Корреляционно-регрессионный анализ показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образование и науки, молодежи и спорта Украины ГВУЗ Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры Кафедра Прикладной математики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»

г.Днепропетровск, 2011

Задание

Выполнить корреляционно-регрессионный анализ следующих показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения:

- трудоемкость единицы продукции;

- премии и вознаграждения на одного работника, %;

- среднегодовой фонд заработной платы ППП, тыс. грн.;

- рентабельность;

1. Контроль исходной информации на наличие грубых ошибок и выбросов

Так как уравнения регрессии обычно используют для прогноза, то исходная информация должна быть достоверна. Поэтому прежде чем проводить сложный корреляционно-регрессионный анализ, необходимо выполнить анализ исходных данных на наличие грубых ошибок и выбросов и исключить из многомерной выборки строчки, содержащие сомнительную информацию, или провести дополнительное уточнение информации. Возможно, что специалисты разных предприятий используют различные формулы для расчета показателей производственно-хозяйственной деятельности. Кроме того, могут быть просто описки, которые тоже являются грубыми ошибками. Поэтому после ввода информации в память компьютера необходимо построчно просмотреть многомерную выборку и удалить строки с грубыми ошибками и выбросами (выброс - слишком большое и слишком малое значение признака в ряде его умеренно различающихся значений).

Для проверки исходной информации на наличие выбросов используют в зависимости от объема выборки критерий:

- критерий для выборки, содержащей более 25 элементов;

- критерий для выборки малого объема.

По заданию объем выборки , следовательно, экстремальные значения должны быть проверены по критерию . Расчетное значение критерия определяется по формуле:

(1.1)

где - выборочное среднее и - стандартное отклонение, для признака, в котором обнаружено экстремальное значение; - экстремальное значение (предполагаемый выброс). Критическое значение критерия берется по таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Критические значения критерия

Объем выборки	Уровень значимости
	=0,05	=0,01
30	2,929	3,402
50	3,082	3,539
100	3,283	3,718
1000	3,884	4,264

Если то экстремальное значение с вероятностью не является выбросом, т.е. его нельзя исключать из выборки. В этом случае экстремальное значение объясняется проявлением изменчивости, характерной для данной генеральной совокупности.

При из многомерной выборки исключается строка с экстремальным значением.

Элементы массива Х4 будут размещены на втором листе рядом с исходными данными, также сортируем данный массив. Результаты проверки представлены в таблице 1.2

Таблица 1.2 - Контроль информации на наличие выбросов в массиве

Водим расчетные данные о данном массиве элементов в таблицу 1.3

Таблица 1.3 - Расчетные данные

Искомое	Обозначение	Ячейка	Формула
Максимальное значение в массиве элементов	x=	K2	=МАКС(G2:G54)
Средне арифметическое	Среднее=	K3	=СРЗНАЧ(G2:G54)
Стандартное отклонение	Стандартное отклонение=	K4	=СТАНДОТКЛОН(G2:G54)
Расчетное значение критерия	Sрасч=	K5	=(K2-K3)/K4
Вывод	-	L2	=ЕСЛИ(K5>K6;”Является выбросом”; “Не является выбросом”)

Также, мы проверяем минимальное значение данного массива.

Первое экстремальное значение (максимальное) 0,51 не является выбросом так как Sрасч<Sкр 1.968<3.082 Второе экстремальное значение (минимальное) 0,01 не является выбросом так как Sрасч<Sкр -2.773<3.082 Проверка данного массива закончена проверяем на выброс массив элементов Х8, который представлен в таблице 1.3.

Таблица 1.4 - Контроль информации на наличие выбросов в массиве

Аналогично предыдущему массиву элементов вводим расчетные данные Первое экстремальное значение (максимальное) 4,44 является выбросом так как Sрасч>Sкр 4.983>3.082 Проверяем следующее значение 2,2 не является выбросом так как Sрасч<Sкр 2,439<3.082 Второе экстремальное значение (минимальное) 0,03 не является выбросом так как Sрасч<Sкр -1,998<3.082 Проверка данного массива закончена

