Системы обнаружения и измерения параметров сигналов со скачкообразным изменением частоты

В работе [5] получено выражение для проигрыша в точности КПО периода следования по сравнению с точностью ОМП:

где f_i?(x) = df_i(x)/dx; к= ф₁/ф₀; i= 0,1.

В выражении (1.59) использовано конкретизированное аналитическое описание формы ожидаемого и принимаемого видеоимпульсов в виде:

s_i(t) = a_if_i(t/ф_i), i= 0;1.(1.60)

В формуле (1.60) a_i имеет смысл пикового значения видеоимпульсов, - его эквивалентной длительности, а f_i(x) - формы видеоимпульсов.

Оценим величину проигрыша ч в точности КПО периода следования при функции f (x), отличной по форме от близкой к прямоугольной (1.54).

Примем, что форма импульсов при прохождении через цепь с передаточной функцией К(jщ) описывается функцией:

Результаты моделирования представлены на рис. 1.17, где показано, что наилучшее совпадение, соответствующее минимуму ч, приходится на значение к =1,5 при д = 0. С возрастанием д ситуация ухудшается и при д = 0,5 минимум смещается вверх по шкале ординат почти на порядок.

Рис. 1.17 Зависимость величины проигрыша в точности КПО периода следования импульсов от отношения эффективных длительностей импульсов

Сопоставление кривых на рис. 1.17 показывает, что по мере увеличения различий в форме принимаемого и ожидаемого видеоимпульсов, проигрыш в точности КПО быстро возрастает и достигает значительных величин ч порядка 20 - 40, что вообще ставит под сомнение целесообразность использования таких оценок.

Ситуация еще более усложняется, если оценивание параметров ведется по так называемому пропадающему сигналу, то есть такому сигналу s(t), который присутствует во входной реализации y(t) с вероятностью, меньшей единицы [4].

Прием пропадающего сигнала (либо связанной с ним последовательности видеоимпульсов) является типичным в каналах персональной связи в условиях плотной городской застройки, на пересеченной местности, при перфорированной выборке сигналов с ППРЧ и т.д.

В работе [5] также показано, что КПО периода следования являются в общем случае смещенными, что тем более усиливает необходимость поиска новых подходов к построению соответствующих алгоритмов оценки.

Существует перспективная методология поиска эффективных алгоритмов оценивания основанная на следующем. В радиотехнических приложениях распределения выборок и наблюдаемых технических процессов часто обладают полными достаточными статистиками (ПДС), что создает предпосылки для применения теоремы Рао - Блеквелла - Лемана - Шеффе и ее следствий [3,4,5] при отыскании эффективных оценок параметров сигналов. Применение методологии ПДС для отыскания эффективной оценки периода следования импульсов на фоне шумов и помех в условиях параметрической априорной неопределенности является актуальной научной проблемой, и ее решение имеет прямую практическую применимость.

В теории математической статистики показано, что для проявления механизма асимптотической эффективности необходимо существенное превышение энергии полезного сигнала над мощностью шума либо достаточная продолжительность наблюдений, т.е. объем статистической выборки [6, 7].

В тех же случаях, когда ни величина отношения сигнал/шум, ни объем записанной реализации не позволяют ожидать проявления механизма асимптотической эффективности, целесообразно построение алгоритмов оценивания, использующих теорему Лемана - Шеффе[8, 9] о полных достаточных статистиках (ПДС).

Согласно этой теореме, если T(x) - полная достаточная статистика длясемейства распределений , а ?(x) - произвольная несмещенная оценкафункции g(л), то эффективная оценка функции g(л) является измеримойфункцией от T(x) и определяется выражением:

где M{*|T(x)} - символ условного математического ожидания, причем эта оценка существенно единственная.

Основанный на теореме Лемана - Шеффе подход заключается в том, что на первом этапе синтезируют произвольную несмещенную оценку для оцениваемого параметра, а на втором этапе оценивания по этой несмещенной оценке находят эффективную оценку оцениваемого параметра л.

Дополнительными аргументами в пользу развития методологии достаточных статистик служат следующие соображения. Как правило, в задачах оценивания параметров сигнала основным способом преодоления параметрической априорной неопределенности является включение мешающих (неинформативных) параметров в состав параметров, подлежащих оценке, т.е. увеличение размерности вектора оцениваемых параметров [6]. Как правило, это приводит не только к существенному усложнению алгоритма оценивания параметра И, но и к значительному проигрышу ч, причем последний определяется аналогично выражению (6), но с той лишь разницей, что под л понимается совместно оцениваемый вектор мешающих параметров.

В любом случае, привлекательной стороной указанного подхода является то, что при наличии полных достаточных статистик для оцениваемых и мешающих параметров распределений вероятностей наблюдаемой выборки, оптимальный ПДС-алгоритм оценивания параметров строится без увеличения размерности вектора оцениваемых параметров сигнала при любых конечных объемах выборки.

Рассмотрим процесс x(t), представляющий собой аддитивную смесь сигнала и шума:

где A_m? амплитуда сигнала, неравная нулю в интервал времени [tk⁺, tk^?], s(t) ? нормированный по амплитуде сигнал, n(t) - дифференцируемый стационарный гауссовский шум, характеризуемый дисперсией у². В работах [3,5] показано, как методом ПДС оценить период следования импульсов в данном случае. Вместе с тем, в случае, когда мы имеем дело с пропадающим сигналом, параметры появления которого неизвестны априори, задача определения периода следования становится сложнее.

Оценим период следования импульсов, Т, с помощью статистик t⁺={t₀⁺,…, t_n⁺} и t^?= {t₀^?,…,t_n^?}, где t_k⁺время пересечения порогового уровняпередним фронтом k-го обнаруженного импульса процесса x(t), а t_k^? ?соответственно задним фронтом. Случайные величины tk⁺и tk^?можнопредставить следующим образом:

(1.64)

Здесь t_0k⁺и t_0k^? ? время пересечения уровня передним и задним фронтом импульса сигнала s(t), Дt_0k⁺и Дt_0k^? ? малые случайные добавки, обусловленные действием шума n(t), t₀₀⁺ ? первое пересечение уровня Н, i_k?номер обнаруженного k-го импульса, v ? скважность.

