Проектирование цифровой системы управления с заданным быстродействием

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Цель работы

Техническое задание

1.Проектирование аналоговой системы

1.1 Теоретическая часть

1.1.1 Вывод формул для вычисления параметров аналогового фильтра при

буквенных значениях коэффициентов a , n ,

1.1.2 Построение переходных процессов в замкнутой системе

1.1.3 Нахождение начальных и установившихся значений при ступенчатых

воздействиях

1.2 Исследовательская часть

1.2.1 Определение оптимального значения параметра а.

1.2.2 Определение а, при котором установившееся значение W1(p) равно нулю

1.3 Расчётно-графическая часть

1.3.1 Графики переходных процессов замкнутой системы

1.3.2 Графики переходных процессов фильтра

1.3.3 Графики переходных процессов при нулевом входном сигнале и

ненулевой помехе

2. Проектирование цифровой системы

2.1 Построение цифрового фильтра

2.1.1 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического

метода без производных

2.1.2 Цифровая реализация аналогового фильтра

2.1.3 Графики выхода цифрового фильтра, построенного с помощью

полуаналитического метода без производных, при разных шагах дискретизации

2.1.4 Моделирование замкнутой системы с цифровым фильтром

2.1.5 Графики переходного процесса системы с фильтром, построенным полуаналитическим методом без производных

2.1.6 Графики переходных процессов в системе с учетом запаздывания

2.2 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического

метода с одной производной

2.2.1 Построение переходных процессов цифрового фильтра,

построенного полуаналитическим методом с одной производной

2.2.2 Переходные процессы замкнутой системы с цифровым фильтром, построенным методом с одной производной

2.2.3 Графики переходных процессов в системе с учетом задержки

3. Выводы



Цель работы:

Для объекта с известной передаточной функцией спроектировать цифровую систему управления с заданным быстродействием.

В зависимости от требований Технического задания необходимо выбрать:

Структурную схему системы управления

Структуру и параметры аналогового фильтра

Метод дискретизации и параметры цифрового фильтра, обеспечивающие требования Технического задания



Техническое задание

Назначение системы управления

Система управления предназначена для нейтрализации внешних возмущений f, приложенных к объекту, и поддерживания выходного параметра ХВЫХ равному или пропорциональному управляющему сигналу ХВХ.

Структурная схема системы управления

Рис. 1. Структурная схема системы управления.

Исходные данные

Передаточная функция объекта:

,

где .

Передаточная функция фильтра:

.

Динамические требования к системе управления2.4. Динамические требования к системе управления672.

Заданы следующие значения коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы:

,

где n - относительное удаление второй пары корней от мнимой оси, - степень устойчивости

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

где ,

Длительность переходного процесса:

Задание к аналоговой части:

Вывести формулы для вычисления параметров аналогового фильтра при буквенных значениях коэффициентов a, n и .

Варьируя численно коэффициент a, найти значение aопт, при котором перерегулирование в замкнутой системе минимально.

Рассчитать и построить графики переходных процессов для фильтра и замкнутой системы при , .

Определить основные параметры для каждого графика: Т, перерегулирование и т.п.

Задание к цифровой части:

Расчет цифрового фильтра следует вести

полуаналитическим методом без производной;

полуаналитическим методом с одной производной, где производная находится как .

Для каждого метода построить алгоритм и программу реализации цифрового фильтра. Построить графики переходных процессов в фильтре при различных шагах дискретизации при . Сравнить с аналоговым случаем.

Привести структурную схему системы с цифровым фильтром. Построить алгоритм и программу моделирования замкнутой системы с цифровым фильтром с учетом запаздывания. Выбрать шаг дискретизации h при отсутствии запаздывания из условия среднеквадратического отклонения от аналогового процесса равного 0,03. Построить графики переходных процессов в замкнутой цифровой системе для выбранного шага при

t = 0, t = h/2, t = h.

1. Проектирование аналоговой системы

1.1 Теоретическая часть

1.1.1 Вывод формул для вычисления параметров аналогового фильтра при буквенных значениях коэффициентов a , n , .

Рассчитаем параметры аналогового фильтра.

