Структура и качество оптического изображения

Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

. (12)

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием - преобразованием Фурье:

(13)

или

или ,

где F - обозначение Фурье преобразования:

. (14)

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция - это комплексная функция:

. (15)

Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными (формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции).

Рисунок 8 - Схема формирования оптического изображения.

Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.8). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки A₀, и после идеальной оптической системы сходится в точке A₀. Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты S_w и S_w. Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам:

- преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся,

- ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта,

- ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля,

- нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля.

Рассмотрим поле на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте . Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт - поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю =0. При отсутствии аберраций амплитуда поля единичная, следовательно поле на волновом фронте . Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта:

, (21)

где - расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча.

Поле на выходной сфере математически можно представить в виде:

, (22)

где - волновая аберрация, - зрачковая функция.

В выражении (22) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций.

Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением:

, (23)

где - канонические зрачковые координаты, - функция пропускания по зрачку, - область зрачка в канонических координатах.

Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции.

Рисунок 9 - Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.

Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис. 9):

. (23)

Используя зрачковую функцию, выражение (9.23) можно записать в виде:

. (24) Поскольку и, то множитель можно представить в виде . Множитель , следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (24) преобразуется так:

(25)

можно выразить через и (рис. 10).

Рисунок 10 - Связь с радиусом выходной сферы и расстоянием

от выходной сферы до точки

Отрезок , причем - для крайнего луча, а для остальных лучей: , . Теперь интеграл (25) можно записать так:

. (26)

Введем канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении:

 . (27)

Тогда в канонических координатах получим:

. (28)

Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (28), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье:

. (29)

Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах.

Функция рассеяния точки - это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды . Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение:

. (30)

Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах:

, (31)

где - канонические пространственные частоты:

(32)

Канонические частоты безразмерные: . В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией:

. (33)

Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции:

, (34)

где - площадь зрачка в канонических координатах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. и др. Теория оптических систем. - М.: Машиностроение, 2004

2. Дубовик А.С. Прикладная оптика. - М.: Недра, 2002

3. Нагибина И.М. и др. Прикладная физическая оптика. Учебное пособие.- М.: Высшая школа, 2002