Расчёт цифровой системы управления со стандартным П–регулятором

Размещено на http://www.allbest.ru/

[Введите текст]

ЗАДАНИЕ

1. Для синтезируемой ЦСУ непрерывным объектом определить требуемый период дискретизации Т работы системы управления.

2. Определить дискретную передаточную функцию W(z) разомкнутой системы, состоящей из непрерывного объекта и импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка (фиксатором).

3. Рассчитать критический (граничный) коэффициент усиления замкнутой ЦСУ со стандартным П-регулятором (максимальное значение коэффициента П-регулятора, при котором система выходит на границу области устойчивости).

4. Рассчитать переходные процессы замкнутой ЦСУ со стандартным П (ПС) - регулятором отработки входного воздействия yзад (nT0) = 1(nT0) при нулевых начальных условиях объекта управления. Параметры регулятора определить (или подобрать) из условия, чтобы перерегулирование системы не превышало . Определить время переходного процесса tnn и статическую точность е системы.

5. Определить импульсный модальный регулятор для заданного импульсного объекта с передаточной функцией W(z). Правильность синтеза модального управления проверить построением переходного процесса синтезированной ЦСУ.

Исходные данные:

,

где =1,

Т=1.



1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ЦСУ

Требуется найти и рассчитать систему таким образом, чтобы её выходная величина соответствовала заданию, причём выходила на требуемый уровень за определённое время с заданными параметрами качества, т.е. должно быть обеспечено соответствующее качество переходного процесса.

Выход на заданное значение при действии возмущения, приводящего к появлению ошибки, невозможен без наличия обратной связи, которая компенсирует возникающую ошибку, т.е. разницу между выходной величиной и заданием.

Переходный процесс, т.е. процесс от начала работы ЦСУ до её выхода на установившееся значение, также должен осуществляться с заданными технологическими показателями - временем переходного процесса, перерегулированием и статической ошибкой. Это обеспечивается введением управляющих алгоритмов - П, ПИ или ПИД-регуляторов. Кроме того, улучшение качества переходного процесса может быть достигнуто введением импульсного модального регулятора.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ДИСКРЕТИЗАЦИИ

цифровой система управление бойчук

Допустимая величина периода дискретизации T может быть определена 3 способами:

теорема Котельникова: для того, чтобы непрерывный сигнал с частотным спектром, ограниченным максимальной частотой , можно было точно восстановить по последовательности его дискретных значений, необходимо, чтобы частота квантования должна удовлетворять неравенству



(2.1)

Т.к. , то

(2.2)

метод П.Т. Крутько

(2.3)

при (2.4)

Из формул (3.3) и (3.4) получаем следующие рекомендации для выбора периода квантования

(2.5)

метод М.Н. Мазурова

, (2.6)

где - время достижения кривой разгона (т.е. переходной функции объекта) 95 % - ого уровня по отношению к установившемуся значению.

Для нашей системы цифрового управления воспользуемся методом П.Т. Крутько (для определения ) и теоремой Котельникова (для определения периода дискретизации Т).

Найдем амплитудно-фазовую характеристику (АЧХ):

(2.7)

где .

Т.е. .

Строим АЧХ:

Рис. 1

Из АЧХ определяем частоту среза . Она находится при условии при . Тогда получаем: .

Теперь найдем максимальную частоту: (т.е проходит через ноль).

Зная максимальную частоту , находим период дискретизации по теореме Котельникова:

.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Так как дискретные объекты описываются разностными уравнениями, а непрерывная часть - дифференциальным уравнением, то возникает задача построения дискретного описания системы, которая состоит в определении единого разностного уравнения, описывающего данную систему в целом.

Эта задача может решаться следующими способами:

непосредственная дискретизация дифференциальных уравнений.

Этот метод можно применять, когда , где - постоянная времени непрерывной части, причём он является весьма приблизительным;

дискретное преобразование Лапласа

(3.1)

Z-преобразование

Вводя обозначение , получаем



(3.2)

Рис. 2

Получившуюся ЦСУ можно описать двумя способами:

С помощью дискретной передаточной функции

(3.3)

причём (критерий устойчивости)

С помощью разностных уравнений

Зная передаточную функцию (4.3) легко записать разностное уравнение, которым описывается данная система. Рассмотрим на примере передаточной функции II порядка

Применяя основное свойство пропорции и подставляя замены:

, , , , , получаем



(3.4)

Для расчёта переходных процессов уравнение (4.4) записывают в виде

(3.5)

Определим дискретную передаточную функцию нашей разомкнутой системы (предполагается наличие экстраполятора нулевого порядка):

(3.6)

Используя подстановку , получим

Тогда

(3.7)

Найдём .

