Общая теория связи

21

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное

образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

"Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича"

связь модулирующий символ преобразователь

Курсовая работа

Общая теория связи

Л.Н. Куликов

М.Н. Москалец

М.Н. Чесноков

Санкт-Петербург

2012

УДК 621.391(075.8)

ББК 33.88я73

К 90

Рецензенты:

- доктор технических наук, профессор кафедры ТОС и Р СПбГУТ Р.Р. Биккенин;

- кандидат технических наук, доцент кафедры ТОС и Р СПбГУТ Д.Л. Бураченко.

Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом СПбГУТ

Куликов Л.Н.

Общая теория связи: методические указания к выполнению курсовой работы / Л.Н. Куликов, М.Н. Москалец, М.Н. Чесноков. - СПб.: Издательство СПбГУТ, 2012. - 80 с.

Изложен материал по основным этапам расчета системы связи, предназначенной для передачи непрерывных сообщений.

Может быть использовано для самостоятельной работы студентов при изучении теоретической части дисциплины ТЭС, ч. 2, а также при выполнении курсовой работы.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям (специальностям) 210700.62 "Инфокоммуникационные технологии и системы связи" (профили "Системы радиосвязи и радиодоступа", "Системы мобильной связи", "Цифровое телерадиовещание", "Инфокоммуникационные технологии в сервисах и услугах связи"), 210400.62 "Радиотехника" (профиль "Радиотехника"), 210700.68 "Инфокоммуникационные технологии и системы связи" (профили "Системы, устройства и технологии радиосвязи и радиовещания", "Защищенные системы и сети связи", "Сети связи и системы коммутации"), 210402.65 "Средства связи с подвижными объектами", 210404.65 "Многоканальные телекоммуникационные системы", 210405.65 "Радиосвязь, радиовещание и телевидение", 210406.65 "Сети связи и системы коммутации", 210302.65 "Радиотехника".

УДК 621.391(075.8)

ББК 33.88я73

© Куликов Л.Н., Москалец М.Н., Чесноков М.Н., 2012

© Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича", 2012

Содержание

Предисловие

1. Общие указания и правила оформления курсовой работы

2. Задание. Система цифровой связи

3. Исходные данные

3.1 Источник сообщения

3.2 Аналого-цифровой преобразователь

3.3 Кодер (К)

3.4 Формирователь модулирующих символов

3.5 Модулятор

3.6 Непрерывный канал

3.7 Демодулятор

3.8 Декодер

4. Указания к выполнению курсовой работы

4.1 Источник сообщений

4.2 Аналого-цифровой преобразователь

4.3 Кодер

4.4 ССТС

4.5 ФМС или преобразователь последовательного кода в параллельный код

4.6 Модулятор: перемножители, инвентор и сумматор

4.6.1 Корреляционные функции, спектральные плотности мощности на выходе перемножителей

4.6.2 Корреляционная функция и спектральная плотность мощности случайного процесса на выходе модулятора

4.7 Непрерывный канал

4.8 Демодулятор (ДМ)

4.8.1 Вероятность ошибок на выходе РУ1 и РУ2

4.8.2 Вероятность ошибки на выходе преобразователя параллельного кода в последовательный код

4.9 Декодер (ДК)

5. Цифрово-аналоговый преобразователь (ЦАП): получатель сообщений, помехоустойчивость системы

Список литературы

Приложение

Опечатки

Предисловие

В данной курсовой работе рассматриваются две системы цифровой связи - узкополосная и широкополосная.

При построении современных систем цифровой связи учитываются действия флуктуационных, импульсных и межсимвольных помех.

В данном издании рассматривается оптимизация узкополосной системы цифровой связи только в отношении флуктационной помехи типа АБГШ (аддитивный белый гауссовский шум).

Предполагается рассмотреть оптимизацию узкополосной системы цифровой связи в отношении импульсных и межсимвольных помех, а также широкополосную систему цифровой связи с ортогональной частотной модуляцией (ОФДМ) с быстрым преобразованием Фурье.

1. Общие указания и правила оформления курсовой работы

Курсовая работа по ТЭС посвящена современным цифровым системам связи и ориентирована на использование новых теоретических и практических достижений в области цифровой связи.

На примере систем связи студенты получают практические результаты (в основном расчетного характера) по разделам курса ТЭС.

Как и в предыдущей КР по курсу ТЭС:

- студенты рассчитывают основные характеристики случайных сигналов на выходе источника сообщений, на выходе АЦП;

- в новой КР студенты используют сверточное кодирование и декодирование на основе алгоритма Витерби;

- применяют современные виды модуляции (квадратурная амплитудная или квадратурная фазовая) с использованием соответствующих сигнальных созвездий;

- последовательно рассматриваются определения вероятностных характеристик случайных процессов на выходах соответствующих функциональных узлов (корреляционные функции и спектральные плотности мощности);

- в частности приводится подробный вывод корреляционной функции для случайного синхронного телеграфного сигнала в разд. 4.4;

- обосновывается каноническая форма сигналов квадратурных видов модуляции и определяется корреляционная функция на выходах перемножителей в составе модулятора;

- студенты строят графики сигналов на выходе квадратурных модуляторов;

- приводится обоснование структурных схем квадратурных демодуляторов, и определяются вероятности ошибок на выходах решающих устройств с последующим перерасчетом вероятности ошибок на выходе преобразователя параллельного кода в последовательный код;

- возможные ошибки на выходе демодулятора исправляются с использованием декодирования на основе алгоритма Витерби;

- определяются вероятности ошибок на выходе демодулятора при использовании квадратурных видов модуляции по методике, представленной в разд. 4.8.1;

- студенты качественно рассматривают влияние длительности импульсов отсчетов на точность восстановления исходного аналогового сигнала в разд. 5.

Импульсные помехи, как правило, приводят к возникновению пакетов ошибок и для их устранения применяют операции перемежения и деперемежения информационных символов. Операции перемежения и деперемежения канальных символов позволяют пакет ошибок свести к практически одиночным ошибкам, которые легко исправляются с использованием простых помехоустойчивых кодов, например сверточных.

