Расчет характеристик сигналов и каналов связи

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчетно-пояснительная записка

к курсовому проекту

Расчет характеристик сигналов и каналов связи

УДК 621,391

ббк 39.278

Реферат

Библиогр.: объем 29. Табл. 4. Ил. 17.

Канал связи, сигнал, спектр, дискретизация, кодирование, разрядность, модуляция, ряд Фурье, гармоника, спектральная плотность.

Курсовая работа содержит расчет спектра и энергетических характеристик сигнала, определение интервалов дискретизации и квантования сигнала, расчет разрядности кода, исследование характеристик кодового сигнала, исследование характеристик модулированного сигнала, расчет вероятности ошибки в канале с помехами.

Содержание

Введение

1. Структурная схема канала связи

2. Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

2.1 Расчет характеристик треугольного сигнала

2.1.1 Расчет спектра треугольного сигнала

2.1.2 Расчет полной энергии треугольного сигнала

2.1.3 Определение практической ширины спектра треугольного сигнала

2.2 Расчет характеристик прямоугольного сигнала

2.2.1 Расчет спектра прямоугольного сигнала

2.2.2 Расчет полной энергии прямоугольного сигнала

2.2.3 Определение практической ширины спектра прямоугольного сигнала

2.3 Расчет характеристик колоколообразного сигнала

2.3.1 Расчет спектра колоколообразного сигнала

2.3.2 Расчет полной энергии колоколообразного сигнала

2.3.3 Определение практической ширины спектра колоколообразного сигнала

2.4 Определение интервала дискретизации и разрядности кода

3. Расчет характеристик кодового сигнала

3.1 Расчет автокорреляционной функции кодового сигнала

3.2 Расчет спектральных характеристик кодового сигнала

4. Расчет характеристик модулированного сигнала

5. Согласование источника информации с каналом связи

6. Расчёт вероятности ошибки при воздействии белого шума

Заключение

Список использованной литературы

МПС РОССИИ

Омский государственный университет путей сообщения

Задание на курсовую работу по дисциплине

«Теория передачи сигналов»

студенту ИАТИТ гр. 20^г Борисенко Дмитрию Владимировичу

дата 13 октября 1999 г.

1. Исходные данные

1.1. Форма полезного сигнала

1.2. Процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра 97,5%

1.3. Коэффициент (К) для расчёта нижней границы динамического диапазона 38

1.4. Отношение мгновенной мощности сигнала к шуму квантования () 43

1.5. Вид модуляции ФМ

1.6. Параметры модулированного сигнала m=1; А₀=0.1 В; f₀=0.55 МГц; A₀/m=В

1.7. Коэффициент ослабления сигнала () 0,09

1.8. Спектральная плотность мощности шума 0,0910^-14

2. Содержание расчетно-пояснительной записки

2.1. Расчет спектральных характеристик сигнала.

2.2. Расчет практической ширины спектра сигнала.

2.3. Расчет интервала дискретизации и разрядности кода.

2.4. Расчет автокорреляционной функции АКФ кодового сигнала.

2.5. Расчет энергетического спектра кодового сигнала.

2.6. Расчет спектральных характеристик кодового сигнала.

(учитывать пять гармоник кодового сигнала.).

2.7. Расчет мощности модулированного сигнала.

2.8. Расчет вероятности ошибки при воздействии «белого шума».

2.9. Построение кодов Хэмминга.

3. Графический материал

3.1. Канал связи.

3.2. График исходного сигнала.

3.3. Графическое представление спектра сигнала.

3.4. График дискретизированного по времени сигнала.

3.5. АКФ и спектр закодированного сигнала.

3.6. График модулированного сигнала.

3.7. Графическое представление спектра модулированного сигнала.

3.8. Схема кодера и декодера для кода Хэмминга.

