Размещено на http://www.allbest.ru/

Некоммерческое акционерное общество

«АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ»

Кафедра телекоммуникационных систем

Расчетно-графическая работа № 2

по дисциплине: Основы цифровой обработки сигналов

на тему: «Цифровые фильтры»

Специальность: 050719 Радиотехника, электроника и телекоммуникации

Выполнил: Усен М. № зачетной книжки 103328 Группа БРЭ-10-07

Руководитель: ст. преп. Богомолова Л.Г.

Алматы 2013



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. ЗАДАЧА 1. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТР

1.1 Условие задачи 1. Исходные данные

1.2 Выполнение задания 1

1.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}

1.2.2 Определение дискретной свертки

1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра

1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала

2. ЗАДАЧА 2. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1 Условие задачи 2. Исходные данные

2.2 Выполнение задания 2

2.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ

2.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра

2.2.3 Отсчеты импульсной характеристики

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

При изучении аналоговых сигналов и линейных аналоговых систем введение преобразования Лапласа оказывается очень полезным. На его основе определяются такие фундаментальные понятия, как передаточная функция, частотные характеристики, устойчивость цепей и т. д. В цифровой обработке сигналов подобным преобразованием является Z-преобразование. Оно позволяет упростить многие формулы, определить основные фундаментальные понятия и оказывается очень наглядной и удобной формой представления процессов, протекающих при цифровой обработке.

Представления функции f(t) в трех областях (временной, частотной и р-области) однозначно взаимосвязаны, поэтому в какой бы области ни была задана исходная функция, можно аналитически получить ее представление в других областях, разумеется, при выполнении условий существования соответствующих преобразований.



1. ЗАДАЧА 3. НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

1.1 Условие задачи 3

1. Вычислить Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

2. Определить дискретную свертку {y(n)}, если импульсная характеристика системы имеет вид (см. таблицу 1.1). Определить системную функцию H(Z).

3. Построить схему нерекурсивного фильтра, которому соответствует системная (передаточная) функция H(Z) и позволяющего получить рассчитанные выходные отсчеты {y(n)}.

4. По заданному Z-преобразованию X(Z) определить отсчеты дискретного сигнала {x(n)}, согласно своему варианту.

Исходные данные приведены в таблице 1.1.

Т а б л и ц а 1.1 - Исходные данные

{x(n)}=	1,1,0,0,1,0…
{h(m)}=	1,2,2,3,1
X(Z)=

1.2 Выполнение задания 1

1.2.1 Z-преобразование дискретной последовательности отсчетов сигнала {x(n)}

Дана дискретная последовательность отсчетов сигнала:

{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}

Прямое одностороннее Z-преобразование имеет вид:

Подставив значения, получим:

дискретный сигнал свертка фильтр

1.2.2 Определение дискретной свертки

{x(n)}= {1,1,0,0,1,0…}, {h(m)}= {1,2,2,3,1}

Сигнал на выходе дискретной цепи связан с сигналом на входе цепи формулой дискретной свертки, поэтому n-ый отсчет дискретной выходной последовательности рассчитывается как:

где - импульсная характеристика цепи.

				1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

1. n=0

h(0-m)

			1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

2. n=1

h(1-m)

		1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

3. n=2

h(2-m)

	1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

4. n=3

h(3-m)

1	1	0	0	1	0
1	3	2	2	1

5. n=4

h(4-m)

1	1	0	0	1	0
	1	3	2	2	1

6. n=5

h(5-m)

1	1	0	0	1	0
		1	3	2	2	1

7. n=6

h(6-m)

8. n=7

1	1	0	0	1	0
			1	3	2	2	1

h(7-m)

9. n=8

1	1	0	0	1	0
				1	3	2	2	1

h(8-m)

10. n=9

1	1	0	0	1	0
					1	3	2	2	1

h(9-m)

y(n)={1,3,4,5,5,3,2,3,1,0…}



На рисунке 1.1 и 1.2 заданы графически воздействие и импульсная характеристика. График вычисленной реакции приведен на рисунке 1.3

Рисунок 1.1 - График воздействия

Рисунок 1.2 - График импульсной характеристики



Рисунок 1.3 - График вычисленной реакции

Системная функция будет иметь вид:

C другой стороны, передаточной (системной) функцией дискретной цепи называют отношение Z-преобразований выходного и входного дискретных сигналов:



Результаты обоих способов совпали.

1.2.3 Схема нерекурсивного фильтра

КИХ-фильтры реализуются на основе свертки двух функций. Первая функция является входным сигналом , а вторая называется ядром фильтра и определяет его импульсную характеристику

. (1.1)

Структурная схема (прямая структура), реализующая алгоритм (1.1) приведена на рисунке 1.4. Её транспонированная реализация приведена на рисунке 1.5

Алгоритм (1.1) можно представить в виде

(1.2)

где - а₀, а₁, …а_m действительные постоянные («весовые») коэффициенты; m - порядок нерекурсивного фильтра, т. е. максимальное число запоминаемых чисел.

Формулы (1.1) и (1.2) тождественны, а коэффициенты а₀, а₁, …а_m совпадают с соответствующими отсчетами импульсной характеристики фильтра h₀, h₁, …, h_m.



