Анализ нелинейных систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

КУРСОВАЯРАБОТА

по дисциплине «Теория автоматического управления»

на тему:

Анализ нелинейных систем автоматического управления

Студент: Тишининов Ю.С.

Группа Эма-71

Руководитель курсовой работы

Лютц С.В.

2010



ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ:

1. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

1.1 Проверить результаты расчетов по пункту 1 с помощью структурного моделирования.

1.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

2. Исследовать САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

2.1 Проверить результаты расчетов по пункту 2 с помощью структурного моделирования.

2.2 Исследовать влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

1. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом фазовой плоскости.

Вариант №4-1-а

Исходные данные.

1) Структурная схема нелинейной САУ:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.1

Система, в которой рабочие операции и операции управления выполняют технические устройства, называется системой автоматического управления (САУ).

Структурной схемой называется графическое изображение математического описания системы.

Звено на структурной схеме изображается в виде прямоугольника с указанием внешних воздействий и внутри него записывается передаточная функция.

Совокупность звеньев совместно с линиями связи, характеризующими их взаимодействие, образует структурную схему.

2) Параметры структурной схемы:

К₁ = 10

К₂ = 1,5

Т₁ = 0,01

Т₂ = 0,03

3) Вид и параметры нелинейности:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.2

Метод фазовой плоскости

Поведение нелинейной системы в любой момент времени определяется управляемой переменной и ее (n?1) производной, если эти величины отложить по осям координат, то полученное n?мерное пространство будет называться фазовым пространством. Состояние системы в каждый момент времени будет определяться в фазовом пространстве изображающей точкой. Во время переходного процесса изображающая точка перемещается в фазовом пространстве. Траектория ее движения называется фазовой траекторией. В установившемся режиме изображающая точка находится в состоянии покоя и называется особой точкой. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий, совместно с особыми точками и траекториями называется фазовым портретом системы.

При исследовании нелинейной системы данным методом необходимо структурную схему (рис. 1.1) преобразовать к виду:

Знак минус говорит о том, что обратная связь отрицательная.

где X₁ и X₂ - выходная и входная величины линейной части системы соответственно.

Рис. 1.3

Найдем дифференциальное уравнение системы:

Произведем замену , тогда

Решим это уравнение относительно старшей производной:

Положим, что:

,(1.1)

тогда

(1.2)

Разделим уравнение (1.2) на уравнение (1.1) и получим нелинейное дифференциальное уравнение фазовой траектории:

(1.3)

где x₂ = f(x₁).

Если решать это ДУ методом изоклин, то можно построить фазовый портрет системы для различных начальных условий.

Изоклиной называется геометрическое место точек фазовой плоскости, которые фазовая траектория пересекает под одним и тем же углом.

В данном методе нелинейная характеристика делится на линейные участки и для каждого из них записывается линейное ДУ.

Для получения уравнения изоклины правая часть уравнения (1.3) приравнивается к постоянной величине N и решается относительно .

(1.4)

Учитывая нелинейность, получаем:

1)

2)

3)

Задаваясь значениями N в диапазоне от до , строится семейство изоклин. На каждой изоклине проводится вспомогательная прямая под углом к оси абсцисс

,(1.5)

где m_X - масштабный коэффициент по оси х;

m_Y - масштабный коэффициент по оси у.

Выбираем m_X= 0,2 ед/см, m_Y= 40 ед/см;

Конечная формула для угла:

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка , расчет сведем в таблицу 1:

Таблица 1

N	0	18,75	45	84,375	150	281,25	675
x1	-60	-60	-60	-60	-60	-60	-60
Y'	14000	12000	10000	8000	6000	4000	2000
x11	-20	-20	-20	-20	-20	-20	-20
Y''	13555,56	11619,05	9682,54	7746,032	5809,524	3873,016	1936,508
a	0	5.35	12.7	23	37	54.5	73.5

N	-900	-506,25	-375	-309,375	-270	-243,75	-225
x1	-60	-60	-60	-60	-60	-60	-60
Y'	-2000	-4000	-6000	-8000	-10000	-12000	-14000
x11	-20	-20	-20	-20	-20	-20	-20
Y''	-1936,51	-3873,02	-5809,5	-7746,03	-9682,54	-11619	-13555,6
a	-77.47	-68	-62	-57	-53.47	-51	- 48

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка , расчет сведем в таблицу 2:

Таблица 2

N	0	18.74	45	84,375	150	281,25	675
x1	-20	-20	-20	-20	-20	-20	-20
Y'	13555.5	11619	9355	7746	5809	3873	1936
x11	-10	-10	-10	-10	-10	-10	-10
Y''	111.111	95.23	78.49	63.49	47.62	31.74	15.87
a	0	5.4	12.5	23	37	54.5	73.5

N	-900	-506,25	-375	-309,375	-270	-243,75	-225
x1	-20	-20	-20	-20	-20	-20	-20
Y'	-1936.5	-3873	-5809.5	-7746	-9682.5	-11619	-13555
x11	-10	-10	-10	-10	-10	-10	-10
Y''	-15.873	-31.746	-47.619	-63.49	-79.36	-95.24	-111.11
a	-77.5	-68.5	-62	-57	-53.5	-51	-48

Рассчитаем семейство изоклин и угол для участка , расчет сведем в таблицу 3:

Таблица 3

N	0	18.74	45	84,375	150	281,25	675
x1	-10	-10	-10	-10	-10	-10	-10
Y'	111.11	95.23	78.49	63.49	47.62	31.74	15.87
x11	10	10	10	10	10	10	10
Y''	-111.11	-95.23	-78.49	-63.49	-47.62	-31.74	-15.87
a	0	5.4	12.5	23	37	54.5	73.5

N	-900	-506,25	-375	-309,375	-270	-243,75	-225
x1	-10	-10	-10	-10	-10	-10	-10
Y'	-15.873	-31.746	-47.619	-63.49	-79.36	-95.24	-111.11
x11	10	10	10	10	10	10	10
Y''	15.873	31.746	47.619	63.49	79.36	95.24	111.11
a	-77.5	-68.5	-62	-57	-53.5	-51	-48

Построим фазовую траекторию

Для этого выбираются начальные условия на одной из изоклин (точка А), из точки А проводятся две прямые линии до пересечения со следующей изоклиной под углами б₁, б₂, где б₁, б₂ ? соответственно углы первой и второй изоклины. Отрезок, отсекаемый этими линиями, делится пополам. Из полученной точки, середины отрезка, вновь проводятся две линии под углами б₂, б₃, и вновь отрезок делится пополам и т.д. Полученные точки соединяются плавной кривой.

Семейства изоклин строятся для каждого линейного участка нелинейной характеристики и разделяются между собой линиями переключения.

По фазовой траектории видно, что получена особая точка типа устойчивый фокус. Можно сделать вывод, что автоколебаний в системе нет, а переходный процесс устойчивый.

1.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab

Структурная схема:

Рис. 1.4

Фазовый портрет:

Рис. 1.5



Переходный процесс при входном воздействии равном 2:

Рис. 1.6

Xвых.max = 1.6

Xвых.? = 1

Nкол = 6

Трег = 0,1

1.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы

Увеличим входной сигнал до 10:

Рис. 1.7

Xвых.max = 14,3

Xвых.? = 8.5

Ккол = 5

Трег = 0,055

Увеличим входной сигнал до 100:

Рис. 1.8

X вых. max = 103

X вых.? = 98

К кол = 5

Т рег = 0,18

Увеличим зону чувствительности до 15:

Рис. 1.9

Xвых.max = 0,81

Xвых.? = 0,5

Ккол = 6

Трег = 0,11

Уменьшим зону чувствительности до 1:

Рис. 1.10

Xвых.max = 3.2

Xвых.? = 1.8

Ккол = 8

Трег = 0,09

Выводы:

Результатами моделирования были подтверждены результаты расчетов: из рисунка 1.7 видно, что процесс сходящийся, автоколебаний в системе нет. Фазовый портрет смоделированной системы схож с построенным расчетным путем.

Исследовав влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы, можно сделать выводы:

1) при увеличении входного воздействия увеличивается уровень установившегося режима, количество колебаний не меняется, время регулирования увеличивается.

2) при увеличении мертвой зоны уровень установившегося режима увеличивается, количество колебаний также остается неизменным, время регулирования увеличивается.



2. Исследуем САУ с заданной структурной схемой, видом нелинейности и числовыми параметрами методом гармонической линеаризации.

Вариант №5-20-c

Исходные данные.

1) Структурная схема:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1

2) Значения параметров:

k₁ = 15.5

k₂ = 2.2

T₁ = 0,39 с

Т₂ = 0,3 с

Т₃ = 0,14 с

3) Вид и параметры нелинейности:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2

Наиболее широкое распространение для исследования нелинейных САУ высокого порядка (n > 2) получил приближенный метод гармонической линеаризации с применением частотных представлений, развитых в теории линейных систем.