Найдем оценку периода следования импульсов методом ПДС. В основе этого метода лежит теорема о единственности эффективной оценки [8;9], являющаяся следствием из теоремы Рао - Блеквелла - Лемана - Шеффе.

Согласно теореме о единственности эффективной оценки, если Y - полная достаточная статистика, и существует представление искомого параметра в виде линейной комбинации моментов разного порядка статистики Y, в нашем случае:

то единственная эффективная оценка параметра принимает следующий вид:

Здесь M ? размерность полной достаточной статистики, N - максимальный номер порядка момента. Применим эту теорему к нашей задаче. Для этого рассмотрим совместную плотность распределения вероятностей выборочных векторов t⁺, t^?и найдем достаточную статистику Y, убедимся в ее полноте с помощью теоремы о полноте [9], вычислим математическое ожидание статистики Yи получим систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров процесса x(t). Далее решим полученную систему методом Крамера и получим выражение периода следования импульсов, T, через математическое ожидание статистики Y. Теперь можно применить теорему и получить единственную эффективную оценку периода следования импульсов. В нашем случае она будет выглядеть следующим образом:

Информацию о виде совместной плотности распределения вероятностей выборочных векторов t⁺, t^?можно найти в работах [10,11].

Приняв во внимание, что D{t_i⁺}=D{ t_i⁺ }= 1/[qs'(t₀₀⁺)]², и вычислив s'(t₀₀⁺), пользуясь аппроксимацией формы импульса, приведенной в работе [3], и предполагая, что s'(t₀₀) принимает максимальное значение, получим относительную погрешность метода ПДС:

где к = ф₀/ ф₁- коэффициент прямоугольности импульса, q - отношение сигнал/шум.

Оценка периода следования импульсов при использовании традиционного метода усреднения без учета информации о функции распределения и его относительная погрешность [8] выглядят следующим образом:

Для алгоритма оценивания периода следования импульсов сигналов с ППРЧ на фоне шумов были установлены следующие факты:

1. На примере модели последовательности пропадающих по псевдослучайному закону квазипрямоугольных импульсов проиллюстрирован подход к оценке их периода следования с учетом скважности и коэффициента прямоугольности импульсов.

2. Представлено аналитическое выражение для оценки периода следования импульсов.

1.7 Выводы с формулировкой цели и задач для достижения поставленной цели

На основании проведенного анализа литературных источников можно сделать следующие выводы:

1. При разработке алгоритмов мониторинга сигналов с ППРЧ назрела необходимость в использовании современных достижений фундаментальной математики, позволяющей обеспечить достаточную эффективность при воздействии помех на основе цифровой обработки сигналов.

2. Априорная неопределенность может решать созданием алгоритмов, основанных на инвариантных статистиках, свободных от мешающих параметров сигналов и помех.

3. На основании выполненного анализа можно сформулировать следующую цель диссертационной работы: повышение эффективности средств радиоконтроля на основе разработки и исследования цифровых алгоритмов и устройств обнаружения и оценки параметров сигналов с псевдослучайной перестройки рабочей частоты (ППРЧ) в условиях высокой априорной неопределенности.

4. Для достижения сформулированной цели необходимо решить следующие задачи:

* произвести анализ и выбор метода и алгоритма обнаружения сигналов с ППРЧ;

* разработать алгоритм оценки периода следования импульсов сигналов с ППРЧ;

* разработать алгоритм оценки формы импульса сигналов с ППРЧ;

* разработать эффективных вычислительных алгоритмов обработки сигналов с ППРЧ;

* реализовать разработанные цифровые алгоритмы на современной элементной базе и произвести их оптимизацию по вычислительным затратам;

* выполнить моделирование сигналов с ППРЧ и систем их радиомониторинга с целью проверки их работоспособности и эффективности.

2. Алгоритмы обнаружения сигналов с ППРЧ и измерения периода следования

2.1 Алгоритмы обнаружения сигналов с ППРЧ

Важной частью энергетического обнаружителя является адаптивный блок сравнения в схеме на рис. 1.1. Задача выбора порогового уровня и его адаптации к реальной радиообстановке является очень не простой и не имеющей однозначного решения, оптимально подходящего под все виды сигналов и инвариантного к априорной информации о сигнале. В качестве решения задачи выбора порогового значения мы остановили свой выбор на критерии Неймана - Пирсона. В задаче проверки гипотез для двух классов (бинарная задача, которой и является задача обнаружения - простая гипотеза и простая альтернатива) можно совершить два типа ошибок - обнаружитель может пропустить импульс или выдать ложную тревогу. Вне зависимости от функции распределения, обозначим вероятность ошибки каждого типа через е₁ и е₂ соответственно. Критерий Неймана - Пирсона представляет собой решающее правило, минимизирующее вероятность ошибки е₁ при условии, что вероятность ошибки равна некоторой величине, например, е₀. Для определения этого решающего правила необходимо найти минимум риска r

где z₀ - множитель Лагранжа. Подставляя значения вероятностей ошибки е₁ и е₂ в (2.1), получим

где Г₁ и Г₂ - области интегрирования переменной z, p(z/щ₁) и p(z/щ₂) - условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги соответственно, причем при Релеевском характере распределения они совпадают с p₁(z) и p₀(z).