Таблица 1.5 - Контроль информации на наличие выбросов в массиве

Проверяем на выброс массив элементов Х13, который представлен в таблице 1.5 Аналогично предыдущему массиву элементов вводим расчетные данные Первое экстремальное значение (максимальное) 99400 является выбросом так как Sрасч>Sкр 3.695>3.082 Проверяем следующее за ним значение 94697 является выбросом так как Sрасч>Sкр 4.078>3.082 Проверяем следующее за ним значение 58947 не является выбросом так как Sрасч<Sкр 2.462<3.082 Второе экстремальное значение (минимальное) 5736 не является выбросом так как Sрасч<Sкр -1.375<3.082 Проверка данного массива закончена

Таблица 1.6 - Контроль информации на наличие выбросов в массиве

Аналогично факторным признакам сделаем анализ результативного признака Y3 Аналогично предыдущему массиву элементов вводим расчетные данные Первое экстремальное значение (максимальное) 31,3 не является выбросом так как Sрасч<Sкр 2,8<3.082 Второе экстремальное значение (минимальное) 7,1 не является выбросом так как Sрасч<Sкр -1.048<3.082 Проверка данного массива закончена

Таблица 1.7 (а) - Без выбросов

Таблица 1.7 (б) - Без выбросов

Далее копируем исходные данные на третий лист. Исходные данные у нас содержаться в диапазоне А1:D54, ячейки с выбросом закрашены голубым цветом, рядом находится диапазон G1:J50 очищенный от выбросов.

2. Описательная статистика

Далее копируем таблицу без выбросов на следующий лист

С помощью инструмента Описательная статистика пакета анализа выполняем статистическую обработку многомерной выборки.

Нажимаем на кнопку Анализ Данных. Откроется окно диалога Анализ данных, а именно Инструменты анализа в которых мы выбираем Описательная статистика (Рис.2.1).



Рис. 2.1 - Анализ данных

Далее в описательной статистике вводим Входной интервал (диапазон ячеек, занимаемых элементами многомерной выборки вместе с заголовками это диапазон A1:D50), ставим галочку Метки в первой строке, так как в нашем диапазоне первая строка это название столбцов, и вводим Выходной интервал (это ячейка F2), а также ставим галочку Итоговая статистика.

Рис. 2.2 - Заполнения Описательной статистики

Далее нажимаем кнопку ОК и получаем результаты работы описательной статистики, которые представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1 - Вывод итогов описательной статистики

По данным описательной статистики мы видим что у Х4 среднее, стандартная ошибка и мода почти равны между собой, эксцесс и асимметричность не близки к нулю. У Х8 среднее, стандартная ошибка и мода не равны между собой, эксцесс и асимметричность не близки к нулю. У Х13 среднее, стандартная ошибка и мода не равны между собой, эксцесс и асимметричность не близки к нулю. У Y3 среднее, стандартная ошибка и мода не равны между собой, эксцесс и асимметричность не близки к нулю.

3. Гистограмма

Основой для выдвижения гипотезы о том, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, может быть внешний вид гистограммы и значения числовых характеристик. Если близки по значению оценки выборочного среднего, моды и медианы, а оценки асимметричности и эксцесса незначительно отличаются от нуля, то случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

Далее копируем таблицу без выбросов на следующий лист.

Гистограмма строится для результативного признака с помощью инструмента «Гистограмма» пакета анализа. Для построения гистограммы следует установить курсор на свободную ячейку, нажать на кнопку Анализ данных в появившемся окне (Инструменты анализа) выбираем Гистограмма.

Рис. 3.1 - Диалоговое окно Гистограмма

Гистограммы для фактических (Х4 Х8 Х13) и результативного (Y3) признаков построены с помощью инструмента Гистограмма пакета анализа и представлены на рис. 3.2а, рис. 3.2б, рис. 3.2в, рис. 3.2 г.

Рис. 3.2а - Х4 Форма гистограммы свидетельствует о том, что трудоемкость единицы продукции не подчиняется нормальному закону распределения

Аналогично для всех остальных массивов элементов делаем гистограммы



Рис. 3.2б Х8

Форма гистограммы свидетельствует о том, что премии и вознаграждения на одного работника не подчиняется нормальному закону распределения.

Рис. 3.2в Х13

Форма гистограммы свидетельствует о том, что среднегодовой фонд заработной платы ППП не подчиняется нормальному закону распределения.