Передаточная функция аналогового фильтра имеет следующий вид

(1.1)

Передаточная функция объекта:

(1.2)

Передаточная функция разомкнутой системы:

(1.3)

Передаточная функция замкнутой системы (при единичной отрицательной обратной связи):

(1.4)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

A(p)=(1.5)

где и

(1.6)

Таким образом возможно вычислить коэффициенты ,,,, через заданные по условию и . Для этого необходимо приравнять слагаемые при одинаковых степенях p в выражениях 1.5 и 1.6.

=

=

Из данной системы уравнений возможно получить формулы лишь для четырех коэффицентов из пяти. В данной работе будем варьировать коэффициент a, и выберем его из условия минимального перерегулирования в замкнутой системе.

Теперь найдем формулы для коэффициентов ,,,

(1.7)

==3200-100а(1.8)

(1.9)

=(1.10)

Выводы по разделу

В данном разделе были выведены формулы для коэффициентов передаточной функции аналогового фильтра, исходя из заданных в условии степени устойчивости и относительного удаления второй пары мнимых корней от мнимой оси n. Коэффициент а будет найден далее, исходя из условия минимального перерегулирования в замкнутой системе.

1.1.2 Построение переходных процессов в замкнутой системе

Передаточная функция системы при отсутствии помехи: .

Рис 1.1. Система при отсутствии помех

Передаточная функция этой системы:

(p) (1.11)

Положим a=0. Тогда =(1.12)

Передаточная функция системы по отношению к нулевому входному воздействию: .

Рис. 1.2 Система при нулевом входном сигнале

Найдем передаточную функцию

Тогда (1.13)

Сигнал на выходе фильтра: .

Рис 1.3. Система при нулевых помехах.

Тогда:

(1.14)

1.1.3 Нахождение начальных и установившихся значений при ступенчатых воздействиях

Найти начальные и установившиеся значения можно, применив предельные теоремы:

Выполним данные действия в пакете MathCad 14.

Для нулевых помех:

Для нулевого входного сигнала:

Выводы по разделу

В данном разделе, исходя из структурной схемы системы, были выведены выражения для передаточной функции системы при отсутствии помех, передаточной функции системы при нулевом входном сигнале и ненулевых помехах, для передаточной функции системы на выходе фильтра. В этих выражениях содержится коэффициент а. Данные выражения будут использоваться в последующих разделах.

1.2 Исследовательская часть

1.2.1 Определение оптимального значения параметра а

Переходный процесс - реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие. Выражение для него можно получить, домножив передаточную функцию замкнутой системы на и проведя обратное преобразование Лапласа к полученному выражению.

Будем варьировать значения параметра а и найдём его оптимальное значение , при котором перерегулирование д в переходном процессе замкнутой системы минимально.

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.15)

(1.16)



Теперь будем варьировать а для получения переходного процесса с минимальным перерегулированием. Будем строить графики переходного процесса для времени t=0..1c и для различных а.

Приведем таблицу зависимости перерегулирования д и момент времени , в который перерегулирование максимально от параметра а.

a	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
д	0,464	0,443	0,422	0,402	0,386	0,371	0,358	0,349	0,344	0,342	0,345	0,354	0,366
t	0,19	0,185	0,18	0,18	0,175	0,175	0,165	0,16	0,15	0,145	0,14	0,13	0,125

Построим через полученные точки аппроксимирующую кривую и найдем, при каком а перерегулирование минимально.

Рис 1.4 Зависимость перерегулирования от коэффициента а.

Таким образом, оптимальное значение а=8,56. Теперь можно записать выражения для передаточных функций фильтра и замкнутой системы для а=8.56.

(1.17)

(p)(1.18)

1.2.2 Определение параметра а, при котором установившееся значение W1(p) равно нулю

Из (1.13)

Найдем установившееся значение передаточной функции :

(1.19)

=0, таким образом 32.

Выводы по разделу:

В данном разделе мы нашли значение коэффициента а двумя способами. В первом случае мы варьировали значение коэффициента а, и нашли такой а, при котором перерегулирование в замкнутой системе минимально. Во втором случае мы нашли а из условия равенства нулю статической ошибки от внешнего воздействия.



1.3 Графическая часть

1.3.1 Графики переходных процессов замкнутой системы

Рис 1.5. Переходные процессы в замкнутой системе при различных а

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 1.464

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

При а=8.56 (оптимальное)

Максимальные отклонения: 1.342

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

Рис 1.6. Переходный процесс в системе при а=32.