4. Форма исходного сигнала

сигнал дискретизация разрядность код шум

Введение

Передача сообщений из одного пункта в другой составляет основу теории и техники связи. В курсе "Теория передачи сигналов" изучают единые методы решения разнообразных задач, возникающих при передаче информации от её источника до получателя.

Жизнь современного общества немыслима без широко разветвлённых систем передачи информации. Без них не смогли бы функционировать ни промышленность, ни сельское хозяйство, ни тем более, железнодорожный транспорт.

Передача, хранение и обработка информации имеют место не только при использовании технических устройств. Даже обычный разговор представляет собой обмен информацией. Все вопросы, связанные с передачей информации в природе и обществе, охватывает статистическая теория связи и теория передачи сигналов.

В общем случае под информацией понимают совокупность сведений о каких-либо событиях, явлениях или предметах. Для передачи и хранения информации используют различные знаки (символы) позволяющие выразить (представить её в некоторой форме. Совокупность знаков, содержащих ту или иную информацию, называют сообщением. Передача сообщений на расстояние осуществляется с помощью какого-либо материального переносчика или физического процесса. Физический процесс, отображающий передаваемое сообщение, называется сигналом.

В качестве сигнала можно использовать любой физический процесс, изменяющийся в соответствии с переносимым сообщением. В современных системах управления и связи чаще всего используют электрические сигналы. Физической величиной определяющей такой сигнал, является ток или напряжение.

В ряде случаев для передачи непрерывных сообщений используют дискретные сигналы. Передача данных в цифровой форме имеет ряд преимуществ перед аналоговой передачей.

В данном курсовом проекте рассматриваются возможные преобразования непрерывного сигнала в цифровой при его передаче по каналу связи и приема этого сигнала с наименьшей вероятностью ошибки.

1 Структурная схема канала связи

Рисунок 1 - Структурная схема канала связи

S(t) - передаваемый сигнал;

I - дискретизатор сигнала по времени;

II - квантователь по уровню;

III - кодер источника;

IV - кодер канала;

V - модулятор;

VI - демодулятор;

VII - декодер канала;

VIII - декодер источника;

IX - интерполятор;

S`(t) - получаемый сигнал.

При передаче по цифровому каналу аналоговый сигнал подвергается дискретизации как по уровню, так и по времени. Каждый уровень квантования имеет свой номер поэтому на выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) будет двоичный код, называемый кодом источника, появляющийся через каждый интервал дискретизации. Для повышения вероятности правильной передачи код источника перед передачей подвергается дополнительному кодированию. В канале на сигнал воздействуют помехи, вызывая появление ошибок в передаваемом коде. Принимаемый сигнал декодируется из помехоустойчивого кода в код источника, а затем в цифроаналоговом преобразователе(ЦАП) по полученной информации восстанавливается полезный сигнал.

2 Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

2.1 Расчет характеристик треугольного сигнала

2.1.1 Расчет спектра треугольного сигнала

Под спектром непериодического сигнала U(t) понимают функцию частоты U(j), которую получают на основе прямого преобразования Фурье вида

(1)

Аналитическая запись треугольного сигнала имеет вид:

, (2)

У заданного треугольного сигнала h=0,17 В, =0,07·10^-3 с. График заданного сигнала изображен на рисунке 1. Построение графиков и все вычисления проводились на ЭВМ в среде Mathcad 2001 Professional (МС).

Рисунок 1 - График треугольного сигнала

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид:

, (3)

В/Гц. (4)

Фазовый спектр треугольного сигнала равен нулю.