Теперь задача заключается в том, чтобы выбрать область Г₁ из условия минимума риска r. Предположим, что для данного z подынтегральное выражение в формуле (2.2) отрицательно. Тогда можно уменьшить риск путем отнесения z к области Г₁. Если же подынтегральное выражение положительно, то можно уменьшить риск путем отнесения z к области Г₂

Таким образом, решающее правило, минимизирующее риск, заключается в том, что к области Г₁ относятся те и только те объекты, для которых подынтегральное выражение в (2.2) является отрицательным. Это решающее правило можно представить следующим неравенством:

Или

Критерий Неймана-Пирсона является критерием, минимизирующим вероятность ошибки решения для одного класса, в отличие от критерия Байеса, минимизирующего средний риск. При этом вероятность ошибки для другого класса остается неизменной.

При данной вероятности ошибки е₀ пороговое значение Z₀ есть решение интегрального уравнения

Если использовать плотность вероятности, то уравнение для вычисления порогового значения имеет вид

Так как плотность вероятности р₀(z) ?0, то вероятность ошибки е₂, определяемая выражением (2.6), является монотонной функциейотносительно z₀. Иначе говоря, когда пороговое значение z₀ увеличивается,вероятность ошибки е₂ уменьшается. Поэтому после вычисления значений е₂для нескольких значений порогового значения z₀ можно найти такое z₀,которому соответствует значение е₂ равное е₀. Однако получить точноерешение уравнения (2.6) нелегко, тем более что в реальных обнаружителяхp₀(z) несколько отличается от рассчитанного и его необходимо оценивать,адаптируясь к конкретнойрадиообстановке.

Таким образом, используя критерий Неймана-Пирсона и оценивая плотность вероятности p₀(z) методом гистограмм, можно, адаптируясь к реальной сигнальной обстановке, корректировать пороговое значение для обнаружения.

Рассмотрим один из методов решения уравнения вида

при условии, что значения функцииf (x) известны в точках,

где v_kточки разбиения, а i = .

Представленный ниже алгоритм может быть использован для приближенного решения уравнения (2.7):

1. Задание функции G(x) = f (x)?е, G_i= G(v_i);

2. Поиск отрезка [v_i0,v_i1], такого, что i₁? i₀= 1,f_i1*f_i0<0;

2.1. Присвоениеi₀= i₀₀, i₁= i₀₁, гдеi₀₁>i₀₀;i₀₁,i₀₀ ?[1, n];

2.2. ЕслиG_i0*G_i1> 0, то на отрезке [i₀,i₁] нет корня или имеетсянесколько корней, прекращение вычислений;

2.3. Пока i₁? i₀>1 и |Gi1-Gi0|> 0выполнять

еслиG_i0*G_i1 = 0, тоi₀= i;i₁= iиначе, еслиG_i0*G_i< 0, тоi₁= i, иначеi₀= i;

3. Определение корня x_rисходя из предположения, что поведениефункции G(x) мало отличается от линейного на отрезке [v_i0,v_i1], т. е.

Структура описанного алгоритма представлена на рис. 2.1.

Для анализа и поиска во временной области активных участков излучения сигналов с ППРЧ в составе программных средств анализа должны быть предусмотрены средства преобразования к огибающей, инвариантные к несущей частоте таких сигналов. Возможный вариант такого детектораогибающей описан ниже.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1 Структура алгоритма численного решения уравненийна основе метода “золотого сечения”

1. Работа детектора огибающей сигнала, предлагаемого к реализациидля анализа излучаемых сигналов с ППРЧ основана на том, что, если вквадратурные плечи детектора огибающей сигнала, основанного наиспользовании восстановленной несущей, подставить вместовосстановленной несущей сигнал, задержанный на интервал времени, вомного раз превышающий интервал корреляции шума, но существенноменьший (в два и более раз) длительности символа сигнала (интервалакорреляции сигнала), то ценой потери части энергии сигнала на интервалевремени его запаздывания, возможно осуществить детектированиеогибающей сигнала при приеме сигналов с различными форматамимодуляции в условиях априорной неопределённости или нестабильностинесущей частоты сигнала, вызванной как наличием большой величиныдоплеровского смещения частоты в канале связи, так и ППРЧ сигналов.

Структурная схема такого детектора огибающей представлена ниже на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Структурная схема детектора огибающей

2. После детектирования огибающей во временной области должныбыть видны участки активной работы контролируемого источникаизлучения. Такие участки различной длительности необходимо подвергнутьчастотному анализу для выявления значений частот ППРЧ иприблизительной длительности парциальных сигналов после скачковчастоты.

3. После выявления значений частот ППРЧ необходимо иметьвозможность проведения полосовой фильтрации зарегистрированногосигнала для того, чтобы затем во временной области была возможностьпроведения анализаосциллограмм отфильтрованного, позволяющего точнее, чем напредшествующем шаге анализа, установить длительностипарциальных скачков частоты и отдельные параметры формата модуляции.

4. После выполнения частотно-временного анализа для одного участка диапазона частот фиксированной ширины, такой же частотно-временной анализ проводится для других участков диапазона частот такой же ширины.

Таким образом, описанный выше итеративный анализ сигналов с ППРЧ позволит уточнить энергетические условия приёма сигналов с ППРЧ, установить длительности парциальных сигналов после скачков частоты и отдельных параметров формата модуляции, значения частот ППРЧ.

Ввиду того, что функция обнаружения импульсов в комплексе обработки импульсных сигналов является одной из ключевых (а также в условиях высокой априорной неопределенности сигнальной обстановки) построение подсистемы обнаружения на базе жесткой аналоговой схемы приводит к возрастанию вероятности того, что комплекс будет неработоспособным вследствие некоторого отличия сигнальной обстановки от модельной. Гибкая цифровая схема на базе процессора позволяет заметно снизить этот риск при модульном принципе программирования и гибкости в алгоритмах определения порогового значения.

Расчеты производительности энергетического обнаружителя показали, что при частоте дискретизации 40 МГц в условиях реального времени одноканальный обнаружитель должен успевать обрабатывать один отсчет в среднем за четыре такта процессора TMS320C6701, а при частоте 20 МГц - за восемь тактов.