При а=32

Максимальные отклонения: 1.51

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

Также рассмотрим переходные процессы в системе при больших значениях параметра а

Из данных графиков видно, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться. Также с ростом параметра а в системе увеличивается колебательность. При а=8.56 величина перерегулирования минимальна, чего мы и добивались. Сравнивая переходные процессы при a=8.56 и при a=32 (из условия равенства нулю установившегося значения W1(p) ), видим, что переходный процесс при а=32 имеет большую длительность и большую колебательность.

1.3.2 Графики переходных процессов фильтра

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.20)

Рис 1.7. Графики переходных процессов фильтра

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 2.959,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=8.56 (оптимальное)

Максимальные отклонения: 9.0,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

1.3.3 Графики переходных процессов Xвых(t) при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.21)

Рис 1.9. Графики переходных процессов при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 0 ,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=8.56

Максимальные отклонения: 0,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=32 (оптимальное из условие равенства статической ошибки нулю)

Максимальные отклонения: 0.018

Установившееся значение

Выводы по разделу:

Целью данной части работы было проектирование аналоговой системы управления для объекта, заданного своей передаточной функцией. Таким образом, необходимо было получить все параметры в передаточной функции фильтра: .

Сначала были выведены формулы для коэффициентов передаточной функции аналогового фильтра, исходя из заданных в условии степени устойчивости и относительного удаления второй пары мнимых корней от мнимой оси n. Получили следующие коэффициенты:

, , , =3200-100а.

Далее был получены два значения для коэффициента а: одно исходя из минимального перерегулирования в замкнутой системе (a=8.56) Для этого с помощью пакета Mathcad произвели обратное преобразование Лапласа к передаточной функции замкнутой системы, и варьируя значение а нашли такое, при котором перерегулирование минимально.

Второе значение коэффициента а было найдено исходя из равенства нулю статической ошибки при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении (a=32). В ТЗ задано условие минимального перерегулирования, поэтому выбираем а=8.56. Таким образом выражение для передаточной функции фильтра имеет вид:

Далее были построены графики переходных процессов в замкнутой системе для а=0, а=, a=32. Было выяснено, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться.

Затем мы построили графики переходного процесса в фильтре при а=0, а=, a=32. Выяснили, что параметр а влияет на время переходного процесса в фильтре, причем с ростом параметра а время переходного процесса уменьшается.



2. Проектирование цифровой системы управления

2.1 Построение цифрового фильтра

2.1.1 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического метода без производных

Передаточная функция фильтра: (2.1)

Для нахождения коэффициентов разностного уравнения воспользуемся полуаналитическим методом без производной. Методы, называемые полуаналитическими, основываются на том факте, что часть общего решения, описывающая свободное движение, имеет простую аналитическую форму, и может быть вычислена точно. Таким образом, погрешность общего решения будет определяться только погрешностями вынужденной части решения.

Из (2.1) следует, что

(2.2)

Запишем дифференциальное уравнение для фильтра:

(2.3)

Введем промежуточное вспомогательное уравнение:

(2.4)

Тогда получим неоднородное дифференциальное вспомогательное уравнение:

, где .

(2.5)

Из (2.1) и (2.4):

Таким образом,

Теперь можно сформировать решение по x:

(2.6)

Решение уравнения (2.5) на шаге h с заданными начальными условиями можно представить в виде

, (2.7)

где - общее решение однородного уравнения

- частное решение

Характеристическое уравнение диф. уравнения (2.5) имеет вид:

, (2.8)

где корни

Общее решение однородного уравнения:

,(2.9)

где А и В - const и определяются из начальных условий,

Разложим внешнее возмущение y(t) в ряд Тейлора

(2.10)

Частное решение будем искать в виде:

,(2.11)

где - пока неизвестные константы.

Тогда:

(2.12)

(2.13)

Подставив (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) в (2.5) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h, получим коэффициенты для :

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Так как в условии курсовой работы задано применить полуаналитический метод без производных, будем считать, что в разложении Тейлора .

Тогда мы можем найти коэффициенты :

,

Таким образом, общее решение будет:

(2.17)

Продифференцировав уравнение (2.17) по t, получим:

(2.18)

Для того, чтобы найти А и В, примем h = 0 и подставим в уравнения (2.17) или (2.18):

Таким образом, алгоритм вычислений будет иметь следующий вид:

По известному вычисляется значение .