Рассчитаем амплитуду составляющей сигнала на частоте :

(В/Гц)

Результаты расчета амплитудного спектра на нескольких частотах приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Значения амплитудного спектра треугольного сигнала

Угловая частота , рад/с	Амплитуда U(), В
-500000	3,033·10-8
-400000	5,241·10-8
-300000	1,593·10-7
-200000	5,977·10-8
-100000	1,881·10-6
0	5,85·10-6
100000	3,033·10-8
200000	5,241·10-8
300000	1,593·10-7
400000	5,977·10-8
500000	1,881·10-6

График амплитудного спектра U() изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 - График амплитудного спектра треугольного сигнала

2.1.2 Расчет полной энергии треугольного сигнала

Полная энергия сигнала в общем случае рассчитывается по выражению:

, (5)

Пределы интегрирования определяются либо границами существования сигнала (у треугольного импульса), либо по спаду значения подынтегральной функции в 1000 раз по сравнению с её максимальным значением.

Для треугольного импульса имеем:

, (6)

W=6,74310^-7 Дж. (7)

2.1.3 Определение практической ширины спектра треугольного сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:

, (8)

где

, (9)

_c - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение _с можно найти как решением уравнения W`(_с)= W·д ,так и путём подбора верхнего предела (_с), вычисляя значение интеграла в среде MC и сравнивая его с W·д. (для данного сигнала W·д = 6,57510^-7 Дж)

_с=101801,83 рад/с. (10)

График W`() приведён на рисунке 3.

Рисунок 3 - График W`()

2.2 Расчет характеристик прямоугольного сигнала

2.2.1 Расчет спектра прямоугольного сигнала

Аналитическая запись прямоугольного сигнала имеет вид

, (11)

У заданного сигнала h=0,2 В, ф =5М10^-5. График заданного прямоугольного сигнала изображен на рисунке 4.

Рисунок 4 - График прямоугольного сигнала

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид:

; (12)

В/Гц. (13)

График фазового спектра () экспоненциального сигнала построим по выражению:

, (14)

Рассчитаем амплитуду и фазу составляющей сигнала на частоте

( В/Гц)

Результаты расчета амплитудного и фазового спектров на нескольких частотах приведены в таблице 2.

Таблица 2 - Значения амплитудного и фазового спектров

Угловая частота , рад/с	Амплитуда U(), В	Фаза ц(щ), рад
-8М105	4,565М10-7	1,15
-6М105	4,335М10-7	2,434
-4М105	5,44М10-7	0,575
-2М105	1.918М10-6	1,858
0	10-5	0
2М105	1.918М10-6	-1,858
4М105	5,44М10-7	-,575
6М105	4,335М10-7	-2,434
8М105	4,565М10-7	-1,15

График амплитудного спектра U() изображен на рисунке 5.

График фазового спектра () изображен на рисунке 6.



Рисунок 5 - График амплитудного спектра U()

Рисунок 6 - График фазового спектра ()

2.2.2 Расчет полной энергии прямоугольного сигнала

Полная энергия экспоненциального сигнала рассчитывается аналогично энергии треугольного по выражению:

(15)

Пределы интегрирования t_н=0 с, t_в= ф =5М10^-5 с.

Для прямоугольного сигнала имеем:

, (16)

W=210^-6 Дж. (17)

2.2.3 Определение практической ширины спектра экспоненциального сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе соотношений (8),(9).

W``=W=1,9510^-6 Дж. (18)

Значение _с находим с помощью ЭВМ путём подбора верхнего предела (_с) , вычисляя значение интеграла в среде MC и сравнивая его с W·д .(для данного сигнала W·д = 1,9510^-6 Дж)

_с=526642,16 рад/с. (19)

График W`() приведён на рисунке 7.

Рисунок 7 - График W`() для экспоненциального сигнала

2.3 Расчет характеристик колоколообразного сигнала

2.3.1 Расчет спектра колоколообразного сигнала

Аналитическая запись колоколообразного сигнала имеет вид:

, (20)

У заданного сигнала h=0,11 В, =5М10⁴ c^-2. График заданного колоколообразного сигнала изображен на рисунке 8.

Рисунок 8 - График. колоколообразного сигнала

Прямое преобразование Фурье для этой функции имеет вид

В/Гц, (21)

Фазовый спектр колоколообразного сигнала равен нулю.

