количества товаров.

Данные, полученные при решении задачи с помощью линейного программирования, и с помощью математической модели совпадают, следовательно, расчеты проведены, верно.

Трендовый анализ

Построить линию тренда и найти приближенную функцию.

Создание электронной таблицы

Таблица с формулами.

Таблица с результатами.

С помощью функции СУММ мы посчитали общий фонд заработной платы: =СУММ(F2:F11)

С помощью функции МАКС мы посчитали наибольший оклад: =МАКС(F2:F11)

С помощью функции МИН мы посчитали наименьший оклад: =МИН(F2:F11)

С помощью функции ДНЕЙ360 мы посчитали стаж каждого работника: =ДНЕЙ360(E2;H2).

Заключение

Выполнив задание данной курсовой работы, мы можем подвести итог.

Все задание были выполнены с помощью пакета прикладных программ MathCAD и электронных таблиц EXCEL, оформление работы выполнено с помрщью текстового редактора Word.

Выполнение первой части заданий, относящихся к MathCADу, не составило большого труда, поскольку некоторые функции существенно облегчили выполнение задач. Например, первое задание - решение нелинейных уравнений, можно выполнить за несколько минут, причем способов решения достаточно, чтобы увидеть погрешности расчетов и определить наиболее точный и легкий метод решения. Решение уравнения графически позволяет не только увидеть сам график функции, но и найти приближенные значения корней уравнения. Функции solve и root позволяют найти наиболее точные значения корней уравнения; но как можно заметить, функция root решает уравнение намного быстрее, а ответ мы получили тот же.

Выполняя курсовую работу, мы убедились в том, что возможности программы MathCAD действительно широки. Данная программа позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений, что мы и проделали в третьем задании. Решений систем много, но проделанная работа позволяет оценить преимущества и недостатки того или иного метода: некоторые кратки, но при этом не менее точны; некоторые длинны в решении, что позволяет разобраться в методике решения.

Новым и, несомненно, интересным в курсовой работе было решение четвертого задания. Это интерполирование и аппроксимация, сплайн и регрессия. Решение с помощью линейной интерполяции (функция linterp). Параболического сплайна (функции pspline и interp) и линейной аппроксимации (intercept и slope) достаточно простое и быстрое, по сравнению с ними решение методом наименьших квадратов и с помощью полиномиальной регрессии кажутся громоздкими и сложными. Однако решение данной функции не составит труда, если немного задуматься над самим методом решения, и, если не возникнет проблем с математикой, то ответ можно получить достаточно быстро.

Решение дифференциальных уравнений в математике может вызвать множество вопросов и содержать неточности. Что же касается MathCADа, то все, что нужно сделать, чтобы получить ответ - ввести уравнение и задать необходимую функцию. Всю вычислительную работу проделает компьютер. Решение дифференциального уравнения методом Рунге - Кутта позволило выполнить задание в считанные минуты.

Пакет прикладных программ MathCAD допускает применение линейного программирования, с помощью которого было найдено решение задание шестого задания. Все решение этой задачи занимает несколько строк, причем используется минимальное количество функций: given - для задания ограничений, maximize - для поиска максимальной прибыли.

Если в MathCADе для решения задачи требовалось задать просто некоторые функции, то, решая задачу в EXCEL, можно почувствовать себя экономистом, вводя в ячейки данные о прибыли фирмы. В действительности, решение задачи при помощи электронных таблиц MathCAD также не представляет огромного труда, если знать возможности программы и потренироваться в применении ее. По сути дела от нас потребовалось только ввести данные в ячейки, задать ограничения и целевую функцию. Само решение можно найти, открыв окно "поиск решения".

Что же касается построения линии тренда, то и здесь все оказалось очень простым . Построение графика таблично заданной функции не занимает много времени, а добавление к нему самой линии тренда еще меньше.

Решение самых разнообразных задач с помощью программ MathCAD и EXCEL может существенно облегчить работу любому специалисту. Выполнив задания курсовой работы, мы в этом убедились и на основе опыта, полученного благодаря данной работе, можем и в дальнейшем применять и математический пакет прикладных программ EXCEL и электронные таблицы EXCEL.

Список литературы

1. Электронные таблицы Microsoft Excel: методические указания к выполнению лабораторных и Расчетно - графических работ для студентов /Сост. Т.В.Соловьева. Красноярск, КГТУ,2002.28 с.

2. Симонович С.В. Информатика. Базовый курс. - Спб., Питер.: 1999.

3. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 PRO.-М.: ДМК Пресс, 2001.-576с.

4. Долженков В.А., Колесников Ю.В. Microsoft Excel 2000. - Спб, Питер, 2000. - 642с.

Размещено на Allbest.ru