Вычисляются текущие коэффициенты A и B.

Полученные величины используются для вычисления и, которые будут условиями для следующего шага.

Вычисляется реакция фильтра в текущий момент времени

п.1-4 повторяются заданное шагом дискретизации количество раз.

Выводы по разделу

В данном разделе были построен алгоритм для реализации цифрового фильтра полуаналитическим методом без производных.

2.1.2 Цифровая реализация аналогового фильтра

Программа цифровой реализации аналогового фильтра, алгоритм которой был описан в предыдущем пункте, была разработана и написана с помощью пакета математически[ вычислений MATLAB R2007a.

Перед началом работы алгоритма необходимо описать все параметры участвующие в программе.

- шаг дискретизации (окончательно он будет выбран при разработке замкнутой системы с цифровым фильтром - см. следующий пункт данного параграфа).

- количество точек (отсчетов, охватывающих время переходного процесса), взятых для реализации переходного процесса в фильтре. Будем исследовать переходный процесс на протяжении 1 секунды от момента его начала. За это время переходный процесс успеет завершиться, к тому же, масштаб графиков переходного процесса удобен для их исследования. Таким образом, количество отсчетов, охватывающих время переходного процесса, вычисляется по формуле . (2.19)

Листинг программы:

>> alfa = 30;

>> beta = 13.5;

>> k = 100;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> b0 = 100;

>> y = ones(1, k);

>> for i = 1:k;

>> alfa0 = y(i) / 944;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa));

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + sin(beta*h) *

(-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = (8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 1600 * z(i+1));

>> end;

2.1.3 Графики выхода цифрового фильтра, построенного с помощью полуаналитического метода без производных, при разных шагах дискретизации.

Построим графики переходных процессов цифрового фильтра для шагов h = 0.01, 0.004 и 0.002 соответственно (при нулевых начальных условиях).

Рис 2.1. Переходный процесс на выходе фильтра при различных шагах дискретизации

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,01с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 6,7.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,004с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 7,80.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,002с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 8,02.

Из графика видно, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе переходный процесс цифрового фильтра к переходному процессу аналогового фильтра. Значительное расхождение в начале переходного процесса связано с тем, что при реализации цифрового фильтра были взяты нулевые условия (А=0, В=0).

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации	0,01	0,004	0,002	Аналоговый фильтр
Максимальное знач.	6,7	7,80	8,02	8.56
Установившееся знач.	1,776	1,776	1,776	1,776

Вывод по разделу

В данном разделе были построены графики переходных процессов цифрового фильтра, построенным полуаналитическим методом без производных, и был сделан вывод о том, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

2.1.4 Моделирование замкнутой системы с цифровым фильтром

Рассмотрим работу замкнутой системы с цифровым фильтром.

Рис. 2.2 - Замкнутая система с цифровым фильтром.

Рис 2.3. Временная диаграмма работы цифрового фильтра

Процесс работы замкнутой системы с цифровым фильтром выглядит следующим образом. Пусть текущий момент tk+1. В этот момент АЦП измеряет входной сигнал -- y(k+1). В памяти ЦВМ в этот момент находятся значения x(k), y(k) по которым она вычисляет значение x(k+1). Затем это значение выставляется на выход фильтра только в момент времени tk = tk + . Где -- чистое запаздывание, включающее в себя время срабатывания АЦП, ЦАП, машинное время вычисления и, при необходимости, специально введенное дополнительное запаздывание.

На интервале времени [tk ; tk + ] уравнение объекта имеет вид:

, где .(2.20)

Отсюда



;(2.21)

.(2.22)

На интервале времени уравнение объекта , откуда

;(2.23)

(2.24)

Эти соотношения являются моделью объекта управления .

Для окончательного описания замкнутой системы нужно добавить уравнение отрицательной обратной связи . Вышеперечисленные действия реализованы в Matlab.

