Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Автотракторный факультет

Кафедра “Техническая эксплуатация автомобилей”

Курсовая работа

по дисциплине

Научные исследования и решение инженерных задач

Тема:

Разработка физической модели оптического датчика частоты вращения с математическим обоснованием

Выполнил студент

группы 101457

Цыганок С.В.

Руководитель Гурский А.С.

Минск 2010



Содержание

Введение

Анализ физической сущности изучаемого вопроса

Математическая обработка результатов эксперимента

Подбор вероятностной математической модели

Результаты расчёта

Анализ полученных результатов

Заключение

Список использованных источников



Введение

В данной курсовой работе производится разработка вероятностной математической модели распределения данных эксперимента характеристики датчика частоты вращения.

Модель - это упрощенная форма представления реальных процессов и взаимосвязи в системе, позволяющая изучить, оценить и прогнозировать влияние составляющих элементов (факторов) на поведение системы в целом. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта модели называется моделированием. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Процесс моделирования предполагает наличие: Объекта исследования; исследователя, перед которым стоит конкретная задача.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений - формул, функций, уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса.

Под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой математической модели, позволяющая получать характеристики рассматриваемого реального объекта или процесса. Вид математической модели зависит от природы реального объекта, так и от задач исследования и требуемой точности и достоверности решения этой задачи. Любая математическая модель описывает, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

Анализ физической сущности изучаемого вопроса

Рисунок 1 - бесконтактная система зажигания

В бесконтактной системе зажигания вместо прерывателя (с контактами) для размыкания цепи низкого напряжения применяется электронный коммутатор, который размыкает и замыкает цепь за счёт запирания или отпирания выходного транзистора. Такая система позволяет повысить напряжение на электродах свечей и тем самым увеличить энергию искрового разряда. Кроме того, уровень напряжения на свечах зажигания не снижается при малой частоте вращения двигателя, и поэтому улучшаются условия пуска двигателя.

Принцип работы бесконтактной системы зажигания

При вращении коленчатого вала двигателя датчик-распределитель формирует импульсы напряжения и передает их на транзисторный коммутатор. Коммутатор создает импульсы тока в цепи первичной обмотки катушки зажигания. В момент прерывания тока индуцируется ток высокого напряжения во вторичной обмотке катушки зажигания. Ток высокого напряжения подается на центральный контакт распределителя. В соответствии с порядком работы цилиндров двигателя ток высокого напряжения подается по проводам высокого напряжения на свечи зажигания. Свечи зажигания осуществляют воспламенение топливно-воздушной смеси.

При увеличении оборотов коленчатого вала регулирование угла опережения зажигания осуществляется центробежным регулятором опережения зажигания.

При изменении нагрузки на двигатель регулирование угла опережения зажигания производит вакуумный регулятор опережения зажигания.

Рисунок 2 - Схема трамблёра D4T94-04

Рисунок 3 - оптический датчик

Оптический датчик - представляет из себя сегментированный диск, закрепленный на валу распределителя, который перекрывает инфракрасный луч, направленный на фототранзистор. В течение промежутка времени, пока фототранзистор освещен, через первичную обмотку катушки идет ток. Когда диск перекрывает луч, датчик посылает в коммутатор импульс, который прерывает ток в катушке и таким образом генерирует искру. Существует несколько разновидностей такого рода устройств: запуск искры может происходить как при открытии так и наоборот, при закрытии светового источника. Обычно такие генераторы задают постоянный угол включенного состояния катушки, но качество зажигания от этого не страдает, поскольку на это не оказывает влияния динамика подвижного контакта и он остается всегда постоянный, независимо от скорости.

Датчик-генератор импульсов, как правило, конструктивно располагается внутри распределителя зажигания (конструкция самого распределителя от контактной системы не отличается) - поэтому узел в целом называют "датчик-распределитель".

Математическая обработка результатов эксперимента

В результате анализа было проведено N = 22 опытов в одинаковых условиях.

Исходные данные:

3,9 4,4 4,4 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,8 4,8 4,8 4,9 4,9 5,0 5,0 5,0 5,0 5,2 5,3 5,3 5,7 6,0.

