Цифровая обработка сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание №1а. Моделирование процесса дискретизации аналогового сигнала и восстановления аналогового сигнала из дискретного. Наблюдение эффектов размножения и наложения спектров

Исходные данные: Х₁=0.5, Х₂=1, Х₃=1.5, ?₁=р/2, ?₂=0, ?₃=0, F1=1МГц, F_д=8МГц.

?t=1/512 мкс.

Требуется:

1. Определить амплитудный спектр аналогового сигнала

где

x₁ (t) = X₁cos(2рF₁t+?₁)

x₂(t) = X₂cos(2рF₂t+?₂)

x₃(t) = X₃cos(2рF₃t+?₃)

2. Определить амплитудный спектр дискретного сигнала в интервале частот от 0 до 2F_Д+3F₁, где F_Д - частота дискретизации.

3. Выполнить моделирование аналогового сигнала, его дискретизации и восстановления аналогового сигнала из дискретного при двух значениях частоты дискретизации: первое значение F_Д= 8 МГц, второе значение в два раза меньше первого F_Д= 4 МГц. Моделирование выполняется по программе «Diskret».

4. Сравнить аналоговый сигнал, восстановленный из дискретного, с исходным аналоговым сигналом на входе дискретизатора. Сравнение выполнить при двух значениях частоты дискретизации.

Расчет частот спектральных составляющих дискретного сигнала по формуле



k = 0

1. F=F₁, f₁ = F₁ = 1 МГц,

2. F=2F₁, f₂ = 2F₁ = 2 МГц,

3. F=3F₁, f₃ = 3F₁ = 3 МГц.

k=1

4. F=3F₁, f₄ = F_Д - 3F₁ = 8 - 3 = 5 МГц,

5. F=2F₁, f₅ = F_Д - 2F₁ = 8 - 2 = 6 МГц,

6. F=F₁, f₆ = F_Д - F₁ = 8 - 1 = 7 МГц,

7. F=F₁, f₇ = F_Д + F₁ = 8 + 1 = 9 МГц,

8. F=2F₁, f₈ = F_Д + 2F₁ = 8 + 2 = 10 МГц,

9. F=3F₁, f₉ = F_Д + 3F₁ = 8 + 3 = 11 МГц.

k=2

10. F=3F₁, f₁₀ = 2F_Д - 3F₁ = 16 - 3 = 13 МГц,

11. F=2F₁, f₁₁ = 2F_Д - 2F₁ = 16 - 2 = 14 МГц,

12. F=F₁, f₁₂ = 2F_Д - F₁ = 16 - 1 = 15 МГц,

13. F=F₁, f₁₃ = 2F_Д + F₁ = 16 + 1 = 17 МГц,

14. F=2F₁, f₁₄ = 2F_Д + 2F₁ = 16 + 2 = 18 МГц,

15. F=3F₁, f₁₅ = 2F_Д + 3F₁ = 16 + 3 = 19 МГц.

Построение спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигналов.

Рисунок 1 - Амплитудный спектр аналогового сигнала



На рисунке 2 амплитудный спектр представлен в относительном масштабе по оси ординат как отношение амплитуды спектральной составляющей X к максимальной амплитуде X_max.

Результат моделирования по программе «Diskret A» в виде временных и спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигнала приведён на рисунке 2.

Рисунок 2. Временные и спектральные диаграммы при F_Д > 2F₃

Вывод: При увеличении дискретизации возникает эффект размножения спектра и восстановленный аналоговый сигнал совпадает по форме с исходным, так как соблюдается теорема Котельникова.

Повторение эксперимента при уменьшении в два раза частоты дискретизации.

Результат моделирования по программе «Diskret» в виде временных и спектральных диаграмм аналогового и дискретного сигнала приведён на рисунке 3.



Рисунок 3. Временные и спектральные диаграммы при F_Д < 2F₃

Вывод: При уменьшении дискретизации в 2 раза, восстановленный и исходный сигнал не совпадает по форме, так как не соблюдается теорема Котельникова и происходит эффект наложения.

Задание №1б. Моделирование процесса дискретизации аналогового сигнала, модулированного по амплитуде, и восстановления аналогового сигнала из дискретног. Наблюдение эффектов размножения и наложения спектров.