>> alfa = 30;

>> beta = 13.5;

>> k = 1000;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> tau = 0;

>> b0 = 100;

>> u = zeros(1, k);

>> up = zeros(1, k);

>> ut = zeros(1, k);

>> utp = zeros(1, k);

>> y = ones(1, k);

>> for i = 1:k;

>> alfa0 = y(i) / 1000;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa));

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + sin(beta*h) >> >> * (-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = (8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 16000 * z(i+1));

>> upt(i) = up(i) + b0 * x(i) * tau;

>> ut(i) = u(i) + up(i) * tau + (b0 * x(i) * tau * tau) / 2;

>> up(i+1) = upt (i) + b0 * x(i+1) * (h-tau);

>> u(i+1) = ut(i) + upt(i) * (h-tau) + (b0 * x(i+1) * (h-tau) * (h-tau)) / 2;

>> y(i+1) = 1 - u( i+1);

>> end;

Вывод по разделу:

В данном разделе был построен алгоритм и программа моделирования замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных



2.1.5 Графики переходного процесса системы с фильтром, построенным полуаналитическим методом без производных, при разных шагах дискретизации.

Построим графики переходных процессов замкнутой системы для шагов дискретизации 0.01, 0.004 и 0.002 соответственно при нулевом запаздывании.

Рис 2.4. Переходной процесс в системе с цифровым фильтром при различных h

Переходный процесс в системе при h = 0,01с

Время переходного процесса Т = 0,44с.

Максимальное значение (1,48) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс в системе при h = 0,004с

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,39) достигается в 0,14с от начала переходного процесса

Переходный процесс в системе при h = 0,002с

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,36) достигается в 0,135с от начала переходного процесса

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации, h	0,01	0,004	0,002	Аналоговый случай
Время перех. процесса, Т, с	0,44	0,29	0,29	0,285
Перерегулирование, %	47	39	36	34,2

По данным таблицы можно сделать вывод, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром.

Среднеквадратическое отклонение системы с цифровым фильтром от замкнутой аналоговой системы рассчитывается по формуле

(2.25)

Найдем СКО следующим образом:

Реализуем в Simulink реализацию системы с аналоговым фильтром

Рис 2.5. Система с аналоговым фильтром

Сравним сигнал с ее выхода с сигналом системы и цифровым фильтром:

>> k = 100;// задаем в зависимости от шага дискретизации

>> for i = 1:k;

>>s=s+(u(i)-analog)*(u(i)-analog)

>>end;

>>s=s/k;

>>sko=s^.0.5;

В случае, когда h=0.01, СКО=10%

В случае, когда h=0.004, СКО=2.85%

В случае, когда h=0.002, СКО=0.8%

Таким образом, выберем шаг h=0.004. поскольку он удовлетворяет заданному условию.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром. Исследовал среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от системы с аналоговым фильтром, видим, что для достижения заданной точности (СКО<=3%) достаточно взять шаг дискретизации h=0.004.

2.1.6 Графики переходных процессов в системе с учетом запаздывания.

Для того, чтобы исследовать переходный процесс в системе при ненулевом запаздывании, необходимо всего лишь изменить в листинге программы, приведенной на стр. 21, строку:

>> tau = 0;

на строку

>> tau = h/2; (для задания запаздывания )

А затем на строку:

>> tau = h; (для задания запаздывания )

Рис 2.5. Переходной процесс в системе с цифровым фильтром при h=0.004 и различном времени запаздывания

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,285с.

Максимальное значение (1,39) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,43) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,395с.

Максимальное значение (1,48) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Мы видим, что перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации. Длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании. При нулевом запаздывании переходный процесс наиболее близок к аналоговому.

Вывод по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных, при запаздываниях t = 0, t = h/2, t = h и был сделан вывод о том, перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации, а длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

2.2 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического метода с одной производной

Передаточная функция и все начальные расчеты совпадают с началом пункта 2.1. Отличие составляет функция y(t), которая подается на вход фильтра.

Разложим y(t) в ряд Тейлора:

(2.26)

Частное решение будем искать в виде:

,(2.27)

где - пока неизвестные константы.

Тогда:

(2.28)

(2.29)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h, получим коэффициенты для :

(2.30)

(2.31)

(2.32)

Так как в условии курсовой работы задано применить с одной производной, будем считать, что в разложении Тейлора .

Тогда мы можем найти коэффициенты :

, , , где производная находится как .

Таким образом, общее решение будет:

(2.33)

Продифференцировав уравнение (2.31) по t, получим:

(2.34)

Для того, чтобы найти А и В, примем h = 0 и подставим его в уравнения (2.33) и (2.34):

Таким образом, алгоритм вычислений будет иметь следующий вид:

1.По известному вычисляется значение .