1) Определим приближенную ширину интервала:

2) Учитывая нежелательность совпадения отсчетов с границами интервалов вычислим:

возьмем

возьмем

3) Определим число интервалов группирования экспериментальных данных:

Таблица 1

Параметр	Обозначение	N интервала
		1	2	3	4	5	6
Границы интервала		3,9 - 4,25	4,25 - 4,6	4,6 - 4,95	4,95 - 5,3	5,3 - 5,65	5,65 - 6
Середины интервала		4,075	4,55	4,775	5,125	5,475	5,825
Частота		1	5	7	7	0	2
Относительная частота		0,05	0, 23	0,32	0,32	0,0	0,09
Накопленная частота		1	6	13	20	20	22
Оценка интегральной функции		0,05	0,27	0,59	0,91	0,91	1,0
Оценка дифференциальной функции		0,117823	0,589115	0,82476	0,82476	0	0,235646

4) Определим среднее значение экспериментального распределения:

5) Определим дисперсию вариационного ряда:



6) Среднее квадратичное отклонение:

7) Определим предельную абсолютную ошибку интервального оценивания математического ожидания:

, где:

б=0,05 - уровень значимости;

н=N-1=21;

t_0,05;21=2,2973.

8) Определяем доверительный интервал:

Таким образом, с вероятностью P_D=1-0,05=0,95 математическое ожидание будет находиться в интервале от 4,2 до 4,9 и только 5% будет иметь математическое ожидание вне этого интервала.

8) Определим относительную точность оценки математического ожидания:

Это значит, что половина ширины доверительного интервала составляет 7,7% от величины среднего значения и характеризует относительную точность оценки математического ожидания.

9) Размах вариации экспериментальных результатов:

10) Размах колебаний выборки:

Из этого следует, что размах колебаний выборки вокрух среднего значения составляет 15%.

Подбор вероятностной математической модели

Для процессов ТЭА и решения практических задач наиболее характерны вероятностные математические модели, описывающие следующие законы распределения: нормальный, логарифмический нормальный, Вейбулла, экспоненциальный (показательный).

Нормальное распределение является двухпараметрическим. Параметр Х - оценка математического ожидания, характеризует положение центра рассеивания относительно начала отсчета, а параметр у_х - среднее квадратичное отклонение характеризует растянутость распределения вдоль оси абсцисс. Физические закономерности формирования нормального распределения следующие. На протекание процесса и следовательно, формирование их показателей оказывает влияние сравнительно большое число независимых элементарных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает ничтожное влияние на все вместе взятые. В этом случае процесс хорошо согласуется с мат моделью нормального распределения. Т. о, данное распределение весьма удобно для математического описания суммы случайных величин.

Логарифмически нормальное распределение имеет место тогда, когда не сама случайная величина, характеризующая результаты эксперимента, а ее логарифм распределен по нормальному закону. Физический смысл такое распределение формируется тогда, когда на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и независимых параметров, интенсивность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния. Эту модель удобно использовать для математического описания произведения исходных факторов.

Распределение Вейбулла - удобно если изучаемая система состоит из группы независимых элементов; отказ одного из них приводит к отказу всей системы.

Экспоненциальное. Физическая модель данного закона не учитывает постепенного изменения факторов, влияющих на протекание данного процесса рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. данный закон используют при описании внезапных отказов.

При обработке результатов эксперимента на ЭВМ исходные данные аппроксимируются, как правило, несколькими теоретическими моделями. Задача исследователя заключается в обоснованном выборе оптимальной математической модели, обеспечивающей минимальный уровень ошибок в дальнейших расчетах. Данная задача может быть решена следующим образом.

По сходству вида гистограммы эмпирических частостей и плавных кривых теоретических частостей оценок вероятностей Р(xi) в каждом из законов можно сделать предварительное заключение о предполагаемом виде вероятностной математической модели.

Значения коэффициентов вариации для различных законов должны находиться в следующих пределах:

· нормальный закон: н_x< 0,4;

· логарифмически нормальный закон: н_x =0,3... 0,7;

· закон распределения Вейбулла: н_x = 0,35...0,8;

· экспоненциальный: н_x > 0,8.

Расчетное значение критерия Пирсона ц| должно быть меньше или равно табличному (теоретическому), т.е

Где б - уровень значимости

н - число степеней свободы

н=k-S-1

где S - число параметров вероятностной математической модели (для экспоненциального распределения S -- 1, для других математических S=2.

Значения приведены в таблице 1.2

Таблица 2

Значения критерия Пирсона

н	1	2	3	4	5	б	7	8	9	10
а=0,1	2,706	4,605	6,251	7,779	9,236	10,645	12,017	13,362	14,684	15,987
а=0,05	3,841	5,991	7,815	9,448	11,070	12,592	14,067	15,507	16,919	18,307

Если для нескольких математических моделей ,то лучшей считается модель, для которой Храсч. минимально.

Критерий согласия Романовского r_расч должен быть r_расч < 3. Лучшей считается модель, для которой значение r_расч наименьшее.

При оценке адекватности по критерию Колмогорова л также должно соблюдаться условие:



Где л_б - критическое (табличное) значение критерия, соответствующее уровню значимости б.

.

Кроме указанных критериев также обязательно учитывать физические закономерности формирования исследуемого процесса.