Межсимвольные помехи устраняются путем преобразования в передающем устройстве информационных последовательностей на основе импульсов прямоугольной формы в последовательности импульсов со спектром "приподнятого косинуса".

При оформлении курсовой работы следует придерживаться следующих правил:

1. На титульном листе КР необходимо привести название учебного заведения, кафедры, учебной дисциплины, группы, фамилию, инициалы имени и отчества, номер зачетной книжки.

2. Содержание работы излагать последовательно по функциональным узлам системы связи (от входа к выходу), описывая их функцию, приводя расчетные задания, необходимые схемы и таблицы.

3. Графики полученных зависимостей следует приводить с указанием масштабов и размерностей по осям координат, а семейства непосредственно взаимосвязанных графиков приводить в виде рисунков.

2. Задание. Система цифровой связи

Изучить и разработать систему цифровой связи, оптимальную в отношении флуктуационной помехи.

1. Изобразить структурную схему системы цифровой связи.

2. Пояснить назначение всех функциональных узлов системы цифровой связи.

3. Рассчитать основные характеристики системы передачи цифровой информации.

Система связи предназначена для передачи аналоговых сообщений по цифровому каналу связи. Структурная схема для КАМ-16 и КФМ-4 представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема системы цифровой связи

Назначение функциональных узлов системы цифровой связи:

1. источник сообщений;

2. аналого-цифровой преобразователь;

3. кодер;

4. формирователь модулирующих символов или преобразователь последовательного кода в параллельный код;

5. перемножители;

6. фазовращатель;

7. генератор гармонических колебаний;

8. инвертор;

9. сумматор;

10. непрерывный канал;

11. демодулятор;

12. преобразователь параллельного кода в последовательный код;

13. декодер;

14. цифроаналоговый преобразователь;

15. получатель сообщений.

3. Исходные данные

Номер выполняемого варианта определяется двумя последними цифрами в номере зачетной книжки студента (например, если номер зачетной книжки равен №037071, тогда = 71). Используя номер варианта внести свои данные в табл. 1.

Таблица 1

Предельные уровни аналогового сигнала , (В)	(В)	Внести свои данные
	(В)
Верхняя частота спектра аналогового сигнала	(Гц)	(Гц)
Заданный уровень квантования
Спектральная плотность мощности флуктуационной помехи	Номер варианта в пределах	Гц
	1…33
	34…66
	67…99
- номер тактового интервала ошибки
№ вида модуляции	Вид модуляции	Вид модуляции по числу
0	КФМ-4
1	КАМ-16

Номер вида модуляции определяется числом . Например, если вариант , то число равно остатку от деления числа 71 на 2, т. е. остаток 1, вид модуляции - КАМ-16. Кодирование и декодирование - сверточное. При осуществлении операций кодирования и декодирования на основе алгоритма Витерби рекомендуется использовать учебное пособие [7].

3.1 Источник сообщения

Источник сообщения (ИС) вырабатывает реализации стационарного случайного процесса типа квазибелого шума с параметрами , и . Мгновенные значения сообщения равновероятны в интервале от значения до значения .

Требуется:

1. Написать аналитические выражения для плотности вероятности мгновенных значений сообщения, функции распределения и построить их графики.

2. Рассчитать математическое ожидание и дисперсию сообщения .

3. Написать аналитическое выражение для спектральной плотности мощности сообщения и построить график.

4. Найти аналитическое выражение для корреляционной функции сообщения и построить график. По форме графика определить, является ли сообщение эргодическим случайным процессом или не является таковым.

3.2 Аналого-цифровой преобразователь

Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует реализации аналогового (непрерывного) сообщения в цифровую форму, в поток двоичных символов: нулей и единиц, т. е. в последовательность прямоугольных импульсов, где "0" имеет нулевое напряжение, а "1" - прямоугольный импульс положительной полярности. Амплитуда импульсов равна .

Преобразование аналогового сигнала в цифровую форму осуществляется в три этапа.

На первом этапе производится дискретизация реализации сообщения по времени. В моменты времени берутся непрерывные по уровню отсчеты мгновенных значений реализации . Расстояние между отсчетами равно интервалу , величина которого определяется в соответствии с теоремой Котельникова:

, (1)

где - частота дискретизации.

На втором этапе выполняется квантование точных отсчетов по уровню. Для этого интервал , равный разности

-,

разбивается на уровни квантования с постоянным шагом . Уровни квантования нумеруются целыми числами . Нумерация уровней начинается с уровня, которому соответствует значение , и заканчивается на уровне, которому соответствует значение . Обычно величина шага квантования выбирается так, чтобы число уровней квантования можно представить в виде

,

где - целое число.

Каждый аналоговый отсчет заменяется значением ближайшего к нему уровня квантования в виде целого числа, удовлетворяющего неравенству . Получаем квантованный отсчет в виде целого числа в десятичной форме счисления.

На третьем этапе число в десятичной форме переводится в двоичную форму счисления в виде последовательности двоичных символов и на выходе АЦП появляется сигнал в виде двоичной цифровой последовательности информационных символов.

Требуется:

1. Рассчитать интервал дискретизации для получения непрерывных отсчетов реализации

, ,

2. Рассчитать частоту дискретизации .

3. Определить число уровней квантования .

4. Рассчитать мощность шума квантования и сравнить ее с мощностью непрерывного сообщения .

5. Найти минимальное число двоичных разрядов, требуемое для записи в двоичной форме любого номера из номеров уровней квантования.

6. Записать k-разрядное двоичное число, соответствующее заданному уровню квантования

7. Начертить временную диаграмму отклика АЦП на заданный уровень квантования в виде последовательности импульсов, сопоставляя единичным символам прямоугольные импульсы положительной полярности, а нулевым - нулевые напряжения.

Амплитуда импульсов равна . Над импульсами надписать значения соответствующих двоичных информационных символов (ДИС). Длительность отклика АЦП на каждый отсчет не должна превышать интервала дискретизации

3.3 Кодер

Используется помехоустойчивый сверточный код. Выбрать структурную схему сверточного кодера в [7].