2.Вычисляются текущие коэффициенты A и B.

3.Полученные величины используются для вычисления и, которые будут условиями для следующего шага.

4.Вычисляется реакция фильтра в текущий момент времени

5.п.1-4 повторяются заданное шагом дискретизации количество раз.

Листинг программы:

>> alfa0 = 0.001;

>> alfa = 30;

>> beta = 13.25;

>> k = 1000;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> y = ones(1, k);

>> y(1) = 0;

>> yp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> tau = 0;

>> b0 = 100;

>> u = zeros(1, k);

>> up = zeros(1, k);

>> ut = zeros(1, k);

>> utp = zeros(1, k);

>> for i = 2:k ;

>> y(i+1) = y(i) + yp(i) * h;

>> yp(i+1) = (y(i+1)-y(i-1))/2*h;

>> alfa0 = y(i+1)/944;

>> alfa1 = yp(i+1)/944;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0 + alfa1 * h;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa)) + alfa1;

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + >> >> sin(beta*h) * (-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = 8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 16000 * z(i+1);

>> upt(i) = up(i) + b0 * x(i) * tau;

>> ut(i) = u(i) + up(i) * tau + (b0 * x(i) * tau * tau) / 2;

>> up(i+1) = upt (i) + b0 * x(i+1) * (h-tau);

>> u(i+1) = ut(i) + upt(i) * (h-tau) + (b0 * x(i+1) * (h-tau) * (h-tau)) / 2;

>> y(i+1) = 1 - u( i+1);

>> end;

Выводы по разделу:

В данном разделе был построен алгоритм и программа реализации цифрового фильтра полуаналитическим методом с одной производной.

2.2.1. Построение переходных процессов цифрового фильтра, построенного полуаналитическим методом с одной производной, при различных шагах дискретизации

Построим графики переходных процессов цифрового фильтра для шагов дискретизации 0.01, 0.005 и 0.002 соответственно.

Рис. 2.2.2 Графики переходного процесса фильтра.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,01с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 6,8.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,005с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 7,92.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,002с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 8,08.

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации	0,01	0,005	0,002	Аналоговый фильтр
Максимальное знач.	6,8	7,92	8,08	8.56
Установившееся знач.	1,776	1,776	1,776	1,776

По данным таблицы можно сделать вывод, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов цифрового фильтра, реализованного полуаналитическим методом с одной производной, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

2.2.2 Графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, построенным полуаналитическим методом с одной производной

Построим графики переходных процессов замкнутой системы для шагов дискретизации 0.01, 0.005 и 0.002 соответственно при нулевом запаздывании.

Рис. 2.8.1 Переходный процесс замкнутой системы при различных h

Сравним полученные значения с аналоговым случаем

Шаг дискретизации, h	0,01	0,005	0,002	Аналоговый случай
Время перех. процесса, Т, с	0,44	0,288	0,287	0,285
Перерегулирование, %	44	38	36	34,2

По данным таблицы можно сделать вывод, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром.

Способом, аналогичным тому, который использовался при расчете СКО для полуаналитического метода без производных, рассчитаем СКО для метода с одной производной.

В случае, когда h=0.01, СКО=9,11%

В случае, когда h=0.005, СКО=2.82%

В случае, когда h=0.002, СКО=0.55%

Таким образом, выберем шаг h=0.005. поскольку он удовлетворяет заданному условию.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом с одной производной, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром. Исследовав среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от системы с аналоговым фильтром, видим, что для достижения заданной точности (СКО<=3%) достаточно взять шаг дискретизации h=0.005.

2.2.3 Графики переходных процессов в замкнутой системе с учетом задержки

1. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,285с

Максимальное значение (1,36) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

2. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,285с

Максимальное значение (1,42) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

3. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,42с

Максимальное значение (1,45) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

Видно, что перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации. Длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

Вывод по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом с одной производной, при запаздываниях t = 0, t = h/2, t = h и был сделан вывод о том, перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации, а длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

передаточная функция цифровой фильтр



3.Выводы

Целью данной курсовой работы было проектирование цифровой системы управления с заданным быстродействием для объекта, заданного передаточной функцией . Была задана передаточная функция фильтра: , где коэффиценты надлежало найти, исходя из динамических требований к системе. Была задана оценка длительности переходного процесса T=0.3c.