Структурная схема обнаружителя (рис. 1.6) была полностью реализована на базе модуля цифровой обработки сигналов Tornado-P67™ фирмы MicroLabSystems со встроенным 32-разрядным цифровым сигнальным процессором TMS320C6701 с архитектурой VelociTI™ (высокопараллельная и детерминированная архитектура).

Учитывая высокую скорость потока данных, в качестве цифрового фильтра нижних частот был выбран однородный фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ), причем вне зависимости от его порядка (длины) можно реализовать схему выделения огибающей на процессоре в среднем всего за два такта на отсчет. Работа такой схемы обнаружения определяется формулой

где n - порядок фильтра, y - оцифрованный входной сигнал после аналогового широкополосного фильтра, z - огибающая сигнала (см. рис. 1.6).

Учитывая особенность архитектуры процессора TMS320C6701, а именно, наличие двух устройств загрузки из памяти (D-модули процессора) более рационально обработать ситуацию одновременного вычисления двух отсчетов огибающей:

Полоса фильтра должна быть согласована с длительностью импульса для того, чтобы максимально использовать энергию сигнала.

Еще более эффективным является использование приближенного вычисления скользящего среднего, определяемого выражением

Таким образом, последовательность команд в алгоритме сводится к одному умножению, двум сложениям и одному битовому сдвигу (если n - можно представить как 2^m, то деление сводится к сдвигу на m бит вправо). За начальное приближение z₀ берется нулевая величина, а при последующих вычисленияхz_k в (2.9) приближается к последовательности z_kв (2.8).

Реализованный алгоритм апробирован на тестовых импульсных сигналах генератора, принятых реальным радиоприемным трактом, а также на реальных сигналах.

На рис. 2.4 представлены энергетические характеристики реального обнаружителя, реализованного на TMS320C6701, в сравнении с характеристикой оптимального обнаружителя, с фиксированной вероятностью ложной тревоги P_F = 10^-2.

Для алгоритма обнаружения радиоимпульсных сигналов на фоне шумов были установлены следующие факты:

1. Определено, что при реальных соотношениях сигнал/шум ~ 10 - 15 дБ проигрыш в помехоустойчивости реализованной схемы обнаружения по отношению к оптимальному обнаружителю не превышает 1 дБ.

2. Предложенная реализация обнаружителя в ядре конвейера использует в среднем около пяти с половиной инструкций процессора за такт. Учитывая тактовую частоту процессора (166 МГц) производительность TMS320C6701 для данной задачи составляет 916 MFLOPS. Таким образом, такая схема обнаружения способна работать с потоком данных, скорость которого достигает 80 МБайт/с.

3. Разработанный алгоритм и его аппаратная реализация внедрены в современные комплексы радиоконтроля и показали их высокую эффективность.

2.2 Оценка периода следования сигналов с ППРЧ с использованием методов полных достаточных статистик

В условиях малой априорной определенности в исходных данных делаются попытки решить задачу оценки эффективности алгоритма измерения параметров сигнала на фоне помех при помощи классического байесовского критерия [1]. Однако сложность таких попыток связана с требованием знания априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала в наблюдаемой выборке, функций распределения вероятностей и потерь.

В отсутствие априорных сведений и о величине потерь и о вероятностях наличия и отсутствия сигнала в исходной выборке иногда применяют критерий максимального правдоподобия [2], который для задач оценивания параметров сигнала предполагает, что функция потерь является константой, а структура алгоритмов в этом случае зависит от вектора мешающих параметров, т.е. синтезированные алгоритмы не являются устойчивыми. Применительно к задачам оценивания параметров сигналов метод максимального правдоподобия оказался наиболее эффективным: неизвестные мешающие параметры включают в состав оцениваемых параметров и находят оценки всех, в том числе и несущественных для данной задачи, параметров. Более того, в математической статистике показано [3], что существование оценки максимального правдоподобия (ОМП) является необходимым признаком существования наиболее эффективной оценки, причем в случае существования последней гарантируется ее совпадение с оценкой максимального правдоподобия.

Вместе с тем, хорошо известно [2], что в условиях гауссовских шумов ОМП является асимптотически оптимальным, т. е. устойчивость его работы и эффективность полученных оценок достигаются при высоких отношениях сигнал/шум и бесконечном объеме выборки. В условиях задач оценки параметров реальных сигналов существует необходимость в поиске алгоритмов, способных работать не хуже при конечных выборках и низких отношениях сигнал/шум. К числу методов, позволяющих синтезировать такие алгоритмы, относятся методы полных достаточных статистик, основанные на использовании теоремы Рао - Блеквелла - Лемана - Шеффе (в отечественной литературе она известна как теорема Лемана - Шеффе) [3, 4, 5, 6].

В радиотехнических приложениях распределения выборок и наблюдаемых технических процессов часто обладают полными достаточными статистиками, что создает предпосылки для применения теоремы Лемана - Шеффе при отыскании эффективных оценок параметров сигналов. В настоящей работе показано применение методов ПДС для отыскания эффективной оценки периода следования импульсов на фоне шумов и помех в условиях параметрической априорной неопределенности. Применение полученных оценок может найти место не только в традиционных задачах оценки периода следования, но и в ряде задач, которые сводятся к задаче нахождения периода следования. Например, приреализации схемы восстановления тактовой частоты для демодулятора, работающего по коротким выборкам сигнала [7], когда время захвата петли ФАПЧ существенно больше длительности выборки сигнала.

2.2.1 Построение алгоритмов эффективных оценок параметров сигналов с использованием традиционного метода

Процесс измерения периода следования импульсов является производным от процесса измерения времени начала (окончания) импульса. Учитывая, чтопараметр (классический в теории ОМП) является неэнергетическим, при оценке нижней границы точности его измерения примем за основу при ее вычислении выражение для элементов матрицы Фишера

где q - отношение сигнал/шум, а Ш(л ) - функция неопределенности по вектору л. Так как матрица, обратная матрице Фишера, является корреляционной матрицей ОМП всех одновременно оцениваемых параметров [6], причем дисперсии ОМП этих параметров находятся на главной диагонали этой матрицы, и с учетом того, что нас интересует лишь один неэнергетический параметр - время прихода импульса (), можно записать:

где - ОМП времени прихода импульса. В предположении стационарности функции неопределенности относительно параметра t ?имеем:

где, в свою очередь, - комплексная огибающая сигнала, а E - его энергия.

