Анализ электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра технической электродинамики и антенн

Анализ электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Выполнила Хаустова Алина

студентка группы РС1002

Проверил Муравцов А.Д.

профессор кафедры ТЭДиА

Москва 2012



Содержание

1. Техническое задание

2. Определение комплексных амплитуд составляющих вектора

3. Определение диапазона частот, в котором рассматриваемое поле - бегущая волна

4. Выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов и 5. Расчет и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координат x, y, z

6. Проверка выполнения граничных условий

7. Определение комплексных амплитуд плотностей поверхностных токов и зарядов

8. Определение выражений для комплексного вектора Пойнтинга. Среднее за период значение плотности потока энергии. Амплитуда плотности реактивного потока энергии

9. Вычисление среднего за период потока энергии через поперечное сечение трубы

10. Определение фазовой скорости и скорости распространения энергии. Расчет и построение графиков их зависимостей от частоты

11. Определение коэффициента затухания волны

12. Расчёт и построение частотной зависимости коэффициента затухания волны в волноводе

13. Определение типа волны, распространяющейся в волноводе, структура силовых линий электрического и магнитного полей этой волны, структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода

Вывод

Использованная литература



1. Техническое задание

В полой трубе прямоугольного сечения (рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля равна:

, где

, , ,

- частота электромагниных колебаний

- длина волны, распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами и ;

- скорость света в этой среде.

Исходные данные:

№ вар	В/м			A см	B см		, ГГц	, ГГц
1	44	2,1	1	6	5	1,00	5,5	3,0

Рис. 1

2. Пользуясь уравнениями Максвелла, определим комплексные амплитуды составляющих вектора

Введение:

Для изучения электромагнитного поля необходимо, прежде всего, описать его, определив все составляющие векторов электрической и магнитной напряжённостей. Впоследствии мы будем использовать полученные в этом пункте выражения, для того чтобы изучить свойства поля.

Исходя из технического задания, запишем выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора , полагая, что множитель единичного вектора является комплексной амплитудой иксовой составляющей , множитель является комплексной амплитудой игрековой составляющей , а множитель является комплексной амплитудой зетовой составляющей . Таким образом, получим:

(1)

(2)

(3)

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:

, где = [источник 1, стр.33](4)

Найдем [источник 2, стр.16]:

(5)

Выразим комплексную амплитуду вектора из второго уравнения Максвелла:

Спроектируем полученное равенство на оси координат:

(6)

Подставим проекции ротора из формулы (5) в формулы (6):

(7)

Найдём выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора по соответствующим координатам:



Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора (7):

Упростив вышеследующие выражения, получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора : (8)

(9)

(10)

3. Определим диапазон частот, в котором - действительное число, т.е. рассматриваемое поле - бегущая волна

По условию задачи . Значит, будет действительным в случае, если , т.е. при см.

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

,

где Гц.

3 ГГц < 4.14 ГГц < 5.5 ГГц

Если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , для учета того факта, при этом ,

4. Выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов

Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:

а) когда больше критической частоты, найденной в п.3;

б) когда меньше этой частоты.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо помножить их комплексные амплитуды на выражение и выделить действительную часть.

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих используются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в пункте 2.

Тогда для случая а), используя равенства (1), (2), (3) и (8), (9), (10), получим выражения:

а для случая б) мы вводим описанную в п.3 замену: . Выражения будут иметь вид:

5. Расчет и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координат x, y, z

Построим графики амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z₀ от координаты x при y=0,5b в интервале и от координаты y при x=0,2a в интервале , а также зависимоcти тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0,2a; y=0,2b в интервале на частотах и (см. исходные данные).

Для наглядности построений вычислим соответствующие постоянные множители в выражениях для амплитуд составляющих векторов поля для каждого вида зависимости в отдельности. Для этого подставим соответствующие значения постоянных величин в данные выражения:

1) z=z₀; y=0,5b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты x при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

0, А/м

, А/м

2) z=z₀; y=0,5b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты x при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

0, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

0, А/м

, А/м

3) z=z₀; x=0,2a; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты y при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

4) z=z₀; x=0,2a; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты y при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м



5) x=0,2a; y=0,2b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

6) x=0,2a; y=0,2b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

В выражениях пп. 1, 3, 5 м, рад/с, z₀=0.114 м, , а в пп. 2, 4, 6 м, рад/с, z₀=0.114 м и Нп/м.

Зависимости, полученные в данном пункте работы, были запрограммированы в математическом пакете MathCad 14, где был проведен поточечный расчет и построение соответствующих графиков, приведенных на рис. 2-13.

Рис. 2 (п. 5.1)

Рис. 3 (п.5.1)



Рис. 4 (п. 5.2)

Рис. 5 (п. 5.2)

Рис. 6 (п. 5.3)

Рис. 7 (п. 5.3)

Рис. 8 (п. 5.4)

Рис. 9 (п. 5.4)

Рис. 10 (п. 5.5)

Рис. 11 (п. 5.5)

Рис. 12 (п. 5.6)

Рис. 13 (п. 5.6)

6. Проверка выполнения граничных условий

Для верхней стенки трубы (рис.1) касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие и , а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая . Данные выражения были получены нами в п.4а).

Проверка граничных условий заключается в проверке истинности утверждений и , т.е. равенства нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).

Подставим в рассматриваемые выражения y=b, получим:

при этом другие множители от координаты y не зависят.

Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.

