Спектральное представление сигналов

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Южно-Уральский государственный университет»

(Национальный исследовательский университет)

«Высшая школа электроники и компьютерных наук»

Кафедра «Инфокоммуникационные технологии»

Отчет по лабораторной работе № 1

по дисциплине «Современные методы проектирования устройств генерирования и формирования сигналов»

Выполнил:

Искаков Н.Т. КЭ-223

Проверил: Воробьев М.С.

Челябинск 2019

ЗАДАНИЕ

Сигнал на отрезке времени от с до с определяется выражением

И равен нулю за пределами [].

Построить его график на отрезке времени от -2 с до 2 с.

Рассчитать его спектр, определить его эффективную ширину и восстановить сигнал из спектра.

Считая, что сигнал является периодическим с периодом

T = ,

рассчитать коэффициенты его ряда Фурье.

Восстановить периодический сигнал на отрезке времени от -2 с до 2 с.

Сравнить между собой оба вида разложения.

ХОД РАБОТЫ

1. Построение заданного сигнала

Сигнал на отрезке времени от с до с определяется выражением

и равен нулю за пределами []. На рисунке 1 представлен график сигнала на отрезке времени от -2 с до 2 с.

Рисунок 1 График сигнала

Амплитудный спектр сигнала вычислялся через прямое образование Фурье, представлен на рисунке 2.

Под эффективной шириной спектра понимают диапазон частот, в пределах которого заключена основная часть энергии колебания (90-95%). В данном случае эффективной шириной спектра является диапазон частот от -1,5Гц до 1,5 Гц.

Рисунок 2 Спектр сигнала

Для восстановления сигнала из спектра использовалось обратное преобразование Фурье.

Рисунок 3 Восстановление сигнала

На рисунке 3 представлен исходный и восстановленный сигнал.

Далее были рассчитаны коэффициенты его ряда Фурье, для периодического сигнала.

Рисунок 4 Коэффициенты ряда Фурье

На рисунке видно, что коэффициенты ряда Фурье являются значениями преобразования Фурье в дискретные значения времени.

Восстановленный сигнал показан на рисунке 5.

Рисунок 5 Восстановленный сигнал из 8 гармоник

На нем же можно видеть появления пульсаций на восстановленном сигнале, которые носят название эффекта Гиббса. Эффект Гиббса - это явление, связанное с появлением пульсаций или выбросов при суммировании рядов Фурье. От числа гармоник N зависит число выбросов. При увеличении числа используемых для восстановления гармоник, восстановленный сигнал , ближе к форме исходного сигнала, как показано на рисунке 6.

Рисунок 5 Восстановленный сигнал из 28 гармоник

Выводы

В данной работе было изучено спектральное представление сигналов. Рассчитан его спектр сигнала. Под эффективной шириной спектра понимают диапазон частот, в пределах которого заключена основная часть энергии колебания (90-95%) . В данном случае эффективной шириной спектра является диапазон частот от -1,5Гц до 1,5 Гц.

Были рассчитаны коэффициенты его ряда Фурье для периодического сигнала. При сравнении спектра и коэффициентов ряда Фурье было выявлено, что коэффициенты ряда Фурье являются значениями преобразования Фурье в дискретные значения времени.

При исследовании сходимости восстановленного сигнала к исходному периодическому сигналу было выявлено, что при увеличении числа используемых для восстановления гармоник, восстановленный сигнал, ближе к форме исходного сигнала.

сигнал гармоника спектральный фурье

Листинг

clc

T1=-2; % нижняя граница времени

T2=2; % верхняя граница времени

N=1000;

t=linspace(T1,T2,N);

% ---Задаем тестовый сигнал ---------

s(1:N)=1; % симметричный прямоугольный импульс

s=sin(pi*t);

% График функций

figure(1); plot(t,s);grid; title('Сигнал S');

xlabel('Время, с');ylim([-1.1, 1.1]);

M=1001; % Количество точек на частотной оси

F1=-2; F2=2; % Диапазон на частотной оси

f=linspace(F1,F2,M); % вектор частот

figure(2); plotSPECTR(t,s,f,'Спектр сигнала S');

end

% ---- Расчет спектра в заданном диапазоне частот ------

M=501; Fmin=-10; Fmax=10;

f=linspace(Fmin,Fmax,M);

S=SPECTR(t,s,f);

figure(2);plotSPECTR(t,s,f,'Cпектр сигнала'); grid on;

% ------Обратное преобразование Фурье-------

Tmin=5*T1; Tmax=5*T2;

t1=linspace(Tmin,Tmax,N);

s1=ISPECTR(f,S,t1);

figure(3); plot(t1,abs(s1)); grid;

title('Восстановленный сигнал s');xlabel('Время, с');

end

% -------- Расчет коэффициентов Фурье

F1=1/T; % частота первой гармоники

for n=1:2*M+1

A(n)=0; k(n)=(n-1)-M;

for m=1:N

A(n)=A(n)+s(m)*exp(-j*2*pi*k(n)*F1*t(m));

end

end

A=(2/T)*A*dt;%

%-------- График коэффициентов Фурье ---------------------

modC=abs(A);

fase=atan2(imag(A),real(A));

figure(21);subplot(2,1,1); stem(k,modC,'b');

grid on; title('Модули коэффициентов ряда Фурье');

subplot(2,1,2); stem(k,fase/pi,'r');

grid on; title('Фаза коэффициентов ряда Фурье (нормированная на pi)');

xlabel(' Номер гармоники ');

% % ----------восстановление сигнала------------------------

M1=5; % число используемых для восстановления гармоник

s1(1:N)=0;

for m=1:N

s1(m)=0;

for n=M-M1:M+M1+2

s1(m)=s1(m)+A(n)*exp(j*2*pi*k(n)*F1*t(m))/2;

end

end

figure(3); plot(t,s,'r',t,real(s1),'b');grid on;

title( ['Восстановленный сигнал из ',num2str(M1),' гармоник']);

end

Размещено на Allbest.ru