Порядок расчета. Отредактировать файл WMM1.DAT следующим образом: Записать в первой строчке наименование изучаемого распределения наработки до отказа. Далее со следующей строки записать результаты эксперимента. Клавишей F2 сохранить исходные данные и запустить файл WMM1.EXE на выполнение.

На первом этапе производим расчет выборки в диалоговом окне в следующем порядке:

1. Выбрать оптимальную ширину интервала ?Х. Принимаем ?Х=0,5.

2. Выбрать границы интервалов и кратные ширине интервала. Принимаем и .

3. Выбрать уровень значимости б=0,05 или б=0,1.

4. Проанализировать результаты распределения частот ni в каждом интервале.

На втором этапе последовательно произвести расчет параметров каждой из четырех рассматриваемых вероятностных математических моделей.

При помощи клавиши 1 выбираем нормальный закон распределения, просматриваем результаты расчета, и, если требуется продолжаем расчет, нажимая клавишу 1, а если нет в этом необходимости, то нажимаем клавишу 2;

Далее аналогично производим расчет параметров трех оставшихся законов распределения - логарифмический нормальный (клавиша 2), Вейбула (клавиша 3), экспонециального (клавиша 4).

Результаты расчета находятся в файле WMM1.rez (Приложение 1)

Результаты расчёта

Характеристика оптического датчика частоты вращения

Экспериментальные данные:

3.90 4.40 4.40 4.40 4.50

4.60 4.70 4.80 4.80 4.80

4.80 4.90 4.90 5.00 5.00

5.00 5.00 5.20 5.30 5.30

5.70 6.00

Объем выборки N: 22

Ширина интервала: 0.50

Число интервалов группирования признака: 4

Значение уровня значимости: 0.05

Интервал Хср ni mi F(Xi)э f(Xi)э

4.00.. 4.50 4.25 4 0.18 0.182 0.364

4.50.. 5.00 4.75 12 0.55 0.727 1.091

5.00.. 5.50 5.25 3 0.14 0.864 0.273

5.50.. 6.00 5.75 2 0.09 0.955 0.182

Числовые характеристики распределения:

Среднее значение: 4.60

Размах вариаций: 2.00

Среднее квадратичное отклонение: 0.47

Коэффициент вариации: 0.10

Критерий Стьюдента: 2.084

Точность оценки математического ожидания:

абсолютная 0.209

относительная 0.045

Доверительный интервал: 4.39< M(X) < 4.81

Нормальный закон распределения

Среднее значение: 4.60

Среднее квадратичное отклонение: 0.47

Интервал f(Xi) P(Xi) F(Xi)

4.00.. 4.50 0.641 0.320 0.320

4.50.. 5.00 0.807 0.403 0.585

5.00.. 5.50 0.329 0.164 0.892

5.50.. 6.00 0.043 0.022 0.885

Значение Хи-квадрат: 7.39

Значение критерия согласия Колмогорова: 0.67

Логарифмически-нормальный закон

Среднее значение: 1.50

Среднее квадратичное отклонение: 0.63

Интервал f(Xi) P(Xi) F(Xi)

4.00.. 4.50 0.148 0.074 0.074

4.50.. 5.00 0.132 0.066 0.248

5.00.. 5.50 0.116 0.058 0.785

5.50.. 6.00 0.101 0.051 0.914

Значение Хи-квадрат: 83.06

Значение критерия согласия Колмогорова: 2.25

Закон Вейбулла

Xср = 1.58

Gx= 0.09

b = 13.79

a = 5.07

Значение несмещённой оценки b^: 12.806

Значение оценки математического ожидания М(Х): 5.47

Интервал f(Xi) P(Xi) F(Xi)

4.00.. 4.50 0.28 0.142 0.142

4.50.. 5.00 0.76 0.379 0.561

5.00.. 5.50 0.80 0.399 1.126

5.50.. 6.00 0.07 0.037 0.901

Значение Хи-квадрат: 7.38

Значение критерия согласия Колмогорова: 1.23

Экспоненциальный закон

Среднее значение X: 6.18

Значение Лямбда: 0.16

Интервал f(Xi) P(Xi) F(Xi)

4.00.. 4.50 0.0813 0.0407 0.0407

4.50.. 5.00 0.0750 0.0375 0.2193

5.00.. 5.50 0.0692 0.0346 0.7619

5.50.. 6.00 0.0638 0.0319 0.8955

Значение Хи-квадрат: 171.10

Значение критерия согласия Колмогорова: 2.38

f(Xi) - дифференциальная функция распределения

P(Xi) - вектор теоретических частостей

F(Xi) - интегральная функция распределения

Результаты расчета сводим в таблицу 1.3

математический модель датчик зажигание

Таблица 3

	Нормальный	Логарифмически- нормальный	Вейбулла	Экспоненциальный
Коэффициент размаха вариации Vx	0,10<0,4 +	0,10<0,3 -	0,10<0,35 -	0,10<0,8 -
Критерий Пирсона ч2	7,39<7,815 +	83,06>7,815 -	7,38<7,815 +	171,1>9,448 -
Критерий согласия Колмогорова л	0,67<1,52 +	2,25>1,52 -	1,23<1,52 +	2,38>1.52 -
Критерий согласия Романовского	1,79<3 +	32,68>3 -	1,788<3 +	59,0>3 -

Число степеней свободы н:

Где K - количество интервалов.