Требуется:

1. Задать следующие параметры сверточного кодера:

- степень кодирования ;

- длину кодового ограничения ;

- векторы связи и ;

- импульсная характеристика задается информационной последовательностью 111011000…, где - номер тактового интервала. В [7] импульсная характеристика обозначена а в КР используем обозначение

- кодовое расстояние .

2. В [7] определить и изобразить структурную схему кодера, соответствующую заданным параметрам.

3. Изобразить решетчатую диаграмму сверточного кодера от момента времени до момента времени . Решетчатая диаграмма строится аналогично диаграмме на рис. 9 в [7, с. 21].

4. По решетчатой диаграмме сверточного кодера определить последовательность кодовых символов (КС) на выходе кодера при условии, когда на вход кодера поступает 9-разрядная двоичная последовательность информационных символов (ИС) , соответствующая заданному уровню квантования (разд. 3.2, п. 6).

5. На решетчатой диаграмме кодера отметить путь, соответствующий полученным КС (разд. 4.3, табл. 2).

3.4 Формирователь модулирующих символов

Требуется:

1. Изобразить сигнальное созвездие для заданного вида модуляции.

2. Изобразить график реализации случайного процесса с выхода блока сверточного кодера (К) на входе блока ФМС на первых 16 бинарных интервалах длительностью . Написать аналитическое выражение для случайного процесса .

3. В соответствии с сигнальным созвездием модулятора КАМ-16 или КФМ-4 изобразить для входной реализации графики реализаций и на выходе блока ФМС случайных процессов и на символьных интервалах длительностью Написать аналитические выражения для случайных процессов и

4. Написать аналитические выражения для корреляционной функции и спектральной плотности мощности входного случайного процесса и построить графики этих функций.

5. Написать аналитические выражения для корреляционных функций и , спектральных плотностей мощности и случайных процессов и Построить графики этих функций.

6. Сравнить графики корреляционных функций и спектральных плотностей мощности сигналов на входе и выходе блока ФМС. Привести краткое описание результатов сравнения и, используя общие положения теории преобразования Фурье, пояснить, почему спектр выходных сигналов уже спектра входного сигнала.

3.5 Модулятор

В состав модулятора входят блоки-перемножители, инвертор и сумматор, на выходе которого получаем сигнал заданного вида модуляции КАМ-16 или КФМ-4. По аналогии с графиками на рис. 4, разд. 4.6, построить графики для своего варианта курсовой работы.

Требуется:

1. Аналогично рис. 4, г, д в разд. 4.6 построить графики гармонических колебаний и на четырех символьных интервалах (). При этом на символьном интервале длительностью укладывается два периода частоты .

2. На этих же интервалах нарисовать графики сигналов

;

;

по аналогии с рис. 4, е-з в разд. 4.6.

3. На этих же интервалах изобразить график сигнала заданной квадратурной модуляции на выходе сумматора в квазигармонической форме аналогично рис. 4, и в разд. 4.6, выделив из полученной суммы четыре слагаемых с номерами . Фазы определять по сигнальному созвездию.

4. Написать аналитические выражения для корреляционных функций , для случайных сигналов и на выходах перемножителей, где случайная фаза с равномерной плотностью вероятности на интервале . Случайная фаза не зависит от случайных процессов и .

5. Написать аналитические выражения для корреляционной функции сигнала и для спектральной плотности мощности сигнала заданного вида квадратурной модуляции на выходе сумматора. Построить графики этих функций.

3.6 Непрерывный канал

В КР непрерывный канал (НК) рассматривается практически по той же методике, как в предыдущей КР [14].

Передача сигнала происходит по непрерывному неискажающему каналу с постоянными параметрами в присутствии аддитивной помехи типа гауссовского белого шума. Сигнал на выходе такого канала имеет вид

(2)

где - коэффициент передачи канала. Для всех вариантов . Односторонняя спектральная плотность мощности помехи равна , (значения для своего варианта в исходных данных).

Требуется:

1. Определить минимально необходимую ширину полосы частот непрерывного канала .

2. Определить мощность помехи на выходе канала.

3. Определить среднюю мощность сигнала и найти отношение /.

4. Рассчитать пропускную способность (за секунду) непрерывного канала.

5. Оценить эффективность использования пропускной способности непрерывного канала.

3.7 Демодулятор

Требуется:

1. Изобразить структурную схему когерентного демодулятора, оптимального по критерию максимального правдоподобия для заданного сигнала квадратурной модуляции.

2. Написать алгоритмы работы решающих устройств РУ1 и РУ2 в составе когерентного демодулятора.

3. Определить вероятности ошибок на выходах РУ1 и РУ2 при определении значений символов и , равных

===;

===,

где - обозначение вероятности ошибочного приема, если

4. На четырех символьных интервалах длительностью нарисовать сигналы на выходах РУ1 и РУ2 демодулятора, соответствующие сигналам на выходе блока ФМС, которые поступают на два входа преобразователя параллельного кода в последовательный код. Под двумя построенными графиками, используя сигнальное созвездие для заданного вида модуляции, изобразить график сигнала на выходе преобразователя в виде соответствующей последовательности прямоугольных импульсов длительностью (разд. 4.5).

5. Определить вероятности ошибок на выходах РУ1 и РУ2 для значений сигналов и , равных , при условии

===

===

6. Определить вероятности ошибок на выходе преобразователя параллельного кода в последовательный код (ФМС) для заданных параметров сигналов и :

===

7. Определить среднюю вероятность ошибки на выходе преобразователя.

3.8 Декодер

1. Изучить алгоритм сверточного декодирования по методу Витерби [7, с. 23-37].

2. Используя табл. 2, написать численные значения принятых кодовых символов (ПКС). Выписанные численные значения образуют последовательность , соответствующую последовательности (11) в [7, с. 24]. Один символ в последовательности принят ошибочно и в процессе декодирования эту ошибку необходимо исправить. Для своего варианта порядковый номер символа находим в данных КР и отмечаем крестиком.