Рис. 3.2г Y3

Форма гистограммы свидетельствует о том, что рентабельность не подчиняется нормальному закону распределения.

4. Корреляционный анализ данных наблюдений

Корреляционный анализ - метод обработки статистических данных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан с регрессионным анализом, с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям.

Копируем диапазон элементов без выброса на следующий лист Для того что бы вычислить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты парной корреляции многомерной выборки, используем инструмент “Корреляция” пакета анализа.

Рис. 4.1 - Окно диалога инструмента Корреляция

Далее нажмем ОК и получим, Матрица коэффициентов парной корреляции, которая представлена на рисунке 4.2.



Рис. 4.2 - Матрица коэффициентов парной корреляции

Коэффициент множественной корреляции служит критерием оценки точности функции регрессии. Чем его значение ближе к единице, тем сильнее факторные признаки влияют на результативный признак.

На практике чаще используют упрощенный критерий оценки тесноты связи, представленный в таблице 4.1.

Таблица 4.1 - Количественный критерий оценки тесноты связи

|rxy|	Характер связи
до 0,3	слабая
от 0,3 до 0,5	умеренная
от 0,5 до 0,7	заметная
от 0,7 до 0,9	сильная
от 0,9 до 0,99	очень сильная

Связь между премии и вознаграждения на одного работника и рентабельностью сильная.

5. Регрессионный анализ статистических данных

Регрессия - это односторонняя стохастическая зависимость, устанавливающая соответствие между случайными переменными. Если исследуют стохастическую зависимость переменной от , то устанавливают регрессию на (в противном случае регрессию на ). Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции регрессии или просто регрессии.

Парный линейный регрессионный анализ

Параметры модели регрессии должны быть подобраны таким образом, чтобы линия регрессии, располагалась как можно ближе ко всем точкам корреляционного поля, т.е. проходила практически через его центр. С помощью инструмента Регрессия пакета анализа которая представлена на рисунке 5.1 удобно определять значения параметров и оценивать качество модели регрессии.

Рис. 5.1 - Диалоговое окно инструмента Регрессия

Параметры модели регрессии определим с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа. Выходная информация представлена в таблице 5.1.

Таблица 5.1 - Выходная информация инструмента «Регрессия»

Функция FРАСПОБР FРАСПОБР (вероятность; степени_свободы1; степени_свободы2) Вероятность - вероятность, связанная с F-распределением. (0,05) Степени_свободы1 - числитель степеней свободы. (B12) Степени_свободы2 - знаменатель степеней свободы.(B13) Функция СТЬЮДРАСПОБР СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; Степени_свободы) Вероятность - вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента.(0,05) Степени_свободы - число степеней свободы, характеризующее распределение.(B13)

В ячейках таблицы 5.1 приведена следующая информация

ячейка В4 - множественный коэффициент корреляции

ячейка В5 - коэффициент детерминации

ячейка В5 - нормированный коэффициент детерминации, определяемый по формуле

где - объем выборки, - число неизвестных параметров уравнения регрессии. Коэффициент детерминации корректируется с учетом числа факторных признаков и объема выборки.

ячейка В7 - стандартная ошибка ;

ячейка В8 - объем выборки ;

ячейка В12 - число степеней свободы для определения критического значения критерия Фишера;

ячейка В13 - число степеней свободы для определения критического значения критерия Фишера;

ячейка С12 - сумма квадратов разностей между расчетными значениями и средним значением результативного признака т.е. сумма квадратов, объясняемая регрессией ();

ячейка С13 - остаточная сумма квадратов, т.е. сумма квадратов отклонений ;

ячейка D13 - остаточная дисперсия

ячейка Е12 - расчетное значение критерия Фишера;

ячейка В17 - параметр уравнения регрессии;

ячейка В18 - параметр уравнения регрессии;

ячейка С17 - стандартная ошибка параметра ;

ячейка С18 - стандартная ошибка параметра ;

ячейка D17 - расчетное значение статистики параметра ;

ячейка D18 - расчетное значение статистики параметра ;

ячейка Е17 - значение параметра ;

ячейка Е18 - значение параметра ;

ячейки F17:F18 - нижние границы доверительных интервалов соответствующих параметров уравнения регрессии;

ячейки G17:G18 - верхние границы доверительных интервалов этих параметров.