S - число параметров вероятностной математической модели (для экспоненциального распределения S=1, для других математических моделей S=2)

На основании таблицы можно сделать вывод что наши экспериментальные данные соответствуют вероятностной математической модели распределения - нормального закона распределения. Т. К. значения коэффициентов размаха вариации для данного закона находятся в заданных пределах. И не отвергается ни по одному критерию (Пирсона, Колмогорова, Романовского).

Кумулята интегральной функции распределения (теоретические значения).

График интегральной функции распределения

Анализ полученных результатов

В результате математической обработки результатов эксперимента было выявлено, что наиболее близко к экспериментальной характеристике, приближается нормальное распределение.

Для данного закона распределения дифференциальная функция имеет следующий вид:



Выражение для определения значений интегральной функции запишется следующим образом:

Произведена проверка адекватности вероятностной модели по трем критериям: по критерию Пирсона, по критерию согласия Колмогорова, и по критерию согласия Романовского.

Результаты проверки показали, что разработанная математическая модель согласуется с результатами эксперимента.



Заключение

В данной курсовой работе был проведен анализ исследования оптического датчика зажигания. В результате была подобрана оптимальная математическая модель распределения, а также проведен анализ полученных результатов. Установлено, что рациональным математическим законом, описывающим математическую модель, является нормальный закон распределения.



Список использованных источников

1. Самко Г.А., Кучур С.С. Лабораторные работы по дисциплине «Научные исследования и решение инженерных задач» Минск 2001.

2. Кучур С.С., Ю.В. Климов, Г.А. Самко «Применение математических методов в решении инженерных задач» Минск 2002.

3. Кучур С.С., М.М. Болбас, В.К. Ярошевич «Научные исследования и решение инженерных задач» Минск 2003.

4. Кучур С.С, Самко Г.А, И.М. Флерко, Е.Л. Савич «Оптимизация параметров эффективности технической эксплуатации автомобилей» Минск 2002

5. Пакет программ по лабораторному практикуму.



Приложение 1

Давление воздуха

Давление воздуха
3,9	4,4	4,4	4,4	4,5	4,6	4,7
4,8	4,8	4,8	4,8	4,9	4,9	5
	5	5	5	5,2	5,3	5,3
5,7						6
1)
Xmin	3,9
Xmax	6
N	22
ДX	0,39
2)
X'max	6,1
X'min	3,8
3)
K	5,74
4)
Наименование	Обозна-			№ интервалов
параметра	чение	1	2	3	4	5	6
Границы интервала	[a;b]	3;3,56	3,56;4,12	4,12;4,68	4,68;5,24	5,24;5,8	5,8;6,36
Середина интервала	Li	3,28	3,84	4,40	4,96	5,52	6,08
Частота	ni	1	5	7	7	0	2
Относительная частота	mi	0,05	0,23	0,32	0,32	0,00	0,09
Накопленая частота		1	6	13	20	20	22
Оценка интегр. ф-ции	F(Li)	0,05	0,27	0,59	0,91	0,91	1,00
Оценка диф. Ф-ции	f(Li)	0,117823	0,589115	0,82476	0,82476	0	0,235646
5)
L	4,552727
V	21
t	2,2973
6)
D(L)	0,483297
7)
д(L)	0,695196			3,60473		2,891739
8)				0,966594
?	0,34851
9)
x+?	4,901237
x-?	4,204217
Pд	0,95
10)
µ	0,07655
11)
W	0,69702
U	0,152699
Теор. вер.
t1	-1,83075	t	-1,719	Ф0(t)	-0,61595	P	0,308785
t2	-1,02522	t	-0,41	Ф0(t)	-0,06434	P	0,032253
t3	-0,21969	t	0	Ф0(t)	0	P	0
t4	0,585839	t	0,41	Ф0(t)	-0,06434	P	0,032253
t5	1,391368	t	1,719	Ф0(t)	-0,61595	P	0,308785
t6	2,196896	t	1,894	Ф0(t)	-0,66532	P	0,333533

Размещено на Allbest.ru