(3.8)



По методу Остроградского находим коэффициенты А, В и С:

Возвращаясь к выражению (4.8), получаем:

.

Воспользовавшись таблицей Z-преобразований, получим

(3.9)

Возвращаясь к выражению (4.7) и учитывая, что период дискретизации Т=0.17 с, получаем дискретную передаточную функцию нашей разомкнутой системы:

(3.10)



4. КРИТИЧЕСКИЙ (ГРАНИЧНЫЙ) КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ ЗАМКНУТОЙ ЦСУ СО СТАНДАРТНЫМ П-РЕГУЛЯТОРОМ

Выполним этот пункт с помощью критерия Гурвица: корни полинома , где аi > 0 лежат в левой полуплоскости тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры матрицы размерности n*n:

. (4.1)

При составлении матрицы Гурвица первая строка заполняется коэффициентами характеристического полинома с нечетными индексами, вторая - с четными. Дальше пары строк получаются смещением вправо первой пары на один, два и т.д. столбцов. Все коэффициенты с индексами, большими степени полинома, заменяются нулями.

Из (4.1) получаются определители Гурвица (главные миноры матрицы):

.



Указанные критерии непосредственно можно использовать для исследования устойчивости непрерывных систем с характеристическими полиномами . Для дискретных (цифровых) систем эти критерии неприменимы, так как на отрицательность вещественных частей корней необходимо исследовать многочлены вида

A*(esT)=a0 esnT+a1es(n-1)T+ ... + an-1esT + аn. (4.2)

Многочлен (4.2) с использованием известного обозначения z = е-sT можно записать в виде полинома

, (4.3)

но корни которого будут иметь значения |z|=| е-snT| 1. Чтобы корни |z|1 перевести в корни с отрицательными вещественными частями, как того требуют указанные критерии, к характеристическому уравнению применяют билинейное преобразование

. (4.4)

Перейдем от разомкнутой функции

к замкнутой, которая находится по формуле:



(4.5)

Чтобы получить выражение замкнутой ЦСУ П-регулятора, надо домножить в выражении (4.5) на коэффициент усиления Кр члены :

(4.6)

(4.7)

Из последнего выражения следует, что коэффициент усиления числителя Кр=0, тогда найдем Кр знаменателя по критерию Гурвица (из условия, что все определители матрицы больше нуля):

(4.8)

Заменив в формуле (4.8) z по формуле (4.4), приходим к следующему выражению:

(4.9)

После преобразований уравнения (4.9), получим:

. (4.10)

Следовательно, , , , где , , ; и матрица Гурвица имеет вид

.

В соответствии с критерием Гурвица, условия устойчивости будут:

1) >0,

2) , (4.11)

3) >0.

Из (4.11) получаются, определяем А0, А1, А2:

; ;

Тогда:

.



По условию критичный (граничный) коэффициент усиления должен быть больше нуля, отсюда получаем область значений Кр: .

5. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЗАМКНУТОЙ ЦСУ С П-РЕГУЛЯТОРОМ

Один из способов улучшения качества переходного процесса синтезируемой ЦСУ состоит в применении специальных цифровых алгоритмов управления - П, ПИ или ПИД-регуляторов, непрерывные аналоги которых широко использовались в системах автоматического управления.

Для синтеза нашей ЦСУ применим дискретный П-регулятор, передаточная функция которого в Z-форме имеет вид:

, (5.1)

где Кр - коэффициент регулирования, выбираемый из условия получения переходного процесса требуемого качества.

Структурная схема нашей замкнутой цифровой системы управления с П-регулятором будет иметь вид:

Рис. 3

Тогда передаточная функция этой системы с учётом выражения (3.11) запишется как:



(5.2)

Для расчёта переходного процесса перейдём к описанию с помощью разностных уравнений. Домножая числитель и знаменатель на и производя замену

, , , , , получим:

(5.3)

Составим уравнения будущего значения переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются из уравнения (5.3) обозначением (новое время). Тогда получим:

(5.4)

(5.5)

Наилучшее качество переходного процесса обеспечивается при Кр=1.

Найдем первые 5 значений разностного уравнения при заданных начальных условиях - на входе единичное ступенчатое воздействие и , а :

n=0

;

n=1

n=2

;

n=3

;

n=4

.

Построим график переходного процесса.

Рис. 4



Учитывая, что переходный процесс считается завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения, получаем из графика:

1) Время переходного процесса определяем, проведя прямые на уровнях 0.95 и 1.05:

(с).