Исходные данные: X₀=2, f₀=28, F=0.5, F_Д=16, Дt=1/512

Задание 1б выполняется по программе «Diskret_B» (Приложение Б). Эта программа отличается от программы «Diskret_A» только видом функции, описывающей исходный аналоговый сигнал. Результатом выполнения программы являются временные и спектральные диаграммы аналогового и дискретного сигналов (рисунок 5).



Рисунок 5 (Fн=28, F=16)

Эксперимент следует повторить при уменьшении частоты модуляции F в 2 раза и при изменении частоты несущей сигнала на

Рисунок 6 (частоты модуляции в 2 раза меньше, Fн=29,4)



Рисунок 7 (частоты модуляции в 2 раза меньше, Fн=26,6)

Задание №2. Определение системной функции, комплексного коэффициента передачи, АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра

Цели:

1. Определить системную функцию цифрового фильтра H(z),

2. Найти комплексный коэффициент передачи K(jи) фильтра, где и = 2р f_N, f_N=f/F_Д - нормированная частота,

3. Рассчитать АЧХ и ФЧХ фильтра,

4. Проверить результаты расчета АЧХ и ФЧХ, воспользовавшись программой «Расчет АЧХ и ФЧХ_1»,

5. Построить графики АЧХ K(f_N) и ФЧХ ц(f_N)

Условные данные

Номер варианта	Номер рисунка	Коэффициенты системной функции фильтра
14	10*	M=0.002 A11=0.1 A12=-0.1 A20= A21=A22=0.9



Графическое представление алгоритма функционирования фильтра. (Рисунок 10*)

1. Из рисунка видно, что

V_n=X_n*M+(V_n-2)*(-A2)

W_n=V_n+(W_n-1) (-A1₁)+W_n-2*(-A2)

Y_n=Y_n-1*(-A1 ₂)+Y_n-2*(-A2 ₂)+W_n

2. Воспользовавшись свойствами Z-преобразования, перейдем от разностных уравнений к уравнениям для Z-преобразований дискретных сигналов v_n, x_n, y_n

V(z)=X(z)*M+(V(z)*(z^-2))*(-A2₀)

W(z)=V(z)+(W(z)*(z^-1)) (-A1₁)+W(z)*(z^-2)*(-A2)

Y(z)=Y(z)*(z^-1)*(-A1 ₂)+Y(z)*(z^-2)*(-A2 ₂)+W(z)

Выразим V(z) через X(z)

V(z) - (-A2₀)*(V(z)*(z^-2)) = X(z)*M

V(z)*(1-z^-2*(-A2₀)) =



Выразим W(z) через V(z)

V(z) - A1₁*(W(z)*(z^-1)) - A2₁*W(z)*(z^-2)

V(z)= W(z)+ A1₁*(z^-1)+ A2₁*W(z)*(z^-2)

V(z)= W(z) (1+ A1₁*(z^-1)+ A2₁*(z^-2))

Выразим Y(z) через W(z)

Y(z)=Y(z)*(z^-1)*(-A1 ₂)+Y(z)*(z^-2)*(-A2 ₂)+W(z)

W(z)= Y(z) (1+ A1₂*(z^-1)+ A2₂*(z^-2))

Разделив V(z) на X(z), получим системную функцию цифрового фильтра

H₁(z) = V(z) / X(x)

Разделив W(z) на V(z), получим системную функцию цифрового фильтра

H₂(z) = W(z) / V(z),

Разделив Y(z) на W(z), получим системную функцию цифрового фильтра

H₁(z) = Y(z) / W(z),

3. Для нахождения комплексного коэффициента передачи фильтра подставим в выражение системной функции , где j - мнимая единица, - нормированная частота

4. Определим АЧХ фильтра

Построим график АЧХ (рисунок 8) при изменении f_N от 0 до 0.5 с шагом 0.0001. Принятый интервал изменения f_N соответствует интервалу частот от 0 до . Внутри этого интервала выполняется теорема Котельникова. Из графика АЧХ следует, что данный фильтр является цифровым резонатором. Из за того что коэффициент = 0, резонансная частота равна четверти частоты дискретизации (). Что мы можем наблюдать построив АЧХ

АЧХ фильтра (рисунок 8).

5. Определим ФЧХ фильтра.