6. Анализ качества модели регрессии

Следовательно, модель парной линейной регрессии имеет вид:



массив статистика матрица корреляция

Выполним анализ качества полученной модели регрессии:

следовательно, только 55% дисперсии рентабельности; объясняется влиянием факторного признака «премии и вознаграждения на одного работника», т.е. необходимо включить в математическую модель регрессии другие факторные признаки и выполнить многомерный регрессионный анализ;

Критическое значение критерия Фишера при . Следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо, т.е. имеется хорошее соответствие данным наблюдений;

Критическое значение - статистики при уровне значимости Для параметра модели регрессии при факторном признаке расчетное значение - статистики равно 7,67 , т.е. этот параметр статистически не значим. Следовательно, нулевая гипотеза о том, что параметр модели регрессии может принимать нулевые значения, отвергается.

Полученную модель можно использовать для прогнозирования.

Прогноз

Выполним прогнозирование на основе полученной модели регрессии.

51 - е предприятие может обеспечить премии и вознаграждения на одного работника в размере 2,2%. Тогда точечный прогноз для рентабельности этого предприятия равен:

Для построения интервального прогноза из выходной информации инструмента «Регрессия» выбираем стандартное отклонение (стандартную ошибку) 4,02 из регрессионной статистики. Тогда в соответствии с неравенствами имеем

25,15-4,02*2,0125,15+4,02*2,01

,

т.е. с вероятностью 95% истинное значение рентабельности предприятия будет находиться в пределах от 17 до 32,2 если оно обеспечит премии и вознаграждения на одного работника в размере 23,56%.

Точечный прогноз показывает, какой бы была рентабельность предприятия, если бы оно использовало свои производственные возможности в такой степени, как в среднем все предприятия. Фактическое значение индекса снижения себестоимости продукции 51 - ого предприятия Следовательно, предприятие использует свои возможности хуже, чем в среднем все исследуемые предприятия.

В таблице 6.1 приведены прогнозные значения рентабельности для 51 - го предприятия и при увеличении максимального выборочного значения признака премии и вознаграждения на 15 %, т.е. при значении 2,53%.

Таблица 6.1 - Прогноз рентабельности

Анализ результатов расчета показывает, что увеличение максимального значения признака премии и вознаграждения на 15 % дает точечный прогноз рентабельности 273,05.

7. Парный нелинейный регрессионный анализ

В общем виде модель парной нелинейной регрессии имеет вид

(7.1)

Для этого случая математическая запись метода наименьших квадратов имеет вид:

(7.2)

Определим параметры модели регрессии с помощью надстройки «Поиск решения». В качестве целевой функции принимаем выражение (7.2). Так как параметры модели регрессии могут принимать любые значения, то ограничения и граничные условия в математической модели оптимизации отсутствуют.

Размещение информации представлено в таблице 7.1. Расчетные формулы записаны в таблицу 7.2.

Таблица 7.1 -Размещение информации

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1				Значение целевой функции
2					@		@	@
3	1	X8		Y3		e	e2	e1
4	1		=b4^2		@	@	=f4^2	@	@
5	1
…
55	1
56						?=		?=
57							@		@
58						R2	@	Fрасч=	@
59							@

Примечание. Символ @ означает, что в эту ячейку записывается формула, символ - копирование формул.

Таблица 7.2 - Расчетные формулы

Адрес ячейки	Формула	Запись на языке ЭТ
E4	Формула (7.1)	=СУММПРОИЗВ(a4:c4;$a$2:$c$2)
F4		=d4-e4
H4		=d4-$h$2
I4		=h4^2
E2	Формула (7.2)	=СУММКВРАЗН(e4:e52;d4:d52)
G2		=КОРРЕЛ(d4:d52;e4:e52)
H2		=СРЗНАЧ(d4:d52)
G56		=СУММ(g4:g52)
I56		=СУММ(i4:i52)
G57		=g56/46
I57		=i56/46
G58		=1-g57/i57
I58		=g58*46/((1-g58)*2)
I59		=FРАСПОБР(0,05;2;46)

Результаты расчета приведены в таблице 7.3.

Таблица 7.3 (а) - Результаты расчета

Таблица 7.3 (б) - Результаты расчета

Определим параметры модели регрессии с помощью инструмента Регрессия пакета анализа. Для оценки качества модели регрессии используем коэффициент парной корреляции и критерий Фишера.