Требуется:

1. Построить решетчатую диаграмму декодера последовательности по аналогии с решетчатой диаграммой декодера [7, рис. 10]. Численные обозначения над ребрами решетчатой диаграммы определяются для последовательности своего варианта.

2. Построить диаграммы выживших путей от момента времени до момента времени по аналогии с решетчатыми диаграммами [7, рис. 11-17], когда от момента до момента выживает только один путь.

3. Перенести один выживший путь от момента времени до момента с решетчатой диаграммы декодера на решетчатую диаграмму кодера. По этому пути на диаграмме кодера определить те кодовые символы, которые поступали на вход сверточного кодера и передавались по каналу связи от момента до момента , соответствующие принятым кодовым символам с учетом исправленной ошибки.

Проследить по диаграмме, что ошибка, отмеченная крестиком, исправлена.

4. По выжившему пути, перенесенному на решетчатую диаграмму кодера, определить соответствие информационным символам , которые поступали на вход сверточного кодера, принятых кодовых символов с учетом исправленной ошибки.

4. Указания к выполнению курсовой работы

4.1 Источник сообщений

1. Для отыскания плотности вероятности нужно исходить из условия равновероятности мгновенных значений сообщения в интервале . Внутри этого интервала определяется из условия нормировки, вне интервала принимает значение равное нулю [1, с. 27-35; 8, с. 108-110].

2. Функция распределения связана с плотностью вероятности интегральным соотношением

[1, с. 27-35; 8, с. 108-110].

3. Способы определения математического ожидания и дисперсии [1, с. 27-35; 8, с. 111-112].

4. Для расчета функции корреляции и спектральной плотности мощности случайного синхронного телеграфного сигнала [1, с. 27-43; 8, с. 112-123], а также при выполнении пп. 1-4 использовать разд. 4.4.

4.2 Аналого-цифровой преобразователь

1. Интервал дискретизации определяется на основе теоремы отсчетов [1, с. 64-69 8, c.35 - 42].

2. Число уровней квантования определяется по формуле

.

Параметры , и обычно подбираются так, чтобы число было равно , где - целое число. Величина удовлетворяет неравенству , т. е. определяет число разрядов в двоичной последовательности, соответствующей заданному уровню квантования.

Пример: , тогда номер уровня квантования .

3. При расчете мощности шума квантования следует исходить из свойства равномерного распределения на интервале [1, с. 87-89].

4. Для перевода числа 287 в двоичную форму можно использовать два способа:

а. Число 287 можно представить в виде следующей суммы:

,

где коэффициенты могут принимать только два значения - "0" или "1". В результате имеем

.

Из этого равенства, выписав численные значения коэффициентов, получим двоичную последовательность 1 0 0 0 1 1 1 1 1, соответствующую числу 287.

б. Эту же двоичную последовательность получаем в результате деления на 2 числа 287 и, получаемых частных

_287 |_2_

286_143 |_2_

1 142_71|_2_

1 70_35|_2_

1 34_17|_2_

1 16_8|_2_

1 8_4|_2_

0 4_2|_2_

0 2_1|_2_

0 0 0

1

Записанные в обратном порядке остатки от деления образуют такую же двоичную последовательность 100011111, как в случае а.

По необходимости заполнить нулями старшие разряды числа.

В КР двоичная последовательность для любого отсчета должна содержать 9 двоичных символов.

5. При выполнении временной осциллограммы отклика АЦП на уровень с заданным номером следует использовать уровни напряжения интерфейса . Амплитуда импульсов равна .

4.3 Кодер

1. При осуществлении операций кодирования и декодирования на основе алгоритма Витерби рекомендуется использовать учебное пособие [7].

При кодировании выполнить задание разд. 3.3, пп. 1-5, т. е. в [7] выбрать сверточный кодер, нарисовать его структурную схему, а также и решетчатую диаграмму кодера [7, рис. 9, с. 21].

Например, № варианта КР = 71. Заданному уровню квантования соответствует 1 0 0 0 1 1 1 1 1 двоичная информационная последовательность, поступающая на вход сверточного кодера. В первой строке табл. 2 указать информационные символы ИС по заданию уровня .

Во вторую строку табл. 2 записать полученные кодовые символы КС на выходе сверточного кодера по решетчатой диаграмме кодера в разд. 3.3, п. 3.

На решетчатой диаграмме кодера отметить путь, соответствующий кодовым символам второй строки табл. 2.

Таблица 2

Информационные символы (ИС)	1	0	0	0	1	1	1	1	1
Кодовые символы (КС)	11	10	11	00	11	01	10	10	10

С выхода сверточного кодера К кодовые символы КС поступают на вход блока ФМС.

Рассмотрим использование решетчатой диаграммы кодера при кодировании на примере.

Пусть - номер варианта КР, = 71. Получена последовательность информационных символов ИС = 100011111, соответствующая номеру уровня квантования . Построим решетчатую диаграмму кодера рис. 2, аналогично в [7, рис. 9].

Рис. 2. Решетчатая диаграмма кодера

Над решетчатой диаграммой кодера сверху выписываем символы ИС по одному символу над каждым ребром. По правилам, изложенным в [7, с. 18, 19], последовательно, начиная с момента времени для каждого информационного символа ИС, определяем два кодовых символа КС. Последовательность КС обозначим , т. е. = 11 10 11 00 11 01 10 10 10.

Под решетчатой диаграммой запишем по два символа под каждым ребром диаграммы этой последовательности .

Весь путь, соответствующий кодированию, обозначить другим цветом (например, красным).

4.4 ССТС

Для определения вероятностных характеристик случайных сигналов на входе и выходе блока ФМС рассмотрим случайный синхронный телеграфный сигнал и его вероятностные характеристики.

На рис. 3 изображена реализация случайного процесса под названием "случайный синхронный телеграфный сигнал". На вход ФМС этот сигнал поступает с выхода кодера К.

Рис. 3. Возможная реализация случайного сигнала

В [7, с. 11] амплитуда прямоугольных импульсов обозначена В целях последующего определения корреляционной функции случайного процесса амплитуду удобно обозначить .