После применения теоремы Парсеваля и двукратного дифференцирования дисперсия ОМП для параметра ограничивается снизу выражением:

где S(f) - Фурье-образ комплексной огибающей сигнала s(t). Приняв в расчет приближение, в котором импульс является прямоугольным с длительностью ф ₀, можно воспользоваться следующим допущением:

В этом случае, если на вход измерителя подается последовательность импульсов со скважностью н = T/ф₀ = 2 (меандр), нижняя граница дисперсии оценки времени прихода каждого импульса с учетом (2.16) представляется в виде:

Наиболее распространенным методом оценки периода является оценка, основанная на измерении разности между временами начала соседних импульсов. Если оценка производится по n примыкающим друг к другу периодам процесса, то ее относительная погрешность уменьшается в n раз

Если оценку периода производить с использованием информации, заключенной в статистике времен окончания импульсов (пересечение порогового уровня задним фронтом), то можно улучшить оценку еще в раз. Таким образом, можно считать, что для традиционных оценок периода следования видеоимпульсов со скважностью 2 относительнаясреднеквадратическая погрешность равна

2.2.2 Построение эффективных оценок параметров сигналов с использованием метода полных достаточных статистик

Рассмотрим на отрезке [0, ДT] процесс x(t) представляющий собой аддитивную смесь сигнала и шума:

где Am- амплитуда сигнала, s(t) - нормированный по амплитуде сигнал, з(t) - дифференцируемый стационарный гауссовский шум, характеризуемый дисперсией у²и нормированной корреляционной функцией r(t). Соотношение энергетических параметров сигнала и шума будем характеризовать отношением сигнал/шум q = A_m / у.

Пусть передние фронты импульса сигнала s(t) пересекают уровень Н в моменты времени t_0i⁺, а задние - в моменты времени t_0i⁺:

гдеТ- период сигнала; н - скважность, t₀₀⁺ - первое пересечение уровня Н.

Тогда при больших отношениях сигнал/шум, q>>1, процесс x(t) пересечет уровень Н в моменты времени

где ,- малые случайные добавки, обусловленные действием шума з(t).

Рассмотрим статистики t⁺ = {,…,}и t ^- = {,…,}для синтезаоценки периода Т. Для нахождения совместной плотности вероятностистатистик t⁺и t-воспользуемся результатами работ [6, 8]. Предположим, чтос вероятностью близкой к единице пресечение уровня Н будет происходить в непересекающихся окрестностях (, ) и(, ) точеки (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Наблюдаемый процесс x(t), в виде импульса на фоне аддитивного шума

Если вероятности ложного пересечения уровня Н малы и при этомвыполняется условие [6]:

где - интеграл Лапласа, = ?у r''(0)- дисперсияпроизводной процесса з(t), r''(0) - значение второй производнойнормированной корреляционной функции r(t) при t = 0, то одномерныеплотности распределения вероятностей времени пересечения уровня Нвыглядят следующим образом [8]:

где

Тогда при предположении, что процессы в пределах интервалов передних и задних фронтов импульса будут статистически независимыми, получим совместную плотность распределения вероятностей выборочных векторов

t⁺и t -:

Найдем эффективную оценку периода следования импульсов, при предположении, что модули крутизны переднего и заднего фронтов сигнала совпадают = (т.е., параметры у₊и у_ равны). Будем считать, что скважность сигнала, н, известная величина, а отношение сигнал/шум q, значение модуля крутизны фронта |, начальная фаза сигнала априорно не определены.

Решение этой задачи при использовании методологии полных достаточных статистик основывается на теореме о единственности эффективной оценки [8], являющейся следствием из теоремы Рао - Блеквелла - Лемана - Шеффе [4].

Согласно теореме о единственности эффективной оценки, если оцениваемый параметр л, характеристика сигнала, может быть представлен в виде функции зависящей от параметра и = {?₁,…, ?_s}, где и - вектор разложения совместной плотности распределения вероятностей с (t ⁺,t ^?):

то единственная эффективная оценка функции g(и), параметра л, задается выражением:

Здесь M - размерность полной достаточной статистики T(x) = {t₁,…,t_M},

N - максимальный номер порядка момента, , i =1,…,M;

j =0,…,N;

Чтобы воспользоваться этой теоремой о единственности эффективной оценки найдем представление периода следования импульсов в виде (14), т.е.

функции зависящей от моментов параметров совместной плотности распределения вероятностей с (t ⁺,t ^?). Параметром функции с (t^+,t ^?) будет вектор:

Функцию с (t ⁺,t ^?) можно представить в следующем виде:

(2.28)

где (2.29)

Учитывая условия задачи (у₊= у_), совместная плотностьраспределения вероятностей с (t ⁺,t ^?) имеет следующий вид:

(2.31)

Рассмотрим первую сумму и соберем члены, содержащие случайные величины при параметрах ?₁, ?₂, ?₃, оставшиеся члены отнесем к функции C₁(?₁, ?₂, ?₃):



(2.32)

Аналогично получим выражение для другой суммы:

(2.33)

Из преобразований следует представление плотности распределения вероятностей с (t ⁺,t ^?), где функцияС(и) = (-?₃ /р) ⁿ⁺¹exp{С₁(и) + С₂(и)}, т.е. распределение с (t ⁺,t ^?) принадлежит экспоненциальному распределению с достаточной статистикой Y= {Y₁, Y₂, Y₃} и параметром и. При неизвестных , Т, у₊параметр принимает значения из области (0,?)Ч (0,?) Ч(-?, 0).