Рассчитаем амплитуду составляющей сигнала на частоте

 (В/Гц),

Результаты расчета амплитудного спектра на нескольких частотах приведены в таблице 3.

Таблица .3 - Значения амплитудного спектра колоколообразного сигнала

Угловая частота , рад/с	Амплитуда U(), В
-300000	4,812·10-10
-200000	7,142·10-8
-100000	1,435·10-6
0	3,899·10-6
100000	1,435·10-6
200000	7,142·10-8
300000	4,812·10-10

График амплитудного спектра U() изображен на рисунке 9.

Рисунок 9- График амплитудного спектра колоколообразного сигнала

2.3.2 Расчет полной энергии колоколообразного сигнала

Полная энергия колоколообразного сигнала рассчитывается аналогично предыдущим по выражению:

; (22)

Пределы интегрирования t_н=-? с, t_в=? с.

Для колоколообразного сигнала имеем:

, (23)

W=3,03310^-7 Дж. (24)

2.3.3 Определение практической ширины спектра колоколообразного сигнала

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе выражений(8)(9): Значение _с находим с помощью ЭВМ путём подбора верхнего предела (_с), вычисляя значение интеграла в среде MC и сравнивая его с Wд .(для данного сигнала Wд=2,9610^-7 Дж)

_с=112070,14 рад/с. (25)

График W`() приведён на рисунке 10.

Рисунок 10 - График W`() для колоколообразного сигнала

2.4 Определение интервала дискретизации и разрядности кода

Дальнейший расчет, из соображений экономии спектра, ведем для треугольного сигнала. У этого сигнала частота среза оказалась меньше чем у других.

_с=101801,83 рад/с. (26)

Интервал дискретизации t по времени определяем на основе теоремы Котельникова по неравенству:

t 1/(2F_в),

где F_в=_с/(2) - верхнее значение частоты спектра сигнала. Для уменьшения погрешности преобразования возьмём t в 4 раза менньше

(с) (27)

Частота запуска АЦП обратнопропорциональна интервалу дискретизации.

(Гц) (28)

График дискретизированного по времени сигнала изображен на рисунеке. 11.



Рисунок.11 - График дискретизированного по времени сигнала

Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование.

Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона U_max принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

U_max=0,17 В. (29)

Нижняя граница диапазона:

U_min=U_max/K, (30)

K - заданный коэффициент.

U_min=0,17/38=4,74·10^-3В. (31)

Дальнейший расчет ведем следующим образом.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета U_min задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

=U_min²/P_шкв=45, (32)

Известно, что:

P_шкв=²/12; - шаг шкалы квантования.

=U_max/n_кв; n_кв - число уровней квантования.

Отсюда:

, (33)

n_кв=74.

При использовании двоичного кодирования:

n_кв = 2^m; m - разрядность кодовых комбинаций.

m = log n_кв, (34)

m = log 74 ? 7.

Длительность элементарного кодового импульса:

_и = t/(2m), (35)

_и = 7,71510^-6/14 = 5,51110^-7 с. (36)

По вычисленным параметрам можно выбрать АЦП, подходящий для оцифровки сигнала. Вычисленным параметрам удовлетворяет АЦП К1108ПВ1.

3. Расчет характеристик кодового сигнала

3.1 Расчет автокорреляционной функции кодового сигнала

Расчёт АКФ удобнее всего производить в среде МС.

Для этого нужно выписать четыре последовательности кодов, которыми представляется ИКМ-сигнал (номера уровней четырёх выбранных отсчётов в двоичном коде).