Выходная информация инструмента Регрессия и размещение информации приведены в таблице 7.4.

Таблица 7.4 - Выходная информация инструмента Регрессия

Коэффициент парной корреляции соответствует Множественному R регрессионной статистики таблицы 7.4.

8. Анализ результатов расчета

Модель парной нелинейной регрессии

Коэффициент парной корреляции т.е. связь между фактическими и теоретическими значениями результативного признака заметная.

Расчетное значение критерия Фишера (33,67) больше критического (3,195), следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо и его можно использовать для прогноза.

Полученную модель можно использовать для прогнозирования.

Точечный прогноз: среднее значение рентабельности при равно 35,32676.

Рис. 8.1

По сравнению с линейной моделью регрессии среднее значение рентабельность увеличилась, т.е. между исследуемыми признаками вероятнее всего наблюдается нелинейная зависимость.

Результаты расчетов свидетельствуют о том, что определять значения параметров нелинейной модели регрессии можно с помощью надстройки Поиск решения и инструмент Регрессия пакета анализа.

9. Многомерный линейный регрессионный анализ

Включаем в анализ еще один факторный признак который имеет самую слабую связь между факторными признаками, между Х8 и Х13 самая слабая связь 0,15, т.е Х13 включаем.

Математическая модель многомерной линейной регрессии:

(9.1)

Математическая запись метода наименьших квадратов:

(9.2)

Коэффициенты регрессии определяем с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа. Выходная информация представлена в таблице 9.1.

Таблица 9.1 - Результаты работы инструмента «Регрессия»

10. Анализ результатов расчета

Уравнение многомерной линейной регрессии

Критическое значение - статистики равно 2,01. Для параметра модели регрессии при факторном признаке X13 расчетное значение - статистики меньше критического этот параметр статистически не значим.

Критическое значение критерия Фишера равно 3,2. Расчетное значение (28,8) критерия больше критического, следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо.

Коэффициент детерминации равен 0,55. Следовательно, среди неучтенных факторных признаков нет еще более существенных, которые необходимо включить в математическую модель многомерной регрессии.

Модель нельзя использовать для прогнозирования

11. Многомерный нелинейный регрессионный анализ

Запишем математическую модель регрессии

(11.1)

Математическую запись метода наименьших квадратов представим в виде:

(11.2)

Значения параметров модели регрессии определим с помощью инструмента Регрессия.

Размещение информации приведено в таблице 11.1, выходная информация инструмента Регрессия представлена. в таблице 11.2.

Таблица 11.1(а) - Размещение информации

Таблица 11.1(б) - Размещение информации

Таблица 11.2 - Выходная информация инструмента Регрессия

12. Анализ результатов расчета

Уравнение многомерной нелинейной регрессии

Коэффициент парной корреляции равен 0,62, т.е. связь между фактическими и теоретическими значениями результативного признака заметная.

Критическое значение при степенях свободы

Расчетное значение критерия Фишера (14,5) больше критического, следовательно, уравнение регрессии в целом статистически значимо и его можно использовать для прогноза.

Полученную модель можно использовать для прогнозирования.

Рис. 12.1

Оптимизация

Постановка задачи. Определить такие значения факторных признаков, которые обеспечат увеличение максимальной выборочной рентабельности и на 15 % при условии, что их значения не превысят максимальных выборочных значений.

Математическая модель

Целевая функция

Ограничения:

Граничные условия:

Результаты оптимизации представлены в таблице 11.1, размещение информации приведено в таблице 12.1.

Таблица 12.1 - Размещение информации на рабочем листе ЭТ

	A	B	C	D	E	F
1	1
2	1			=b2^2	=b2*c2	=c2^2
3
4
5	Значение целевой функции
6			=*

Примечание. В ячейку С6 записывается формула расчета целевой функции =СУММПРОИЗВ(a4:f4;a2:f2).

Таблица 12.2 - Результаты оптимизации

Как видно из результатов расчета заданное значение рентабельности мы не можем получить, два факторных признака попали в заданные интервале и ограничения. При заданных данных мы не можем получить увеличение рентабельности на 15%, а только лишь на 2.4%.

Размещено на Allbest.ru