Воспользуемся теоремой о полноте [8], согласно которой если плотность распределения вероятностей принадлежит классу экспоненциальных распределений и множество значений параметра содержит n-мерный интервал, следует полнота статистики Y, т.е. можно применить теорему о единственности эффективной оценки.

Выразим период через математическое ожидание полной достаточной статистики Y. Для этого вычислим математическое ожидание М(Y₁) и М(Y₂), и получим систему уравнений относительно , T, н. Вычислив суммы и приводя подобные, получим выражения для Y₁и Y₂:

(2.34)

Учитывая, что математическое ожидание малых случайных добавок обусловленных действием шума с нормальным распределением равно нулю, получим следующую полную систему линейных уравнений с двумя неизвестными и T:

(2.35)

Решив систему методом Крамера, получим искомое представление периода через линейную комбинацию первых моментов полной статистики Y:

Используя теорему о единственности эффективной оценки, единственная эффективная оценка периода следования импульсов будет иметь вид:

Принимая во внимание выражения для Y₁и Y₂, эффективная оценка периода сигнала представится следующим образом:

(2.38)

Найдем дисперсию оценки, учитывая, что

(2.39)

С целью исключения параметра из числа априорно неизвестных получим его оценку в приближении квазипрямоугольной формы импульса.

Вработах [5, 9] представлена зависимость формы импульса от величины x, характеризующей время, полученной в результате формальной замены переменных x = t/ ф₀. После преобразований выражая величину д через прямоугольность импульса k = ф₀ / ф₁, где ф₁ - длительность импульса прямоугольной формы (рис. 2.3) получим:

Исходя из критерия максимального правдоподобия, дисперсия оценки будет минимальной при таком пороговом значении Н, при котором крутизна фронта сигнала в точке его пересечения максимальна, т.е. исследуем производную функции s(x) на максимум по абсолютному значению. Для этого найдем вторую производную s(x) (30), приравняем её к нулю и получим уравнения (2.42), (2.43).

(2.41)

Каждое из этих уравнений имеет по два решения, но мы рассмотримтолько такие корни, которые больше 1/2k для уравнения (2.42) и меньше -1/2k для уравнения (2.43) при k > 1, т.к. другие корни не имеют физического смысла.

Выбранные решения, соответствующие уравнениям (2.42) и (2.43) имеют следующий вид:

При x = x₀₀⁺производная безразмерного сигнала s(x) принимаетминимальное значение, a при x = x₀₀^-- максимальное значение, но поабсолютной величине они равны и максимальны:

Физический смысл полученных переменных можно изложить следующим образом: x₀₀⁺- начальная фаза квазипрямоугольного сигнала s(x), т.е. первое пересечение уровня Н передним фронтом сигнала, при котором дисперсия оценки периода сигналадостигает минимальногозначения; x₀₀^-- аналогично, только для заднего фронта.

Обратной заменой переменных t = ф₀x перейдем к сигналу s(t), где t ужене безразмерная величина, а время. Тогда искомые величины t₀₀⁺и s'(t₀₀⁺)примут следующий вид:

Учитывая предположение о скважности сигнала н = T/ф₀ = 2, выразимs'(t₀₀⁺) через период:

Подставляя полученное значение производной и значение скважности сигнала, н = 2, в (2.39), для дисперсии оценки периода сигнала получим:

2.2.3 Относительная погрешность оценки периода следования сигнала и анализ применимости методов

Найдем относительнуюпогрешность оценки периода следования импульса при использованииметода полных достаточных статистик. Относительная погрешность при nизмерениях определяется следующим образом:

Рассмотрим относительную погрешность д₁, зависящую от отношения сигнал шум q и количества измерений n, при предположении, что коэффициент прямоугольности импульса k равен 1,2, k = 1,2:

Для оценки энергетического выигрыша методологии полных достаточных статистик по сравнению с традиционными подходами при конечном и малом объеме выборки зафиксируем количество измерений (например, n = 20) и зависимости д₀и д₁от отношения сигнал/шум q в интервале (0 - 10) дБ представим на рис. 2.4.

Легко видеть на рис. 2.4, что при одном значении относительной погрешности оценки периода следования импульсов разница в достигаемомотношении сигнал/шум составляет величину порядка 2 дБ в пользу оценки сиспользованием методологии полных достаточных статистик.

Рис. 2.4 Относительные погрешности оценок периода следования импульсов, при фиксированном количестве измерений n = 20, пунктирная линия - относительная погрешность традиционной оценки, сплошная - относительная погрешность, полученная при использовании методологии полных достаточных статистик

Нетрудно заметить на рис. 2.4, что при одном и том же значении относительной погрешности оценки периода следования импульсов разница в достигаемом отношении сигнал/шум составляет величину порядка 2 дБ в пользу оценки с использованием методологии полных достаточных статистик.

2.3 Выводы

1. Анализ показал, что при реальных соотношениях сигнал/шум ~ 10 - 15 дБ проигрыш в помехоустойчивости реализованной схемы обнаружения по отношению к оптимальному обнаружителю не превышает 1 дБ.

2. Предложенная реализация обнаружителя в ядре конвейера использует порядка пяти с половиной инструкций процессора за такт. Учитывая тактовую частоту процессора (166 МГц) производительность TMS320C6701 для данной задачи составляет 916 MFLOPS. Таким образом, такая схема обнаружения способна работать с потоком данных, скорость которого достигает 80 МБайт/с.

3. Разработанный алгоритм и его аппаратная реализация внедрены в современные комплексы радиоконтроля и показали высокую эффективность.

4. Методология полных достаточных статистик применена для решения проблемы нахождения эффективной оценки периода следования импульсов.

С учетом функций распределения вероятностей построен математический аппарат, позволяющий воспользоваться теоремой Рао - Блеквелла - Лемана - Шеффе и ее следствием. Получено аналитическое выражение для эффективной оценки периода следования импульсов.