Отсчёт 1: 1001010;

Отсчёт 2: 0111011;

Отсчёт 3: 0101100;

Отсчёт 4: 0011101;

Отсюда:

вероятность единицы:

вероятность нуля:

Числовые константы сигнала определим по формулам:

(37)

где U_i - уровень единицы или нуля (для выбранного АЦП уровень единицы составляет 2,4В уровень нуля 0,4 В)

Р(U_i) - вероятность единицы или нуля

Для расчёта АКФ необходимо создать в среде МС семь матриц, у которых число столбцов равно единице, а число строк определяется суммой разрядов четырёх кодовых комбинаций. В данном случае матрицы будут содержать по двадцать восемь строк и будут выглядеть следующим образом:

(38)

В матрице V₀ попорядку сверху вниз записаны номера уровней всех четырёх отсчётов отсчётов. Матрица V₁ получена сдвигом членов матрицы V₁ на один шаг, и т.д.

Это равносильно внесению временного сдвига на один шаг, т. е. на длительность одного импульса _и.(в данном случае _и = 5,51110^-7 с.)

Далее воспользуемся функцией corr(V_x,V_y) для вычисления значения корреляции.

Данные полученные врезультате расчета занесём в таблицу 4.

Таблица 4 - Результаты расчета корреляции

Временной сдвиг ,мкс	0	0,55	1,10	1,65	2,2	2,76	3,31
Корреляция corr	1,000	-0,149	-0,149	-0,005	-0,149	1,38	-0,149

График АКФ кодового сигнала, построенный по таблице 3.1.1, приведен на рисунке 12.

Рисунок 12 -График АКФ кодового сигнала

На основании рассчитанной АКФ подберём математическое выражение, наиболее полно отражающее реальную зависимость. Для этого воспользуемся методом МС, который называется «сплайн-аппроксимация». Исходная функция АКФ заменяется отрезками кубических полиномов, каждый из которых проходит через три смежные точки. Коэффициенты полиномов рассчитаны так, что первые и вторые производные непрерывны.

В среде МС по данным таблицы 3.1.1 сформируем два вектора - V_t и V_k:

(39)

С помощью функции cspline(V_t, V_k) вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:

V S : = cspline (V_t, V_k). (40)

Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую АКФ кубическим сплайн-полиномом:

kor() : = interp (VS, V_t, V_k, ). (41)

Если нужно произвести кусочную аппроксимацию отрезками прямых, что дает уже ранее примененную функцию corr(), можно воспользоваться еще одной встроенной функцией МС linterp (V_t, V_k, ):

korl () : = linterp (Vt, Vk, ). (42)

Графики рассчитанных зависимостей приведены на рисунках 13 и 14.

Рисунок 13 - Аппроксимация АКФ кубическим сплайн-полиномом

Рисунок 14 - Кусочная аппроксимация АКФ отрезками прямых

Рисунок 14.1 - Совмещённые графики рассчитанных зависимостей

Сплошной линией изображён график kor(), пунктирной - график korl().

3.2 Построим спектральную характеристику кодового сигнала

Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:

(43)

где K() нормированная функция kor(), определенная по формуле ,

T - последнее рассчитанное значение .

(44)

График спектральной характеристики кодового сигнала изображен на рисунке. 15

Рисунок 15 - График спектральной характеристики кодового сигнала

4. Расчет характеристик модулированного сигнала

Рассчитаем спектральные характеристики фазо-модулированного (ФМ) сигнала.

Предположим, что полезный сигнал регулярная импульсная последовательность (рисунок 16) , ее можно представить рядом Фурье :

(45)

где a₀/2 = B/2 - постоянная составляющая полезного сигнала;

A_n = 2B/n, _n=/2 - амплитуда и фаза соответствующей n-й гармоники.

Рисунок .16 - Полезный сигнал

В - амплитуда полезного сигнала (в данном случае равна 2,4 В - ТТЛ-уровню логической единицы).

При фазовой модуляции частотный состав колебаний определяется по следующей формуле:

(46)

где

А₀- амплитуда несущей (А₀ = 0,12 В);

щ₁- угловая частота несущей (щ₁ = 7,54·10⁹ рад/с );

- индекс модуляции ( = р/2 рад);

₁ - частота первой гармоники полезного сигнала (₁ = 5.7·10⁶ рад/с).

