Определение среднестатистических показателей

Задача 17.

Определите среднюю урожайность картофеля в регионе по данным о:

а) посевной площади и валовом сборе;

б) посевной площади и урожайности;

в) валовом сборе и урожайности.

Объясните, как определена форма средней величины.

Область	Посевная площадь, тыс.га	Валовой сбор, тыс. т	Урожайность, ц/га
А	139,80	2055	147
Б	102,34	1484	145
В	63,29	981	155

а) при определении средней урожайности картофеля в регионе по данным о посевной площади и валовом сборе используем формулу средней арифметической

w (x*f) - валовый сбор;

fi - площадь.

Х ср =(20550+14840+9810 )/ (139,80+102,34+63,29)= 148

б) по данным по посевной площади и урожайности используем формулу средней арифметической взвешенной:

xi -урожайность по области;

fi - посевная площадь по области.

Х ср =(139,80*147+102,34*145+63,29*155)/(139,80+102,34+63,29)= 148

в) по данным о валовом сборе и урожайности используем среднюю гармоническую взвешенную:

хi - урожайность;

w - валовый сбор.

Х ср =(20550+14840+9810 )/(20550/147+14840/145+9810/155) = 148

Задача 27.

В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено следующее распределение деталей по затратам времени:

Затраты времени на одну деталь, мин.	Число деталей, шт.
До 20	10
От 20 до 24	20
От 24 до 28	50
От 28 до 32	15
Свыше 32	5
Итого	100

1. На основании этих данных вычислите: средние затраты времени на изготовление одной детали, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

2.С вероятностью 0,954 определить:

а) предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;

б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышала 1 минуты.

Решение:

Для расчетов составим таблицу.

Затраты времени на одну деталь, мин., х i	Середина интервала	Число деталей, fi	х i*fi	(xi- xср)	(xi- xср)2	(xi- xср)2* fi
До 20	10	18	180	-7,3	53,29	532,9
20 - 24	20	22	440	-3,3	10,89	217,8
24 - 28	50	26	1300	0,7	0,49	24,5
28 - 32	15	30	450	4,7	22,09	331,35
Свыше 32	5	32	160	6,7	44,89	224,45
Итого	100		2530		131,65	1331

1) средние затраты времени на изготовление одной детали рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной, предварительно выбрав середину интервала веса:

=2530/100= 25,3

Средние затраты времени на изготовление одной детали составили 25,3 мин.

2) дисперсию и среднее квадратическое отклонение рассчитаем по формулам:

- дисперсия

у² = ((x_i- x_ср)²* f_i) / У f_i

у² = 1331/100 =13,31

- среднее квадратическое отклонение

у = ?у² = v 13,31 = 3,65

3) коэффициент вариации рассчитаем по формуле

н = у / х_ср *100%

н = 3,65/ 25,3 * 100 = 14 (%)

н = 14 %

Коэффициент вариации показывает однородность выборки. Если он ниже 35%, выборка однородная, как и в данном случае.

4) Рассчитаем с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе. Используем для расчета формулу средней ошибки выборочной средней

м _х = v у²_х /n (1-n/N),

где у²_х - дисперсия изучаемого признака,

n - численность выборки,

N - число единиц в генеральной совокупности,

n/N = 0,1 (десятипроцентное).

м _х = v у²_х /n (1-n/N) = v13,31/ (100*(1-0,1)) = 0,3

Предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле

? _х = t * м _х,

где t - коэффициент доверия, при вероятности 0,954 равен 2

? _х = t * м _х = 2*0,3= 0,6

Итак, средние затраты времени на изготовление одной детали находится в пределах

х_ср±? _х, или 25,3 ± 0,6 или от 24,7 до 25,9 мин.

б) необходимую численность выборочной совокупности, чтобы
предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не
превышала 1 минуты, рассчитаем по формуле:

n = ( 2²*13,31²*1000) / ( 1² * 1000+2²*13,31²) = 414

Численность выборочной совокупности, где предельная ошибка выборки при определении средних затрат времени не превышает 1 минуты составит 414 деталей.

Задача 37.

Имеются данные о среднедушевых доходах населения области за 1993-2002 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах:

Год	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Доход ы	100	117	128	154	163	150	132	144	158	164

Требуется выявить основную тенденцию среднедушевых доходов населения области 1993-2002 гг.:

1) методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней;

2) методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой;

3) Используя результаты п.2, дайте прогноз на 2003 год.

4) Охарактеризуйте за 1993-2002 гг. среднегодовой абсолютный прирост и темп прироста доходов.

Решение.

1) выявим тенденцию методом сглаживания рядов динамики с помощью скользящей трехзвенной средней по формуле:



Год	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002
Доходы	100	117	128	154	163	150	132	144	158	164
		115	133	148	156	148	142	145	155

2) выявим тенденцию методом аналитического выравнивания ряда динамики по уравнению прямой вида:

=а+ b*t

Произведем необходимые вычисления в таблице, обозначив время t.

	t	У	t*У	t2
	1	100	100	1	91
	2	117	234	4	100
	3	18	54	9	109
	4	154	616	16	117
	5	163	815	25	126
	6	150	900	36	134
	7	132	924	49	143
	8	144	1152	64	151
	9	158	1422	81	160
	10	164	1640	100	169
ИТОГО	55	1300	7857	385	1300
среднее	5,5	130,0	785,7	38,5

Решим систему уравнений вида:

а* n+ b ? t= ?у

а? t+ b ? t² = ?у* t

Подставим рассчитанные значения

10 *а +b*55 = 1300

a*55+b*385 =7857

Рассчитаем параметры а, b по формулам

b=

а = ;

b =(10*7857-55*1300)/(10*385-55*55)= 8,5697

а = 130-8,5697*5,5 = 82,8667

Рассчитанное уравнение регрессии имеет вид

У_t = 82,8667+8,5697*t

Для проверки его правильности рассчитаем выравненные значения у.