5. Получены выражения для дисперсии и относительной погрешности оценки периода следования импульсов используя методологию ПДС в зависимости от скважности, коэффициента прямоугольности, отношения сигнал/шум и объема выборки. В рамках теории оценивания вычислена нижняя граница точности оценки периода следования импульсов - асимптотически эффективной оценки. Проведено сравнение относительных погрешностей оценок с использованием традиционных методов ОМП и методологии ПДС. Показано, что разница в достигаемом отношении сигнал/шум составляет величину порядка 2 дБ в пользу оценки с использованием методологии полных достаточных статистик в интервале отношений сигнал/шум (0 - 10) дБ при малом объеме выборке n = 20.

6. Моделирование на ЭВМ подтвердили теоретическую оценку погрешности измерения периода следования радиоимпульсов с ППРЧ.

3. Оценка формы импульса сигналов с ППРЧ для различения абонентов в системе связи без учета передаваемой абонентами информации

связь сигнал обнаружение импульс

Как известно вопрос о принадлежности того или иного сообщения определённому абоненту подразумевает несколько априорно известных параметров, отличающих данного абонента от всех остальных. Ниже будут рассмотрены вопросы выделение абонента по форме импульса сигналов с ППРЧ.

В настоящее время возможности спектрального анализа второго порядка оказались во многом исчерпанными. Появились эвристические способы анализа и обработки сигналов, такие, например, как модуляционный анализ,кепстральный анализ и некоторые другие. Между тем теория случайных процессов позволяет искать новые методологии на основе полиспектрального анализа.

Применение полиспектрального анализа еще не нашло широкого распространения. Сложностью в исследовании свойств полиспектровв частности является проблема графического отображения результатов. Между тем, полиспектры обладают некоторыми уникальными свойствами, которыми не обладает спектр второго порядка (преобразование Фурье) или другие методы анализа сигналов, использование которых открывает новые возможности для разностороннего анализа сигналов.

Биспектральная плотность мощности представляет собой двумерное преобразование Фурье кумулянтной функции третьего порядка стационарного случайного процесса x(t). Предлагается использовать биспектральный анализ для оценки асимметрии формы огибающей импульса сигнала. Свойство инвариантности фазы биспектра относительно времени прихода импульса позволяет осуществлять накопление в биспектральной области. Метод классификации образов с помощью функций расстояния позволяет сравнивать и классифицировать биспектры различных импульсов.

Многие системы передачи информации обладают уникальными особенностями, в частности формой импульсов, используемых для передачи.

Классификация и кластеризация импульсов на основе методологии биспектрального анализа может позволить идентифицировать абонентов без учета передаваемой ими информации.

3.1 Применение полиспектрального анализа для формирования алгоритмов оценки формы сигнала

Биспектральной плотностью мощности G₃(щ₁,щ₂) называется двумерное преобразование Фурье кумулянтной функции третьего порядка K₃(ф₁,ф₂) стационарного случайного процесса x(t):

с размерностью [x³]/Гц², где кумулянт третьего порядка определяется как

спектр третьего порядка определяется формулой

, с размерностью [x³]. (3.3)

Прямой алгоритм вычисления спектра третьего порядка получается как преобразование Фурье отрезка процесса x(t) вида

Подставив (3.2) в (3.1), сгруппировав сомножители и вводя t₁ = t - ф₁, t₂= t - ф₂, с учетом (3.4), получим оценку спектра 3-го порядка

где (*) - комплексно сопряженная величина.

Биспектр - комплексная величина, поэтому можно говорить об амплитуде и фазе биспектра. Свойства биспектра:

- биспектргауссового шума равен нулю;

- биспектр идеального синусоидального сигнала равен нулю;

- биспектр не равен нулю, если в сигнале присутствуют связанные частотные составляющие щ₁,щ₂, щ₁ +щ_2. Стоит заметить, что биспектр видеоимпульса также не равен нулю;

- комплексный характер биспектра позволяет представлять информацию об амплитуде и фазе сигнала;

- фаза биспектра инвариантна относительно времени прихода импульса ;

- свойство симметрии

Для декорреляции шума необходимо набрать статистику по N реализациям импульсов (произвести накопление).

Чтобы осуществить накопление во временной области, необходимо точно знать время прихода импульса, тогда:

где N - число реализаций; t_0i - время прихода i-го импульса.

В частотной области возможно накопление только мощности, но не фазы:

где N - число реализаций; |Ц_i(щ)| - плотность мощности i-го импульса на частоте щ.

В биспектральной области возможно накопление как мощности, так и относительной фазы импульса:

где N - число реализаций; Ц_i(щ₁, щ₂) - спектр i-го импульса на частотах щ₁, щ₂. Особенности накопления в разных областях:

1) недостатком накопления во временной области является то, что для накопления необходимо знать точное время прихода импульса, которое, в большинстве случаев, нельзя узнать с нужной степенью точности;

2) недостатком накопления в частотной области является потеря информации об относительной фазе гармонических составляющих импульса, следовательно, в частотной области отсутствует информация о симметрии или асимметрии импульса;

3) накопление в биспектральной области обладает явными преимуществами по сравнению с накоплением во временной и частотной областях. Нетнеобходимости знать точное время прихода импульса. В результате накопления остается информация об асимметрии импульса. Недостатком накопления в биспектральной области является высокая емкость вычислений.

Стоит отметить, что в результате накопления происходит декорреляциягауссовского шума. В случае окрашенного шума, в результате накопления могут накапливаться некоторые шумовые компоненты.

Действительная и мнимая составляющие полиспектрагауссовского шума являются гауссовскими величинами. Поэтому распределение вероятностей модуля спектра с такими составляющими представляется функцией Рэлея, имеющей среднее значение и дисперсию ,

где - дисперсия действительной или мнимой составляющих спектра: для гауссовского шума .