Рисунок 1.4 - Прямая структурная схема нерекурсивного ЦФ

Рисунок 1.5 - Транспонированная структурная схема нерекурсивного ЦФ

1.2.4 Определение отсчетов дискретного сигнала

Дано Z-преобразование. Отыскание оригинала, т. е. функции s_Д(t) или x(n), по заданному изображению X(Z) производится с помощью разложения на простые дроби:

Согласно формулам

И

Видно, что первое слагаемое является суммой бесконечной прогрессии с первым членом и знаменателем z^-1, а второе слагаемое - дискретной показательной функции . Следовательно, искомая последовательность имеет вид:

Найденные отсчеты:

{x(n)}={1,25;0,938;1,016;0,996;1,001…}

2. ЗАДАЧА 4. РЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

2.1 Условие задачи 2. Исходные данные

1. Определить передаточную характеристику передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ.

Коэффициенты числителя «» и знаменателя «» определяются согласно своему варианту.

2. Разработать структурную схему рекурсивного фильтра, реализующую полученную передаточную функцию (прямую, каноническую и транспонированную реализации).

3. Рассчитать первые три отсчета импульсной характеристики фильтра {h(n)}, полученные при прохождении через разработанный фильтр сигнала {x(n)}={1,0,0}.

Таблица 2.1 - Исходные данные

Коэффиценты числителя	а0	2
	а1	1
	а2	3
	а3	4
	а4	6
	а5	0
Коэффиценты знаменателя	в1	2
	в2	2
	в3	5
	в4	3
	в5	3

2.2 Выполнение задания 2

2.2.1 Передаточная характеристика рекурсивного ЦФ

Алгоритм цифровой фильтрации рекурсивного ЦФ имеет вид:

(2.1)

где b_i и a_j - вещественные коэффициенты.

Или используя (4.13) [2]:

(2.2)

Перегруппировав входные и выходные отсчеты по разные стороны знака равенства, получим традиционную форму записи разностного уравнения:

(2.3)

Применив Z-преобразование к (2.2; 2.3) и решив его относительно , найдем передаточную (системную) функцию рекурсивного ЦФ (5.6)[2]:

(2.4)

H (Z) =

2.2.2 Структурные схемы рекурсивного фильтра

Прямая форма рекурсивных фильтров реализуется непосредственно по его разностному уравнению (2.2) или по передаточной функции (7.2). Она содержит один сумматор, умножители и N+M-2=10 элемента задержки. Порядок фильтра равен пяти (см. рисунок 2.1). Недостаток такого способа реализации - сравнительно большое число ячеек памяти, уменьшить количество которых позволяет каноническая форма (см. рисунок 2.2).

Рисунок 2.1 - Прямая структура рекурсивного фильтра

Рисунок 2.2 - Прямая каноническая структура рекурсивного фильтра

Транспонированная структура представлена на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Транспонированная структура рекурсивного фильтра

2.2.3 Отсчеты импульсной характеристики

Воздействие имеет вид:

{x(k)}={1,0,0,…}

1) На вход поступает единичный импульс, умножается на a₀ и проходит на выход. Получим:



2) Далее входной единичный импульс попадает на входную линию задержки, а выходной отсчет а₀ - в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как

.

3) Если продолжить рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить:

Далее:

В итоге имеем:

{h(n)}={2,5,17,58}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нерекурсивные фильтры суммируют при расчетах некоторое число входных отсчетов сигнала, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты. Вследствие этого в схеме отсутствют обратные связи, что в свою очередь говорит об устойчивости нерекурсивных фильтров. В реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Простота анализа и реализации, а также наглядная связь коэффициентов фильтра с отсчетами его импульсной характеристики и абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике.

Рекурсивные фильтры суммируют при расчетах не только входные, но и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов сигнала, умножая их при этом на постоянные весовые коэффициенты. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного.

При прямой реализации в линиях задержки хранятся непосредственно отсчеты входного и выходного сигналов, то есть повышенная разрядность линий задержки не требуется. При канонической реализации используется общая линия задержки, что уменьшает число необходимых ячеек памяти. Транспонированная схема позволяет эффективно распараллелить вычисления и потому применяется при реализации дискретных фильтров в виде специализированных интегральных схем. При релизации фильтра в прямой и канонической формах можно одновременно выполнять все операции умножения, но для получения выходного результата необходимо дождаться окончания выполнения всех операций сложения. В транспонированной же схеме, помимо умножения, можно одновременно выполнять и все операции сложения, поскольку они являются независимыми.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бойко В. И., Гуржий А. Н., Жуйков В. Я., Зорн А. А., Спивак В. М., Багрийй В. В. Схемотехника электронных систем. Цифровые устройства. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 512 с.

2. А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. Основы цифровой обработки сигналов. Курс лекций. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

3. Радиотехнические цепи и сигналы/ Под ред. К. А. Самойло. - М.: Радио и связь, 1982. - 528 с.

4. Казиева Г. С. Основы цифровой обработки сигналов в телекоммуникационных системах. Конспект лекций. - Алматы: АИЭС, 2006. - 46 с.

5. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов. Учебное пособие. - М.: Радио и связь, 1988. - 368 с.

Размещено на Allbest.ru