Из формулы видно, что амплитудный спектр ФМ сигнала состоит из несущей с амплитудой А₀Вcos(Дц/2) и боковых полос, с частотами:

щ = щ₁ ± n₁, (47)

И амплитудами:

(48)

Ограничим спектр сигнала несколькими гармониками, ближайшими к несущей. Гармоники верхней полосы:

(49)

Гармоники верхней полосы:

(50)

Амплитудночастотный спектр ФМ сигнала приведён на рисунке 17

Рисунок 17 - Амплитудный спектр ФМ-сигнала

Теперь можно определить полосу частот в которой находится сигнал;

(51)

где - пятая крайняя гармоника верхней полосы частот

- пятая крайняя гармоника нижней полосы частот

5. Согласование источника с каналом

Будем считать канал гауссовым, т. е. все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала помимо сигнала присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала (была определена в подразд. 3.2). Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона (которая аналогична такой же теореме дискретного источника и дискретного канала). Если пропускная способность канала С больше производительности источника , то источник можно закодировать так, что вероятность ошибки Р_ош достигнет любой сколь угодно малой величины.

Пропускная способность гауссова канала

(52)

где F - частота дискретизации ;

Р_п - мощность помехи

(53)

где N₀ - спектральная плотность мощности шума (N₀ = 2·10^-17Вт/Гц);

- полоса частот модулированного сигнала.

(54)

Производительность источника определяется по следующей формуле:

(55)

где - энтропия алфавита источника;

- среднее время генерации одного знака алфавита

Исходный сигнал передаётся 9-ю импульсами , т.е. алфавит составляет 9 букв т.к. верятности букв равны а сумма их равна 1, то верятность каждой буквы равна P = 1/9

Энтропия Н(а) определяется по следующей формуле:

(56)

Среднее время генерации одного знака алфавита обратнопропорционально частоте запуска АЦП.

производительность источника равна:

(58)

Теперь, пользуясь неравенством Шеннона: ,определим Р_с, обеспечивающую передачу по каналу.

отсюда

т.е согласно неравенству Шеннона

6. Расчет вероятности ошибки при воздействии белого шума

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (энергии) сигнала и мощности помех.

(60)

где F - функция Лапласа:

(61)

E - энергия разностного сигнала. Для ФМ энергия сигнала нулевого уровня равна энергии сигнала единичного уровня. Энергию сигнала единичного уровня вычислим по формуле:

(62)

Где T - период несущей;

N₀ = 2·10^-17 Вт/Гц - спектральная плотность мощности шума.

Найдем вероятность ошибки:

(63)

Заключение

В ходе работы был произведен расчет спектра различных сигналов и их энергетических характеристик, была вычислена практическая ширина спектра каждого сигнала. Рассчитана разрядность кода, которым может быть представлен сигнал. Рассчитаны спектральные характеристики кодового сигнала и амплитудно-модулированного сигнала. Рассчитана вероятность ошибки при приеме сообщения при воздействии белого шума.

По цифровому каналу можно предавать как аналоговые, так и цифровые сигналы. При передаче аналогового сигнала, сначала, производится его оцифровка с помощью АЦП.

Передача информации через пространство может осуществляться с помощью несущего сигнала (обычно гармонического). Полезный сигнал воздействует на параметры несущего.

Этот процесс называется модуляцией. Различают несколько видов модуляции (амплитудная, частотная, фазовая, относительная фазовая). Расчёты показывают, что самым помехоустойчивым видом модуляции является фазовая модуляция.

Список использованной литературы

Баженов Н.Н. Характеристики сигналов в каналов связи: Методические указания к курсовому проекту по дисциплине "Теория передачи сигналов" / Омский гос. ун-т путей сообщения.- Омск, 2002.- 47 с.

Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы - М.: Радио и связь, 1986.-512 с.

Размещено на Allbest.ru