Случайный сигнал обладает следующими свойствами:

1. Случайный процесс в дискретные моменты времени, разделенные интервалом , принимает значения 0 и с вероятностью 0,5 каждое, независимо от того, какое значение имел сигнал на предыдущем участке длительностью .

Определим функцию распределения вероятности , характеризующую случайный процесс . Исходя из определения функции

,

где есть вероятность того, что случайный процесс принимает значения меньшие или равные заданной величине , и, используя значения данных в п. 1, строим график функции , изображенный на рис. 4, а.

Рис. 4. Законы распределения случайного телеграфного сигнала:

а) функция распределения вероятности

б) плотность вероятности

График функции построен на основе определения функции и свойств случайного процесса , отмеченных в п. 1.

Действительно, когда , вероятность , так как заданный сигнал значений, меньших , не принимает. Поэтому для значений . Когда , вероятность , так как сигнал принимает значение с вероятностью . Поэтому кривая в точке скачком изменяется с нулевого уровня до уровня .

В интервале < < 2 сохраняется вероятность для любого из этого интервала, так как в этом интервале сигнал не принимает никаких значений, поэтому

.

Когда , вероятность , так как значение сигнал принимает с вероятностью 0,5 и значение также с вероятностью 0,5. Отсюда . Поэтому в точке функция скачкообразно изменяется еще раз на величину 0,5, достигая значения, равного 1. Поскольку не может принимать значения больше 1 и не может убывать при увеличении аргумента , имеем при значениях >2.

2. Как известно, плотность вероятности случайного процесса связана с функцией формулой

Вычисляя производную от кривой (рис. 4, а), получим график плотности вероятности (рис. 4, б). На тех интервалах на оси , на которых дифференцируемая функция постоянна, производная равна нулю и только в точках и , где функция имеет разрывы непрерывности 1-го рода, производная отличается от нуля. Из теории обобщенных функций известно, что величина производной в этих точках равна д-функции, умноженной на численный коэффициент, равный величине скачка дифференцируемой функции . Согласно рис. 4, б аналитическое выражение для функции имеет вид

, (3)

т. е. представляет собой сумму двух д-функций. Видно, что найденная плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки, так как каждая д-функция в (3) ограничивает площадь, равную 0,5.

3. Определим математическое ожидание процесса :

. (4)

Полученный результат означает, что процесс не является центрированным случайным процессом, так как . Центрированный процесс будет равен

. (5)

4. На рис. 5 показаны четыре произвольные реализации , , и центрированного процесса .

Рис. 5. Реализации случайного сигнала

Границы тактовых интервалов для первой реализации обозначены , и эти же моменты времени обозначены на графиках других реализаций. На рис. 5 видно, что границы тактовых интервалов у разных реализаций не совпадают, т. е. любой момент времени на интервале может с равной вероятностью оказаться моментом начала такта для других реализаций:

, , и т. д.

Таким образом, интервал времени между точкой и началом тактового интервала есть случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Рис. 6. График плотности вероятности

График плотности вероятности этой случайной величины изображен на рис. 6.

Корреляционная функция для сигнала определяется по формуле

. (6)

Определим для двух случаев: а) >; б) .

а) Если >, то моменты времени и в каждой реализации принадлежат разным тактовым интервалам. В случае а) случайная величина будет равна произведению двух независимых случайных величин и . Как известно, математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей, т. е. . Поскольку данный процесс является центрированным (т. е. ), то из (6) при > следует

. (7)

б) Если <, то моменты времени и для одной части реализаций ансамбля будут принадлежать одному тактовому интервалу, а для другой части реализаций ансамбля моменты времени и будут принадлежать соседним тактовым интервалам.

На рис. 5 проведены две вертикальные линии, пересекающие все реализации, левой линии соответствует момент времени , а правой линии - момент времени . Расстояние между вертикальными линиями обозначено через <. Все реализации из ансамбля случайного процесса в данном случае можно разделить на две группы: и .

В группу введем все реализации, у которых моменты времени и принадлежат одному тактовому интервалу. В эту группу из четырех реализаций (рис. 5) попадут реализации: и .

В группу введем все реализации, у которых моменты времени и принадлежат разным (соседним) тактовым интервалам. В эту группу попадут реализации: и .

Математическое ожидание случайной величины по всему ансамблю случайного процесса получим, если вначале раздельно найдем математические ожидания этого произведения по реализациям группы и по реализациям группы а затем найденные математические ожидания усредним по обеим группам. Тогда

(по и) (по ) (по )

== + , (8)

где и - вероятности того, что реализация войдет, соответственно, в группу или группу .

(по )

Определим . Для любой реализации , попавшей в группу , произведение . Например:

если , то произведение

;

если , то произведение

и т. д.

Таким образом, получим

(по )

. (9)

(по )

Величина определяется аналогично, но при этом надо учитывать, что у реализации группы моменты времени и принадлежат разным тактовым интервалам, поэтому случайные величины и из группы будут независимы, что позволяет написать:

по () (по ) (по )

= 0 · 0 = 0. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8), получим

. (11)

Для определения вероятности на каждой реализации (рис. 5) введем интервал , равный расстоянию от момента до ближайшего момента времени, при котором может произойти изменение знака реализации. На рис. 5 видно, что каждая реализация имеет свою величину этого интервала и поэтому интервал есть величина случайная. Если момент времени перенести в точку момента времени , то по смыслу величина интервала заменится на величину интервала на рис. 5. Следовательно, величина интервала есть случайная величина, имеющая ту же плотность вероятности , что и случайная величина , т. е. равномерную (рис. 7).



Рис. 7. Плотность вероятности случайной величины

На рис. 5 видно, что для всех реализаций группы выполняется неравенство

, (12)

где - известная детерминированная величина .

Неравенство (12) является формальным (математическим) признаком того, что реализация или принадлежит группе Для реализаций группы аналогичным признаком является выполнение неравенства

. (13)

Таким образом, вероятность равна вероятности выполнения неравенства (12), т. е.