комплексный амплитуда частота волновод

7. Комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов

Комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов определяются следующими соотношениями:

[источник 1, стр.279]

Для боковой стенки трубы (рис.1) нормаль противоположна вектору : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу плотности токов. Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных токов будет равна:

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая .

8. Определение выражений для комплексного вектора Пойнтинга, среднее за период значение плотности потока энергии, амплитуда плотности реактивного потока энергии

1)

Рассмотрим сначала режим бегущей волны.

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора . Для этого поменяем знак в выражениях (9) и (10) перед мнимой единицей:

Тогда выражение для вектора Пойнтинга примет вид:

Заметим, что составляющая по оси у чисто мнимая, а составляющая по оси z - действительная, значит вдоль z и происходит перенос энергии. Тогда:

2)

Для второго случая сопряженные составляющие вектора примут вид (делаем замену и меняем знак перед мнимой единицей):

Тогда выражение для вектора Пойнтинга примет вид:

В этом случае вектор Пойнтинга чисто мнимый и переноса энергии не происходит.

0

9. Вычисление среднего за период потока энергии через поперечное сечение волновода

Вычислим средний за период поток энергии через поперечное сечение волновода

Для этого проинтегрируем выражения для плотности активного потока энергии по площади поперечного сечения волновода:

Подставив в полученное выражение все необходимые значения констант и параметров для , найдём численное значение среднего за период потока энергии, проходящей через поперечное сечение трубы. Получим:

Вт (11)

10. Определение фазовой скорости и скорости распространения энергии. Расчет и построение графиков их зависимостей от частоты

Фазовую скорость вычисляем по формуле:

Подставив в формулу значения констант и частоту , получим:

Фазовая скорость и скорость распространения энергии связаны следующим соотношением:

[источник 1, стр. 262]

Отсюда скорость распространения энергии равна:

(20)

Подставив в написанную выше формулу (19) значения констант и частоту , получим:

Графики зависимостей V_ф и V_э от частоты, запрограммированные в пакете MathCad 14, приведены на рис. 14.

Из графика видно, что при критической частоте скорости стремятся к +/- бесконечностям, а на высоких частотах - к скорости света в данной среде.



Рис. 14

11. Определение коэффициента затухания волны

Для определения мощности потерь в стенках воспользуемся формулой:

Таким образом, формулы для коэффициента затухания волны будет иметь вид:

, где

Вычислим отдельно произведения:

Вычислим интегралы, пользуясь подобным решением, осуществлённым в пункте 9:

(при условии, что y=0 и cos(0)=1)

Подставим взятые интегралы в формулу:

После упрощений выражение для коэффициента затухания примет вид:

Выражение для Р_ср подставлено из (11).

Подставив в полученное выражение для коэффициента затухания, получим:

, Нп/м

12. Расчет и построение графиков их зависимостей от частоты

График этой зависимости, запрограммированной в пакете MathCad 14, представлен на рис. 15.

Из графика видно, что процесс действительно затухающий (с ростом частоты уменьшается коэффициент затухания), а также, что на критической частоте наблюдаются большие потери энергии.



Рис. 15

13. Определение типа волны, распространяющейся в волноводе, структура силовых линий электрического и магнитного полей этой волны, структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода

Определим тип волны, распространяющейся в волноводе. Изобразим структуру силовых линий электрического и магнитного полей этой волны и плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода

Данная волна является волной типа . Такой вывод можно сделать, исходя из рисунков 3 и 7, отражающих зависимость составляющих вектора напряжённости магнитного поля Н от координат x и y. Структуры полей волны и поверхностных токов представлены на рисунках 16 и 17.



Вывод

Данная работа была посвящена теоретическому исследованию электромагнитного поля в прямоугольном волноводе. В ходе изучения данного поля с помощью известной комплексной амплитуды вектора напряжённости электрического поля мы смогли полностью описать поле, найдя все составляющие обоих его векторов. Была установлена критическая частота, дающая возможность судить о том, в каком диапазоне волна является бегущей.

Построив графики зависимостей амплитуд от координат, мы пришли к заключению, что представленная волна относится к типу , так как зависимость от координаты x имеет линейный характер, а график зависимости от координаты y даёт понять, что на стенке укладывается одна полуволна.

На примере верхней стенки волновода было проверено выполнение граничных условий для касательной составляющей вектора Е и нормальной составляющей вектора Н.

Также были найдены комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов. Записав выражения для вектора Пойнтинга в предварительно найденных диапазонах бегущей и стоячей волны, мы убедились в правильности предыдущих вычислений: в предполагаемом режиме стоячей волны переносы энергии, в отличии от режима бегущей волны, не было.

Мы определили фазовую скорость и скорость распространения энергии, а также графически построили их зависимости от частоты, для наглядности указав значение скорости света для данной среды.

Использование граничных условий Леонтовича-Щукина помогло нам в определении коэффициента затухания для заданной волны. Его зависимость от частоты также была нанесена на график. Имея представление о волне на основании исследований, нам удалось изобразить структуру силовых линий электрического и магнитного полей и структуру силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.

Наглядные подтверждения правильности полученных данных в виде графиков дают нам возможность говорить о том, что мы верно построили математическую модель поля.



Список использованной литературы

1. «Техническая электродинамика»: Ю.В. Пименов, В.И. Вольман, А.Д. Муравцов под редакцией Ю.В. Пименова, издательство «Радио и Связь», Москва, 2000 год.

2. «Методические указания по курсу: математические основы теории электромагнитных полей и волн»: В.И. Корнюхин, издательство «Радио и Связь», Москва, 2011 год.

Размещено на allbest.ru