Для обеспечения заданных показателей качества рассматриваемого объекта достаточно синтезировать три обратных модальных связи по его физическим переменным. Наиболее удобным для практических измерений и преобразований в управляющие сигналы являются величины , IЯ, IВГ которые следует принять за переменные состояния объекта и синтезировать по ним обратные модальные связи (в соответствии с пунктиром на рисунке 2.1).

На основании структурной схемы САУ составим операторные уравнения ее элементов и соответствующие им дифференциальные уравнения первого порядка; решив эти уравнения относительно первых производных, получим уравнения состояния объекта, которые для удобства дальнейшего использования целесообразно представить в матричной форме:

(4.1)

И в соответствующей ей векторной форме:

(4.2)

где:

- вектор-столбцы переменных состояния объекта и их производных;

- постоянные матрицы указанных размерностей.

На основании (4.1) и (4.2) запишем в компактной форме характеристический определитель системы:

=, (4.3)

раскрыв который и выполнив подстановкой коэффициентов из (4.1), получим характеристический полином замкнутой системы:

(4.4)

где:

(4.5)

Приравнивая коэффициенты полинома (4.4) к соответствующим коэффициентам выбранного "стандартного” полинома и выполнив ряд преобразований, получаем:

(4.6)

Система (4.6) содержит в качестве неизвестных три парных произведения искомых коэффициентов . Решив эту систему и задавшись одним из коэффициентов, можно было бы найти остальные коэффициенты и тем самым решить традиционную задачу модального управления. Однако система (4.6) отражает требования, предъявляемые лишь к динамике САУ, поэтому ее нужно дополнить уравнением, отражающим требования к статике САУ.

В статике на основании (4.1) имеем

; (4.7)

; (4.8)

; (4.9)

Отсюда, используя формулы Крамера, нетрудно получить уравнение статики замкнутой САУ

(4.10)

где: - коэффициенты передачи САУ по управлению и возмущению, определяемые выражениями:

(4.11)

(4.12)

На основании (4.7) статическая ошибка замкнутой САУ определяется выражением

(4.13)

При отсутствии обратных модальных связей ( - в соответствии с рисунком 1) согласно (4.12) и поэтому подобно (4.13) статическая ошибка самого объекта:

(4.14)

откуда:

(4.15)

Подставляя теперь (4.12) в (4.13) с учетом (4.15) и требуемого диапазона регулирования D, получаем:

(4.16)

Отсюда, после преобразований можно записать

(4.17)

Уравнение (4.17) отражает аналитическую связь между статической ошибкой замкнутой САУ и искомыми коэффициентами

Дальнейшее решение поставленной задачи синтеза системы модального управления сводится к совместному решению системы четырех уравнений (4.6), (4.17) относительно неизвестных Получаем систему уравнений:

(4.18)

Для краткости последующих записей и удобства решения введем следующие обозначения:

;

; (4.19)

;

; (4.20)

(4.21)

причем:

(4.22)

Тогда система указанных уравнений принимает вид:

(4.23)

Поскольку в системе (4.23) число уравнений превышает число неизвестных, то необходимо установить условие ее совместности. Для этого из первых трех уравнений определяем

;

; (4.24)

;

Подставляя (2.24) в последнее уравнение системы (4.23) и учитывая (4.22), получаем следующее уравнение совместности:

, (4.25)

которое, после подстановки принятых обозначений (4.21) и (4.22), приводится к виду:

(4.26)

Неполное кубическое уравнение (4.26) решим численно. При этом в дальнейшем будем использовать лишь наименьший положительный корень уравнения, приближенное значение которого определяется по формуле:

(4.27)

(4.28)

где:

= 2,397

= 2,049 (в соответствии с рисунком 2)

Вычисленное согласно (4.28) значение может использоваться лишь в качестве первого (грубого) решения при численных способах решения уравнения (4.26).

Найдем и проверим точное значение корня, которое в силу особенностей уравнения (4.26) всегда будет несколько больше, чем его приближенное значение (4.28).

Определим f1 и f2:

Следовательно:

Определим точное значение Щ0. Предположим, что:

тогда:

Проверим погрешность измерений:

Следовательно принимаем Щ0 = 9,020118

Определив точное значение , оценим ожидаемое время регулирования , которое в соответствии с рис.1 вычислим по формуле:

(4.29),

(4.30)

Величина не превышает указанного в задании значения (0,7 c):

= 0,484473 c < 0,7 c

На основании (4.20) вычисляем величины :

(4.31)

На основании (4.24) вычисляем величины :

(4.32)

Исходя из (4.19) имеем

; ; . (4.33)

Теперь, как было отмечено в п.4.2, достаточно задаться одним из коэффициентов , чтобы согласно (4.33) однозначно определить все остальные.

Определим в начале коэффициент . Для этого из таблицы 4.1, на основании условия , выберем тип тахогенератора и соответствующее ему значение .

Таблица 4.1 - Параметры тахогенераторов по типам

Согласно заданию =750 об/мин. Таким образом, нашему условию удовлетворяет тахогенератор типа ТД-201, у которого = 1,3

Теперь на основании (4.33) последовательно вычисляем значения :

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Далее вычисляем значения согласно (4.5):

(4.37)

(4.38)

(4.39)

Теперь выполним проверку полученных результатов. Для этого необходимо чтобы погрешность между левой и правой частями приведенных ниже равенств не превышала 1%:

,, (4.40)

Проверяем:

Как видно, наши вычисления достаточно точны, и условие выполняется.

Теперь, согласно (4.16), вычислим значение , которое должно отличаться от указанного в задании = 0,01 не более чем на 1%.

(4.41)

И здесь наши вычисления обладают достаточной точностью.

5. Расчет переходных процессов синтезированной САУ