(14)

Зная плотность вероятности (рис. 7), можно найти величину

=====. (15)

При вычислении интеграла (15) верхний предел интегрирования, равный , заменяем конечной величиной , так как при значениях подынтегральная функция (рис. 7) равна нулю. Таким образом, равна той части площади прямоугольника, которая на рис. 7 обозначена штриховкой. Аналогично, используя неравенство (13), можно найти величину . Подставляя величину в (11) при , запишем корреляционную функцию

=. (16)

Правая часть (16) зависит только от , т. е. . Учитывая это свойство корреляционной функции, а также то, что (т. е. математическое ожидание не зависит от времени ), делаем вывод, что рассматриваемый процесс является стационарным процессом в широком смысле. Используя (7) и (16), можно построить график функции при (рис. 8).

Рис. 8. График при

На интервале график имеет форму прямой линии, имеющей отрицательный наклон, проходящий через точку на оси ординат, и точку на оси абсцисс.

Линейная зависимость графика (рис. 8) с отрицательным наклоном объясняется тем, что аргумент входит в (16) в первой степени и перед ним стоит знак "минус".

Стационарность процесса позволяет продолжить кривую в область отрицательных значений <, используя свойство симметрии корреляционной функции стационарного процесса.

Аналитическое выражение для корреляционной функции , справедливое, как для значений >, так и для значений <, имеет вид

(17)

Корреляционной функции соответствует график рис. 9.

Рис. 9. График корреляционной функции

5. Определим дисперсию заданного случайного процесса . Известно, что дисперсия стационарного процесса равна значению корреляционной функции при значении , т. е.

. (18)

Из графика рис. 9 следует, что удовлетворяет следующему пределу

, (19)

что является необходимым и достаточным условием эргодичности данного стационарного процесса .

Таким образом, рассматриваемый случайный процесс является не только стационарным, но и эргодическим процессом. Тогда вероятностные характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, могут быть определены с помощью только одной реализации из ансамбля процесса путем соответствующих усреднений этой реализации по времени.

6. Для определения спектральной плотности мощности случайного процесса используется теорема Винера-Хинчина, которая справедлива только для стационарных центрированных процессов.

=. (20)

Имеем, поскольку является четной функцией аргумента , а - нечетная функция (произведение четной функции на нечетную является нечетной функцией, а интеграл от любой нечетной функции в указанных пределах интегрирования равен нулю).

Учитывая четность подынтегральной функции в (20), а также формулу (17), вместо (20) можно написать

=

(21)

Используя метод интегрирования по частям, после элементарных преобразований получим окончательный результат

(22)

График функции представлен на рис. 10.

Рис. 10. Спектральная плотность

Функция (22) в точках обращается в нуль, и кривая при этих значениях касается оси абсцисс.

Основная доля мощности сигнала сосредоточена в ограниченной полосе частот вблизи частоты . Случайный синхронный телеграфный сигнал, имеющий теоретически бесконечную протяженность спектра, является нефинитным, с практической точки зрения его можно считать низкочастотным, но занимающим достаточно широкую полосу частот.

Корреляционные функции и случайных процессов и на выходе блока ФМС определяются по аналогичной методике определения корреляционной функции случайного процесса , поступающего на вход блока ФМС. Если необходимо найти , то существует небольшое отличие при определении математического ожидания произведения по группе в которую попадают реализации случайного процесса при выполнении неравенства .

Во-первых, изначально, процессы и являются центрированными случайными процессами.

Во-вторых, поскольку реализации случайного процесса в отличие от реализаций случайного процесса принимают четыре дискретных значения с одинаковой вероятностью , то математическое ожидание произведения по группе определяется формулой

(по )

=

.(23)

Корреляционная функция случайного процесса будет соответствовать структуре корреляционной функции случайного процесса , определяемой выражением (17), тогда

(24)

Отличие от корреляционной функции проявляется в том, что вместо множителя используется множитель и вместо параметра используется параметр , где - символьный интервал.



Рис. 11. График корреляционной функции

Случайный процесс имеет такие же вероятностные характеристики, какие имеет процесс , поэтому имеет место равенство

(25)

Используя теорему Винера-Хинчина и равенство (25), получим

(26)

Форма графика функций и будет похожа на форму графика на рис. 10. Величина главного максимума станет равной и в точках график этих функций будет касаться оси абсцисс .

В случае КАМ-16 величина

,

где - бинарный интервал, и поэтому график функций и , оставаясь нефинитным, станет в 4 раза уже, чем график на рис. 10.

Изложенную методику определения корреляционной функции для случайного синхронного телеграфного сигнала несложно обобщить и получить корреляционные функции для случайных процессов, в которых в качестве переносчиков информационных символов используются импульсы , форма которых отличается от прямоугольной формы. Примерами таких импульсов, используемых на практике, являются импульсы , форма которых похожа на форму гауссовской плотности вероятности, а также импульсы, связанные с сигналами со спектром "приподнятого косинуса".

Сигналы со спектром "приподнятого косинуса" используются в спутниковой и мобильной связи.

Например, если задан случайный процесс

, (27)

где - случайная величина, заданная на символьном интервале с номером , которая принимает известные дискретные значения с заданными вероятностями, величина их не зависит от значения ; - детерминированный импульс заданной формы (не обязательно прямоугольной), тогда корреляционная функция случайного процесса может быть определена как

, (28)

где - математическое ожидание случайной величины ; - частота поступления в канал связи информационных символов .

Автокорреляционная функция импульса определяется формулой:

 (29)

4.5 ФМС или преобразователь последовательного кода в параллельный код

На рис. 12 изображен блок ФМС. С выхода кодера (К) формируются реализации случайного сигнала (процесса) и поступают на вход блока ФМС. В [7] сигнал с выхода сверточного кодера представляет собой случайную последовательность однополярных прямоугольных импульсов с амплитудой . Предполагается, что этот сигнал преобразуется в последовательность биполярных прямоугольных импульсов:

- символ "1" передается импульсом положительной полярности с амплитудой [9, с. 148] и длительностью , где - бинарный интервал;

- символ "0" передается импульсом отрицательной полярности. Параметр - безразмерная величина и может принимать любые заданные значения, например .

Рис. 12. Формирователь модулирующих символов (ФМС)

Блок ФМС имеет два выхода, на которых формируются выходные сигналы и .