В результате получаем:

ФЧХ фильтра (рисунок 9)

6. Проверка результатов расчета АЧХ и ФЧХ.

Для построения графиков АЧХ и ФЧХ воспользуемся программой, приведенной в Приложении В. Имя программы: Расчет АЧХ и ФЧХ_1.

Рисунок 10. Проверка АЧХ и ФЧХ в программе



Вывод: В данном пункте мы получили АЧХ и ФЧХ фильтра согласно варианту. Характеристики, полученные при построении в программе совпали с полученными АЧХ и ФЧХ, рассчитанными ране. Это говорит о том, что работа была выполнена правильн.

Задание №3 Синтез нерекурсивного цифрового ФНЧ с линейной ФЧХ и гауссовской АЧХ методом ряда Фурье. Моделирование фильтра при действии на его входе полезного сигнала и помехи

Исходные данные

Номер варианта	fNg	у	дm, дБ	n0	Xp	fNp
14	0.04		-65	20	1	0.15

1. Требуется выполнить синтез цифрового ФНЧ с линейной ФЧХ и АЧХ, выражаемой функцией Гаусса (Приложение Г).

Требуемая АЧХ фильтра выражается следующим соотношением

где f_N - нормированная частота - отношение абсолютного значения частоты f к частоте дискретизации F_Д, у - неравномерность АЧХ в полосе пропускания - отношение максимального коэффициента передачи фильтра K_max к минимальному K_min в пределах полосы пропускания.



Нерекурсивный цифровой фильтр с линейной ФЧХ (рисунок 11)

Результаты синтеза:

K0=11.

Коэффициенты системной функции приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Номер коэффициента k	Значение коэффициента b(k)
0	0.1222225
1	0.1166213
2	0.1013050
3	0.0801159
4	0.0576823
5	0.0378095
6	0.0225629
7	0.0122581
8	0.0060630
9	0.0027302
10	0.0011192
11	0.0004177



Рисунок 12. Графики АЧХ и ФЧХ при K0 = 11

Увеличиваем длину задержки в полтора раза:

Рисунок 13. Графики АЧХ и ФЧХ при K0 = 17



Уменьшаем длину задержки в полтора раза

Рисунок 14. Графики АЧХ и ФЧХ при K0 = 7

Таблица 2. Влияние длины линии задержки на ослабление в полосе задерживания:

K0	д в дБ
11	-100
17	-200
7	-50

Вывод: Из таблицы 2 видно, что с уменьшением длины линии задерживания ослабление в полосе задерживания уменьшается.

2. Моделирование процесса фильтрации.

При моделировании процесса фильтрации на вход фильтра подаётся сумма сигнала и помехи x (0) = x_n.

Полезный сигнал представляет собой случайную последовательность прямоугольных элементарных посылок xc с уровнями 1 и -1, формирование которой представлено на рисунке 12.



Рисунок 15 - Временная диаграмма работы счетчика отсчетов и временная диаграмма сигнала на входе фильтра

На рисунке приведена временная диаграмма работы счетчика отсчетов. Переменная счетчика z изменяется в соответствии с соотношением

В момент дискретного времени, когда переменная счетчика равна нулю, определяется знак элементарной посылки в зависимости от значения случайной величины .

Если формируется посылка позитива xc = 1, в противном случае формируется посылка негатива xc = -1. Значение xc, определённое при z = 0, остаётся неизменным до следующего нулевого значения z.

При моделировании используется синусоидальная помеха, определяемая соотношением



где Xp - амплитуда помехи, fNp - нормированная частота помехи.

Сигнал на выходе фильтра определяется следующим соотношением

Результатом моделирования являются следующие временные диаграммы.

Рисунок 15. Временные входного сигнала, входного сигнала с помехой и выходного сигнала

Вывод: в результате моделирования мы увидели, что фильтр не пропускает помеху, при этом полезный сигнал получается на выходе фильтра без искажений. Однако не без потерь, как мы видим, уменьшилась крутизна сигнала, и появились небольшие пульсации.



Список использованной литературы

аналоговый сигнал дискретный цифровой

1. Методическое письмо, Иванова В.Г.

2. Цифровая обработка сигнала и сигнальные процессоры, Иванова В.Г., Тяжев А.И. (Самара 2008 г.)

Размещено на Allbest.ru