На практике удобно пользоваться относительными погрешностями: относительной смещенностью

и относительным средним квадратичным значением флюктуаций

Известно, что для спектра третьего порядка (биспектра) при N усреднениях относительные погрешности будут следующими: относительнаясмещенность - Д₃ = 0,89/ и относительное среднеквадратичное значение флюктуаций - д_Ц3 = 0,46/. Таким образом, отношение сигнала к шуму прямо пропорционально корню квадратному из количества выборок, а отношение С/Ш улучшается на 5*Log₁₀(N).

На рис. 3.1 представленыбиспектр и бифаза прямоугольного импульса при разном числе усреднений.

Градация яркости амплитуды биспектра от темного к светлому соответствует уровню гармоник от 0 до -30 дб. На рис. 3.1,в можно видеть, что сплошная шумовая составляющая часть АЧХ начинается с -20 дБ, а на рис. 3.1,г уже с -25 дБ.

В результате накопления биспектра по N выборкам отношение С/Шповышается, и получается двумерный вектор комплексных значений V[M/2][M/4], где M - число отсчетов сигнала, используемых для вычисления биспектра в каждой выборке.

При этом с учетом симметрии биспектра половина значений в векторе V[M/2][M/4] неинформативны. Таким образом, вектор V[M/2][M/4] можно представить в виде одномерного вектора W размерностью M ² /16.

В качестве функционала расстояния между образами W1 и W2 предлагается использовать угол между векторами W1 и W2.

где < W1 * W2 > - скалярное произведение векторов W1 и W2, а |W1| и |W2| - нормы векторов

Рис. 3.1 Биспектр и бифаза прямоугольного импульса при С/Ш 10 дБ. При числе усреднений а) - одно; б) - десять; в) - сто; г) - тысяча

Предлагается осуществлять распознавание образов W_iпутем сопоставления с эталоном. Предположим, имеются два эталона E₁ и E₂.

Известны функции расстояния:

Решающая функция выглядит так:

в некоторых случаях можно добавить еще одно условие:

Приведем пример биспектра и бифазы двух одинаковых импульсов. На рис. 3.2 представленыбиспектр и бифаза двух одинаковых ассиметричных импульсов с противоположной симметрией. Угол между биспектральными образами этих импульсов 17,74°.

Введем понятие эквивалентной длительности импульса - T_экв.

Для демонстрации классификации импульсов с помощью биспектра будем брать только импульсы с одинаковой эквивалентной длительностью, т.к. классификация импульсов разной длительности не представляет интереса.

Рассмотрим биспектр и бифазу прямоугольного импульса эквивалентной длительностью 8 отсчетов.

Рис. 3.2 Биспектр и бифаза двух одинаковых импульсов с противоположной симметрией

На рис. 3.3 представлен спектр прямоугольного импульса. На рис. 3.4 представлен биспектр прямоугольного импульса. Обратим внимание на то, что бифаза содержит только значения 0 и р радиан, что характерно для любых симметричных импульсов.

При x_i = x_?i >фаза биспектра принимает значения только 0 и р рад. Рассмотрим биспектр и бифазу трапециевидного импульса с эквивалентной длительностью 8 отсчетов.

Для сопоставления биспектров импульсов с разным уровнем сигнала необходимо проводить нормирование биспектра. Для видеоимпульсов максимальная энергия сигнала сосредоточена в нулевой частоте, поэтому предлагается нормировать биспектр на значение в нулевой частоте.

Для предложенного алгоритма классификации формы огибающей импульсов на основе методологии биспектрального анализа были установлены следующие факты:

1.Биспектральный анализ может использоваться для оценки асимметрии формы огибающей импульса сигнала.

2. Биспектральный анализ может использоваться для различения абонентов.

3.2 Классификация сигналов с помощью функций расстояния

В результате накопления биспектра по N выборкам соотношение С/Ш повышается, и мы получаем двумерный вектор комплексных значений V[M/2][M/4], где M - число отсчетов сигнала используемых для вычисления биспектра в каждой выборке. При этом с учетом симметрии биспектра половина значений в векторе V[M/2][M/4] неинформативны. Таким образом, вектор V[M/2][M/4] можно представить в виде одномерного вектора W размерностью M*M/16.

В качестве функции расстояния между образами W1 и W2 предлагается использовать угол между векторами W1 и W2.

где < W1 * W2 > - скалярное произведение векторов W1 и W2, а |W1| и |W2| - нормы векторов

Предлагается осуществлять распознавание образов W_iпутем сопоставления с эталоном. Предположим, имеются два эталона E₁ и E₂.

Известны функции расстояния:

Решающая функция выглядит так:

в некоторых случаях можно добавить еще одно условие:

3.3 Оценка эффективности классификация сигналов по форме импульсов методом полиспектрального анализа

В данной задаче классификации используем алгоритм классификации сигнала по форме импульсов, описанный в предыдущем подразделе.

В каждой из реализаций было представлено от 20-ти до 50-и импульсов соотношением С/Ш более 8 дБ в несогласованной полосе. Для осуществления предложенной методологии биспектрального анализа были построены огибающие сигнала для каждого импульса, а затем проводилась децимация в 250 раз с использованием НЧ фильтра с частотой среза 0,002 относительно частоты дискретизации. Тем самым соотношение C/Ш в новой полосе анализа было улучшено на 24 дБ. А затем в результате усреднения биспектра по 50-и выборкам еще на 8дБ, в конечном счете, соотношение C/Ш составило 40дБ. Биспектральный анализ проводился в полосе частот соответствующей 5-и гармоникам прямоугольного импульса.

Проводилось накопление по импульсам в каждой из реализаций. В результате было получено три биспектра соответствующие средним значениям биспектров от импульсов в каждой из трех реализаций сигнала.

Аналогично была создана модельная реализация сигнала с 50-ю импульсами на основании априорно варьируемых и устойчивых характеристик сигнала. К таким характеристикам относятся длительность, частота, соотношение С/Ш, вид модуляции и т.д., при этом априорно варьируемые характеристики полагались случайными. На основе этой реализации также был получен биспектральный образ.