Фрагмент возможной реализации случайного процесса , соответствующий заданной последовательности двоичных (бинарных) информационных символов 1 0 1 1 0, поступающих с выхода кодера (К), представлен на рис. 13, б.



Рис. 13. Импульс и фрагмент реализации

Реализацию случайного процесса

(30)

можно представить в следующей аналитической форме

(31)

где - прямоугольный импульс длительностью (рис. 13, а),

(32)

где - прямоугольный импульс такой же формы, как , но сдвинутый вправо относительно импульса на величину , если , или влево, если ; - численный коэффициент, являющийся реализацией случайной величины на -интервале .

Величина принимает два дискретных значения и с вероятностью 0,5 каждое, т. е.

Если в заданной реализации на -интервале передается информационный символ "1", то , если передается символ "0", то (рис. 13, б).

Связь между входным сигналом и выходными сигналами блока ФМС характеризует сигнальное созвездие для заданного вида модуляции. Сигнальное созвездие строится в декартовой системе координат и . Каждой точке (звезде) сигнального созвездия будут соответствовать численные значения координат и . Существуют разные формы сигнальных созвездий, но наибольшее практическое применение получили созвездия квадратной формы. Примерами таких созвездий являются КАМ-16, КАМ-64, КФМ-4 и др., где цифры 16, 64 и 4 показывают количество точек в созвездии.

Слово "квадратурная" показывает, что в состав сигнала КАМ или КФМ входит сумма двух сигналов, один из которых зависит от множителя , а другой - от множителя . Благодаря этим множителям сигналы обладают свойством взаимной ортогональности. Про такие сигналы говорят, что они находятся в "квадратуре".

Количество точек на квадратном созвездии можно представить в виде , где = 2, 4, 6, 8, … - четные числа. Точкам сигнального созвездия на каждой координатной оси и соответствует дискретных значений, определяемых для каждого значения по формуле [9, с. 148]

, (33)

где для квадратных созвездий типа КАМ-16, КАМ-64 и т. д.

Расстояние между соседними дискретными значениями равно , где - заданная величина. Каждой точке сигнального созвездия соответствует блок из двоичных символов, который может появиться на входе блока ФМС.

Примеры:

1. Квадратурная амплитудная модуляция КАМ-16.

Число точек в созвездии равное 16 представляем в виде , где . Определяем величину - число дискретных значений, которые могут принимать координаты и точек на сигнальном созвездии, т. е. . Используя (33), находим значения координат точек созвездия КАМ-16 на осях и :

-3, -, , 3. (34)

Итак, сигнальное созвездие для КАМ-16 содержит 16 точек. Известно также, что существует различных блоков (последовательностей) из 4 двоичных символов, отличающихся друг от друга хотя бы одним символом (битом). Отсюда следует, что каждую точку на сигнальном созвездии можно связать с одним из 16 символьных блоков. Соответствие между 16 различными блоками из 4 символов (битов) и 16 точками сигнального созвездия можно осуществлять различными способами.

Наиболее рациональное соответствие получается при использовании так называемого кода Грея, когда соседним точкам на сигнальном созвездии соответствуют блоки, отличающиеся друг от друга только одним символом. Сигнальное созвездие для КАМ-16 изображено на рис. 14.

Рис. 14. Сигнальное созвездие для КАМ-16

Действительно, если при передаче сигнала с параметрами и , являющимися координатами какой-либо точки сигнального созвездия, демодулятор в условиях действия флуктуационной помехи типа белого шума неверно определит величины передаваемых параметров и , то наиболее вероятные ошибки будут соответствовать координатам и тех точек сигнального созвездия, которые находятся на наименьшем евклидовом расстоянии от точки сигнального созвездия с координатами и .

Тогда в этом случае, при обратном переходе от принятых параметров и к возможным блокам из 4 двоичных символов, ошибка будет только в одном символе (бите) из 4 передаваемых, что важно при декодировании с исправлением ошибок.

Графики рис. 15. иллюстрируют пример, когда по заданной реализации входного случайного процесса с использованием сигнального созвездия КАМ-16 строятся реализации и выходных случайных процессов и . Процессы и можно представить в виде

; , (35)

где - прямоугольный импульс длительностью (рис. 15, б); - символьный интервал; - бинарный интервал.

(36)

где - прямоугольный импульс такой же формы, как импульс , но сдвинутый вправо относительно импульса на величину , если , или влево, если ; и - независимые случайные величины, заданные на символьном интервале с номером , которые согласно сигнальному созвездию (рис. 14) принимают четыре дискретных значения , , , с вероятностью 0,25 каждое, т. е.

(37)

На рис. 15, а изображен фрагмент возможной реализации , поступающей на вход блока ФМС, который соответствует последовательности из 16 кодовых двоичных символов (КС) - 1011001001110110.

Рис. 15. Реализации и случайных процессов и для КАМ-16

Реализации и в соответствии с выражением (35) можно представить в форме

, (38)

где и - реализации случайных величин и на символьном интервале с номером (рис. 15, в, г), входящих в (35).

Пользуясь сигнальным созвездием (рис. 14) для входной реализации (рис. 15, а) по 4 символьным блокам двоичных символов определяются численные значения и на символьном интервале длительностью с номером , где , , , .

Первые четыре символа (бита) 1 0 1 1 из заданной последовательности расположены над символьным интервалом с номером . На сигнальном созвездии находим точку, которой соответствует блок из четырех символов (бит) 1 0 1 1. Значения реализаций и случайных величин и будут равны значениям координат найденной точки, т. е. и

Аналогично находим численные значения реализаций и для интервалов с номерами

Отметим, что сигналы и на рис. 15, в, г должны быть сдвинуты по оси времени вправо на величину относительно сигнала на рис. 15, а. Чтобы было легче проследить за соответствием между графиком сигнала и графиками реализаций и , графики рис. 15, в, г показаны без указанного сдвига.

2. Квадратурная фазовая модуляция КФМ-4.

Сигнальное созвездие представлено на рис. 16.