?=? у, следовательно, уравнение рассчитано верно.

Представим графически полученные выше расчеты.

Прогноз на 2003 год составит:

У₁₁ = 82,8667+8,5697*11=177

4) Среднегодовой абсолютный прирост за 1993-2002 гг. рассчитаем по формуле:

?ср = (Уn-У₁) / (n-1)

?ср = (164-100)/9= 7

Среднегодовой темп роста рассчитаем по формуле

n -1________

Тр (ср) =v Y_i /Y₁ *100%

10 -1________

Тр (ср) =v 164 /100 *100% = 105,1

Задача 47.

Имеются следующие данные:

Товар	Цена за 1 кг в базисном периоде, руб.	Продано, т	Индивидуальные индексы цен
		Базисный период	Отчетный период
А	0,50	1200	1500	1,01
Б	1,20	4200	6300	0,85
В	2,45	2000	2500	0.97

Рассчитайте:

а) индекс физического объема реализации;

б) индекс цен и индекс товарооборота.

Разложите общую сумму прироста товарооборота по факторам. Сделайте выводы.

Вычислим:

а) индекс физического объема реализации по формуле

= 1350/1312,5=1,029, или 102,9 %

Уpq = (0,5*1500+6300*1,2+2500*2,45)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

=14435/10540=1,3695

Физический объем реализации увеличился на 36,95 %.

б) Индекс цен рассчитаем по формуле

Y р = ? р0q1*iр / ? р0q1

Y р = (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1500*0,5+6300*1,2+2500*2,45)

=13125/14435 = 0,909, или 90,9%

В среднем цены снизились на 9,1 %.

Индекс товарооборота рассчитаем по формуле

= (0,5*1500*1,01+6300*1,2*0,85+2500*2,45*0,97)/(1200*0,5+4200*1,2+2000*2,45)=

= 13125/10540=1,245, или 124,5 %

Товарооборот по трем видам увеличился на 24,5 %.

Прирост товарооборота всего составил:

13125-10540 = 2585

Изменение за счет увеличения физического объема:

14435-10540=3895

Изменение за счет снижения цен:

13125-14435 = -1310

ИТОГО: 3895-1310 = 2585

Задача 57.

Имеются следующие данные о реализации сельскохозяйственных продуктов на колхозных рынках двух городов в сентябре месяце:

Город	Товар	Продано, т	Средняя цена за 1 кг, д. е.
		1994	1995	1994	1995
А	Мясо	70	61	10,0	15,0
	Картофель	180	162	1,2	2,5
Б	Мясо	30	27	1,0	2,0
	Картофель	282	300	0,7	2,0

1. Для города «А» определите:

1) индекс товарооборота;

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение

цен);

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров);

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислите:

индекс цен переменного состава (изменение средней цены);

индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

индекс структурных сдвигов.

Решение:

Произведем дополнительные расчеты и представим в таблице

Наименование товаров	Продано, т	Средняя Цена , д.е.	Объем продаж в ценах базисного года	Объем продаж в ценах отчетного года
обозначение	q0	q1	р0	р1	р0 q0	р0 q1	q0 р1	q1 р1
Мясо	70	61	10,0	15,0	700	610	1050	915
Картофель	180	162	1,2	2,5	216	194,4	450	405
ИТОГО					916	804,4	1500	1320

1.1) Индекс товарооборота для города «А» рассчитаем по формуле

= 1320/916=1,441, или 144,1 %

Товарооборот по обоим видам в связи с увеличением цен увеличился на 44,1%.

2) общий индекс цен на проданные товары (среднее изменение цен)

рассчитаем по формуле

Y р = ? р1q1 / ? р0q1

Y р =1320 /804,4=1,641, или 164,1%

В среднем цены увеличились на 64,1 %.

3) общий индекс физического объема товарооборота (количества
проданных товаров) по формуле

= 804,4/916=0,878, или 87,8 %

В среднем объем снизился на 12,2 %.

Взаимосвязь индексов исчисляется: Y рq = Y р * Y q

Y рq = 1,641*0,878=1,441

2. Для двух городов вместе (по картофелю) вычислим:

Индекс цен переменного состава (изменение средней цены) рассчитаем по формуле

Yпер.сост. = ? р1q1 : ? р0q0

?q1 ?q0

Yпер.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))=2,431

Индекс цен постоянного состава (среднее изменение цен);

Yпост.сост. = ? р1q1 : ? р0q1

?q1 ?q1

Yпост.сост. = ((2,5*162+2*300)/(162+300))/ ((1,2*162+0,7*300)/(162+300))=2,485

Индекс структурных сдвигов рассчитаем по формуле

Y стр.сдв. = ? р0q1 : ? р0q0

?q1 ?q0

Yстр.сост. =((1,2*162+0,7*300)/(162+300))/ ((1,2*180+0,7*282)/(180+282))= 0,978