Сначала была построена аналоговая система управления. Были выведены уравнения для коэффициентов . Коэффициент а был найден далее двумя способами.

В первом случае коэффициент а был найден, исходя из условия минимального перерегулирования передаточной функции W(p). При этом, варьируя коэффициент а, были получены различные значения перерегулирования. Оказалось, что перерегулирование в системе минимально при a=8.56.

Во втором случае коэффициент а был найден, исходя из условия, что установившееся значение на выходе системы с нулевым входным воздействием, и ненулевой помехой (передаточная функция W1(p)) , равно нулю. Получили а=32.

Поскольку, в условии курсовой работы сказано, что а необходимо выбрать из условия минимального перерегулирования, то выберем а=8.56. Передаточная функция фильтра при этом имеет вид, а передаточная функция системы имеет вид

.

Далее было исследовано влияние коэффициента а на параметры переходного процесса.

Переходной процесс в системе:

	a=0	a=8.56	a=32	a=34	а=36
Длительность перех. Процесса, c	0.36	0.285	0.36	0.4	0.4
Перерегулирование, %	46.4	34.2	51	65	76

Из таблицы видно, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться. Также с ростом параметра а в системе увеличивается колебательность.

Во второй части работы была спроектирована цифровая система управления.

При этом были исследованы два метода перехода от аналогового фильтра к цифровому - полуаналитический метод без производных, и полуаналитический метод с одной производной. Для обоих методов были построены алгоритмы их реализации, и они были реализованы в Matlab.

Далее было проведено исследование влияния шага дискретизации на переходный процесс в системе с цифровым фильтром. Результаты исследования были сведены в таблицы:

Переходной процесс в системе с цифровым фильтром (метод без производных)

Шаг дискретизации, h	0,01	0,004	0,002	Аналоговый случай
Время перех. процесса, Т, с	0,44	0,29	0,29	0,285
Перерегулирование, %	47	39	36	34,2

Переходной процесс в системе с цифровым фильтром (метод с одной производной)

Шаг дискретизации, h	0,01	0,005	0,002	Аналоговый случай
Время перех. процесса, Т, с	0,44	0,288	0,287	0,285
Перерегулирование, %	44	38	36	34,2

Как и предполагалось, с уменьшением шага дискретизации переходной процесс в системе с цифровым фильтром, приближался к переходному процессу в системе с аналоговым фильтром.

Далее, для каждого из выбранных шагов дискретизации было рассчитано среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от выхода системы с аналоговым фильтром. Результаты расчетов были сведены в таблицы:

СКО (метод без производных)

Шаг дискретизации	h=0.01	h=0,004	h=0.002
СКО, %	10	2.85	0.8

СКО (метод с одной производной)

Шаг дискретизации	h=0.01	h=0,005	h=0.002
СКО, %	9.11	2.82	0.55

Поскольку в задании сказано, что СКО не должно превышать 3%, то были выбраны следующие шаги дискретизации:

Для метода без производных - h=0,004

Для метода с одной производной - h=0,005

Наконец, было исследовано влияние задержки на переходной процесс для обоих методов (при выбранных шагах дискретизации).

Влияние задержки на переходной процесс (метод c одной производной)

	tau=0	tau=h/2	tau=h
Макс. значение на выходе	1,36	1,42	1,45
Время перех. Процесса	0,285	0,285	0,42



Влияние задержки на переходной процесс (метод без производных)

	tau=0	tau=h/2	tau=h
Макс. значение на выходе	1,39	1,43	1,48
Время перех. Процесса	0,285	0,29	0,395

Оказалось, что с увеличением задержки растет время переходного процесса, и увеличивается колебательность в системе. То есть, как и предполагалось, задержка ухудшает переходной процесс, и надо стремиться к ее уменьшению.

Таким образом, исследовав оба метода, можно сказать, что метод с одной производной обеспечивает большую точность, чем метод без производных, поскольку:

1.Для того, чтобы СКО не превышало 3%, в методе без производных должен быть шаг дискретизации не больше 0,004, а в методе с одной производной - достаточно взять шаг не больше 0,005.

2.При одной и той же величине запаздывания, переходной процесс в системе с фильтром, построенным по методу с одной производной ближе к аналоговому случаю, чем в системе с фильтром, построенным по методу без производных.

1. Размещено на www.allbest.ru