Рис. 16. Сигнальное созвездие квадратурной фазовой модуляции КФМ-4

На созвездии КФМ-4 число точек 4 представляем в виде , где . Определяем величину - число дискретных значений, которые могут принимать координаты и точек на сигнальном созвездии - . Используя (33), находим значения координат точек созвездия КФМ-4 на осях и

(39)

Формально этот вид модуляции можно обозначить как КАМ-4. Поскольку точки (звезды) созвездия (рис. 16) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, то колебания, соответствующие этим точкам, будут иметь одинаковые амплитуды, но разные фазы. Так как сигналы, соответствующие разным точкам созвездия (рис. 16) различаются только фазами, правильнее такие сигналы назвать сигналами "квадратурной" фазовой модуляции КФМ-4. Фаза сигнала может принимать значения соответственно рис. 16.

На выходах блока ФМС для КФМ-4 также появляются сигналы и , представленные в виде формул (35):

; , (40)

где и - независимые случайные величины, которые согласно сигнальному созвездию (рис. 16) принимают два дискретных значения и , с вероятностью 0,5 каждое:

, (41)

где - прямоугольный импульс длительностью с амплитудой (рис. 17, б); - прямоугольный импульс такой же формы, как импульс , но сдвинутый относительно импульса на величину .

Фрагменты реализаций и случайных процессов и , соответствующие заданной реализации входного процесса , представлены на рис. 17.

Рис. 17. Реализации и случайных процессов и для КФМ

Методика изображения реализаций для КФМ полностью соответствует методике построения реализаций и на рис. 15.

Нетрудно показать, что полученные ранее в разд. 4.4 аналитические выражения (17), (24) для корреляционных функций , являются частными случаями более общего аналитического выражения (28) при соответствующем задании процесса .

Если в качестве случайного процесса выбрать случайные процессы или , задаваемые соответственно в разд. 4.5 формулами (30) и (35), то получим для корреляционных функций этих процессов соответственно в разд. 4.4 формулы (17) или (24).

4.6 Модулятор: перемножители, инвентор и сумматор

На структурной схеме системы связи сигнал c выхода нижнего перемножителя ПМ2 поступает на вход инвертора, который изменяет знак перед этим сигналом с плюса на минус. С учетом этого на выходе сумматора получаем сигнал

. (42)

Этот сигнал в зависимости от заданного вида модуляции является сигналом квадратурной амплитудной или квадратурной фазовой модуляции. Множители и обеспечивают ортогональность сигналов и .

Поэтому говорят, что эти сигналы находятся в квадратуре.

Сигналы, входящие в (42), передаются одновременно, в одной и той же полосе частот и по одной линии связи.

Свойство ортогональности обеспечивает линейную независимость этих сигналов, а значит, и возможность их разделения на приемном конце канала.

Возможность разделения этих сигналов позволяет независимо производить оценку информационных параметров (модулирующих символов) и в составе сигналов и .

Используя полученные ранее выражения (35) из разд. 4.5 для сигналов и , формулу (42) запишем в виде

. (43)

Выделим из правой части (43) сигнал , которому соответствует слагаемое с индексом ,

где - произвольное фиксированное целое число

=

. (44)

С помощью сигнала (44) по каналу передаются информационные (модулирующие) символы и . Сигнал (44) появляется на выходе модулятора, начиная с момента , и его длительность равна длительности импульса .

Из разд. 4.5 следует, что символы и являются декартовыми координатами точки на сигнальном созвездии (рис. 18), которая соответствует выделенным слагаемым из выражения (43).

Рис. 18. Координаты и точки на сигнальном созвездии

Согласно рис. 18 параметры и можно представить в виде

; , (45)

где и .

Величины и - координаты той же точки на сигнальном созвездии в полярной системе координат. Подставив (45) в (44), преобразуем сигнал (44) к виду



. (46)

Из (46) видно, что в состав выделенного сигнала в качестве сомножителя входит гармоническое колебание

(47)

в канонической форме.

Представление гармонического колебания (47) в канонической форме в составе сигнала (46) получено благодаря знаку "минус" перед вторым слагаемым в выражении (42). Этот знак обеспечивается введением инвертора в нижнюю ветвь перед сумматором на структурной схеме.

Гармоническому колебанию (47) соответствует комплексная амплитуда:

. (48)

Комплексная амплитуда (48) при условии представлена вектором на комплексной плоскости (рис. 19, а).

Рис. 19. Вектор комплексной амплитуды:

а) ; б)

Существенно, что вектор по длине и направлению полностью соответствует исходному вектору, проведенному в точку с координатами и на сигнальном созвездии на рис. 18. В (46) гармонический сигнал представлен в канонической форме. Поскольку сигнал (46) был получен из сигнала (42), то выражение (42) является канонической формой для сигналов квадратурных видов модуляции (КАМ, КФМ).

Если в структурной схеме исключить инвертор перед сумматором, то сигнал на выходе сумматора будет представлен в виде

. (49)

В этом случае, повторив приведенные выше выкладки, в составе выделенного сигнала получим гармонический сигнал в форме , которая не является канонической, как упоминалось ранее.

Вектор комплексной амплитуды для данного гармонического сигнала будет иметь вид , и на комплексной плоскости этот вектор при условии изображен на рис. 19, б.

Сравнивая рис. 19, б и рис. 18 делаем вывод, что при задании сигнала в форме (49) вектор на комплексной плоскости не совпадает по направлению с соответствующим вектором на сигнальном созвездии на рис. 18. Это является следствием того, что форма (49) не является канонической для представления сигнала КАМ, и поэтому возникает отмеченное несоответствие.

Таким образом, из двух возможных представлений сигнала квадратурной модуляции в форме (42) или в форме(49) будем считать канонической только форму (42) и только ее будем использовать в КР.

Отметим, что правая часть выражения (46) является квазигармонической формой для сигнала . Она таковой является потому, что функция не принимает отрицательных значений. Функция определяет форму огибающей сигнала .

При определении корреляционной функции случайного сигнала на выходе модулятора необходимо уточнить задание ансамблей случайных процессов на выходах перемножителей.