2) Перерегулирование:

,

что удовлетворяет требуемому условию.

3) Статическая ошибка: .

6. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНОГО МОДАЛЬНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ (по методу Л.М. БОЙЧУКА)

Структурный синтез автоматических систем состоит в определении схемы (структуры) регулятора, необходимого для обработки объектом некоторого задания. Он позволяет улучшить качество системы - уменьшить время переходного процесса, уменьшить статическую ошибку системы.

В нашем случае будем использовать метод структурного синтеза систем управления Л.М. Бойчука.

Основная идея метода Бойчука состоит в определении структуры закона управления и его параметров исходя из требуемого желаемого уравнения движения (ТУД) синтезируемой системы.

Задача управления формулируется следующим образом - пусть объект управления описывается следующим нелинейным разностным уравнением:

(6.1)

Предполагается, что задана ТУД в виде замкнутой системы управления

(6.2)

Для решения этой задачи предложена простая процедура синтеза, состоящая из следующих 3-х операций:

1. Из уравнения объекта (6.1) выражаем высшую разность:

(6.3)

2. Из ТУД (6.2) тоже выражается высшая разность:

(6.4)

3. Приравниваем выражения (6.3) и (6.4):

(6.5)

Далее выражаем

(6.6)

Выражение (3.11) полученное в пункте 3, умноженное на :

(6.7)

Используя метод Бойчука, можно легко решить задачу модального управления линейным объектом:

(6.8)

Задача модального управления объекта (6.8) ставится следующим образом: необходимо определить закон линейной обратной связи (ЛОС):

(6.9),

таким образом, чтобы характеристическое уравнение замкнутой системы управления имело заданные корни:

, , …, (устойчивость) (6.10)

Корни (6.10) выбираются таким образом, чтобы система уравнения имела желаемые переходные процессы (желаемое качество управления).

Для получения модального регулятора воспользуемся методом Бойчука для нахождения модального управления.

Т.к. , то имеем, что и .

Применяя равенство и , получаем, что (6.11)

Составим уравнения будущего значения переменных, найденных через текущее и предыдущее значения, которые получаются из уравнения (6.11) обозначением (новое время). Тогда получим:

(6.12)

Обозначая,

(6.13)

(6.14)

Исходя из того, что данное управление должно быть модальным, то:

(6.15)

где коэффициенты и выбираются так, чтобы обеспечить требуемое качество переходного процесса. Пусть .

Тогда ТУД примет вид:

(6.16)

Приравнивая и выражая U(n), получаем:

(6.17)

Введём ошибку e(n) и, используя уравнения (6.13), (6.14), (6.17), найдём закон модального управления:



(6.18)

Рис. 5

Для обеспечения апериодичности ПП (без перерегулирования) и повышенного быстродействия системы рекомендуется выбрать коэффициент таким образом, чтобы при заданных начальных условиях и , время данного переходного процесса было в 1.5-2 раза меньше времени переходного процесса в п.5, получим: .

Тогда система (6.18) примет вид:

(6.19)

График переходного процесса x(n+1).



Рис. 6

Учитывая, что переходный процесс считается завершённым, когда величина входит в 5%-ую зону установившегося значения, получаем:

1) Время переходного процесса .

2) Перерегулирование: .

3) Статическая ошибка: .



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе этой работы была синтезирована цифровая система управления, выдающая единичный сигнал, используя П-регулятор, а также применяя модальный регулятор, рассчитанный по методу Л.М. Бойчука.

Синтезируя ЦСУ с П-регулятором, получили переходный процесс со следующими параметрами:

Время переходного процесса с.

Перерегулирование .

Статическая ошибка .

Синтезируя ЦСУ с использованием модального регулятора, был получен переходный процесс со следующими показателями:

Время переходного процесса с.

Перерегулирование .

Статическая ошибка .

Как видно, применение модального управления позволило нам в 1,97 раза уменьшить время переходного процесса, а статическую ошибку и перерегулирование и вовсе свести к нулю. Таким образом, применение модального регулирования позволило повысить качество переходного процесса и улучшить синтезированную нами цифровую систему управления.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бессекерский В.А., Изранцев В.В. САУ с микроЭВМ. - М.: Наука, 1987.

2. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных САУ. - М.: Физматгиз, 1983.

3. Изерман Р. Цифровые системы управления. - М.: Мир, 1984.

4. Б. Куо Теория и проектирование ЦСУ. - М.: Машиностроение, 1986.

Размещено на Allbest.ru