Основная идея метода сводится к следующему. Пусть замкнутая автономная (без внешних воздействий) нелинейная система состоит из последовательно включённых нелинейного безынерционного НЗ и устойчивой или нейтральной линейной части ЛЧ ( рис 2.3, а)

a) НЗ

u=0 x z Х=Х_msinwt z y

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

б) ЛЧ

y = Y_m1 sin (wt + )

-

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.3

Для суждения о возможности существования моногармонических незатухающих колебаний в этой системе предполагается, что на входе нелинейного звена действует гармонический синусоидальный сигнал x(t) = X_m sinwt (Рис. 2.3,б). При этом сигнал на выходе нелинейного звена z(t) = z[x(t)] содержит спектр гармонических составляющих с амплитудами Z_m1, Z_m2, Z_m3, и т.д. и частотами w, 2w, 3w и т.д. Предполагается, что этот сигнал z(t), проходя через линейную часть W_л(jw), фильтруется ею в такой степени, что в сигнале на выходе линейной части y(t) можно пренебречь всеми высшими гармониками Y_m2, Y_m3 и т.д. и считать, что

y(t)Y_m1sin(wt + )

Последнее предположение носит название гипотезы фильтра и выполнение этой гипотезы является необходимым условием гармонической линеаризации.

Условие эквивалентности схем, изображенных на рис. 2.3, а и б, можно сформулировать в виде равенства

x(t) + y(t) = 0(1)

При выполнении гипотезы фильтра y(t) = Y_m1sin(wt + ) уравнение (1) распадается на два

X_m = Y_m1(2)

=(3)

Уравнение (2) и (3) носят название уравнений гармонического баланса; первое из них выражает баланс амплитуд, а второе - баланс фаз гармонических колебаний.

Таким образом, для того, чтобы в рассматриваемой системе существовали незатухающие гармонические колебания, при соблюдении гипотезы фильтра должны выполняться условия (2) и (3)

Воспользуемся методом Гольдфарба для графоаналитического решения характеристического уравнения вида

W_ЛЧ (p) W_НЭ (A) +1 = 0

p jw

W_ЛЧ(jw) W_НЭ(A) = -1

Для приближенного определения автоколебаний строятся АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента.

Для построения АФЧХ линейной части преобразуем структурную схему к виду рис 2.4:

Рис 2.4

В результате преобразования получаем схему рис 2.5:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найдем передаточную функцию линейной части системы:

Заменим :

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, получим:

Разобьем получившееся на мнимую и действительную части:

Для построения обратной отрицательной характеристики нелинейного элемента воспользуемся формулой:

где ,

- параметры нелинейности:

,k=10

А - амплитуда, при условии что .

АФЧХ линейной части системы и обратная отрицательная характеристика нелинейного элемента, представлена на рис. 2.6:



Рис. 2.6

Для определения устойчивости автоколебаний воспользуемся следующей формулировкой: если точка соответствующая увеличенной амплитуде по сравнению с точкой пересечения не охватывается частотной характеристикой линейной части системы, то автоколебания устойчивые. Как видно из рисунка 2.6 решение устойчиво, следовательно, в системе устанавливаются автоколебания.

2.1 Проверим результаты расчетов с помощью структурного моделирования в программе MathLab.

Рис 2.7: Структурная схема

Переходный процесс при входном воздействии равном 1 (рис 2.8):

автоматический управление нелинейный гармонический



Рис. 2.8

Как видно из графика устанавливаются автоколебания. Проверим влияние нелинейности на устойчивость системы.

2.2 Исследуем влияние входного воздействия и параметров нелинейности на динамику системы.

Увеличим входной сигнал до 100:

Рис. 2.9

Увеличим входной сигнал до 270



Рис. 2.10

Уменьшим входной сигнал до 50:

Увеличим насыщение до 200:

Рис. 2.11

Уменьшим насыщение до 25:

Рис. 2.12

Уменьшим насыщение до 10:

Рис. 2.13

Вывод:

Результатами моделирования не однозначно подтвердили результаты расчетов:

1) Автоколебания возникают в системе, а изменение насыщения влияет на амплитуду колебаний.

2) При увеличении входного воздействия изменяется величина выходного сигнала и система стремиться к устойчивому состоянию.



СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. Под ред. В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Теория автоматического управления. Ч. II. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. Под ред. А.А.Воронова. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1977. - 288 с.

3. Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: учеб. пособие. ? М.: Машиностроение, 1989. ? 752 с.

Размещено на Allbest.ru